几何作图问题
辨士学派与几何三大作图问题
辩士学派（sophists）也称智者学派、诡辩学派，是公元前5世纪－公元前4世纪希腊的一批“收徒取酬”的教师、哲学家的统称.辩士学派在文法、修辞、哲学、科学等方面都有建树.在数学方面提出了“几何三大作图问题”：（1）三等分任意角；（2）利用尺规作一个立方体，使其体积等于已知立方体的2倍（立方倍积）；（3）作一个正方形，使其与给定的圆的面积相等（化圆为方）.并要求只能用圆规和无刻度的直尺来解决这三个问题.直到19世纪，这些问题都以否定有解作为最终定论.历经两千多年，数学家们对之作出多方探索并提出过不少解决方案，但都违反了用尺规作图的规定.正因为这三个问题不能用尺规来解决，常常使人进入新的领域中，促进了数学的发展，如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的出现.这些“副产品”对数学的发展起到了无可估量的作用.下面谈一谈辩士学派内部学者或其同代人对三个问题的研究.一、三等分任意角希庇亚斯（Hippias，约公元前400年前后）曾尝试用割圆曲线将任意角分成三等份.设角∠BAD′为给定的任意角.以定长AB(AB⊥AD)为半径作圆弧，当动径AB（AB⊥AD）绕A点顺时匀速转动到AD′（图1），直线BC（BC∥AD）在同样的时间内以匀速平移到B′C′.在AB、BC运动时，瞬时交点如B′C′，AD′的交点E(x,y)的轨迹就是圆积曲线.角∠BAD′的一条边AD′交曲线于E.作EH⊥AD,作HH′，使HH′=EH.过H′引B′C′，使B′C′∥AD并交曲线于L，那么∠LAD=13∠DAD′.设AB=a，AB转π/2到AD需T秒.又设AD′转动角φ需t T秒，则B′C′平移到AD也需t T秒.从曲线的形成条件知φπ2=y a，又φ=arccot y x，于是割圆曲线BELG的方程是y=x tanπy2a.由割圆曲线的方程可知，等式∠LADπ2=HH′BA,∠DAD′π2 =EH BA成立.但EH=3H H′，显然，不是尺规所能做到的.图1二、立方倍积希波克拉底（Hipocrates，约公元前5世纪下半叶）最先提出立方倍积问题.该问题实质上是要在a与2a之间插入两个比例中项x、y，使得a:x=x:y=y:2a，x就是所求的解x=23a.这就是说以x为边的立方体的体积是以a为边的立方体的体积的2倍.这一理论为后来数学家们的有关工作提供了重要的根据，例如，门内玛斯（Menaechmus，约公元前375-公元前325）设两条抛物线的共顶点为O（原点），使其对称轴正交.二者的正焦弦分别为a、2a，那么它们交点的坐标是a与2a的比例中项.若两条抛物线的方程是x2=ay、y2=2ax，它们异于O（0,0）的交点是（23a，43a），其横坐标就是问题的解.门内玛斯还用抛物线和双曲线来研究立方倍积问题.设抛物线和双曲线的方程为y2=ax、xy=2a2，它们异于原点的交点为（43a，23a），就是2a与a的两个比例中项，其纵坐标就是问题的解.高尔吉亚（Achytas，公元前4世纪）没有把平面曲线的交点作为立方倍积问题的解，而是将问题归结为三种空间曲面：圆柱、圆锥和圆环面的交点.在图2中，取AB=a,AC=b,在平面xAy上作以AC为直径的圆，AB为其中的一条弦.其解法为：（i）让以AC为直径的半圆垂直于平面xAy，并绕吴文俊66图2我们还可以用解析几何方法求证.设锥面的方程为x2+y2+z2=b2x2，柱面的方程为图3辩士学派成员安蒂丰（Antiphon，公元前认为可以不断增加内接多边形的边数来逼近圆。
基本几何作图(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：常见的几何语言有哪些？背诵出来并作出对应的图形．问题2：连接，延长和作垂线的操作要点有哪些？基本几何作图一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，村庄A，B之间有一条河流，要在河流上建造一座大桥P，为使P到村庄A，B之间的距离之和最小，那么这座大桥P应建造在( )A.点E处B.点F处C.连接AB，AB与EF的交点即为所求点PD.河流上的任意处都可以答案：C解题思路：连接AB，AB与EF的交点即为所求点P，利用的原理是两点之间线段最短，从上图也能看出，其他点到村庄A，B之间的距离之和都比线段AB长．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短2.如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂E，使之到A，B，C，D四个小区的距离之和最小，则水厂E应建在( )A.线段AC的中点B.线段BD的中点C.线段AC与线段BD的交点D.直线AB与直线CD的交点答案：C解题思路：如图，根据两点之间线段最短，连接AC，则线段AC是A，C两个小区之间的最短距离；连接BD 与线段AC交于点E，则线段BD是B，D两个小区之间的最短距离．点E到A，B，C，D四个小区的距离之和EA+EB+EC+ED=AC+BD，所以点E到A，B，C，D四个小区的距离之和最小．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短3.按照下列要求作图：①作线段AB；②作射线DA；③作直线AC．其中符合要求的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据线段有两个端点，没有方向，可得B选项错误；根据射线有一个端点，有方向，射线DA的端点是D，可得A，D选项错误；根据直线没有端点，没有方向，不能度量，可得D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图4.已知，点A，B，C，线段a．按照下列要求作图：①连接AB，AC；②延长BA；③在BA 的延长线上截取AD，使得AD=a．其中符合要求的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由题可知AC是线段，故B选项错误；由延长BA可知C选项错误；AD是在BA的延长线上截取的，故A选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何作图5.如图，已知四点A，B，C，D，按要求作图：①作射线AB，射线CD；②连接AC，BD交于点O；③反向延长射线CD交射线AB于点P．下列选项中作图正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：射线有一个端点，并且有方向．作射线AB，则端点为A，故B选项错误；作射线CD，则端点是C；反向延长射线CD，这样CD就变成了一条直线，故A，D错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图6.如图，已知线段AB，用尺规作图（保留作图痕迹）：延长线段AB到点C，使BC=2AB．下列尺规作图正确的是( )A.线段BC即为所求B.线段BC即为所求C.线段AC即为所求D.线段BC即为所求答案：A解题思路：根据题意“延长线段AB”，判断选项C和D错误．又因为已知的是线段AB，要使BC=2AB，需要截取两次，因此选项B错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图7.如图，点C，D分别在直线AB上和直线AB外，以下是在此图基础上作图的过程及作法，其中错误的是( )A.连接CDB.连接CD，并延长CD到点E，使DE=2CDC.过点D作DE⊥AB于点ED.过点D作DE∥AB答案：B解题思路：B选项，题目中要求延长CD到点E，因此应该沿着CD的方向延长，如图，故选B．试题难度：三颗星知识点：几何作图8.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述错误的是( )A.作直线ABB.作射线CAC.连接BCD.取线段BC的中点D，作线段AD答案：B解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，作射线CA，C是端点，故B选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：几何作图9.如图1，点C和点D分别是直线AB外两点，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述正确的是( )A.作直线CD交直线AB于点EB.连接CD，并延长CD交直线AB于点EC.过点C作直线CF⊥AB，垂足为CD.过点C作直线CF⊥CD交AB于点F答案：D解题思路：直线没有方向，没有端点，因此选项A说法错误；图2中是延长DC，因此选项B说法错误；图2中CF⊥CD，因此选项C说法错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.如图1，已知四点A，B，C，D，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述正确的是( )A.作射线ADB.作直线BC，过点A作AF∥BCC.过点B作BE⊥AD于点ED.连接AD，连接BC，交点为E答案：C解题思路：选项A，射线有一个端点，而且有方向，射线AD表示端点是点A，所以A选项错误；选项B，图2中是连接BC，BC是线段不是直线，所以B选项错误；选项D，AD与BC的交点是G，E点是BE⊥AD的垂足，所以D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
专题8几何作图题与最短路径问题(原卷版)
专题8 几何作图题与最短路径问题（原卷版）类型一尺规作图1．（2022秋•镇原县期中）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，如图所示，利用尺规作图，求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．2．（2022•凉州区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作∠ABC的角平分线交AD于点E；（2）F为CD中点，连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．3．（2017秋•重庆月考）尺规作图：如图，某区拟在新竣工的四边形广场的内部修建一个音乐喷泉M，现设计要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到自行车道AD、步行栈道DC的距离也相等，请在图中找出M的位置．（不写已知、求作、作法，保留作图痕迹）类型二无刻度作图4．（2021•前郭县三模）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图①中，作线段AB的垂直平分线；（2）在图②中，作∠ABC的平分线．5．（2021•江西模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作△ABC的高AM．（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）6．（2023春•抚州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，G，P，Q均在格点上，请用无刻度直尺按下面要求作图．（1）在图1中，以D为顶点，作∠EDF＝∠ABC；（2）在图2中，作△GPQ的对称轴GH．类型三网格作图或画图7．（2023春•农安县期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）在直线MN上求作一点P，使P A+PB最小．8．（2023春•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．请按要求分别完成下列各小题：（1）把△ABC向下平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在y轴上找一点P，使得它到点A和点B的距离和最小（不要求写作法）．9．（2023春•西乡塘区校级月考）按要求完成作图：（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上画出点Q，使△QAC的周长最小；（3）判断△ABC的形状，并说明理由．10．请在网格中完成下列问题：（1）如图①，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）如图②，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A'B'C'；（3）在直线MN上找一点E，使BE+CE最小．类型四 坐标系里画图11．（2022秋•西青区期末）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A （﹣2，1），B （﹣4，3），C （﹣5，2）（Ⅰ）请在平面直角坐标系内画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中，点A ，B ，C 的对应点分别为A 1，B 1，C 1，并写出△ABC 上任意一点D （x ，y ）关于y 轴对称的点D 1的坐标．（Ⅱ）请在平面直角坐标系内画出△ABC 关于关于直线m （直线m 上各点的纵坐标都为﹣1）对称的△A 2B 2C 2，其中，点A ，B ，C 的对应点分别为A 2，B 2，C 2．类型五 最短路径问题12．（2023春•小店区校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．513．如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设置一个方案，把两个加油站设在何处，可使油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短．14．如图所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A到B的路程最短，请确定两座桥的位置．类型六作图与计算或说理的综合15．（2022秋•潜江期末）如图，若△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值是（）A．3B．4C．5D．616．（2023春•竞秀区期末）如图，△ABC，（1）在△ABC中，按要求完成尺规作图；①求作BC边上一点D，使∠BAD＝∠DAC；②已知点A，C关于直线l对称，求作直线l，交AD于点G；③连接GC；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法；铅笔完成作图后，用黑色水笔描画，以保证阅卷扫描清晰）（2）（1）中得到的图形中；①若∠B＝45°，∠BCA＝55°，求∠AGC的度数；②若∠B＝α，∠BCA＝β，则∠AGC＝．17．（2023春•连城县期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是，并证明你的结论．18．（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．。
数学万花筒(2) 数学经典——几何作图的三大问题
数学万花筒(2)数学经典——几何作图的三大问题尺规作图，是指限制了作图工具——只能用直尺和圆规.而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规，虽然可以作出许多种图形.但有些图形如正七边形、正九边形就作不出来.有些问题看起来好像很简单，但真做起来却很困难，甚或根本不可能.在历史上，数学家们曾先后提出三大几何作图问题，期盼有人给出正确的、严格的解答.它们分别是：1.化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积；2.三等分任意角；3.倍立方——求作一立方体，使其体积是一已知立方体体积的二倍.圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形与一已知圆的面积相等呢？若已知圆的半径为1，则其面积为π×12=π，所以化圆为方的问题相当于，求作一正方形，使其面积为π，也就是用尺规作出长度为的线段.对于某些角如900、1800，三等分并不难，是否所有角都可以用尺规三等分呢？例如600，若能三等分，则可以作出200的角，那么正18边形及正九边形也都可以作出来了（注：圆内接正十八边形每一边所对的圆周角为=200).第三个问题是倍立方.埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到，说有一个先知者得到神谕，必须将立方形祭坛的体积加倍，有人主张将每条棱长加倍，但我们都知道这是绝对错误的，因为这样一来，体积将变成原来的8倍.上述问题曾困扰数学家一千多年都不得其解.而实际上这三大作图问题，都不可能用直尺、圆规，经有限步骤来实现.1637年法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)创建了解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究.1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明.1882年林得曼(Linderman)也证明了π的超越性(即π不是任何整数系数多项式方程的根)，化圆为方的不可能性也得以确立.人们在研究“三等分角”的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线.在二十世纪之前，数学家们对三大作图问题均已给出了否定的结论，并用现代数学的艰深理论给出了严格的证明(有关的概念、公式很多).因为这些证明过程所用到的知识，业已远离中学数学，因此中学生一般来说是很难涉足其中的.在此，建议中学生不必再对这几个作图问题去作深入的探究，只要对相关问题有个初步了解即可.1。
平面几何作图三大问题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。
用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。
有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
三大几何问题是: 1.化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆；圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π/2的线段（或者是π的线段）。
2. 三等分任意角的问题。
对于某些角如90。
、180。
三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。
，若能三等分则可以做出20。
的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。
/18=20。
）。
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
3.倍立方问题：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。
而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
他是如此证明的：假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。
三大几何作图问题的产生、研究与解决
２０ 多年 来 ， ００ 历代 数学 家 为 了解决 这
三 个 问题 ， 费 了许 多 心 血 ， 都失 败 了． 耗 但 不 过 自从 １ ３ 年笛 卡儿 创 立 了解 析 几 何 ６７ 学 之后 ， 规作 图 的可 能 性就 有 了 判定 准 尺 则．１ ３ 年 万 泽 尔 在 研 究 挪 威 数 学 家 阿 ８７ 贝 尔 定 理 的 化 简 时 ． 明 了６ 。 不 可 能 证 ０角 用 尺规 作 图 的方 法加 以三 等分 ． 然后 又 证
是想 使 希腊 人 为 忽 视 几何 学 而 感 到羞 愧 ．
由于 这一 传 说 ． 方倍 积 问题 亦 称 为 提洛 立
斯 问 题．
当时 的古希 腊 人认 为 ， 几何 作 图 只许
辩 学 派 的学 者们 于公 元 前５ 世纪 提 出并 进
行 研 究 的几 何 学 三 大 问 题 ．那 时 希 腊 数
教学 研究 ） 课参 备 考
数学教学通讯 （ 师版 ） 教
投 箱： ｊ ｖ １６３．ｏｒ 稿邮 ｓ ｋ ｉ ｃ ｎ ｘ＠ ｐ
．
三大几何作图问题的产生 、 研究与解决
陈 督武
什么是“几何三大问题”
什么是“几何三大问题”大约在二千四百多年前，古希腊流传下列三个几何作图题：1．立方倍积问题：就是作一个立方体，使它的体积等于一个已知体积的2倍。
2．三等分角问题：就是把一个已知角三等分。
3．化圆为方问题：就是求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。
这三个几何作图题如果用先进的工具或曲线可以轻易地作出答案，然后只需用圆规和直尺来完成，而且还有一些限制：①直尺是没有刻度的；②不能把直尺和圆规同时在一起合并使用；③在作图时，直尺和圆规是不能无限使用多次的。
两千多年来，许多著名的数学家和学者都曾经对这三题进行过无数次的探讨、尝试，但连当时负有盛誉的学者柏拉图，也觉得茫无头绪，都始终没有成功。
于是，三个几何作图题成为著名的古典难题，一向被人们称为“几何三大问题”。
关于第一个问题，还流传着一个美丽的神话：大约在两千三百年前，雅典城流行了可怕的伤寒病。
人们为了消除这个灾难，便向“太阳神阿波罗”求助。
太阳神告诉人们说：必须把我殿前神坛上香案的体积扩大一倍，才能使瘟疫不再流行。
他的香案是一个立方体形状的，人们便觉得这个条件并不苛刻，于是人们马上做了一个新的香案。
然而，瘟疫依旧非常猖獗。
雅典人再去祈祷太阳神，才知道这个新的香案体积并不等于原来的两倍。
同学们也算一算，人们新做香案的每条棱长是原来棱长的2倍，这怎能符合要求呢？那么究竟怎么做呢？可把当时的人们难住了。
这虽是个神话，但经过人们的努力，在1973年，万芝尔首先证明这个立方倍积问题是不能用直尺和圆规来解决的，而且第二个问题也得到了同样的证明。
最难的是第三个化圆为方的问题因为它牵涉到π是超越数的证明。
什么叫超越数呢？通俗地说，是不可由某种具有有理系数的方程算出来的数。
证明一个数是超越数的方法，首先由数学家阿基米德创立的，后来德国数学家林德曼在1882年证明了π是一个超越数。
从此，这三个古典难题的公案便宣告结束。
这三个问题在生产生活中却有一定的实用性。
如果允许使用工具，或有刻度的直尺冲破原来的那些限制，三等分一个角是可能的，阿基米德就做了成功的尝试。
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SA’/SA为位似比，对
A
⊙O’作位似变换，其对 A’ O 应图形即⊙O, 即O’ →O. B O’ S 由AO∥A’O’即可确定O. l M’ M A 作法：作AB的中垂线与l 交于S，作⊙O’与l相切， A’ O B 且O’在中垂线上， O’ S l 连结AS交⊙O’于A’, M M’ 作AO∥A’O’交中垂线于O, 作⊙O(AO)即得. 证明：略. 讨论：当A、B处于l异侧，或者 都在l上时，无解；若两点之一在l上有一解;
1.. 基本作图——根据作图公法容易解决 的、并常用来作为解决其它作图问题的作 图命题. 常用的基本作图罗列如下： (1)以定射线为一边作一角等于给定的角； (2)已知：1o 三边； 2o 两边及其夹角； 3o 两角及其夹边，可作三角形； (3)过一点，作已知直线的垂线； (4)过一点，作已知直线的平行线；
a
b
b
(14)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2 (15)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2
2. 解作图题的步骤：
①写出已知与求作：按题目要求写出题设 条件，并说明要作的图形是什么。 ②分析：假设符合条件的图形已经作 出，在所作草图上寻求解题途径。 ③作法：利用作图公法及已知的作图问题 （包括基本作图和已完成的作图题），写 出作图过程。 ④证明：证明按上述作法所作图符合要求。 ⑤讨论：解的个数、位置是否确定等问题。
几何作图问题
• 按照所给条件，作出符合条件 的图形，这就是几何作图问题. • 作图问题实质上是几何存在性命题的一 种变形，作图过程就是证实图形存在的 一种方法，由此也可获得图形的性质. 一、几何作图的基本知识 • 初等几何作图，对作图工具有一定的限 制，即：只能用无刻度的直尺和圆规，在 有限次步骤内做出符合条件的图形来.
B
2.三角形奠基法
某些作图题，求作的图形中含有一个特殊 三角形，该三角形一旦作出，整个图形就 容易完成，这种作图法称为三角形奠基法. 例2 已知三角形的一边和该边上的中线与 高，求作三角形.(不定位作图)
A 已知三线段a, ma, ha . ma h 求作⊿ABC，使BC=a, a 中线AM=ma, 高AH=ha. aM H C B 分析：如图所示：在直角⊿AMH中, 有两 边已知, 故可作出, 即A已确定, 再由 BM=MC=a/2 即可确定B, C两点.
二、解作图问题的常用方法
1. 交轨法——作图题大多都归结为确定 一个点的位置问题。确定一个点一般需要 两个条件，一个条件决定一个轨迹，做出 两个轨迹及其交点，该题就获得解决。 例1 从已知圆外一点作一割线，使其圆外 部分和圆内部分长度相等.
已知P是定⊙O(R)外一点， O 求作：从P作⊙O(R)割线 M B P A PAB，使PA=AB. 分析： 假定满足要求的图已作出,由图可知, 关键是要确定A(或B)点. 在⊿POB中，A是 PB的中点，设PO中点为M，则MA=(1/2)R.
(5)平分一个角； (6)平分一段弧； (7)作给定线段的中垂线； (8)分一条线段成若干等分； (9)作线段的和或差，作角的和或差； (10)已知弓形弦长及其内接角，作弓形弧
α
α
(11)内分或外分一线段成已知比；
a b a
b
C
A
B x c
(12)作三个已知线段的第四比例项； ax 即已知线段a, b, c， bc 求作满足a:b=c:x的线段x. (13)作两个已知线段的比例中项； 即已知线段a, b， x a 求作满足a:x=x:b的线段x.
作法以及证明均易给出——略。
讨论：ma≥ha时有一解， ma<ha时无解. 3.变位法——对图形中某些元素施行适当 的合同变换，然后借助于相关元素的合 同关系作图的方法.
例3 已知底边a, 高ha及两底角 之差∠B－∠C=α, 求作⊿ABC. 分析假设满足条件的⊿ABC已作出. 由已知a可确定B,C两点, 下面只要 确定A的位置即可. 由高ha可知A在 E C’ α 与BC平行的直线PQ上. A P Q 延长BA到E, 则∠B=∠QAE, 作AC’,使∠QAC’=∠C, 则 C a B H ∠EAC’=α, C’可由C关于PQ的 对称点作出, ∠BAC’=π-α, 因此A还在以BC’ 为弦、内接角为π-α的弧上. (作法与证明略）
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
O1 A B B l
O1 r
A
B
A
S
O’
A’
5. 反演法——利用反演变换分析作图方法 已知点，且与一个已知圆相切. T’ B 分析：设所求⊙O过A,B两 点且与⊙O1相切的图已作出. O1 T O A 若以A为反演中心,则⊙O将变为直线l, B’ 若把A对⊙O1的幂取作反演幂, 则 l ⊙O1与它自身对应，设B对应B’. 则l过B’且与⊙O1相切,T→T’. T’ B 作法：以A为反演中心，A对 O1 T O ⊙O1的幂为反演幂作B的反演 A 点B’, 过B’作⊙O1的切线l, 切点为T’, 连接AT’交⊙O1于T，过A,B,T三点作⊙O，
讨论本题在0≤α＜π有一解(与弧另一交点不符合)
4. 位似法——先作出形状满足要求的图
形F’，不管大小和位置，然后选择适当的 位似中心和位似比，通过位似变换把F’变 成F，且大小和位置都符合条件。 A 例4 求作一圆，使该圆过两 定点，并与一定直线相切. A’ O B 已知定点A, B和直线l, O’ S l 求作⊙O过A, B且与l相切. 分析：假设符合条件的圆已作出. 本题关键是
A点在⊙O上又在以M为圆心(1/2)R为半径的圆上.
作法： 作PO的中点M, 以M为圆心 (1/2)R为半径作圆,交⊙O于A, M 连结PA并延长交⊙O于B, P A
则PB为所求割线.
O
B1B
证明:过O作OB1∥MA, 交PB于B1,则OB1=R,
即B1就是B点，由OB∥MA可知 O A是PB的中点, 即PB满足条件. M 讨论：当MO>(3/2)R时， P A 即PO>3R时，此题无解； 当PO=3R时，有一解，即割线过圆心； 当R<PO<3R时，有两解.(PO≤R不合条件)