正向思维与逆向思维-厦门一中

数学思维能力培养系列谈③

正向思维与逆向思维

厦门第一中学 郑辉龙 姚丽萍

一、正向思维与逆向思维

正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。

听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。”“好啊，你要借多少？”“1美元。”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。”

“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。

正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。两种思维的培养同样重要。

事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。

二、逆向思维培养示例

1.新授课中的培养方式。

（1）逆用定义。在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。

案例1：解方程12

22=---x x x 的结果是( ）

A. x=-1

B. x=0

C. x=1

D. x=2

点评：人教版数学课本七年级（上）P81“解方程”的定义是：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。笔者曾经统计过，超过一半的学生是按照解方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。

（2）逆用公式。在公式教学中应让学生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。 案例2：简便计算（1）119992- （2）1998200019992⨯-。

点评：两道类型题摆在一起，明显结果是：学生做题（1）很顺，做题（2）困难，原因

在于对平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。

（3）逆用法则。法则就是规律，中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律，

同样关注其逆用。例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式: a m ·a n = a m+n , a

m ÷a n =a m-n , (a m ) n =a mn , (ab) m =a m ·b m 。

案例3：（1）计算：（0.25）100·（-2）200；（2）已知2m =a ，32n =b ，求23m+10n ；

（3）已知4a x =，6b x =，求2a b x -。

点评：这里的三道小题，需要学生熟练地逆用上述四个法则。在试题命制中，经验告诉我们，凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”，反之，只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。事实上，只要适度的训练，提升逆向思维能力，所谓中档题也是可以转化为送分题的。

（4）注重逆命题教学。在逆定理教学中，首先让学生明白：不是每个定理都有逆定理的。最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。在此基础上，采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。在定理（包括其他命题）的教学中，可经常设置逆命题类的问题，有助于提升学生逆向思维的意识。

案例4：我们已经学习了三角形中位线定理，如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题，是否还成立呢？请分别判断以下两题的结论是否正确，

如果正确，证明之；如果不正确，举一个反例说明。

逆命题（1）：如图1，△ABC 中，如果点D 是AB 中点，DE 交

AC 于E ，DE ∥BC ，那么点E 是AC 中点，且DE=21BC 。 逆命题（2）：△ABC 中，如果点D 是AB 中点，DE 交AC 于E ，DE=

2

1BC ，那么点E 是AC 中点，且DE ∥BC 。 点评：这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题（1）为真，可以证明，题（2）为假，可以举反例。同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。

2.习题讲评课中的培养方式。

习题讲评，应该给学生展示思维的过程。在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。

案例5：如图2，△ABC 中，∠B=2∠A ，a 、b 、c 分别是∠

A 、∠

B 、∠

C 的对边，求证：b 2=a 2+ac 。

点评：已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由

“角”推向“边”？感觉很困难，正向的综合思维路难行。不

妨用逆向的分析思维：

要证：b 2=a 2+ac ，

只需：b 2=a （a+c ），

只需：b ∶a=（a+c ）∶b ， 易知，线段比问题找相似，联想含b 为公共边的“基本图形”（详见系列谈②），故延长CB 至D ，使BD=BA ，连DA ，因此，

只需：△ABC ∽△DAC ，因∠C 已是公共角，所以，

只需：∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。由于BD=BA ，故∠DAB=∠D,所以，

只需：∠CAB=2

1∠CBA ，其实，这就是已知条件---思路接通了。 如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。不过书写建议还是以综合法表达妥当。

对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法”。

前文指出，仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算，现以“通分”为例，请看几道逆向思维训练示例。

案例6：计算：2013

20121321211⨯++⨯+⨯ 。 点评：)1(1111+⨯=+-n n n n 这个过程是通分，逆过来=+⨯)

1(1n n 111+-n n 这过程不妨称之为“裂项”，于是原式=2013201220131120131201213121211=-=-++-+-

，这就是“逆通分”的裂项相消法。

类似的例子还有，化简：)23)(36(2

3346++++（原式=)23)(36()

23(3)36(+++++=

++231

363

+）。

案例7：将分数91

60,3320,2315,1912,1710,116按从小到大的顺序排列好。 点评：分子的最小公倍数为较小的数60，故本题另辟蹊径“不通分母通分子”，轻松地