线性代数第四章分解
线性代数第四章线性方程组课件
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
第三版线代第四章
推论： 对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至 少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的 先用反证法证明，其中的 不可能等于零 不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与 之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子 式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断 定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
同济大学线性代数第四章PPT课件
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数PPT课件第四章第四节 线性方程组解的结构.ppt
0 1 0
1 0 1
1 1 1
1
0 1
行
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
0 0
得 x1 1 0
x2 x3 x4
x
3
1
1 0
x
4
1 0 1
.
基础解系为
1 0
1 0
1
,
1 0 1
.
令 x3c1,x4c2,(c1,c2为任意常数),
得一般解为
c1r 1
c1r 2
c1n
c2r1
c2r2
c2n
1
crr 1 1
, 2
crr 2 0
, , nr
crn
0
.
0 1
0
0
0
1
1,2,,nr 为 AX0的基础解系.
任意两个基础解系等价, 故有相同个数解向量, 为 nr个.
第四章
第四节 线性方程组解的结构
问题: 当解有无穷多时, 全部解是否可由有 限多解表示出来 ?
一. 齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1
a22x2 a2nxn
0
(1)
am1x1 am2x2 amnxn 0
(1) 可用矩阵表示 AX0
a11 Aa21
的通解 (用基础解系与特解表示) 解
A ~1 3
1 1
2 2
1 7
1 2 3 2
1 5 103 1 6
1 0
0 1
0 2
2 1
1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
同解方程组为
xx12
线性分解定理
线性分解定理线性分解定理，又称为线性组合定理，是线性代数中的一个基本定理。
它将一个向量空间中的向量表示为一组基向量的线性组合，从而展示了向量空间的基本性质和结构。
线性分解定理可以用于表示任意一个向量在一组基向量下的坐标。
具体来说，设V是一个n维向量空间，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。
对于任意一个向量v∈V，存在唯一的一组标量c1,c2,...,cn，使得v=c1v1+c2v2+...+cnvn。
这就是线性分解定理的主要内容。
线性分解定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
首先，当n=1时，线性分解定理显然成立。
假设对于任意n-1维的向量空间，线性分解定理都成立，即任意一个向量都可以表示为n-1个基向量的线性组合。
下面考虑n维向量空间的情况。
设v∈V是一个n维向量，B={v1,v2,...,vn}是V的一组基向量。
可以将B中的最后一个基向量vn表示为vn=b1v1+b2v2+...+bn-1vn-1，其中b1,b2,...,bn-1是标量。
然后，将vn代入到v的表达式中，可得v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn，其中c1,c2,...,cn-1,cn是待定的标量。
为了证明线性分解定理成立，需证明上述表达式中的cn=0。
假设cn≠0，则可以将上述表达式重新排列，得到v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1。
将它与已知条件v=c1v1+c2v2+...+cn-1vn-1+bnv1+bn-1v2+...+b1vn进行比较，可以发现这两个表达式表示的向量是相等的。
由于B是向量空间V的一组基向量，根据向量的唯一性原则，这说明了(v1,v2,...,vn-1,(bn+1))也是向量空间V的一组基向量。
然而，这与假设矛盾。
因为bn+1≠0，所以(bn+1)v1+bnv2+...+b1vn-1不等于零向量。
线性代数第四章
§3 向量组的秩
定义5 设有向量组 A， 如果在A中能选出 r个向量a1 , a 2 , , a r， 满足(1) 向量组A0 : a1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2) 向量组中 任意r 1个向量(如果A中有r 1个向量的话 )都线性相关 ， 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向 量组(简 称最大无关组 )， 最大无关组所含向量个 数r称为向量组 A 的秩， 记为RA .
a T (a1 , a2 ,, an )
二、向量的运算
三、向量组
定义 由若干个同维数的列向 量(或同维数的行向量 )构成 的集合称为向量组 . a11 a12 a1n a21 a22 a 2 n A a a a m2 mn m1 A (1 , 2 , , n ) , 其中 j (a1 j , a 2 j , , a mj )T T T A ( , , , ) , 其中 1 2 m i ( a i 1 , a i 2 , , a in )
向量组B : b1 , b2 , , bl 能由向量组向量 A : a1 , a2 , , am 线性表示 R( A) R( A, B ) 有矩阵K， 使得B AK 矩阵方程 AX B有解
例( P 86例 3) 设n维 向 量 组 A : a1 , a 2 , , a m 构 成n m 矩 阵 A ( a1 , a 2 , , a m )，n阶 单 位 矩 阵 E (e1 , e 2 , , e n )的 列 向 量 称 为n维 单 位 坐 标 向 量 .证 明 : n 维 单 位 坐 标 向 量 e1 , e 2 , , e n能 由 向 量 组 A线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 R( A) n.
数学-线性代数导论-#4矩阵分解之LU分解的意义、步骤和成立条件
数学-线性代数导论-#4矩阵分解之LU分解的意义、步骤和成⽴条件线性代数导论 - #4 矩阵分解之LU分解的意义、步骤和成⽴条件⽬前我们⽤于解线性⽅程组的⽅法依然是Gauss消元法。
在Gauss消元法中，我们将右侧向量b与A写在⼀起作为⼀个增⼴矩阵进⾏同步的操作，这就默认了对A与b的操作数是相等的且每换⼀个b就要重复⼀遍对A的操作。
然⽽，在实际情况中，右侧向量b经常发⽣变化。
⽽且，研究发现，Gauss消元法中，对n阶矩阵A的消元操作数正⽐于n3，⽽对右侧向量b的回代操作（包括⾏变换和恢复成代数⽅程的形式）数仅仅正⽐于n2。
（操作次数上的相对⼤⼩可以根据A与b元素数量的差距进⾏猜想）在b不变时，两种算法上的复杂度差距不明显，选择同步操作更为⽅便直观。
但是，当b变化时，如果我们将对A和对b的操作进⾏分隔的话，只需对A完成⼀次完整的消元操作，再对b进⾏回代操作。
这样可以⼤⼤减少操作的次数。
所以，在b变化时，我们先对A单独进⾏分解操作。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
LU分解的步骤如下：1.求U留E：沿⽤Gauss消元法，将A化为U，不同的是，变换过程中左边乘上的每⼀个E都要记录下来；2.逆E为L：将⽤到的E各⾃求逆（取含变换操作的元素的相反数）再逆序相乘（将消元乘数按照原来的位置写到⼀起，再补齐左上-右下对⾓线上的1和对⾓线上⽅的0），乘积即为L：E求逆的简便⽅法和乘积求逆的运算法则在#3中已经提到。
逆序相乘等价于归置消元乘数于下三⾓矩阵中是⼀个常⽤结论，记忆使⽤可以简化运算。
乘积为L的依据是：假设E为所有E的乘积，EA=U可变形为E-1EA=E-1U=IA=A=LU，其中L=E-1。
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
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考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合, 由于 这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵, 可以进 行加法运算和数乘运算, 并且运算的结果仍然是n 维行(列)向量. 即该集合关于加法运算和数乘运算 是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运 算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章 要定义的向量空间.
数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数，
则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn),
则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
12
例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2
设S为R2中所有形如
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
a 3a (a为任意实数) 的向
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间.
S (a1, a2 , , an1, 0) | a1, a2 , , an1 R
3． +O=
（加法结合律）
4． +(-)=O
5． 1=
7. 8. k( + )=k+k (k+l)= k+l
6． k(l)=(kl)
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
10
特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm
为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
15
，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数 l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm
则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出.
O=(0, 0, …, 0) 负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为 =(a1, a2,…, an)
7
向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn),
则与的和为
Hale Waihona Puke + =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn)
能够更深入地了解线性方程组解的结构.
2
§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数
§4.5 极大无关组和向量组的秩
§4.6 矩阵的秩
§4.7 线性方程组解的结构
§4.8 基变换和坐标变换*
3
§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如
8
显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运
算律成立. 我们现在定义：
9
定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上 的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8 条运算律)称为n维实向量空间. 1． + = + （加法交换律）
2． +(+)=(+)+
11
二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ;
(ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间. 子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
1
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全
为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量
间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们
13
例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
(a1, a2 , 1),
a1 , a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
14
，
§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出 定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个 线性组合.
16
例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方 程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所
有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n
维列向量的集合的情形）.
6
向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和
=(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以 表示为以下向量形式： x11+ x22+…+xnn = 从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程 组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组 1, 1, …, n线性表出.
下的n元有序组
(a1, a2,…, an)
称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向 量也可以用列的形式写出, 称为列向量:
4
其中，b1, b2,…, bn 为任意（实）数. 如无特别申
明，n维向量均为实向量.
5
通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行