2.1.2椭圆的几何性质2
《2.1.2 椭圆的简单几何性质》教案
《椭圆的简单几何性质》教案
教学目标
1.知识与技能：（1）、能根据椭圆方程，利用图像得出椭圆的简单几何性质，并能熟练运用。
（2）、会利用椭圆的几何性质求椭圆方程。
2.过程与方法：通过复习回顾椭圆的两种标准方程与图形总结出椭圆简单几何性质，培养学生的观察能力和归纳能力；通过椭圆简单几何性质应用的两种类型培养学生学以致用，举一反三的能力。
3.情感态度与价值观：通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性，获取学习数学的成就感。
教学重点：
椭圆的简单几何性质
教学难点：
椭圆几何性质的灵活应用
教学过程：
一、复习回顾
认真复习课本，完成知识梳理：
二、学以致用
（一）、由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
变式训练：求椭圆252522=+y x 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（二）、利用椭圆的几何性质求标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1） 经过点P （-3,0），Q （0，-2） （2）焦点在x 轴上，长轴长是12，离心率是3
2；
变式训练：已知椭圆的长轴长是20，离心率是35
，求椭圆的标准方程。
三、拓展提升
已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直，则此椭圆的离心率e=_______.
变式训练：若椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形, 则此椭圆的离心率e=_______.
课堂小结
（1）、知识收获：
（2）、数学思想：
课后作业。
北师大高中数学选择性必修第一册2.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质【课件】
又因为2a＝3×2b，所以a＝3，b＝1，方程为 ＋y2＝1.
②若焦点在y轴上，设方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过P(3，0)，所以 ＋ ＝1.
又因为2a＝3×2b，所以a＝9，b＝3，
所以方程为 ＋ ＝1，
2
所以所求椭圆的方程为 ＋y ＝1或 ＋ ＝1.
率为
A.
C.
(A)
1
2
3－1
2
B.
3
2
D.
3
3
解析：设椭圆的半焦距为c，可得|＋ |＝| − |＝| |＝2| | ＝2c，
又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
可得△PF1F2为等边三角形，
即有|PF2|＝2c，则P为椭圆与y轴的交点，可得|PF2|＝ ＋ ＝a，所以2c
C. 5
D. 2 5
解析：(1)椭圆 ＋ ＝1中有a2＝25，b2＝16.
所以c2＝a2－b2＝9，得c＝3.
由方程知椭圆的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0， ±3). 故选A.
(2)由题意可得a＝2，b＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c＝ －＝ ，从而2c＝2 . 故选B.
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
短轴长＝ 2b，长轴长＝2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
对称轴 x轴和y轴 ，对称中心 (0，0)
教案教学设计中职数学拓展模块2.1.2椭圆的几何性质
2.1.2椭圆的几何性质
课型
新授
第几
课时
1～2
课
时教学目来自标（三维）了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，大胆探索椭圆几何性质，激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神和扎实严谨的科学态度。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长
例1、求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标。
解：由椭圆的标准方程得
椭圆的长轴长是:2a=10,椭圆的短轴长是:2b=8
焦点坐标是:F1(-3,0),F2(3,0)
四个顶点坐标是:
说明：例1是一种常见的题型，在以后的有关圆锥曲线的问题中，经常要用到这种题型，说它是一种题型不如说它是一种要经常用到的“基本计算”
所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
（3）顶点：
在椭圆 ）中
令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（0， ），
令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（ ，0）。
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
A、x2＝y
B、x2＋2xy＋y＝0
C、x2－4y2＝5x
D、9x2＋y2＝4
练习：求椭圆 的长轴长、短轴长、和顶点坐标
思考：观察不同椭圆，我们发现椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？
教师利用几何画板演示
练习、下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？
三、归纳小结
2.1.2-椭圆的简单几何性质2
C）
A.长轴长 B.离心率 C.焦距 D.准线方程
小结： 椭圆的第一，第二定义要灵活运用。
布置作业：P42 A组5、6
椭圆的第二定义
复习提问：椭圆的几何性质，x2 /a2+y2 /b2=1 ⑴范围：︱x︱≤a，︱y︱≤b （a为长半轴，b为短半轴）。
⑵对称性：椭圆关于X轴对称，关于Y轴对称。关于原点对 称，原点为椭圆的对称中心。
⑶顶点坐标：顶点坐标为（a，0），（-a，0），（0，b），（0， -b）。 ⑷离心率：e=c/a，0＜e＜1，a＞c＞0
2.椭圆x2/a2+y2/b2=1的两焦点F1，F2三等分准线间的距离, 则它的
离心率为 （B ）
A.√3/2 B.√3/3 C.√6/3 D.√6/6 3.如果椭圆x2/25+y2/9=1上有一点p到它的左准线的距离为2.5,
那么p到右焦点的距离为 8
4.常数的轨迹称为椭圆。 F称为椭圆的焦点，
Y M
定直线称为与F相应的准线。 由于椭圆有两个焦点，所以椭圆有两
oF
X
条准线,这两条准线均垂直于长轴。
椭圆的第二定义的数学语言可用下式来表达：MF e
点拔（1）上式蕴含方程和转化这两种数学思想。
d
（2）点M到焦点F的距离称为焦半径。
（3）焦半径公式：MF a exM
椭圆的标准方程。
x2
y2
思考：若方程 m2 (m 1)2 1 表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
例3：已知点P在椭圆5x2+9y2=45上，点A（1，1）是
椭圆内一点，椭圆的右焦点F，当点P位于何处时，
PA
3 2
PF
取得最小值。
教学设计3：2.1.2椭圆的简单几何性质
2.1.2椭圆的简单几何性质教学目标1.知识与技能掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．重点难点重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好：①让学生自主探索新知；②重难点之处进行反复分析；③及时巩固．椭圆的简单几何性质问题导思1．观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的形状，图2－2－2你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？【答案】椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．2．如何由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？【答案】只要令x＝0或y＝0求解即可．椭圆的离心率问题导思1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，若令a不变，b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c的情况如何？【答案】当a值不变，b越大，即c越小时，椭圆形状越圆；b越小即c越大时，椭圆形状越扁．2．若用ca来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？【答案】ca越小椭圆形状越圆；ca越大椭圆形状越扁．(注意：0＜ca＜1)1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．例题解析例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把已知方程化成标准方程2222154x y +=，于是5,4, 3.a b c ====椭圆的长轴长和短轴长分别是210,28,a b == 离心率35c e a ==， 两个焦点坐标分别为12(3,0)(3,0)F F -，，四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4).A A B B --1212121122().,,.,.,|| 2.8 ,|| 4.5 .,.0.1 BAC F F F F BC F F F B cm F F cm BAC cm ⊥==例如图，一种电影放映灯泡的反射镜是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点上片门位于另一个焦点上由椭圆一个焦点发出的光线经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知试建立适当的坐标系求截口所在的椭圆方程（精确到）解：题图标设椭圆为2222建立如干所示的直角坐系,所求方程x y +=1.a b122在Rt ΔBF F 中,|F B|= 椭圆质12由的性知, |F B|+|F B|=2a,所以(1211a =(|F B |+|F B |)= 2.8 4.1;22≈3.4.b ==≈2222x y 所以,所求的椭圆方程为+=1.4.1 3.425 (,)(4,0):44.5M x y F l x M =例3点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹25:44 ,5l x MF P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设d 是点M 到直线的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得221.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.例4 已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?【解析】作出直线l 及椭圆（如图）.观察图形,可以发现,利用平行于 直线l 且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解:由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交（为什么?）.设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成224501259,,x y k x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程 222582250-y x kx k ++=消去，得，令方程②的根的判别式△=0，得22644252250().k k -⨯-=解方程③，得122525,.k k ==-或由图可知，当k =25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x -5y +25=0直线m 与直线l 间的距离d ==max d ==根据椭圆的方程研究其几何性质 当堂训练1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A ．81B ．9C ．18D ．45 【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆6x 2＋y 2＝6的离心率为( )A.56B.306C.16D.66【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，∴a 2＝6，b 2＝1，∴c 2＝5，∴e ＝c a ＝56＝306.【答案】 B3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 【解析】 方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2×2，∴m ＝14. 【答案】 C4．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ， ∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，∴{ a ＝23，c ＝3，从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
第六十二课时--2.1.2椭圆的简单几何性质(2)
一 复习回顾
（1）椭圆的定义：
在平面内到两定点 的距离之和等于 定长2a（ 2a＞ ）的点的轨迹为椭圆.
定点F１、F２叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
（2）椭圆的标准方程
焦点在x轴上
y M F2 x
焦点在y轴上
y
F1 M
F1
O
O
F2
x
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A1(-a, 0)
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
y
o
B1(0,-b)
2
2
B2(0,b) A2 (a, 0)
x
回顾： 焦点坐标(±c，0)
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a 短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c
| MF | 4 PM | . d 5
y
M
d
F
由此得
x 4
H
2
y2
25 x 4
4 . 5
O
x
l
将上式两边平方 , 并化简, 得
2 2 x y 9 x 2 25 y 2 225, 即 1. 25 9
图2.1 12
所以, 点 M 的轨迹是长轴、短轴长 分别为10、 6 的椭圆图2.1 12.
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
长半轴长和短半轴长；
②
F1 a
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B2F2|=a； a2=b2+c2，
高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质‘教案 北师大版选修2-1
2．1．2 椭圆的简单几何性质◆知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ．（iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =m 的值． 解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有5,,5a b m c m ===-5255m-=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,5,5a m b c m ===-510253m m m -=⇒=． 例 5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b +=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c =-．◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．。
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c e a
a2=b2+c2
思考 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过直线 3 x 4 y 12 0 和两坐标轴的交点;
6 ⑵经过(3，0)点且离心率等于 ; 3
14 ). ⑶经过两点 (2, 2 ) 与 (1, 2
25 例 2 : 点M( x, y )与定点F(4,0)的距离和它到直线l : x = 4 4 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹. 5
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）给椭圆下一个新的定义
平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的 比是常数 e c (0 e 1) 的点的轨迹.
a
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
x 2 y 1 上的点的 思考: 焦点 F(1，0)到椭圆 2 1 . 2 最大距离是 2 2
x y 2 1 上的任一点, 则 解:设 P ( x0 , y0 ) 椭圆 2 2 2 2 x ∵ PF ( x0 1) y0 ( x0 1)2 1 0 2 x0 2 x02 4 x0 4 x0 2 = = 2 x0 2 = 2 2 2
∵ 2 ≤ x0 ≤ 2 ∴当 x0 2 时, PF 取得最大值为 1 2
(4)求经过点A(3 , 3 ),B(2,3)的椭圆的 标准方程。
椭圆的几何性质 (二)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
----坐标法求轨迹方程 2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时
当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
标准方程 范围 对称性 顶点坐标
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
d
H
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 变式：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
|x|≤ a,|y轴成轴对称；关于原点成中心对称
焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
2
x0 y0 2 1 , 2
取任一点来 分析,试求距 离的函数表 达式,转化为 求函数最值 问题.
求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0) (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0) (3)中心在原点,且经过点p(3,0),a=3b