不等关系与不等式
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
不等式关系与不等式
不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。
2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。
不等关系与不等式
一、不等关系是普遍存在的
想一想, 举出几个现实生活 中与不等关系有关的例子?
二、用不等式（组）来表示不等关系
不等式
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关 系的式子叫不等式。
“不等号”是英国数学家哈里奥特 （T.Harriot）于1631年开始使用的，但当时并 没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐 渐成为标准的应用符号。
二、用不等式（组）来表示不等关系
问题1 今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为9℃，明天白天的最高温度为16℃ ，那 么明天白天的温度t℃满足什么关系？
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
例３．如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,x 的范围？ y
例４：已知a>b>0,c>d>0，求证：a d
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
作业 ：
必修5第75页 习题3.1 A组4、5； B组1、3
3x y
x
N
*
y N *
Hale Waihona Puke 必修5 第74页a+b ≥0 h4
新课讲授
2.文字语言与数学符号间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式
不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
不等关系与不等式
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ ( a 3)( a 5) ( a 2 )( a 4 )
变形
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号
确定大小
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
b a
例 4 .当 p , q 都 为 正 数 且 p + q = 1 时 ， 试 比 较 代 数 式 (px qy ) 与 px qy 的 大 小
2 2
>
练习2. 比较下列各组中两个代数式的大小 :
(1)当x 1 , x 与x x 1; 时
3 2
(2) x y 1与2( x y 1).
2 2
练3. ,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半 甲 路程的速度为v1 , 而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2 . : 两人中谁先到达B地 ? 问
• • • •
作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形 式． • (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． • (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论．
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不等关系与不等式
知识回顾
一、不等式性质：
1.a ＞b ⎛ b ＜a .(反身性)
2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性)
3.a ＞b ⎛ a+c ＞b+c.(平移性)
4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ；
a ＞
b ，
c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性)
5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性)
6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性)
7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性)
8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性)
二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a <b ；如果a <b ，则a －b 为负数； 如果a －b 等于零，则a =b ；如果a =b ，则a －b 等于零。
判断两个实数大小的依据是：
000
a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-< 三、作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小. 例题与练习
例1． 比较x 2－x 与x －2的大小。
例2.比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小
例3.已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a m
a
+>
+
2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；
2
3.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及
a b
的取值范围；
1.若0a b <<，则下列结论不正确的是
.A 22a b < .B 2ab b < .C 2b a
a b +> .D a b a b -=-
2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b
-
>-
”成立的
.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不
必要条件
3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈，
()
2553223
(,)a b a b a b a b R +≥+∈，
()
322
2(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为
.A 0 .B 1 .C 2 .D 3
4.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac
5.若,
a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是
.
A b
a
11<
.B 22b a > .
C 1
1
2
2
+>
+c
b c
a .D ||||c
b
c a >
6.若0a >，0b >，则不等式1b a x
-<
<等价于
.A 10x b
-
<<或10x a
<< .B 11x a b
-<<
.C 1x a
<-或1x b
>
.D 1x b
<-或1x a
>
7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<
D ．{}|21x x -≤-<
8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；()
20a b d c +<；
()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4。