行程问题(题)

一、 相遇与追及1路程和路程差公式 【例11如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A .甲在路口 A 南边560米的B 点, 乙在路口 A •甲向北，乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距 A 的距离相等•再继续行 走24分钟后，二人距 A 的距离恰又相等•问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【题型】解答【考点】行程问题 【难度】3星【关键词】2003年，明心奥数挑战赛【解析】 本题总共有两次距离 A 相等，第一次：甲到 A 的距离正好就是乙从 A 出发走的路 程.那么甲、乙两人共走了 560米，走了 4分钟，两人的速度和为： 560 4 140（米/分）。

第二次：两人距 A 的距离又相等，只能是甲、乙走过了 以北走的路程 乙走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了 20（米份），甲速20 ,解这个和 60（米/分）. A 点，且在A 点 米，共走了140 ,显然 题，甲速 560 4 24 28（分钟），两人的速度差： 甲速要比乙速要快；甲速 （140 20） 2 80（米 / 分），乙速 【答案】甲速80米/分，乙速60米/分 2、多人相遇 【例21有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现 在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6分钟后，甲 又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米 ？行程问题 【难度】2星 甲、丙6分钟相遇的路程： 560 28 140 80 乙速 【考点】 【解析】100 75甲、乙相遇的时间为： 1050 80 75 东、西两村之间的距离为: 100 80 【题型】解答6 1050 （米）; 210（分钟）; 210 37800 （米）. 【答案】 3、多次相遇 【例31甲、乙两车分别同时从 A 、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95千米处相遇.相 遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25千米处相遇.求 A 、B 两 地间的距离是多少千米？ 【考点】行程问题 37800米【难度】2星 【题型】解答 【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：B■车处2次制遇可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A 、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个 A 、B 两地间的距离•当甲、乙两车共行了一个A 、B 两地间的距离时，甲车行了 95千米，当它们共行三个 A 、B 两地间的距离时，甲车就行了 3个95千米，即95 >3=285 （千米），而这 285千米比一个 A 、B 两地间的距离多 25 千米，可得：95 >3-25=285-25=260（千米）.【答案】260千米二、 典型行程专题1、火车过桥【例4】某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与 另一列长150米•时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 【考点】行程问题之火车问题【难度】3星【题型】解答a ） 根据另一个列车每小时走 72千米，所以，它的速度为： 72000 -3600 = 20 （米/秒），某列车的速度为：（25O - 210） -（25-23）= 40 -2= 20 （米/秒）某列车的车长为： 20 >25-250 = 500-250 = 250 （米），两列车的错车时间为： （250 + 150） -（20+ 20）=400 -0= 10 （秒）。

【答案】10秒 2、流水行船【例5】甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行 3.3千米，乙艇每小时行 2.1千米•现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距艇于途中相遇后， 又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地. 米.【关键词】2009年，学而思杯，六年级【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和,用的时间为27 （3.32.1） 5小时.相遇后又经过 4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶 27千米需要5 4 9小时，那么甲艇的逆水速度为 27 9 3（千米/小时），则水流速度为3.3 3 0.3（千米/小时）.【答案】0.3千米/小时 3、猎狗追兔【例6】猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40米，猎狗去追兔子。

已知猎狗跑 2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑 7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗 可以追上它？ 【考点】行程问题之猎狗追兔【难度】3星【题型】解答【解析】设狗跑2步的时间为1（分钟），兔跑3步的时间也为1（分钟）;再设狗的步长为7（米）,则兔的步长为 4（米），推出狗的速度是 2 X7=14，兔的速度是 3 >4=12。

用40 （ 14 —12） =20, 20为追击时间。

再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程，即 12 >20=240 （米）。

27千米的上游下行，两 水流速度是每小时 _______ 千【考点】行程问题之流水行船【难度】2星 【题型】填空所以它们从出发到相遇所【答案】240米 4、环形跑道【例7】甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60米处又第二次【题型】解答1-圈的路程，当甲、乙第二 21 3次相遇时，甲乙共走完1+丄=3圈的路程•所以从开始到第一、二次相遇所需的2 2时间比为1: 3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程3的3倍，即100 3=300米.有甲、乙第二次相遇时，共行走 （1圈一60）+300，为-2到达B 地时，乙离 A 地还有10千米.那么 A 、B 两地相距多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3星【题型】解答【解析】出发时，两车的速度之比为5:4 ,所以相遇以后两辆车的速度之比为5 1 20% :4 1 20%5: 6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5： 4，所4以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的-，9 48当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的-5 6 —,距离A 地还有圈，所以此圆形场地的周长为 480 米.480米【答案】 5、走停问题【例8】小红上山时每走30分钟休息10分钟, 山的速度是上山速度的 2倍， 行程问题之走停问题 【考点】如果上山用了 【难度】 下山时每走30分钟休息5分钟•已知小红下3时50分，那么下山用了多少时间？ 3星【题型】填空【解析】 上山用了 3时50分，即 山休息了 5次，走了 230-10 5=180 （分）•因为下山的速度是上山的山走了 180 2=90 （分）•由90 -30=3知，下山途中休息了90+5 >2=100 （分）=1 时 40 分•1时40分60 >3+50=230（分），由230 （ 30+10） =5……3,0得到上 2倍，所以下 2次，所以下山共用 【答案】 6、变速问题【例9】（时间相同模型）甲、乙两车分别从 甲，乙的速度之比是 5: 4，相遇后甲的速度减少 A 、B 两地同时出发，相向而行•出发时，20%，乙的速度增加 20% .这样当甲9 154 8 1 11 ，所以A、B两地相距10 450千米.9 15 45 45【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答【答案】450千米 【例10】（路程相同模型）一列火车出发1小时后因故停车 0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚 1.5小时•若出发 1小时后又前进 90公里再因故停车 0.5小时，然后同样以原速的 3/4前进，则到达目的地仅晚 1小时，那么整个路程为多 少公里？0.5小时，然后以原速的 -前进，最终到达目的地晚 1.54 3前进的时间比原定时间多用 1.5 0.5 1小时，而速度为43 44原来的-，所用时间为原来的4，所以后面的一段路程原定时间为1 （- 1） 3小4 33时，原定全程为 4小时；出发1小时后又前进 90公里再因故停车 0.5小时, 然后同样以原速的 3前进，则到达目的地仅晚1小时，类似分析可知又前进90公4 4里后的那段路程原定时间为（1 0.5） （- 1） 1.5小时.所以原速度行驶90公里3 需要1.5小时，而原定全程为4小时，所以整个路程为90 1.5 4 240公里.【答案】240公里 7、自动扶梯 【例11】小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼， 那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星比小志多走了 60 56 4级，这4级台阶实际上是小志多走的8秒钟内，电梯 缩”进去的，因此电梯的运行速度为每秒半个台阶，那么在小刚登梯的20秒内，电梯也 缩”了 10级，所以电梯所能见到的部分是 60+10=70级，所以，小志攀登静止的 电梯分别需要用时 70乞=35秒.【答案】35秒8、发车间隔【例12】 某人沿着电车道旁的便道以每小时 4.5千米的速度步行，每 7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速 度不停地往返运行.问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？ 【解析】设电车的速度为每分钟 x 米.人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟75米.根 【考点】行程问题之变速问题【难度】3星 【题型】解答 【解析】出发1小时后因故停车小时，所以后面以原速的 2个台阶和每秒3个台阶，分别用时28秒和20秒, 【题型】解答a ）小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了28 256级和20 360级，小刚据题意可列方程如下：x 75 7.2 x 75 12，解得x 300，即电车的速度为每分钟300米，相当于每小时18千米•相同方向的两辆电车之间的距离为：300 75 12 2700 （米），所以电车之间的时间间隔为：2700 300 9（分钟）. 【答案】9分钟9、接送问题【例13】甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间【考点】行程问题之接送问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图所示：ABC•----------------- O--------------- 0 --------D E F ------ O --------------- D--------------- O --------------- O----------------D ---------------«虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍,所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离，……如此大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大巴车共行驶了28千米，所花的总时间为28/55小时.【答案】28/55小时10、钟表问题【例14】小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？【考点】行程问题之时钟问题【难度】2星【题型】解答1 4【解析】9点和10点之间分针和时针在一条直线上的时刻为：15 1 16（分），12 11时针与分针第一次重合的时刻为：45 1丄49丄(分),所以这道题目所12 11用的时间为：49 丄16- 32—（分）11 11 11【答案】32-分11三、综合行程(主要运用比例法)【例15】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B 地2400米处相遇•如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答a)第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 —2400) : 2400 =2 :1 ,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3 •乙的速度提高3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于2 2速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的——一•两种情况相比，甲3 2 5的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为2 27200 ( ) 10 192 (米/分) •3 5【答案】192米/分【例16】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是_________ 米.发，按逆时针方向跑.由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑12 5圈，所以此时甲跑了 1 (5 2) 2 -，乙跑了 -;此时双方速度发生变化，甲的3 3速度变为2 (1 25%) 2.5，乙的速度变为5 (1 20%) 4，此时两者的速度比为2.5:4 5:8 ;乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了5 51 (8 5) 5 5，这个5就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程. 从环形【考点】环形跑道与变速问题【关键词】2003年，迎春杯【难度】2星【题型】解答【解析】如图，设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5 •假设甲、乙从A点同时出3 3跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离, 长，又可能是2 51个周长.3 32 1那么，这条环形跑道的周长可能为 100 - 150米或100 - 300米.3 3【答案】300米或150米【例17】 A 、B 两地位于同一条河上， B 地在A 地下游100千米处•甲船从 A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来路线返航.水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同. 如果两船两次相遇的地点相距 20千米，那么两船在静水中的速度是 ____________ 【例18】 ________ 米/秒• 【考点】行程问题与几何综合【难度】4星【题型】填空【关键词】2009年，迎春杯，复赛，高年级组 【解析】本题采用折线图来分析较为简便.如图，箭头表示水流方向， A C E 表示甲船的路线，B D F 表示乙船的 路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同， 所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同， 那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道， M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说 两次相遇地点与 A 、B 两地的距离是相等的•而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了 100 20 2 40千米和100 40 60千米，可 得两船的顺水速度和逆水速度之比为 60: 40 3: 2 • 而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2倍，即为 4米/秒，可得顺水速度为43 2 3 12米/秒，那么两船在静水中的速度为 12 2 10米/秒.【答案】10米/秒5 2既可能是- 1 -个周3 3。