无序散乱点云的表面重建
曲面重建技术
曲面重建技术
曲面重建技术是通过对点云数据进行处理和分析，从而重建出曲面模型的一种技术。
常见的曲面重建技术包括以下几种：
1. Delaunay三角网格：该方法将点云数据转换为三角网格，
通过最小化三角形的边长和最大化角度来生成平滑的曲面。
这种方法适用于点云密度较高且曲面比较平滑的场景。
2. 体素网格(Voxel Grid)：通过将点云数据划分为一系列小的
立方体单元，然后分析每个单元内的点云分布情况，从而确定曲面的形状。
该方法适用于处理点云分布不均匀且曲面存在较大变化的情况。
3. 法向量估计：利用点云数据中的法向量信息来推测曲面的形状。
通过计算每个点的邻域内点的平均法向量，可以得到点云数据的平滑曲面。
该方法对于点云数据中存在噪音和不完整的情况具有较好的鲁棒性。
4. 基于隐函数的方法：用函数来表示曲面，在点云数据的基础上拟合出一个适合曲面的隐函数，并使用隐函数的等值面来表示曲面模型。
这种方法可以较好地处理点云数据中存在噪音和不完整的情况，但对于大规模点云数据的处理较为复杂。
以上仅是一些常见的曲面重建技术，根据具体应用场景和需求，可以选择合适的方法进行曲面重建。
如何进行不规则地形的三维重建
如何进行不规则地形的三维重建近年来，随着科技的不断发展，三维重建技术在各个领域得到广泛应用。
而在不规则地形的三维重建方面，由于地形复杂多变，存在诸多挑战和难点。
本文将探讨如何进行不规则地形的三维重建，并介绍一些相关的技术和方法。
一、激光扫描技术激光扫描技术是不规则地形三维重建的一种常用方法。
它通过利用激光器发射激光束，然后接收激光束的反射信号，从而获取地形表面的激光点云数据。
这些数据可以通过计算机软件进行处理，得到地形的三维模型。
在进行激光扫描时，需要选择合适的扫描设备和设置扫描参数。
一般情况下，高精度的激光扫描设备可以提供更准确的数据，但也会增加成本和操作难度。
因此，在选择激光扫描设备时，需要综合考虑实际需求和预算。
同时，合理设置扫描参数，如激光发射频率、角度分辨率等，可以在一定程度上提高数据质量和处理效率。
二、摄影测量技术除了激光扫描技术，摄影测量技术也是不规则地形三维重建的一种常用方法。
通过航空或地面摄影，获取地形的影像数据，并利用影像处理技术进行三维模型的生成。
在进行摄影测量时，需要注意摄影设备的选择和设置。
一般情况下，高分辨率的相机可以提供更清晰的影像，但也可能增加数据处理的难度和时间。
因此，需要根据不同场景和需求，选择适宜的摄影设备。
同时，合理设置相机参数，如快门速度、焦距等，可以提高影像质量和模型重建的效果。
三、数据处理与分析在获取地形数据之后，需要通过计算机软件进行数据处理与分析，以生成地形的三维模型。
这个过程中，一般包括数据的点云配准、拼接、滤波、表面重建等步骤。
点云配准是将不同位置、角度获取的激光或影像数据进行对准，以消除误差和重叠区域不一致带来的问题。
拼接是将配准后的数据按照一定规则进行组合，以形成完整的地形模型。
滤波是对点云数据进行处理，去除可能存在的噪点和异常值，以提高模型的真实性和精度。
表面重建是将点云数据转化为连续的地形表面，一般采用三角网格等方法来实现。
四、不规则地形三维重建的应用不规则地形三维重建技术在许多领域都有广泛的应用。
possion表面重建 向量场散度
英文回答：Postsion surface reconstruction is an important graphic reconstruction method that can recreate a smooth curve based on known cloud data. A key step in the reconstruction of the possion surface is to calculate the dispersion of vector fields. Vector field is a vector function defined at any point in space, which can be used to describe fluid motion, force field distribution, etc. The dispersion of the vector field is a measure of the difference between the source and the flow of the vector field, thus helping us to understand the characteristics of the fluid or force field. This technology is important under current policy for scientific research and engineering practice and helps to refine the approach and policy.possion表面重建是一种重要的图形重建方法，它可以根据已知的点云数据来重建出一个平滑的曲面。
在possion表面重建中，一个关键的步骤就是计算向量场的散度。
向量场是一个在空间中任意点上都有定义的向量函数，它可以用来描述流体的运动、力场的分布等。
三维扫描仪人体点云数据建模探讨
⑶ 扫描仪所获取的人体表面数据是以文本(.txt)格式存储的。人体数据 分为六个部分，即肩头部、躯干、左右臂、左右腿。
数据点云
人体截面示意图
点云预处理概述及点云的分类
点云（Point Cloud）：通常是指由坐标测量机和激光扫描仪所测得的实物
三维空间点集。最小的点云只包含一个点，而高密度点云则可达几百万
提取方法：
（1）根据服装学和人体测量学定义，分析尺寸和特征点的 几何特征。 （2）从三角片人体模型中寻找特征点，或者在直线或平面 与人体模型的交线上搜索特征点，找到特征点的位置。 （3）通过与人体模型求交或者直接连线而得到尺寸信息， 人台特征尺寸的提取包括颈围、胸围、 腰围。
人体关键特征点
例如：胸围尺寸提取
胸围：在胸围高度附近的最大水平围度。
具体提取方法：
（1）估计胸围所在人体模型高度区域 H1、H2，并且 H1<H2，比较该 区域[H1，H2]内所有前后方向 Z 坐标值，找到人体中心左右两侧两个最 大值 LZmax、RZmax，最大值对应的那两个点即为左、右胸高点。 （2）当左右胸高点的高度坐标不一样时（如 LZ≠RZ） 可以取平均值， 然后修改胸高点的高度坐标。
缺点：不可避免地会丢失人体扫描数据的一些细节信息。 实践证明：基于线架的服装人台曲面模型在人台模型表示的准确性，建模效率以及
三维人台模型的可控性之间找到了一个很好的平衡。目前该方法已经移植到用户 的三维服装CAD系统中，开始应用。
三维人体扫描生成服装样板
无序点云 人体 提取人体特征 三角化 人体mesh模型 人体聚类分割 聚类区域 多边形展开 多边形回归
曲面填充和拼接
具体方法：以能量模型为优化目标函数，以4条边界B样条曲线作为约
表面重建几种方法
表面重建几种方法表面重建是计算机视觉和图像处理领域的一个重要研究方向，旨在通过从有限的输入信息中还原出物体的三维形状。
在本文中，我将探讨几种常用的表面重建方法，并分享我的观点和理解。
首先，我想介绍的是基于点云的表面重建方法。
点云是一组离散的三维点，通常通过激光扫描或结构光投影等技术获取。
基于点云的表面重建方法通过将这些点连接起来，构建物体的三维表示。
其中一种常见的方法是基于三角网格的重建方法，它使用点云中的点来生成一个尽可能贴合物体表面形状的网格。
这种方法的优点是高效且结果比较准确，但对点云的稠密度和质量有一定要求。
第二种方法是基于图像的表面重建方法。
这种方法利用从不同角度拍摄的图像来还原物体的三维形状。
算法首先通过图像匹配或特征提取等技术获得图像间的对应关系，然后利用三角测量等方法计算出点的位置，并根据这些点生成三维模型。
基于图像的表面重建方法适用于具有纹理和颜色信息的物体，但对图像质量和相机参数等要求较高。
第三种方法是基于体素的表面重建方法。
体素是三维空间中的一个小单元，类似于像素在二维图像中的作用。
基于体素的表面重建方法将物体表示为由体素组成的体素网格，并通过插值或拟合等技术将其转化为表面网格。
这种方法的优点是能够处理不规则形状和边界，并且相对稳定，但对计算资源要求较高。
综合上述几种方法，我认为表面重建是一个复杂而又关键的问题。
不同的方法有各自的优势和适用场景，选择合适的方法取决于输入数据的类型和质量，以及具体应用的需求。
此外，表面重建还面临一些挑战，如数据噪声、遮挡和局部细节等问题，需要进一步研究和改进。
总结回顾一下，本文介绍了三种常用的表面重建方法：基于点云的方法、基于图像的方法和基于体素的方法。
每种方法都有其独特的适用场景和优缺点。
在实际应用中，我们应根据具体需求选择适合的方法，并结合对数据质量和计算资源的考虑来进行表面重建。
未来，随着技术的不断发展，我相信表面重建方法将会更加成熟和高效。
点云处理和三维重建技术的研究进展
点云处理和三维重建技术的研究进展近年来，随着计算机视觉和图像处理技术的快速发展，点云处理和三维重建技术在许多领域得到了广泛的应用。
点云处理是指对从传感器或其他数据源获取到的点云数据进行分析和处理的过程。
而三维重建技术则是将点云数据转化为能够表示三维物体形状和结构的模型。
点云处理和三维重建技术的研究进展可以追溯到几十年前，但近年来的技术突破和算法创新使得这两个领域取得了革命性的进展。
以下将对点云处理和三维重建技术的最新研究进展进行介绍。
在点云处理方面，最新的研究成果主要体现在点云数据的感知、滤波和特征提取等方面。
由于采集到的点云数据可能会包含噪声或无用信息，因此对其进行滤波处理是非常重要的。
研究人员已经提出了多种滤波算法，如基于统计学的滤波、基于形态学的滤波和基于机器学习的滤波等。
这些算法能够有效地降低噪声和误差，提高点云数据的质量。
此外，点云数据的特征提取也是研究的热点之一。
通过提取点云数据的特征，可以进一步分析和识别其中的目标物体或区域。
最新的方法采用了深度学习和卷积神经网络等技术，能够自动学习和提取点云数据的特征，取得了非常好的效果。
这些技术不仅可以应用于目标检测和分割等领域，还可以推动点云数据的理解和认知研究。
在三维重建技术方面，传统的方法主要是基于几何特征的重建，例如基于立体视觉的立体重建和基于轮廓的物体重建等。
然而，这些方法通常需要大量的手工操作和人工标注的数据，难以普遍应用于大规模的场景。
因此，研究人员提出了许多基于深度学习的三维重建方法，如基于神经网络的点云重建和基于生成对抗网络的三维模型生成等。
这些方法能够从单个或少量的观测数据中学习并生成高质量的三维模型，极大地提高了重建效果。
除了点云处理和三维重建技术的研究进展，还有一些相关的领域也值得关注。
例如，点云数据的场景分析和语义分割等问题是当前研究的热点。
通过对点云数据进行场景分析和语义分割，可以将不同的点分到其所属的物体或类别中，实现对场景的全面理解和把握。
简述激光雷达点云数据的处理应用
TECHNOLOGY APPLICATION简述激光雷达点云数据的处理应用王红艳，郑伶杰，陈献娜（郑州智象测绘信息技术有限公司，河南 郑州 450000）摘 要：随着计算机的出现和迅速发展，计算机科学、数字图像处理、人机交互等相关学科的应用使得虚拟现实、逆向工程、数字城市等新名词相继出现并开始应用。
对于逆向工程广为研究的今天，数据处理是其不可或缺的环节，因此,激光雷达点云数据的获取、处理、应用成为当前研究的新课题。
关键词：激光雷达；点云激光雷达（Light Detection and Ranging，简称LiDAR）是利用激光测距原理确定目标空间位置的新型测量仪器，通过逐点测定激光器发射信号与目标反射信号的相位（时间）差来获取激光器到目标的直线距离，再根据发射激光信号的方向和激光器的空间位置来获得目标点的空间位置。
目前LiDAR系统主要分为两大类，即机载LiDAR 系统和地面LiDAR系统。
其中地面LiDAR系统是一种集成了多种高新技术的新型测绘仪器，采用非接触式高速激光测量方式，可以对地形及复杂物体进行快速扫描，获得物体表面三维的阵列式几何图形数据，即LiDAR影像数据(Range Image)，由于数据点非常密集，数据也被称为点云(Point Cloud)。
点云是三维空间中的数据点的集合，最小的点云只包含一个点（称孤点或奇点），高密度点云高达几百万数据点。
1.点云的分类为了能有效处理各种形式的点云，根据点云中的点的分布特征将点云分为：（1）散乱点云测量点没有明显的几何分布特征，呈散乱无序状态。
随机扫描方式下的CMM、激光雷达测量仪等系统获得的点云呈散乱状态。
（2）扫描线点云点云由一组扫描线组成，扫描线上的所有点位于扫描平面内。
CMM、激光点三角测量系统沿直线扫描的测量数据和线结构光扫描测量数据呈现扫描线特征。
（3）网格化点云点云中所有点都与参数域中一个均匀网格的顶点对应。
将CMM、激光扫描系统、投影光栅测量系统及立体视差法获得的数据经过网格化插值后得到的点云即为网格化点云。
点云三维重建算法
点云三维重建算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：近年来，在计算机视觉和图像处理领域，点云三维重建算法受到了广泛关注和研究。
点云三维重建是指通过离散的点云数据集合生成三维模型的过程，这种技术在工业制造、虚拟现实、机器人导航等领域都有着广泛的应用。
一、点云三维重建的基本原理点云三维重建的基本原理简单来说就是将二维图像或者三维传感器采集到的点云数据转化为三维模型。
在实际应用过程中，首先需要通过激光雷达、摄像头或者其他传感器采集目标物体的点云数据，然后通过一系列算法对点云数据进行处理，将其转化为可视化的三维模型。
在点云处理过程中，通常会涉及到点云的重构和优化两个步骤。
点云的重构是指将采集到的离散点云数据转化为平滑的曲面或者多边形网格，这个过程通常会使用插值算法或者表面重建算法来完成。
而点云的优化则是指在重构完毕之后，对生成的三维模型进行进一步的优化，使其更加符合实际物体的形状和特征。
二、常见的点云三维重建算法1. 基于表面重建的算法表面重建是一种常见的点云三维重建算法，它的基本思想是通过一系列的数学模型来拟合点云数据，并生成平滑的曲面或者多边形网格。
常用的表面重建算法包括移动最小二乘法、泊松重建、Marching Cubes等。
移动最小二乘法是一种通过拟合局部曲面进行点云重建的算法，它在处理大规模点云数据时具有较高的效率。
泊松重建则是一种利用泊松方程进行表面重建的算法，它能够在重建过程中保持模型的平满性和细节。
2. 基于深度学习的算法近年来，随着深度学习技术的快速发展，研究者开始将深度学习算法应用到点云三维重建领域。
基于深度学习的点云重建算法通常会使用卷积神经网络或者自编码器等结构，通过学习大量的点云数据来生成更加真实和精确的三维模型。
PointNet和PointNet++是两种基于深度学习的点云重建算法的代表作品。
PointNet通过设计一种特殊的对称函数来处理无序点云数据，并在此基础上构建了一个端到端的网络结构来实现点云的重建和分类。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要：我们描述并且说明一个算法，它需要输入一组无序的三维点云数据，这组点运数据在这个未知的流行M上或者附近，输出一个简单的近似于M的曲面。
无论是存在边界的拓扑结构，还是M的几何形状都被认为是5提前已知的，所有这些信息都是从数据中自动推断出来的。
这个问题自然出现在各种实际情况中，如从多个视角深度扫描一个对象，用二维切片恢复生物的形状，交互式曲面绘制。
附加关键：几何建模，曲面拟合，三维形状恢复，深度数据分析。
1 简介一般来说,我们感兴趣的问题可以表示如下:基于未知的表面的部分信息，尽可能构造表面的完整表示。
这类重建问题发生在不同的科学和工程应用领域中,包括：来自深度数据的曲面:由激光深度扫描系统采集的数据通常是从传感器到被扫描对象的距离矩形网格。
如果传感器和目标对象是固定的,只要目标对象是“可视”的，那么可以全数字化采集。
更复杂的系统,比如那些由控件实验室生产的产品,有能力通过旋转传感器或扫描对象来实现数字化圆柱形物体。
然而,拓扑结构更复杂对象的扫描,包括那些简单的有把手的咖啡杯(1属表面),或者如图1a所示的物体(3属表面),不能通过这两种方法完成。
为了适当的扫描这些对象,必须使用多个视图点进行扫描。
合并来自多个视图点扫描生成的数据点重建一个多面体并非是一项简单的任务。
从轮廓的表面:在许多医学研究中很常见的用切片机将生物标本切成薄层。
将感兴趣的结构的轮廓数字化。
问题是用这些二维轮廓重建三维结构。
虽然这个问题已经受到了大量关注,但是当前方法仍然存在着严重的局限性。
也许其中最重要的是自动处理分支结构的困难。
交互式表面绘制:许多研究人员,包括施耐德和埃森曼,研究二维曲线的产物，通过跟踪笔尖或鼠标的路径作为用户绘制所需的形状。
Sachs等人描述一个系统,称为3-Draw,这个系统允许创建三维自由曲线，通过记录笔尖的运动来模拟传感器。
这个可以扩展到自由曲面的设计通过忽略这些被记录位置的顺序,允许用户在曲面上任意反复的移动笔尖。
问题是重建的曲面要符合无序点的集合。
重建算法涉及的这些具有代表性的问题被精心的制作（具体情况具体分析），利用数据中的局部结构。
例如,算法解决来自轮廓的曲面的问题大量利用了数据被组织成轮廓的事实(例如封闭多边形),并且这些轮廓位于平行平面上。
同样的,专门的算法对于重建来自多个角度深度数据的曲面可能利用每个视角中的数据点的邻接关系。
相比之下,我们的方法是构建统一的普遍问题,它不假设在数据点上有任何结构。
这种方法具有理论和实践价值。
在理论方面,从普遍问题中抽象出来往往揭示了真正问题的关键方面。
在实践方面,这个算法可以解决普遍问题可以成为解决特殊问题的实例。
术语表面是指“紧凑,连接,可定向的二维流形,可能有边界,被嵌入到三维中”。
一个没有边界的曲面被叫做闭合曲面。
如果我们想要强调一个表面具有非空的边界,我们将称之为有边的曲面。
一个有多个用三角面的分段线性表面将称为简单曲面。
我们使用||x||表示向量x 的欧式距离,并且我们使用d(X，Y)表示点集X和Y之间的豪斯多夫距离(豪斯多夫距离仅仅是点集X和Y的两个最接近的点之间的距离)。
从点集X={x1,x2,x3,……xn}中抽取在或者临近未知曲面M的点。
在大多数采样过程中捕获误差,我们假设点集X中的每个点xi都是xi=yi+ei的形式,yi是未知曲面M上的点，并且ei 是一个三维的误差向量。
我们称这样的样本为X，ξ为噪声，如果对于全部的i,||ei||<ξ。
ξ的值可以在大多数应用程序中被估计(例如激光扫描仪的精度)。
M矩阵的特征与ξ相比之下是很小的，不容易恢复。
在发生抽样不足的区域恢复M的特征也是不可能的。
特别地,如果M是一个有边界曲面,如一个圆盘删除的球体,是不可能区分是曲面本身的孔洞还是抽样产生的孔洞。
为了捕捉采样密度的直觉概念,我们需要另一个定义:令Y = {y1，y2，y3，......yn}∈M是一个(没有噪声)表面为M样品。
样品Y据说是ρ密集的，如果有球体半径ρ和中心在M中，包含至少一个在Y中的样本点。
一个曲面M的有ξ噪声的样品{x1,x2,x3,....xn}∈R据说是ρ密集的，如果存在一个无噪声ρ密集的样品{y1,y2,...yn}属于M，例如xi=yi+ei,||ei||<=ξ,i=1,...,n。
问题陈述表面重建的目标是确定曲面M (参见图2f),它近似于一个未知的表面M(图1a),使用一个示例X(图1b)和关于抽样过程的信息,例如,噪声等级ξ和采样密度ρ。
我们正在努力完善条件关于原始表面M和样例X以至于允许M更可靠地重建。
工作仍然只是初步的,我们不能给保证这里给出的算法。
然而,该算法在实践中应用得很好,结果可以与原始表面进行对照(见第4节)。
2 相关工作曲面重建表面重建方法可以根据他们所代表的重建的表面的不同方式进行分类。
隐式重建方法试图找到一个光滑函数f:IR3->IR例如{x1,x2,...,xn} 是接近零集Z(f)。
相对于f的形式和近似的方法他们是不同的。
普拉特和Taubin采用平方和最小化豪斯多夫的距离，即从数据点到一个有三个变量的多项式的零集。
Muraki将f引入到一个线性组合的三维高斯内核中，使用不同手段和传播技巧。
他的拟合优度函数衡量f的密切值在近似于零的数据点上,以及f的零组的单位法线与数据的估计法线的匹配程度。
摩尔和沃伦拟合了一个递归地分段多项式,然后连续性使用一种他们称之为“自由形式混合”的技术。
与隐式重建技术相比,参数重建技术代表了重建表面作为一个从二维参数域A到IR3的拓扑嵌入f(A)。
先前的工作集中在简单拓扑的空间区域,例如平面空间和球面空间。
文献9中的黑斯蒂和Stuetzle以及文献26、17中的Vemuri讨论重建表面通过从一个平面区域A 到IR3的拓扑嵌入f(A)。
文献22、23中的Schudy和巴拉德以及文献4中的布林克利考虑轻微变形球的表面曲面重建问题,因此选择将A变成一个球体。
文献24中的Sclaroff和Pentland描述混合隐式/参数法使用变形的超二次曲面将一组点拟合成一个变形的球体。
与上面提到的技术相比,我们的方法有几个优点:它只需要一个无组织的在曲面上或接近的点集。
不需要额外的信息(如Muraki使用的方法需要的法线信息)。
与上述提到的参数曲面重建方法不同,它可以重建任意拓扑结构的表面。
与上述提到的隐士曲面重建方法不同,它以自然的方式处理边界,并且它不产生虚假的没有得到数据支持的表面组件。
表面重建与函数重建像“曲面拟合”这样的术语出现涉及到两个不同的类的问题:曲面重建和函数重建。
曲面重建的目的如前面所陈述的。
而函数重建的目标可能如下所述:给定一个表面M,一组点集{xi∈M},和另一组点集{yi∈R},确定一个函数f:M->R,例如f(xi)≈yi。
曲面M的区域最常见的是一个嵌入到IR3中的平面,在这种情况下,问题是一个标准在近似理论中被考虑。
情况是M被普遍的认为是一个球体。
在曲面这个标题下最近的一些关于曲面处理的工作，当M是一般曲面，例如飞机的表面。
功能重建的方法可用于曲面简单重建,在特殊情况下, 粗略地讲曲面重建是基于一个已知表面M的函数的曲线图。
认识到这些特殊情况有多么局限是很重要的——例如,不是每个曲面同胚的球体是球函数的图形。
我们想做点是函数重建不能被误解为可以解决一般表面重建问题。
3 算法描述综述我们的曲面重建算法由两个阶段组成。
在第一阶段,我们定义一个函数f:D->R，D∈R3是数据点附近的一个区域,f的估计为到未知的表面M的有符号的几何距离。
零集Z(f)是我们对M的估计。
在第二阶段中,我们使用一个轮廓线算法通过一个简单表面近似Z(f)。
虽然无符号距离函数|f|更容易估计,零不是一个常规的|f|的值。
然而,零是常规的f 值,因此近似隐函数定理保证了我们近似的Z(f)是流行。
对于定义有符号距离函数的关键是关联与每一个数据点所在的又向平面。
这些切线平面作为平面的局部线性近似。
虽然切平面的结构相对简单,它们方向的选择,给曲面定义一个全局一致的方向是算法面临的主要障碍之一。
如图2 b所示,切线平面没有直接定义曲面,因为他们的并集可能有复杂的非流行的结构。
相反,对于这些曲面我们使用切平面去定义有符号的距离函数。
一个简单曲面通过绘制有符号的距离函数的零组来获得的例子，如图2所示。
接下来的几个部分将更详细的说明算法的连续步骤。
切平面的估计为了定义一个有符号的距离函数第一步计算每个数据点有方向切平面。
与切平面Tp(xi)有联系德尔数据点xi被表示为中心点oi ,连同单位法向量ni。
任意点P∈R3对于切平面的Tp(xi)有符号距离函数被定义为disti(p)= n(p-oi).n。
Tp(xi)的中心与法线是由X中与Xi最接近的k个点的集合所决定的,这组点集用Nbhd(xi)来表示，并且被称为xi的k个最近邻。
（我们目前认为k是一个指定的参数,虽然在第五节中我们提出一个方法来自动确定k值。
）中心和单位法线被计算,这样平面{disti(p)= 0}对于Nbhd(xi)来说是最佳最小二乘拟合平面。
即中心oi被采集为Nbhd(xi)的质心,并且法线ni使用主成分分析来确定。
为了计算ni，构建Nbhd(xi)的协方差矩阵。
这是3*3半正定对称矩阵。
⊕表示向量运算的外积。
如果λ1>=λ2>=λ3表示CV的特征值与单位特征向量vi1vi2vi3,我们分别选择ni为vi3或-vi3。
选择决定切平面的方向,但是它必须这么做,使得附近平面“统一调整方向”。
统一切平面方向假设两个数据点xi,xj∈X在几何上接近。
理想情况下,当数据是很密集而且曲面光滑时,相应的切平面Tp(xi)=(oi，n i)和Tp(xj)=(oj，nj)是近似平行的,即nj*nj≈+-1。
如果这些平面方向是一致的,那么ni*nj=+1;否则,ni或者nj应该有一个被翻转。
很难找到一个一致的全局的方向,使所有成对的“足够接近”数据点都应该有一致的方向。
我们可以模拟这些问题作为图表的最优化。
这个图包含每切平面Tp(xi)的一个节点Ni,和在Ni与Nj之间的边(i,j),如果切平面中心oi和oj是充分接近的(我们将更精确关于我们所说的尽量足够接近)。
边(i,j)编码消耗程度,Ni和Nj是一致的方向并且被看做ni*nj。
对于选择切平面统一的方向的问题是最大化图形的总成本。
不幸的是,这个问题可以被证明是np困难问题通过对MAXCUT的简化。
因此为了有效解决方向问题,我们必须采取一个近似算法。
在描述我们使用的近似算法之前,我们必须决定何时这些节点在图中被连接。
由于表面被假设的是由单个连接分支组成的,图应该被连接。
对于一组点一个简单连通图往往是连相邻的点是欧几里得最小生成树(EMST)。