平面向量练习题集

合集下载

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。

A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言记 OA =(x 1,y 1) ， OB =(x 1,y 2)OA + OB =OC则 OA + OB =(x 1+x2,y 1+y 2)加法与减法OB - OA =AB uuurAB OB - OA =（x2-x1,y2-y1）OA +AB =OB实数与向量AB =λa记 a =(x,y)的乘积λ∈ R则λ a =( λ x, λ y)两个向量 a · b =| a || b |记 a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)的数量积cos< a , b >则 a · b =x1x2+y 1y2r r（ 3）两个向量平行：设a =（ x1,y1），b =(x 2,y 2)，则a∥b b ar r0（ 4）两个向量垂直：设 a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2) ，则 a ⊥ b a ? bx1y2-x 2y1=0 x1x2+y1y2=0课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a=（x,1）， b=2（－ x, x ），则向量a b( )A 平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量a(1,2) ， b(2,3) ．若向量 c 满足 (c a) / /b ， c(a b) ，则 c（）A．(7,7)B．(7 ,7) C ．(7,7)D．(7 ,7 ) 933939933. 已知向量a(1,0), b(0,1), c ka b(k R), d a b ，如果c // d那么(A ．k 1且c与d同向B． k 1 且c与 d 反向C ．k 1 且c与 d 同向D． k 1 且c与 d 反向4 已知平面向量a(11)，， b(1， 1) ，则向量1a3b（）22Ａ． (2， 1)Ｂ． (2，1)Ｃ． (1，0)Ｄ． (1，2)uuur uuur uuur5. 设 P 是△ ABC所在平面内的一点，BC BA2BP ，则（）uuur uuur rB.uuur uuur rC.uuur uuur r uuur uuur uuurA. PA PB0PC PA0PB PC0 D.PA PB PC6. 已知向量 a = (2,1)， a ·b = 10，︱ a + b ︱=52，则︱ b ︱=（）A.5B.10C.5D.257. 设a、b、c是单位向量，且 a ·b＝0，则 a c ? b c 的最小值为( )A.2B.22C.1D.128 已知向量a(1， n)， b(1， n) ，若2a b 与 b 垂直，则 a（）．1．2C．2．A B D 49 平面向量 a 与 b 的夹角为600，a(2,0) ，b1则 a 2b()A.3B.23C. 4D.210. 若向量 a=（ 1， 1）， b=（-1,1 ）， c=（ 4， 2），则 c=()A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11. 如图 1， D ， E，F 分别是ABC的边 AB， BC， CA的中点，则()uuur uuur uuur r A A．AD BE CF0uuur uuur uuur rD F B．BD CF DF0uuur uuur uuur rC．AD CE CF0Buuur uuur uuur r E D．BD BE FC0) r 0Cuuur uuur uuur 0 ，那么 12. 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点 , D 为 BC 边中点 , 且 2OA OB OC （） uuur uuur uuur uuur Ａ． AO OD Ｂ． AO 2OD uuur uuur uuur uuur Ｃ． AO 3OD Ｄ． 2AO OD 13. 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a | | b | | c |, a b c ，则 a, b ( ) A ． 150° B.120 ° C.60 ° D.30 ° 14. 已知 a 3,2 , b 1,0 ，向量 a b 与 a 2b 垂直，则实数的值为 ( ) 1 B. 1 1 D. 1A. 7 C. 67 6 15. 已知 a 1, b 6,ag(b a) 2 ，则向量 a 与向量 b 的夹角是（） A ． B ． 4 C ． D ． 6 3 2 16. 已知向量 a (1,1),b (2, x), 若 a + b 与 4b 2a 平行，则实数 x 的值是（） A ． -2 B ． 0 C ． 1 D ． 2 uuur uuur uuur uuur uuur 17. 在 △ABC 中， AB c ， AC b ．若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD （） A ． 2 b 1 c B ． 5 c 2 b C ． 2 b 1 c D ． 1 b 2 c 3 3 3 3 3 3 33uuur uuur uuur18. 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，若 AB (2, 4) ， AC (1,3) , 则 BD （）A ．（－ 2，－ 4）B ．（－ 3，－ 5）C ．（ 3， 5）D ．（ 2， 4）19. 设 a (1, 2) , b ( 3,4) , c (3,2) 则 (a 2b) c A. ( 15,12) B. 0 C. 3 二、填空题（）D. 11r r r r r r r r1. 若向量 a ， b 满足 a 1，b 2 且 a 与 b 的夹角为，则 a b ．32. 设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 a b 与向量 c ( 4， 7) 共线，则3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120o ，且 a b 4 ，那么 bg(2a b) 的值为r r( 1,2)r r r r r r4. 已知平面向量a(2,4) ， b．若 c a( a b )b ，则 |c | ____________．r r r r r r5. a，b的夹角为120，a1， b 3 则 5a b．6. 已知向量a =2，4， b = 11，．若向量 b (a + b) ，则实数的值是7. 若向量a、b满足a b 1, a与 b 的夹角为120°，则 a·b a·b ＝r r r r r r8. 已知向量a(3,1) ， b (1,3) ， c (k ,2) ，若 (a c) b 则k=．r r r r r r9. 已知向量a(3,1) ， b (1,3) ， c ( k,7) ，若 (a c) ∥ b ，则k=．10.在平面直角坐标系 xoy 中，四边形 ABCD的边 AB∥ DC,AD∥ BC,已知点 A(－ 2， 0) ，B（ 6， 8）， C(8,6),则 D点的坐标为 __________.平面向量专题训练答案：一选择题1C 2D 3D4Ｄ 5 B 6 C 7D8Ｃ 9B10 B11A 12Ａ 13B14 A15C 16D17A 18B19 C二填空题1 72 23 0_48 2 5 76-37 -1809 510_（0，－ 2）。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:运算图形语言付号语言坐标语言记OA =(x 1,y 1) , OB =(x 1,y 2)OA +OB =OC贝V OA + OB =(x i+X2,y i+y2)0A OB - OA =AB ULU加法与减法AB OB - OA = (x2-x i,y 2-y i)"AOA + AB = OB实数与向量・寸、AB =入a 记a =(x,y)的乘积A, ,D入€ R 则入a =(入x,入y) 两个向量 a • b =| a || b | 记a =(x i,y i), b=(x2,y2)的数量积/1 .cos< a , b > 贝卩a • b =xx+y i y2(3) 两个向量平行：设a=(x i,y 1)，b=(x2,y2)，则a // b b a x i y2-x2y i=0r r(4) 两个向量垂直：设 a =(x i,y i), b =(x 2,y 2)，则a 丄b a?b 0 x i x2+y i y2=0课堂精练、选择题A平行于x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D. 平行于第二、四象限的角平分线2.已知向量a (i,2), b(2, 3) •若向量c满足(c a)//b , c (a b)，则c7 7C3,9i.已知平面向量a=(x,i) , b=(—x, x2),则向量a b ()uuir uuu uuu r A. AD BE CF 0B.uuuBDuuuCFuuurDFC. uuirADuuuCEuuuCFrD.uuuBDuuuBEuuuFCr3.已知向量a (1,0),b (0,1),c ka b(k R), d a b，如果c//d 那么()C • k 1且c与d同向D .k 1且c与d反向4已知平面向量a (1,1), b (1,1),贝恫量1 3a b (2 2)A. ( 2, 1)B. ( 2,1)c. ( 1, 0) D. (1,2)5.设P是厶ABC所在平面内的一点，uuiu uuuBC BAuuu2BP,则()uuu uuu ruuuruuuPAr0 C.uuu uuiu r PB PC0 D.uuu uuuPA PBuuur rPC 0A. .5B. .10c是单位向量，且a - b = 0,贝U a c ? b c的最小值为A. 2B.、、2 28已知向量a (1 , n) , b ( 1 , n)A. 1B.9平面向量a 与b的夹角为60°, aA. .3B. 2 i 3C. 1D. 1 x 2，若2a b与b垂直，则a ( )C • 2 D. 4(2,0) , b 1 则a 2b ()C. 4),c= (4 , 2),则c=A.3a+bB. 3a-b +3b D. a+3b11.如图1 , D , E , F分别是ABC的边AB, BC CA的中点，贝U ()A • k 1且c与d同向B k 1且c与d反向6.已知向量a = (2,1) , a • b = 10 , a + b I = 5. 2，则丨b I =()7.设a、b10.若向量a= (1, 1), b= (-1,12.设向量a (1,2, b (2,3)，若向量a b 与向量c(4, 7)共线，则 __________________3.已知向量a 与b 的夹角为120o ，且ab 4，那么 bg(2ab)的值为uuu uuu imr12.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC13.设非零向量 a 、 b 、c 满足|a | | b| |c |,abc ，贝Ua,b()A . 150°ooo14.已知 a3,2 ,b1,0 ，向量 a b 与a 2b 垂直，则实数的值为()1111A.B.C.D.776 615.已知 a 1,b 6,ag(b a)2，则向量a 与向量b 的夹角是() A .B . -C.-D.—64 3216.已知向量a (1,1),b(2,x),若a+ b 与4b 2a 平行，则实数x 的值是 ()A . -2B . 0C. 1D. 2uuu uuruuu uuir uur17.在△ ABC中，AB c , ACb .若点 D 满足BD 2DC ，贝V AD ( ) A 2, 1 5 2,2, 11 , 2A . — b c B.- c b C. b c D. b c3 3 3 33 33 318.在平行四边形 ABCD 中, AC 为条对角线， uuu 若AB uur (2,4) , AC (1,3), uuu 则BD()A . (-2,— 4)B . (-3,- 5) C. (3, 5) D (2, 4) ―ir19.设 a(1, 2), b (3,4), c (3,2)则(a2b) c () A.( 15,12) B. 0C.3D.1二、填空题rrrr rr rr 1.若向量a , b 满足a 1,b 2且a 与b 的夹角为一，贝U a b ________________3rr rUJLT uuir A.AO ODuuir uuir B. AO 2OD uuir C. AO UUL T3ODuuir uuir D. 2AO OD4. 已知平面向量a (2,4) , b (1,2) •若c a (a b)b，则|c | _____________________5. a , b 的夹角为120 , a 1 , b 3 则5a b _______________ •6.已知向量a= 2,4, b= 1,1 •若向量b (a+ b)，则实数的值是______________________7. 若向量a、b满足a b 1, a与b的夹角为120°,则a -b a -b = ___________________8. 已知向量a (3,1), b (1,3), c (k,2)，若(；c) b 则k= __________________ •9. 已知向量a (3,1), b (1,3), c (k,7)，若(：c) // b,则k= ____________ •10.在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD勺边AB// DC,AD// BC,已知点A( —2, 0) , B (6 , 8), C(8,6), 贝UD点的坐标为 _____________ .平面向量专题训练答案:一选择题1 C2 D3 D4 D5 B6 C7 D8 C9 B 10 B11 A 12 A13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C二填空题1、： 2 5 77 7 2 2 3 0 4 8「3 7 -1 8 _0 95_ 10_ (0, —2)。

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。

第二章平面向量专题训练

第二章平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（）A B C ．D ．102 ．（2012年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===y x ,且//,⊥,_______=+ （）A B C ．D ．103 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量. （）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 4 ．（2012年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |5 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ= （）A ．13B ．23C ．43D ．26 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP ABλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （）A ．12B C D 7 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则x =（）A ．—1B ．—12C ．12D ．1 8 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b9 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12 B ．1C ．32D ．5210 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,211 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =12 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b -13 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. （）A B C ．D 14 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12 B ．1C ．32D ．5215 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（）A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--16 ．（2012年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 17．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是（） A．(- B．(-C．(2)--D．(-二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________. 11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,||||CD CN BC BM ,则AN AM ⋅的取值范围是_________ . 12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b|=,则|b |=_______.13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋的模；（2）试求向量AB 与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.2.（－3，－4）3.74.90° （21，321）． 6.73．7.（－3，2）．8.－29.12 10.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k .平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

平面向量练习题
一.填空题。

1. AC DB CD BA 等于_____________ .
2. 若向量a =( 3, 2), b=( 0,—1),则向量2b—a的坐标是______________ .
3. ____________ 平面上有三个点A (1, 3), B (2, 2), C( 7, x),若/ ABC = 90°，则x 的值为_ .
4. 向量a、b满足|a|=1 ,| b|= , 2 ,( a+b)丄(2 a-b),则向量a与b的夹角为
.h —r'fc 彳—#■
5. 已知向量a = (1, 2), b = (3, 1),那么向量2a ——b的坐标是.
2
6. ________________________ 已知A (—1 , 2), B (2 , 4) , C( 4, —3) ,
D( x , 1),若AB 与CD 共线, 则| BD |的值等于.
7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A的坐标
是 _____ .
8. 已知a=(1, —2),b=(1,x), 若a丄b,则x 等于 _____
9. 已知向量a,b 的夹角为120,且|a|=2,|b|=5,贝U(2a-b) • a= ________
10. 设a=(2, —3),b=(x,2x), 且3a • b=4,则x 等于_____
11. 已知AB (6,1),BC (x, y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为___________
12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|丰0,|b|丰0,贝U a与b的夹角为
uuu umr uur
13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2贝U OA OB OC 的最小值
是_________ . ________
14•将圆x2 y2 2按向量v=(2 , 1)平移后，与直线x y 0相切，则入的值为.
二.解答题
1. 设平面三点A (1 , 0) , B(0 , 1), C (2 , 5).
(1) 试求向量2 AB + AC的模; (2) 试求向量AB与AC的夹角;
(3) 试求与BC垂直的单位向量的坐标.
2.已知向量a=(sin ,cos ) ( R) , b=( . 3,3)
(1 )当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底
(2)求| a- b|的取值范围
3.已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t € R)的模取最小值时, (1 )求t的值
(2)已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直
4.设向量OA (3,1),OB ( 1,2)，向量0C垂直于向量0B，向量BC 平行于OA，试
求OD OA OC时,OD的坐标•
5.将函数y= —x1 2进行平移，使得到的图形与函数y=x2—x —2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式•
1 -. 3
6.已知平面向量a C-3, 1), b (―,)■若存在不同时为零的实数k和t,使
2 2
x a (t23)b, y ka tb,且x y.
(1 )试求函数关系式k=f( t)
(2)求使f (t)>0的t的取值范围.
参考答案
1. 0
2. (-3,—4)
1 1
(2, 32).
6. 73.
7. (-3, 2).
8. —2
1 10. 3
12. 90
13.
14. 1 或5
cos
AB AC
=|AB||AC|=
4 2 13
2 ■26 = 13
(3)设所求向量为m=( x, y),则x2+ y2= 1.
又BC =( 2—0, 5—1) (2, 4),由BC丄m
2 5
x
5
75 y 77. 由①、②，得5或
2 5
5
v5
5 .
2.5 - 5
(5, —5)或(一5
、
、5
(1)V AB =(o—1, 1-0) = (—1, 1), AC =(2—1, 5-0) = ( 1, 5).• 2 AB + AC = 2 (—1, 1) + ( 1, 5) = (—1, 7).
2 2 ------------------------
••• |2 AB + AC | = ( 1) 7= 50
(2)v | AB | = -( 1) 1= . 2 . | AC | = ■ 1
AB • AC =(—1)x 1 + 1X 5 = 4.
即为所求.
13•【解】（1）要使向量a、b不能作为平面向量
的
勺一组
基底
芸，则向
量
a、b共线
3si n 3 cos 0 tan _3
3
k (k Z ) k (k Z)
故 6 ，
即:当 6 时,向量a、t ）不能作为平面向量的一
组
基底
(2) |a b | (sin 3)2(cos i 3)213 2( 3 sin 3 cos )
而23、..3 sin 3co
s
.2 3
2 3 1 |a b| 2、3 1
14.【解】(1 )由(a tb)2|b|2t22a bt |a|2
t -^a-b2 L^cos （是a与b的夹角）
当"b|2|b| 时玄+创€ R）的模取最小值
t回
(2)当a、b共线同向时，则0，此时丨b|
2
...b (a tb) b a tb b a |a||b| |b||a| |a||b| 0
••• b 丄(a+t b)
18•解：设
°C (x，y)，°C OB °C OB 0 2y x 0 ①
又BC//OA,BC (x 1,y 2) 3(y 2) (x 1) 0 即: 3y x 7 ②
2
x 14,
联立①、②得 y 7
10分
OC (14,7),于是 OD
OC OA (11,6).
19. 解法一：设平移公式为
k 代入y 把它与 (x h)2
即 y x 2 2hx h 2 x 2联立, 2 X
2
X X 2hx h 2 k 得y 设图形的交点为（X 1，y 1），（ X 2，y 2）由已知它们关于原点对称，
即
有: 由X 1 又将（ X i y i X 2 X 2 y 2由方程组消去y 得: 尹且X 1 X 2 。

得h X 1,y 1 得：y 1 y 2
0 (
X 2 平移公式为: 2
2x (1 2h)x ,（X 2，
y 2）分别代入①②两式并相加, 2 X 1 X 1)
(X 2 h 2
x ； 2hx 1 x 2 X 1)
(X
1
1 2
9
4
代入y
解法二：由题意和平移后的图形与
h 2
X 2) 2
X
得:
2. .解得
9
.a 4
（舟 ;)
2
交点关于原点对称，可知该图形上所有点
都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可
2
y x x 2的顶点为（2‘4），它关于原点的对称点为（ 1 9
2,4）,即是新图形的顶点.
h
1
1 , 9 c 9
2 ,k 0
由于新图形由y x平移得到，所以平移向量为 2 2 4 4以下同解法一.
20.解：(1)—►―»—b-
x y, x ―r
y
—2 ~~
0.即[(a t3 43)b]( ka tb) 0.
f : 2 - 2 1
a b 0,a 4,b 1, 4k t(t23) 0,即k -t(t 3).
4
3t(t23) 0,即t(t J3) (t (③o,则J3 t 0或t 43 (2 )由f (t)>0,得4。