2011届强化训练(14)向量

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2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第13讲空间向量与立体几何

即 B1D⊥EG，B1D⊥EF，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
题型二
利用空间向量求线线角、线面角
【例 2】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
3．模、夹角和距离公式 (1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a· a＝ a2＋a2＋a2， 1 2 3 a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos 〈a，b〉＝＝ 2 . 2 |a||b| a1＋a2＋a2· b2＋b2＋b2 3 1 2 3 (2)距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)平面的法向量如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
(2)在棱 C1D1 上存在点 F，使 B1F∥平面 A1BE. 事实上，如图(b)所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点 F，G，连结 EG，BG，CD1，FG.因 A1D1∥B1C1∥BC，且 A1D1＝BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形，因此 D1C∥A1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EG∥D1C，从而 EG∥A1B.这说明 A1，B， G，E 共面．所以 BG⊂平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG∥C1C∥B1B，且 FG＝C1C＝B1B，因此四边形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F∥BG.而 B1F⊄平面 A1BE，BG⊂ 平面 A1BE，故 B1F∥平面 A1BE.

2011届高考数学平面向量综合复习题

y＝1， x＝－1或－3.
∴a＝(－1,1)或(－3,1)． 15．(2009· 朝阳 4 月)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若∠B＝45° ，b＝ 2，a＝1，则∠C 等于________度．答案：105 asinB 1 解析：由正弦定理得 sinA＝＝，A＝30° 或 150° (舍去)，则∠C＝105° ，故填 105. b 2 16．已知△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a＝1，∠B＝45° ，△ABC 的面积 S＝2，那么△ABC 的外接圆的直径等于__________．答案：5 2
1 1 解析：∵S＝ acsinB＝2，∴ ×1×c×sin45° ＝2， 2 2 ∴c＝4 2， ∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4 2×cos45° ， ∴b2＝25，b＝5. b 所以△ABC 的外接圆的直径等于＝5 2. sinB 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17．(本小题满分 10 分)已知|a|＝1，|b|＝ 2. (1)若 a∥b，求 a· b； (2)若 a，b 的夹角为 135° ，求|a＋b|. 解析：(1)∵a∥b， ∴若 a，b 同向，则 a· b＝|a||b|＝ 2；若 a，b 反向，则 a· b＝－|a||b|＝－ 2. (2)∵a，b 的夹角为 135° ， ∴a· b＝|a||b|cos135° ＝－1， ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a· b＝1＋2－2＝1， ∴|a＋b|＝1. 18． (2009· 江苏， 15)(本小题满分 12 分)设向量 a＝(4cosα， sinα)， b＝(sinβ， 4cosβ)， c＝(cosβ，－4sinβ)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tanαtanβ＝16.求证 a∥b. 解析：(1)由 a 与 b－2c 垂直则 a· (b－2c)＝a· b－2a· c＝0，即 4sin(α＋β)＝8cos(α＋β)，tan(α＋β)＝2. (2)∵b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，则|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2. (3)由 tanαtanβ＝16，得 sinαsinβ＝16cosαcosβ，即 4cosα· 4cosβ－sinαsinβ＝0，故 a∥b. 19．(2009· 四川，17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、 3 10 b、c，且 cos2A＝，sinB＝ . 5 10 (1)求 A＋B 的值； (2)若 a－b＝ 2－1，求 a、b、c 的值．命题意图：本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力． 10 解析：(1)∵A、B 为锐角，sinB＝， 10 3 10 ∴cosB＝ 1－sin2B＝ . 10 3 又 cos2A＝1－2sin2A＝， 5 5 2 5 ∴sinA＝，cosA＝ 1－sin2A＝ . 5 5 ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练14(附解析)

强化训练14立体几何——大题备考第二次作业1．[2022·广东深圳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PC D.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2．[2022·河北唐山二模]如图，△ABC是边长为43的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是△ABC的中心，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PG⊥平面AB C.(1)证明：PB⊥AC；(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．3.[2022·山东淄博三模]已知如图，在多面体ABCEF 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，D 为AB 的中点，EF ∥CD ，EF ＝1，BF ⊥平面AEF .(1)证明：四边形EFDC 为矩形； (2)当三棱锥A - BEF 体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值．4．[2022·山东德州二模]《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P - ABCD ，底面为边长为2的正方形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，E 、F 为边BC 、CD 上的点，CE → ＝λCB → ，CF → ＝λCD →，点M 为AD 的中点．(1)若λ＝12，证明：平面PBM ⊥平面P AF ；(2)是否存在实数λ，使二面角P - EF - A 的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM 与平面PEF 所成角的正弦值．强化训练15 统计、统计案例与概率——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东潍坊三模]某省新高考改革方案推行“3＋1＋2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为( )A ．12B ．13C ．16D ．1122．[2022·山东威海三模]甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到共有840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1 260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为( )A ．88%B ．89%C ．91%D ．92% 3．[2022·辽宁葫芦岛一模]有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本众数相同C ．两组样本数据的样本平均数相同D ．两组样本数据的样本中位数相同 4．[2022·辽宁辽阳二模]为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为( )A ．40%B ．50%C ．60%D ．65% 5．[2022·河北保定二模]某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y (单位：分)与每周课外阅读时间x (单位：分钟)是否存在线性关系，搜集了100组数据(∑i ＝1100x i ＝3 000，∑i ＝1100y i ＝7 900)，并据此求得y 关于x 的回归直线方程为y ＝0.3x ＋a.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为()A ．70.6B ．100C ．106D ．110 6．[2022·山东青岛一模]甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )A ．0.36B ．0.352C ．0.288D ．0.648 7．[2022·湖北武汉模拟]通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），则以下结论正确的是(A .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”8．[2022·湖南长沙模拟]第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件).甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X ，则下列结论正确的是( )A .甲与乙相互独立B ．甲与乙互斥C .X ～B(10，0.02)D ．E(X)＝0.2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·辽宁大连二模]为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量(单位：kg )互不相等，且从小到大分别为x 1，x 2，…，x 10，则下列说法正确的有( )A .x 1，x 2，…，x 10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B .x 1，x 2，…，x 10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C .x 10－x 1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D .x 1，x 2，…，x 10的中位数为x 5 10．[2022·山东枣庄三模]下列结论正确的有( ) A .若随机变量ξ，η满足η＝2ξ＋1，则D(η)＝2D(ξ)＋1B .若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.84，则P(3<ξ<6)＝0.34C .若样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n)线性相关，则用最小二乘估计得到的回归直线经过该组数据的中心点(x －，y －)D .根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712.依据α＝0.05的独立性检验(x 0.05＝3.841)，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.0511．[2022·福建福州三模]某质量指标的测量结果服从正态分布N(80，σ2)，则在一次测量中( )A .该质量指标大于80的概率为0.5B .σ越大，该质量指标落在(70，90)的概率越大C .该质量指标小于60与大于100的概率相等D .该质量指标落在(75，90)与落在(80，95)的概率相等 12．[2022·山东淄博三模]甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A .事件B 与事件A i (i ＝1，2，3)相互独立B .P(A 1B)＝522C .P(B)＝25D .P(A 2|B)＝845三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2022·河北石家庄二模]某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200、1 000、800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为________．14．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．15．[2022·山东济南二模]2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数强化训练14 立体几何1．解析：（1）证明：因为AM ⊥平面PCD ，所以AM ⊥CD ，又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥CD ，又AD∩AM ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB ＝2，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （－1，2，0），P （0，0，3 ），D （－1，0，0），M （－12) ，0，32 ），所以AM→ ＝（－32 ，0，32 ），PB → ＝（1，2，－ 3 ），PC → ＝（－1，2，－3 ），设平面PBC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0PC →·n ＝0 ，即⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0－x ＋2y －3z ＝0 ，令z ＝ 3 ，则y ＝32 ，x ＝0，则n ＝（0，32 ，3 ），设AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n||AM →|·|n| ＝323·212＝77 .2．解析：（1）证明：连接BF ，由△ABC 为等边三角形，F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，由PG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PG ⊥AC ，又PG∩BF ＝G ，PG ，BF ⊂平面PBF ，所以AC ⊥平面PBF ，又PB ⊂平面PBF ，所以PB ⊥AC ；（2）依题意PF ＝2 3 ，GF ＝2，在Rt △PFG 中，PG ＝22 ，以F 为坐标原点，以FB→ 为x 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则A （0，－2 3 ，0），C （0，2 3 ，0），B （6，0，0），E （3，－ 3 ，0），P （2，0，2 2 ）FP→ ＝（2，0，2 2 ），FE → ＝（3，－ 3 ，0），由（1）可知，AC → ＝（0，4 3 ，0）是平面PBF 的一个法向量，设平面PEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧n·FP →＝2x ＋22z ＝0n·FE →＝3x －3y ＝0 ，令x ＝2 ，则n ＝（ 2 ， 6 ，－1），所以cos 〈AC → ，n 〉＝AC →·n |AC →|·|n | ＝63 ，所以sin 〈AC→ ，n 〉＝1－cos2〈AC→，n 〉＝33，所以平面PEF 与平面PBF 所成二面角的正弦值为33 .3．解析：（1）证明：因为∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，且CD ＝BC sin30°＝1，又因为EF ＝1，所以CD ＝EF ，因为EF ∥CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥EF ，所以CD ⊥BF ，因为BF∩AB ＝B ，BF ，AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF, DF ⊂平面ABF ，所以CD ⊥DF ，所以四边形EFDC 为矩形．（2）由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥AF ，AB ＝2BC2 - CD2 ＝2 3 ，所以三棱锥A - BEF 的体积V ＝13 S △ABF·EF ＝16 AF·BF≤112 （AF2＋BF2）＝112 AB2＝1，当且仅当AF ＝BF 时等号成立，此时FD ⊥AB ，据（1），以D 为坐标原点，分别以DA ，CD ，DF 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D - xyz 如图所示.由已知可得下列点的坐标：A （ 3 ，0，0），B （－ 3 ，0，0），F （0，0，3 ），E （0，－1， 3 ），所以AB→ ＝（－2 3 ，0，0），AE → ＝（－ 3 ，－1， 3 ），设平面ABE 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧m·AE →＝0m·AB →＝0 ，即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0－23x ＝0，取y ＝ 3 ，则x ＝0，z ＝1，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝（0， 3 ，1），因为BF→ ＝（ 3 ，0， 3 ）是平面AEF 的法向量，设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则cos θ＝|m·BF →||m|·|BF →| ＝32·6 ＝24 ，故平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值为24 .4．解析：（1）证明：λ＝12 时，点E 、F 为BC 及CD 的中点．连接AF 与BM 交于点G ，在△ABM 和△DAF 中，AB ＝AD ，AM ＝DF ，∠BAM ＝∠ADF ＝90°，所以△ABM ≌△DAF ，于是∠ABM ＝∠FAD. 而∠FAD ＋∠BAF ＝90°，所以∠ABM ＋∠BAF ＝90°，故∠AGB ＝90°，即BM ⊥AF.又PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BM.因为BM ⊥PA ，BM ⊥AF ，PA ⊂平面PAF ，AF ⊂平面PAF ，PA∩AF ＝A ，所以BM ⊥平面PAF.又因为BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAF.（2）连接AC ，交EF 于点Q ，连接PQ ，记BD 与AC 交于点O ，如图：因为CE→ ＝λCB → ，CF → ＝λCD → ，所以EF ∥BD ，因为AC ⊥BD ，所以AC ⊥EF ，从而PQ ⊥EF ，所以∠AQP 为二面角P - EF - A 的一个平面角．由题意，∠AQP ＝45°，从而AQ ＝PA ＝2，所以CQ ＝2 2 －2，于是λ＝CE CB ＝CQ CO ＝22－22 ＝2－ 2 ，所以CF ＝CE ＝4－2 2 ，BE ＝DF ＝2 2 －2.如图，以AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，于是P （0，0，2），E （2，2 2 －2，0），F （2 2 －2，2，0），B （2，0，0），M （0，1，0）BM → ＝（－2，1，0），PE → ＝（ 2 ，2 2 －2，－2），PF →＝（2 2 －2，2，－2），设平面PEF 的一个法向量是n ＝（x ，y ，z ），由⎩⎪⎨⎪⎧n·PE →＝2x ＋（22－2）y －2z ＝0n·PF →＝（22－2）x ＋2y －2z ＝0 ，得：⎩⎨⎧x ＝y z ＝2x ，取x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2 ，则n ＝（1，1， 2 ）. 所以直线BM 与平面PEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BM → 〉|＝|n·BM →||n|·|BM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋14×5 ＝510 .。

2011年高考数学总复习提能拔高限时训练：空间向量及其运算(练习详细解析)大纲人教版

提能拔高限时训练42 空间向量及其运算（B ）一、选择题1.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 和BD 的交点,若11B A =a ,11D A =b ,AA 1=c,则下列式子中与MB 1B 1M 相等的是( )A.-21a +21b +cB.21a +21b +c C.21a -21b +c D.- 21a-21b+c 解析:M B 1=BB 1+BM=B B 1+21（BA +BC）=AA 1-2111B A +2111D A=c-21a+21b.故选A. 答案:A2.以下命题中正确的是( ) A.若OP=21OA +31OB,则P 、A 、B 三点共线B.若{a ,b ,c }为空间的一个基底，则{a +b ,b +c ,c +a }构成空间的另一个基底C.|（a ·b ）·c |=|a |·|b |·|c |D.△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·AC=0解析:根据“若OD =m OA +n OB 且m+n=1,则P 、A 、B 三点共线”可知A 错误;若{a 、b 、c }为空间的一个基底,则a 、b 、c 为不共线向量.假设a +b 与b +c 共面,则存在实数λ,使a +b =λ(b +c ),即a =(λ-1)b +c .∴a 与b 、c 共面.∴假设不成立,即a +b 、b +c 不共面.可知B 正确;根据向量数量积的定义,易知C 不正确;△ABC 为直角三角形的充要条件是△ABC 三个内角∠A 、∠B 、∠C 中有一个是直角. 答案:B3.P 为正六边形ABCDEF 外一点,O 为正六边形ABCDEF 的中心,则PA +PB +PC +PE +PF +PD 等于( )A.POB.3POC.6POD.0解析:如图,PA +PD =2PO ,同理PB +PE =PC +PF =2PO ,∴原式=6PO.答案:C4.若a ，b 为非零向量，则a ·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行；反之，若a 与b 平行，当〈a ,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |, 由此知应选A. 答案:A5.若a=(2,2,0),b=(1,3,z),〈a ，b 〉=60°,则z 等于( )A.22B.-22C.±22D.±22解析:∵a ·b =8，|a |·|b |=2)10(22z ，cos 〈a ,b 〉=21)10(228||||2=+=•z b a b a ,∴z=±22.答案:C6.已知a =(2,-1,3),b =(-4,2,x),c =(1,-x,2),若(a +b )⊥c ,则x 等于( ) A.4 B.-4 C.21D.-6 解析:a +b =(-2,1,x+3),∵(a +b )⊥c , ∴(a +b )·c =0,即-2×1+1×(-x)+(x+3)×2=0. 解得x=-4. 答案:B7.已知a =(1-t,1-t,t),b =(2,t,t),则|b -a |的最小值为( ) A.55B.555C.553 D.511解析:∵b -a =(1+t,2t-1,0),∴|b -a |2=(b -a )2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t 2-2t+2. 当t=51时,|b -a |min 2=59, ∴|b -a |的最小值是553. 答案:C8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=32a,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析:如图,建立空间直角坐标系B 1—xyz,则 M(0,32a,3a )、N(3a ,32a,a),∴MN =(3a ,0,32a).∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案:B9.如图所示,ABCD —EFGH 是棱长为1的正方体,P 在正方体的内部且AP=43AB+21AD+32AE,则P 点到直线AB 的距离为( )A.65 B.12181 C.630 D.65 解析:建系如题图,则A(0,0,0)、B(1,0,0)、D(0,1,0)、E(0,0,1). ∴AP=43AB+21AD+32AE=(43,0,0)+(0,21,0)+(0,0,32) =(43,21,32). 又AB 为单位向量, ∴AP 在AB 上的射影为AP ·AB=43. 又|AP|=12181)32()21()43(222=++, ∴P 到AB 的距离d=65||||22=•-AB AP AP .答案:A10.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为( )A.arccos23 B.arccos 1010 C.arccos53 D.arccos 52 解析:如图建立空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21）,∴AM=（1，21，1）-（1，0，0）=（0，21，1）, CN=（1，1，21）-（0，1，0）=（1，0，21）. 故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21.又|AM|=251)21(0222=++, |CN|=25)21(01222=++, 设α为直线AM 与CN 所成的角,∴cosα=52252521||||=•=CN AM CNAM . ∴α=arccos 52. 答案:D 二、填空题11.已知空间四边形ABCD ，则AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD =_______.解析:AB ·CD +BC ·AD +CA ·BD=AB ·CD +BC ·(AB +BD )+CA ·BD =AB ·CD +BC ·AB +BC ·BD +CA ·BD=AB ·(BC +CD )+BD ·(CA +BC )=AB ·BD +BD ·BA =AB ·BD -BD ·AB=0. 答案:012.在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为B 1C 1的中点，设AB=a ，AD=b ，1AA =c ，用a ，b ，c 表示下列向量：（1）1AC =____________________________________；（2）DM=________________________________________.解析:（1）1AC =AB +1BB +11C B =a +c +b ;（2）DM =1DC +2111B C =DC +1CC +2111B C =a +c -21b . 答案:（1）a +b +c （2）a -21b +c 13.已知A （1，0，1），B （4，4，6），C （2，2，3），D （10，14，17）,则这四个点是否共面：__________________（填“共面”或“不共面”）. 解析:∵AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),∴AD =2AB +3AC.∴A、B 、C 、D 四点共面. 答案:共面14.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),若AP =2PB ,则|PD |的值是_____________. 解析:设点P(x,y,z),则由AP =2PB,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即⎪⎩⎪⎨⎧-=---=---=-,281,262,221z z y y x x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,38,31z y x则|PD |=222)13()138()131(-+-+-- =377. 答案:377 三、解答题15.四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD. 已知∠ABC=45°,AB=2,BC=22,SA=SB=3.(1)证明SA⊥BC;(2)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一:(1)证明:作SO⊥BC,垂足为O,连结AO, 由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,故△AOB 为等腰直角三角形,AO⊥BO. 由三垂线定理,得SA⊥BC.(2)由(1)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD.由AD=BC=22,SA=3,AO=2,得SO=1,SD=11.所以△SAB 的面积S 1=21AB·2)21(22=-AB SA . 连结DB,得△DAB 的面积S 2=21AB·ADsin135°=2. 设D 到平面SAB 的距离为h, 由V D —SAB =V S —ABD ,得31h·S 1=31SO·S 2, 解得h=2.设SD 与平面SAB 所成角为α,则sinα=1122112==SD h . 所以直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin1122. 解法二:(1)证明:作SO⊥BC,垂足为O,连结AO, 由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD. 因为SA=SB, 所以AO=BO.又∠ABC=45°,所以△AOB 为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O 为坐标原点,OA 为x 轴正向,建立空间直角坐标系O —xyz,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),S(0,0,1),SA=(2,0,-1),CB=(0,22,0),SA ·CB=0,所以SA⊥BC. (2)取AB 的中点E,E(22,22,0).连结SE,取SE 的中点G,连结OG,则 G(42,42,21),OG=(42,42,21), SE=(22,22,-1),AB=(-2,2,0).SE ·OG =0, AB ·OG =0,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE 、AB 垂直,所以OG⊥平面SAB.OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D(2,-22,0),DS =(-2,22,1),cosα=1122||||=•DS OG DS OG ,sinβ=1122, 所以直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin1122. 16.如图,四边形PCBM 是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2,又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)求二面角M —AC —B 的大小; (3)求三棱锥P —MAC 的体积.解法一:(1)证明:∵PC⊥AB,PC⊥BC,AB∩BC=B, ∴PC⊥平面ABC. 又∵PC ⊂平面PAC, ∴平面PAC⊥平面ABC.(2)取BC 的中点N,则CN=1,连结AN 、MN,∵PM CN,∴MNPC.从而MN⊥平面ABC.作N H⊥AC,交AC 的延长线于H,连结MH,则由三垂线定理,知AC⊥NH, 从而∠MHN 为二面角MACB 的平面角, 直线AM 与直线PC 所成的角为60°, ∴∠AMN=60°.在△ACN 中,由余弦定理,得AN=3120cos 222=••-+ CN AC CN AC ,在Rt△AMN 中,MN=AN ·cot ∠AMN =3×33=1, 在Rt△CNH 中,NH=CN ·sin ∠NCH =1×23=23, 在Rt△MNH 中,tan ∠MHN=332231==NH MN . 故二面角M —AC —B 的平面角大小为arctan 332. (3)由(2),知四边形PCNM 为正方形, ∴V P —MAC =V A —PCM =V A —MNC =V M —ACN =31×21AC ·CN ·sin120°·MN=123. 解法二:(1)同解法一(1).(2)在平面ABC 内,过C 作CD⊥CB,交AB 于D,建立空间直角坐标系C —xyz(如图).由题意有A(23,-21,0),设P(0,0,z 0)(z 0＞0), 则M(0,1,z 0), AM =(-23,23,z 0), CP =(0,0,z 0), 由直线AM 与直线PC 所成的角为60°,得 AM ·CP=｜AM ｜｜CP ｜cos60°,即z 02=32120+z ·z 0, 解得z 0=1. ∴CM =(0,1,1), CA CA=(23,-21,0). 设平面MAC 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,02123,01111y x z y 取x 1=1,得n =(1,3,-3).平面ABC 的法向量取为m =(0,0,1),设m 与n 所成角为θ,则cosθ=73||||-=•n m n m , 显然,二面角M —AC —B 的平面角为锐角.故二面角M —AC —B 的大小为arccos 721. (3)取平面PCM 的法向量为n 1=(1,0,0),则点A 到平面PCM 的距离 h=23||||11=•n n CA . ∵｜PC ｜=1,｜PM ｜=1,∴V P —MAC =V A —PCM =31×21｜PC ｜·｜PM ｜·h=61×1×1×23=123. 教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求:(1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到A 、B 两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.解:(1)设P(x,y,z)是AB 的中点,则OP =21(OA +OB )=21[(3,2,1)+(1,0,4)]=(2,1,25), ∴点P 的坐标是(2,1,25),d AB =2221)-(42)-(03)-(1++=17. (2)设点P(x,y,z)到A 、B 的距离相等,则2221)-(z 2)-(y 3)-(x ++=2224)-(z y 1)-(x ++.化简得4x+4y-6z+3=0,即为P 坐标应满足的条件.【例2】棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D⊥面PAC ？解:以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设存在点P(0,0,z),AP =(-a,0,z),AC =(-a,a,0),1DB =(a,a,a). ∵B 1D⊥面PAC,∴1DB ·AP =0,1DB ·AC =0.∴-a 2+az=0.∴z=a,即点P 与D 1重合.∴点P 与D 1重合时,DB 1⊥面PAC.【例3】如图,在三棱锥A —BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD=3,BD=CD=1.另一个侧面ABC 是正三角形.(1)求证:AD⊥BC;(2)求二面角B —AC —D 的大小;(3)在线段AC 上是否存在一点E,使ED 与面BCD 成30°角?若存在,确定点E 的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:作AH⊥面BCD 于点H,连结BH 、CH 、DH,则四边形BHCD 是正方形,且AH=1. 以D 为原点,以DB 为x 轴,DC 为y 轴建立空间直角坐标系如下图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).BC =(-1,1,0),DA =(1,1,1), ∴BC ·DA =0,则BC⊥AD.(2)解:设平面ABC 的法向量为n 1=(x,y,z),则由n 1⊥BC ,知n 1·BC =-x+y=0; 同理由n 1⊥CA ,知n 1·CA =x+z=0.可取n 1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD 的一个法向量为n 2=(1,0,-1).由图可以看出,二面角BACD 的大小应等于〈n 1,n 2〉,则cos 〈n 1,n 2〉=3623101||||2121=•++=•n n n n ,即所求二面角的大小是arccos 36. (3)解:设E(x,y,z)是线段AC 上一点, 则x=z ＞0,y=1,平面BCD 的一个法向量为n =(0,0,1),DE=(x,1,x),要使ED 与面BCD 成30°角,由图可知DE 与n 的夹角为60°, ∴cos〈DE ,n 〉=221||||x xn DE n DE +=• =cos60°=21.则2x=22x 1+,解得x=22,则CE=2x=1.故线段AC 上存在E 点,且CE=1时,ED 与平面BCD 成30°角.。

宁南中学2011届高考数学复习—小题训练13 平面向量(一)

训练13 平面向量（一）一、选择题（方法：直接选择法、特殊化法、估算选择法、特征选择法、数形结合法、结论选择法）1.（2010安徽文）(3)设向量()1,0a =, 11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,则下列结论中正确的是（）(A) a b =(B)a b ⋅=(C) //a b (D) a b - 与b垂直2.（2010湖南理）4、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°，AC=4，则AB AC ⋅uu u r uu u r等于（）A 、-16B 、-8C 、8D 、163.（2010重庆文）（3）若向量()3,a m = ，()2,1b =-，0a b ⋅= ，则实数m 的值为（）（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）64.（2010重庆理）(2) 已知向量,a b满足0,1,2a b a b ⋅=== ，则2a b -= （）A. 0B.D. 85.（2009重庆卷理）已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6.（2010四川理）（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-, 则AM ∣∣= （）（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）17.（2010辽宁理）(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA a OB b ==，则△OAB 的面积等于（）(A)8.（2010湖北文）8.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AB AC m AM += 成立，则m =（）A.2B.3C.4D.59.（2010全国卷2理）（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a = ，CA b =，1a = ，2b =，则CD =u u u r （）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +10.（2010山东文）（12）定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q = ，令a b mq np =-，下面说法错误的是（）(A)若a 与b 共线，则0a b =(B) a b b a =(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=(D) ()()2222a b a ba b +⋅=11.（2007湖北）设()4,3a = ，a 在b b在x 轴上的投影为2，且14b ≤ ，则b为（）A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，12.（2010全国卷1文）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（）(A) 4- (B)3-(C) 4-+(D)3-+二、填空题（策略：快--运算要快；稳--变形要稳；全--答案要全；细--审题要细。

2011年高考数学试题汇编4——平面向量

2011年高考数学试题汇编4——平面向量（北京4）已知O 是A B C △所在平面内一点，D 为B C 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（Ａ）Ａ．AO O D = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =（辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠ a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭a ac =a -b a b，则向量a 与c 的夹角为（ D ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π2（辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0 a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若 a b =a c ，则b =c（湖北2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=--⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++⎪⎝⎭（湖北文9）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ）A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+B ．EF OF OE =-C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--（四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a(B)345=-b a (C)1454=+b a(D)1445=+b a（天津10）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]（浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（Ｃ）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（浙江文9）若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b｜，则（Ａ） (A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b｜(C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b｜（山东11）在直角A B C ∆中，C D 是斜边A B 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）（A ）2AC AC AB =⋅（B ） 2BCBA BC =⋅（C ）2ABAC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC C DAB⋅⨯⋅= （山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （Ｃ） A ．1B ．2C ．2D ．4（重庆5）在A B C △中，3AB =，45A = ，75C = ，则B C =（Ａ）Ａ．33-Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．33+（重庆10）如题（10）图，在四边形A B C D 中，4AB BD D C ++=，4AB BD BD D C +=，0AB BD BD DC == ，则()A B D C A C +的值为（Ｃ）Ａ．2 Ｂ．22 Ｃ．4 Ｄ．42（上海14）直角坐标系x O y 中，i j，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形A B C 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ B ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 （全国Ⅰ3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ A ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向（全国Ⅱ5）在A B C △中，已知D 是A B 边上一点，若123A D DBCD C A C B λ==+，，则λ=（ A ） DCA B 题（10）图A ．23B ．13C ．13-D ．23-二、填空题（安徽13）在四面体O A B C -中，OA OB OC D === ，，，a b c 为B C 的中点，E 为A D 的中点，则O E =111244++a b c（用，，a b c 表示）．（北京11．）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3-（北京12．）在A B C △中，若1tan 3A =，150C = ，1BC =，则A B =102（广东10. ）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ 21. （湖南12．）在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = 5π6 ．（湖南文12．）在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A = π6 ．（江西15．）如图，在A B C △中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，A C 于不同的两点M N ，，若A B mA M = ，AC n AN =，则m n +的值为2 ．（江西文13．）在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =1．（陕西15. ）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 . （天津15．）如图，在A B C △中，12021B A C A B A C ∠===，，°，D 是边B C 上一点，2D C B D =，则A D B C =·83- ．（天津文15）在A B C △中，2A B =，3A C =，D 是边B C 的中点，则AD BC =52．（重庆文（13））在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 3。

2011年高考数学试题分类汇编(必修Ⅳ——向量)

2011年高考数学试题分类汇编（必修Ⅳ——向量）（一）选择题1、【08安徽理3】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)A B =，(1,3)AC =,则AB =（ B ） A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）2、【08安徽文2】若(2,4)A B = ，(1,3)AC =, 则BC = （ B ） A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3、【08广东文3】已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--4、【08湖北文1】设(1,2),(3,4),(3,2),(2)a b c a b c =-=-=+= 则（C ）A.(15,12)-B.0C.-3D.-115、【08湖南理7】设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,D C BD = 2,C E E A =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC （A ）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直6、【08辽宁理5】已知,,O A B 是平面上的三个点,直线A B 上有一点C ,满足2AC CB +=0 ,则O C等于(A ) A.2OA OB - B.2OA OB -+ C.2133O A O B - D.1233O A O B -+7、【08宁夏理8】平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∈R ∃，λ=b aD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b8、【08宁夏文5】已知平面向量(13)=-，a ，(42)=-，b ，λ+a b 与a 垂直，则λ=（ A ） A ．1- B ．1C ．2-D ．29、【08全国Ⅰ理3】在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ A ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c10、【08全国Ⅰ文5】在A B C △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +11、【08浙江理9】已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--= a c b c ，则c 的最大值是（ C ） A ．1B ．2C ．2D ．22（二）填空题12、【08江苏5】b a ,的夹角为 120，1,3a b == ，则5a b -= 713、【08江西理13】直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段B C 的三等分点，则AE ·AF＝ 22 ．14、【08江西文16】如图，正六边形A B C D E F 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 A,B,D （写出所有真命题的代号）15、【08北京文11】已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么 a b 的值为 -8 16、【08宁夏理13】已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b ，29λ+=a b 且0λ>，则λ= 3 ．17、【08全国Ⅱ理13】设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 2 ． 18、【08陕西理15】关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-．③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）19、【08上海理5】若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ 720、【08天津文14】已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=- c a a b b ，则=c 82 ．21、【08浙江理11】已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = 12+22、【08浙江文16】已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 [0,1] 。

线面角、面面角强化训练(含答案)

线面角、面面角强化训练一．解答题（共24小题）1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．8．（2008•安徽）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．9．（2005•北京）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．13．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．14．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．15．（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．16．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．17．（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．21．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．23．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当A1、E、F、C1共面时，求：①D1到直线C1E的距离；②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．线面角、面面角强化训练参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．B=B=，即∠，BH=，H=，2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．BE=中，所成的角的正弦值为3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．），，﹣，，﹣所成角的正弦值为4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．EF=（5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．EF DGa所成角的正弦值为所成角为，∴）解：由，得，∴所成的角为所成的角为．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．的法向量为锐角时，所求的角即为它的余角；当=MD=SM=（，y==，，＞==，＞arcsin7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，则，代入公式可求的法向量的法向量，，﹣，，，=|）知，设的法向量令的法向量所以的法向量=0t=PA=8．（2008•安徽）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．ADC=DP=利用勾股定理求得等于，，的坐标表示．设平面的法向量为，，表示出和在向量的距离为，∴，所成角的大小为．的距离为．，，•=0•=0•（，﹣，．在向量=）上的投影的绝对值，的距离为9．（2005•北京）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．=λ，与AC，AB=，CE=CBCED==所成角的余弦值（（Ⅰ）∵=0⊥，，=∥（Ⅲ）∵=，＞所成角的余弦值为10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．距离的的一个法向量，结合然后求出距离的，再利用向量的射影公式直接求点的中点可得即，则，，由PN=（．）可知所求距离为．的一个法向量，由可得：，所以所求角的大小为，所以，则距离的，设点．11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．（Ⅰ）利用，求出．即可．．通过，得到．求出，，由已知，．解得，所以（Ⅰ）因为．即．，所以．．则，）则，则，由已知，，解得，∴（Ⅰ）因为，．即．，所以12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣=，（）•==0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣，（﹣，﹣，＞==13．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．=．=，得D=，D=2=．=，﹣得=0，2，）=，=，则⊥，⊥取=（=，则⊥，，即取得，＞==．14．（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．=，从而D=．所以=，，，从而，，﹣，故，2，，=，则有⊥，⊥•且•，即，取=，=，则⊥，⊥，即且=0，＞=，所以二面角的平面角的余弦值15．（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．的法向量，AQ=2AC=AB=中，（﹣，（），的平面角的余弦值为BD=AM=PB=AE=AQ=2BPC=MQ=．QE=，∴AEQ=的平面角的余弦值为16．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．OP=与平面OP=，，OC====．为原点，建立空间直角坐标系．则）=2=，则由得出，取﹣，所以（﹣===．OP=，，，所以=2 =）为平面==arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，=，则由得出，，则，所以=，的一个法向量为==arccos17．（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．，﹣，，因此（，﹣==，则•，•y=z，则==，＞=，所以二面角CB=CGFGC=的余弦值为18．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．求出则、、由向量积的运算易得•，•、、的坐标，的法向量法向量，==••=即因此可取，=，＞﹣的余弦值为﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．的坐标，求出向量，和平面BD=，，，，=的法向量为，则因此可取（，=，==﹣的余弦值为：﹣20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．D=21．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．，求，））=的法向量=，则，）∴的距离为的法向量（，的法向量，的余弦值为22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．FO=中，中，所成的角大小为，可得的大小为23．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当A1、E、F、C1共面时，求：①D1到直线C1E的距离；②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．坐标，代入向量数量积公式，易得满足，的一个法向量为，的一个法向量为24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．（Ⅰ）求出通过，相关向量，计算，求二面角，∴，的距离是，．的大小是。

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2011届高三数学（文）强化训练（14）
11、 12、 13、 14、 _____ 一、选择题
1、若命题甲：“AB DC =”，命题乙：“ABCD 是平行四边形”。

则甲是乙的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
2、下列命题中正确的是（）
A 、若||||a b =，则a b =
B 、若a b =，则//a b
C 、若||||a b >，则a b >
D 、若||1a =，则1a =± 3、向量(3,4),(1,)a b y ==，如果a b ，则y =（） A 、
43 B 、34 C 、2 D 、3
4
- 4、与向量(12,5)a =平行的单位向量为（）
A 、125(,)1313-
B 、125
(,)1313-- C 、125125(,)(,)13131313--或 D 、512512(,)(,)13131313
--或
5、、在
ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +-=，
则角B 的值是（） A 、
6π B 、3
π
C 、566ππ或
D 、233ππ或
6、已知(1,2)a =，(2,4)b =--，||5c = 若5
().2
a b c +=
，则a c 与的夹角
为（）
A 、0
30 B 、0
60 C 、0
120 D 0
150 7、下列向量组中，能够作为平面中的一组基底是（） A 、1(0,0)e = 2(1,2)e =- B 、1(1,2)e =- 2(5,7)e = C 、1(3,5)e = 2(6,10)e = D 、1(2,3)e =- 213(,)24
e =-
8、(1,1)a =且2a b a +与同向，则a .b 的取值范围是（） A 、(1,)-+∞ B 、(0,)+∞ C 、(1,)+∞ D 、1(,)2
+∞
9已知向量,2,56,72a b AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,，则一定共线的三点是（）
(A)、B ，C ，D (B)、A ，B ，C (C)、A ，C ，D (D)、A ，B ，D 10、在
ABC 中，若cos 2sin sin 1C A B =-，则ABC 的形状
一定是（）
A 、等腰三角形 `
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等边三角形二、填空题
11、在
ABC 中，,B=60
,那么角A= ____
12、已知平面向量(1,3),(4,2)a b =-=-，a b a λ+与垂直，则实数λ的值为_____
13、若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 边的中点，且,AB a CD b ==，则用向量
,a b 表示向量BE =_______________
14、三角形ABC 中5
,,.0,,||1,4
ABC
AB a AC b a b S
a ==<=
= ||5b a b =，则与的夹角度数为。