2.2垂直思维与水平思维
“六顶思考帽'',启发校长刨新思维
“六顶思考帽’’，启发校长刨新思维中央教育科学研究所副研究员 方铭琳学校管理要创新，校长及其领导的团队必须具有创新的思维。
如何拥有创新思维，提高领导团队的决策效率，是创新型学校领导应思考的重要问题。
本文介绍世界tt创新思维之父”——波诺(Edwardde Bono)的“六顶思考帽”，希望能对学校领导团队思维方式的创新有所启发，并有利于激发学校管理创新。
一、垂直思考法与水平思考法的比较人们惯常的思维方式是垂直思考法(直接思考法、逻辑思考法)，即按照一定的方向和路线，运用逻辑思维的方式，对问题进行一定范围内的纵深挖掘的思考方法。
水平思考法(侧向思考法、横向思考法)，则是打破思维定势，通过转换思维角度和方向来重新构建新概念，考虑方方面面的因素后再做出选择决定的思考方法。
垂直思考法是因果对应的关系，其优点是比较稳妥，有一个较为明确的思考方向；缺点在于因为角色固定而缺乏建设性、计划性和创新性，不利于创造新的事物。
在学校领导思维方式中，也经常应用垂直思考法。
可实际的学校管理工作中，往往一个问题有多种‘‘可能’’的答案，评估这些答案又很难用对错来下结论。
所以，要想进行管理创新，更适宜用有很多可能性的、多元化的水平思考法。
当然，提倡在学校管理中更多地应用水平思考法，并不是要去否定垂直思考法的作用，因为永远没有最好的思维方式，而只有最合适的思维方式。
六顶帽子思考法属于水平思考法的一种，是由英国心理学家波诺创立。
波诺是英国剑桥大学思维基金会主席，长期于牛津大学、伦敦大学、哈佛大学和剑桥大学教授思维方法。
他是思维训练领域的国际权威，由他创立的喻为“六顶思考帽”，的“横向思维”被收入了《牛津英语大词典》和《朗文词典》。
“六顶思考帽，，是用六顶颜色不同的帽子作为比喻，把思维分成六个不同的方面，这六种思维方式并不代表六种性格的人，而是每一个人在思考问题时都可以扮演六种不同的角色。
每一种角色就是一种颜色，“六顶思考帽”对人的思维方式进行分解，然后按照每一种思维模式对同一事物进行思考，最终得到全方位的“彩色”思考。
实用广告学系列之三广告创意思维方法
复兴三杰中的拉斐尔桑齐 古埃及第十八王朝法老面包 奥---红萝卜
美国西部拓荒时代传奇人 物水牛比尔——意大利白 色干酪
美国芝加哥黑帮头目刀疤 脸阿尔——柿子
（二）抽象思维。抽象思维也就是逻辑思 维，借助于概念、判断、推理等抽象形 式来 反映现象的一种概括性、论证性的 思维活动。
训练题：成语接龙是一项智力游戏，它其实也是
广告创意思维方法
创意方法——brainstorming
头脑风暴： 1、禁止批评 2、畅所欲言 2、数量越多越好 3、鼓励搭便车 4、有时间限制
创意思维方法
形象与抽象 发散与聚合 垂直与水平 逆向与顺向
一、形象、抽象的思维方法
（一）形象思维又称直觉思维，借助于具体 形象进行思考，具有生动性、实感性的思 维活动方式。通俗地说就是由形及象，由 象而形的思维过程。
试以“玻璃杯”、“皮带”、“手机”、 “钻戒”等
为主题，用发散性思维尽可能地想象出他 们的不同属性，不同用途，并按属性进行 归纳整理。可不受任何属性的限制。
3、关系发散
用想象和联想重新理解和诠释事物及其关 系。事物的联系是多方面的，不只是有唯 一解释，甚至我们认为理所当然的天经地 义的事件和关系有时也可能存在其它不同 的解释。
谢谢大家！
为纵向思考。一般从前因后果、逻辑顺序、历史 现状等角度思考，强调的是缜密、精确、严谨、 有序，思考的路线一般是线性的，即沿着线性思 路，一步步地解析、演绎、推理、求证。
（二）水平思维法 其核心内涵是，当人们为所创新的目标 进行思考时，大有必要离开一贯认为是正 确、无疑的固有概念。
四、顺向、逆向思维法
不可麻痹大意，要防微杜渐。20.11.3020.11.3022:23:1222:23:12November 30, 2020
以小说为例谈整本书阅读思维的两个维度
以小说为例谈整本书阅读思维的两个维度作者：姚瑶来源：《语文教学与研究·下旬刊》 2020年第7期姚瑶整本书阅读教学是新课改对我们语文阅读教学提出的要求，整本书阅读不是辅助教学的课外阅读，而是由传统的片段化章节阅读向整本书全面阅读发展的阅读，本文试图以小说文本阅读为例，从水平思维和垂直思维两个维度，来谈小说整本书阅读的有效性。
1941年叶圣陶先生在《论中学国文课程标准的修订》中对“读整本的书”提到：“把整本书作主体，把单篇短章作辅佐”[1]，这一概念的提出就可以看出作为一代教育家，叶先生对阅读提高学生欣赏能力、读写能力有了前瞻性的思考。
20世纪80年代顾黄初重申叶圣陶的观点，2001年开始，新课程改革一直把整本书阅读研讨放在很重要的位置，由开始的鼓励到后来将之列为15个任务群中的任务群2，整本书阅读已经开始由理论研究向课堂实践深入发展。
我认为小说整本书阅读要达到深度，必须正确开发学生的垂直思维和水平思维两个维度。
一、小说阅读开发垂直、水平思维的目的垂直思维(Vertical thinking)，又称为逻辑思考法或收敛性思维。
它是指用逻辑的、传统的思维方法来解决疑难问题的思维方法。
传统思维遵循一定的思维路线或思维逻辑，思考的方向是向上或者向下，使头脑扩充。
逻辑性、严密性和深刻性是垂直思维的优势。
水平思维是以非正统的方式或者显然地非逻辑的方式来寻求解决问题的办法，非正统的方式就是不能再以传统的以时间或者故事发展的前因后果来进行整本书的阅读，而应该打破传统思维，用新的主题阅读来代替固化的思维模式。
美国作家莫提默·J·艾德勒和查尔斯·范多伦给我们整本书阅读指出了阅读的四个层面。
其中第一个层次基础阅读，第二个层次检视阅读类似于我们在考试中的文本阅读。
第三个层次分析阅读，就是我们在完整地阅读了一本书后，自己吸收了多少知识。
第四个层次对我们的要求更高，叫主题阅读，主题阅读是一种很系统地阅读一类或者多种类型的阅读。
垂直思考法和水平思考法的比较
垂直思考法和水平思考法的比较
垂直思考法和水平思考法的比较
英国心理学家爱戴华?戴博诺博士对这两种思维方法,进行了详细的比较,主要有以下十项内容:
垂直思维是选择性的,水平思维是生生不息的; 垂直思维的移动,是只在有了一个方向时才移动,水平思维的移动则是为了产生一个新的方向; 垂直思维是按部就班,水平思维则可以跳来跳去; 垂直思维是分析性的;水平思维则是激发性的; 垂直思维者,必须每一步都正确,用水平思维者则不必; 垂直思维为了封闭某些途径要用否定,水平思维则无否定可言; 垂直思维要集中排除不相关者,水平思维则欢迎新东西闯入; 用垂直思维,类别、分类和名称都是固定的,用水平思维则不必; 垂直思维遵循最可能的途径,水平思维则探索最不可能的途径; 垂直思维是无限的过程,水平思维则是或然性的过程。
平行思维的概念及其与垂直思维的关系
平行思维一、平行思维的提出平行思维的提出者爱德华·德·波诺描述性思维判断式思维（垂直思维）设计式思维（平行思维）一、什么是平行思维又称水平思维，指从不同角度认知同一个问题的思考模式。
当人们使用平行思维时，便能够跳出原有的认知模式和心理框架，打破思维定式，通过转换思维角度和方向来重新构建新概念和新认知。
涵盖：水平思考法侧向思考法横向思考法逆向思考法我们为什么难以创新？数千年来，统治人类思维的基本模式是判断式思维模式，一种非此即彼的思维模式。
在现实中往往一个问题有多种“可能”的答案，评估这些答案难以用对与错来下结论。
同时，信息分析或问题分析不会导致创意产生。
人类需要开发其他思考模式去拓展思路和寻找创意。
于是，平行思维就变成了当前最重要的创造性思维模式。
二、平行思维与垂直思维关注“是什么”关注“可能成为什么” 建设性思考 相互冲突的观点被兼容 聆听、理解、设计和创造批判式思考产生非此即彼的观点导致判断、质疑、争论 垂直思维平行思维 波诺博士：“平行”意指进入旁边的路径，从而在不同的模式中进行转换，而不是像垂直思维那样沿着既定的路径一直走下去。
平行思维与垂直思维各自优缺点垂直思维优点：容易发现不合逻辑之处，找到思维的漏洞，可能推翻某种意见或结论，产生出新的思想与观念缺点：容易攻其一点不及其余，一叶蔽目不见泰山，导致极端观点的产生平行思维优点：避免了对垂直思维带来的无意义争论，从不同的角度进行立体化思维，对事物有较全面的认识缺点：没有告诉我们如何整合不同的观点和意见，形成一个整体的结论三、平行思维在团队中的应用带来的收获：1、增加建设性、创造性产出；2、充分研究每一种情况和问题，创造超常规的解决方案；3、提高团队中每个成员的创造性思维能力，变无意义的争论为集思广益的创造；4、提高团队中每个成员的协作能力，让团队的潜能发挥到极限。
运行步骤：1、陈述问题事实；2、提出如何解决问题的建议；3、对建议进行优缺点的评估：列举优点、缺点；4、对各项选择方案进行直觉判断；5、总结陈述，得出方案。
六顶思考帽 (企业创新思维培养)
关键 要点
1. 对已有经验和知识，以对旧的经 验和知识的重新组合来产生创意
2. 对事情做更深入的研究和表达 3. 不易产生新的创意
水平思考法
概念
水平思考是一套创造力训练工具，使我们学会 创造性地看待问题和解决问题的流程和方法， 产生新价值、提高个人和团队的竞争力。
关键 要点
1. 提高组织和个人的创新能力 2. 能够找准问题、定义创新和需要努力的方向 3. 应用规范性工具进行创造性思考 4. 收获思考成果，进行深入开发 5. 为创新提供平台和微观文化 6. 突破常规，改变原有处理问题的习惯
•靠着这25个创意，ABM公司度过6星 期没有收入的 艰苦卓绝的日子。
洛杉矶奥运会
1984年洛杉矶奥运会的主办者 就是运用了“六顶思考帽”的创 新思维，使奥运会从烫手山芋变 成了今天的炙手可热，并且获得 了1.5亿美元的盈利，2002年5 月，爱德华·德·博诺曾应邀来华 为北京奥运组委会官员做“六顶 思考帽”培训，当时中国媒体曾 为“六顶思考帽”的神奇惊呼， 并尊爱德华·德·博诺为“创新思 维之父”。
白帽：梳理关键事实、数据和资料等信息
•目前20个客户品牌里抱怨率占30% •200个经销商数的抱怨率为40% •产品质量稳定性不佳 •部分产品价格高于对手5%左右 •竞争对手反应速度
黑帽：分析可能面临的问题、困难和风险
• 有存在客户更换供应商的风险 • 经销商积极性不高 • 市场份额减少
绿帽：解决方案
随机 输入
交通信号 香烟
• 在距离香烟烟蒂1.5厘 米的地方标示一条红线， 来告知吸烟者此处是最 危险的地带，并提示他 们熄灭香烟的选择权。
重点 总结
01
概述
水平思考法是一种促使创意产生的创造性思 维方法，是指摆脱某种事物的固有模式，从 多角度多侧面去观察和思考同一件事，善于 捕捉偶然发生的构想。
水平思考法
A
对于处在这种情况的女孩，运用垂直思考的人通常帮不上 什么忙。 依照他们对事情的分析，只有三个可能的对策： (a).女孩应该拒绝选择石子 (b).女孩应该戳穿债主的骗局，揭露袋中都是两个黑石子 的真相 (c).女孩应该硬着头皮取出一颗黑石子，牺牲自己终身幸 福，使父亲免于牢狱之灾。
20
A
女主角伸手探入袋中，摸出一个石子，漫不经心似的，她 眼睛看着别处，手一松，石子便顺势滚落路上的石子堆里， 立刻分辨不出来了。 「啊，看我笨手笨脚的」，女孩呼道：「不过，没关系， 你现在只需要看看袋子里的这颗石子是什么颜色，就可以 知道我刚才选的另一颗是黑是白了。」 当然咯，袋中剩下的一定是黑的，恶主债既然不愿承认自 己的诡计，当然也就只有认定她抽中了白石子。
11
水平 思考
能成为什么 机会
A
么什是
真相
创新思考 的过程：
1、选择和定义焦点
2、想出各种注意
备选方法/概念提炼/挑战 随机输入/激发与行动
3、收获、评估、处理、 思考结果
12
4、结果：新的创意
A
思考案例： 小张不会游泳，想到河对岸去，如何过去？
13
焦点：小张不会游泳，想到河对岸去，如何过去？
6
A
水平思考法的含义
所谓水平思考，就是换位思考、高位思考和换向思考（逆向思 考与侧向思考）。德·博诺博士常常把水平思维与平行思维混用。在 他看来，水平思维就是设计式思维和创造性思维。
水平思考法是指在思考问题时摆脱已有知识和旧的经验约束， 冲破常规，提出富有创造性的见解、观点和方案。这种方法的运用 ，一般是基于人的发散性思维，故又把这种方法称为发散式思维法 。
A
水平思考法
1
2024年新高二数学讲义两条直线平行与垂直的判定(思维导图+2知识点+6考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义两条直线平行与垂直的判定（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点1两条直线平行1、直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在条件1290︒=≠αα1290︒==αα对应关系1212//＝⇔l l k k 12//⇔l l 两条直线斜率都不存在图示2、对直线平行判定的理解（1）2121//k k l l =⇔成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②21l l 与不重合．（2）1212k k l l =⇒//或21l l 与重合．（3）1212l l k k ⇒=//或两条直线的斜率都不存在．（4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行．知识点2两条直线垂直1、直线垂直的判定对应关系1l 与2l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12121⊥⇔⋅=-l l k k 1l 与2l 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l 与2l 的位置关系是12⊥l l图示2、对直线垂直判定的理解（1）12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当两条直线的斜率都存在，且121k k ⋅=-时，两条直线垂直；（30，则两条直线也垂直．考点一：两条直线平行的判定例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（）A ．直线1l 经过点()0,1A ，()10B ,，直线2l 经过点()1,3M -，()2,0N B ．直线1l 经过点()1,2--A ，()1,2B ，直线2l 经过点()2,1M --，()0,2N -C ．直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D D ．直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，直线2l 经过点()1,1M -，()3,2N 【答案】A【解析】对于A ，因为1201301,11012l l k k --==-==----，所以12//l l ；对于B ，因为()12122212,11202l l k k -----====-----，所以直线12,l l 不平行；对于C ，由直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D ，得直线12,l l 的斜率都不存在，且两直线重合；对于D ，因为直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，所以直线直线1l 的斜率不存在，而2123132l k --==-，所以直线12,l l 不平行.故选：A.【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．(1)1l 经过点()2,3A ，()4,0B -，2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；(2)1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；(3)1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；(4)1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合【解析】（1）301242AB k -==+，21123MN k -==-+，AB MN k k ≠，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2231422k -==--，12k k =，所以l 1与l 2平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以12l l //.（4）由题意，知11120EF k --==--，43132GH k -==-,EF GH k k =，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，23114FG k --==--.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．考点二：两条直线平行关系的应用例2.（23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线1l 过()1,4A -，()2,0B ，且12//l l ，则直线2l 的斜率为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】由题意直线1l 的斜率为1404123k -==---，又因为12//l l ，所以直线2l 的斜率为2143k k ==-.故选：C.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点(3,),(5,)A n B m 的直线1l 与经过点()()2,0,0,(0)P m Q n mn -≠的直线2l 平行，则mn的值为（）A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．－2或1【答案】C【解析】由题意得122,2l l m n n k k m-==，因为12//l l ，所以12l l k k =，即22m n nm-=，化简得2220m mn n --=，所以m n =-或2m n =，又由0mn ≠得mn＝－1或2，故选:C .【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，则m =（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以1m ≠-，因此过()(),3,1,A m B m -两点的直线的斜率为31m m---，因为过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以有3tan 45111m m m-==⇒=-- ，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4-重合，点()2023,2024与点(),a b 重合，则a b +=（）A ．4046B ．4047C ．4048D ．4049【答案】B【解析】设()2,0A ，()2,4B -，则点A ，B 所在直线的斜率为40122AB k -==---，由题意知，过点()2023,2024，(),a b 的直线与直线AB 平行，所以202412023b a -=--，整理得：202320244047a b +=+=.故选：B考点三：两条直线垂直的判定例3.（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．相交且垂直C ．重合D ．相交且不垂直【答案】B【解析】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B ．【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中12l l ⊥的是（）A ．1l 的倾斜角为45 ，2l 的斜率为1B ．1l 的斜率为2l经过点()2,0A ，(B C ．1l 经过点()2,1P ，()4,5Q --，2l 经过点()1,2M -，()1,0N D ．1l 的方向向量为()1,m ，2l 的方向向量为11,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】对A ，1tan 451l k =︒=，21l k =，121l l k k ⋅≠-，所以A 不正确；对B ，2l k ==，121l l k k ⋅=-，故B 正确；对C ，151142l k --==--，220111l k -==---，121l l k k ⋅=-，故C 正确；对D ，因为()1,m 11,110m ⎛⎫⋅-=-= ⎝，所以两直线的方向向量互相垂直，故12l l ⊥，故D 正确.故选：BCD【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析【解析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k ∴⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x ∥轴，∴12l l ⊥．【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线1l 与2l 是否垂直．(1)1l 的斜率为10-，2l 经过点()10,2A ，()20,3B ；(2)1l 经过点()3,4A ，()3,10B ，2l 经过点()10,40M -，()10,40N ；(3)1l 经过点()1,2A -，()5,1B -，2l 经过点()1,0C ，()4,6D ．【答案】(1)12l l ⊥；(2)12l l ⊥；(3)12l l ⊥【解析】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，2321201010k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥．（2）由点A ，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90︒，则1l x ⊥，设直线2l 的斜率为2k ，则()2404001010k -==--，所以2l x ∥轴．故12l l ⊥．（3）方法一：直线1l 的斜率()1121512k --==---，直线2l 的斜率260241k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =- ，直线2l 的方向向量()3,6CD =，因为0AB CD ⋅= ，所以AB CD ⊥，所以12l l ⊥．考点四：两条直线垂直关系的应用例4.（23-24高二上·河南郑州·月考）已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（）A ．6B ．－6C ．5D ．－5【答案】B【解析】因为1tan 451l k =︒=，()()211325l m m k --+==--，且12l l ⊥，所以121115l l m k k +⋅=⨯=-，解得6m =-，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+，若直线AB CD ⊥，则m 的值为（）A ．1或1-B ．3-或1-C ．1-或3D ．3或3-【答案】A【解析】∵A ，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.∵AB CD ⊥，则CD 与x 轴不垂直，∴3m -≠，即3m ≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--，解得1m =-，此时，点C ，D 的纵坐标均为1-，则//CD x 轴，此时AB CD ⊥，满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+，∵AB CD ⊥，∴1AB CD k k =-，即()()212113m m m +⨯=--++，解得1m =.综上，m 的值为1或1-，故选：A .【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点()0,2A -，()6,0B ，()0,C a ，且点C 在线段AB 的垂直平分线上，则=a （）A ．2B ．2C ．8D ．8-【答案】C【解析】由点()0,2A -，()6,0B ，可得线段AB 的中点()3,1D -，所以得：线段AB 的斜率为021603AB k +==-，所以得：线段AB 垂直平分线的斜率为1303a k +=-=-，解之得：8a =.故选：C.考点五：直线平行、垂直的综合应用例5.（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12P Q R S --，则下列结论正确的是（）A ．//PQ SRB ．PQ PS⊥C ．//PS QRD ．PR QS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQ k --==-+，12632125SR k -==--，122532435PS k -==≠-+，PQ SR k k =，且,,,P Q R S 四点不共线，则//PQ SR ，A 选项正确；35153PQ PS k k =⨯⋅-=-，PQ PS ⊥，B 选项正确；6(4)51263QR PS k k --===-，//PS QR ，C 选项正确；124426QS k +==--，6211244PR k -==+，1414QS PR k k ⋅=-⨯=-，PR QS ⊥，D 选项正确．故选：ABCD ．【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2240k k m -+=）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若12l l ⊥，则=2mC ．若12//l l 则2m =-D ．若12//l l ，则=2m 【答案】AD【解析】直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2240k k m -+=的两根，∴122m k k ⋅=，若12l l ⊥，则1212mk k ==-，得2m =-；若12//l l ，则12k k =，∴1680m ∆=-=，得=2m ，故选：AD【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线1l 经过()(),1,4,3A m B m ---+，直线2l 经过点()()1,2,4,2C D m --+.(1)若1l //2l ，求m 的值；(2)若12l l ⊥，求m 的值.【答案】(1)1或6；(2)3或4-【解析】（1）由题可知直线2l 的斜率存在且()222143m mk -+==--+，若则直线1l 的斜率也存在，由()2113244m mk k m m --+-+===-+-+，得243m m m -+=--+，即2760m m -+=解得1m =或6，经检验，当1m =或6时，12//l l ；（2）若12l l ⊥，当20k =时，此时10,m l =斜率12142k -==-存在，不符合题意，当20k ≠时，直线2l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的斜率也存在，且121k k ×=-，即2134m mm -+-⋅=--+，即2120m m +-=，解得3m =或4-，所以当3m =或4-时，12l l ⊥.【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线1l 经过()(),3,1,A m B m 两点，2l 经过()()2,1,4,2P Q 两点．(1)若12//l l ，求m 的值；(2)若12,l l 的倾斜角互余，求m 的值．【答案】(1)73m =；(2)53m =【解析】（1）211422PQ k -==-，因为12//l l ，所以3112AB PQ m k k m -===-，得73m =，经检验，符合题意，所以73m =；（2）因为12,l l 的倾斜角互余，设1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为π2α-，所以3121AB PQ m k m k -===-，得53m =．考点六：几何图形的特征的应用例6.（23-24高二上·江苏盐城·期中）以()()()5,1,1,1,2,3A B C -为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】直线AB 的斜率1(1)1152AB k --==--，直线BC 的斜率31221BC k -==-，由1AB BC k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，故ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，试判断ABC 的形状.【答案】直角三角形.【解析】如图所示，边AB 所在直线的斜率111512--==--AB k ，边BC 所在直线的斜率13212BC k -==-.由1AB BC k k ⋅=-，得AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以ABC 是直角三角形.【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,3A ，()3,2B -，()4,1C --．试判断四边形OABC 的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【解析】如下图示：OA 边所在直线的斜率3OA k =，AB 边所在直线的斜率14AB k =，BC 边所在直线的斜率3BC k =，CO 边所在直线的斜率14CO k =．由BC CO k k ≠知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又OA BC k k =，得//OA BC ．同理，由AB CO k k =且AB 与CO 不重合，得//AB CO ．因此四边形OABC 是平行四边形．【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为()()()()0,0,1,,12,2,2,2O P t Q t t R t -+-，其中0t >.试判断四边形OPQR 是否为矩形.【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.【解析】由斜率公式得010OP t k t -==-，()()222121RQ t t t t k t ----+-===-20120OR k t t -==---,2211122PQ t t t k t t-==-=--所以OP RQ k k =，OR PQ k k =，从而OP ∥RQ ，OR ∥PQ .所以四边形OPQR 为平行四边形.又1OP OR k k ⋅=-,所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形.一、单选题1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线1l 过()2,3A ，()0,4B ，且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】A【解析】由题设1431022l AB k k -===--，又12l l ⊥，则直线2l 的斜率为2.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l 经过点()2,1A a --和()2,1B a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是（）A ．23-B ．32C ．23±D ．32±【答案】A【解析】由题意得，直线l 的斜率必存在，且1112(2)AB k a a a=－－＝－－－－－()0a ≠.因为直线l 与斜率为23-的直线垂直所以2113a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭－，解得23a =-.故选：A .4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【解析】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ≠时，直线2l 的斜率()221120a ak a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121aa a-⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【解析】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B6．（23-24高二上·全国·课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D 【解析】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-∴=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+ ，AD BC AD ====≠，所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.二、多选题7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中1l 与2l 一定平行的是（）A ．1l 经过点()()2,1,3,5AB -，2l 经过点()()3,3,8,7CD --B ．1l 经过点()()0,1,2,1EF --，2l 经过点()()3,4,2,3GH C ．1l 的倾斜角为60 ，2l 经过点(2,M N --D ．1l 平行于y 轴，2l 经过点()()0,2,0,5P Q -【答案】AD【解析】对于A ．由题意知12514734,325835k k --+==-==----，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，又5(3)443335BC k --==-≠---，故12//l l ，A 选项正确；对于B ．由题意知1211341,12023k k ---====---，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，4(1)13(2)FG k --==--，故直线1l 与直线2l 重合，B 选项错误；对于C ．由题意知12tan 60k k = ，12k k =，所以直线1l 与直线2l 可能平行可能重合，C 选项错误；对于D ．由题意知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12//l l ，D 选项确．故选：AD8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-≠--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-⨯=-，所以AB AC ⊥，所以ABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅≠-，所以D 错误，故选：AC三、填空题9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点(),3m 和()2,m 的直线l 与斜率为-4的直线互相平行，则m 的值是．【答案】53/213【解析】由题意32l mk m -=-，又因为直线l 与斜率为-4的直线互相平行，所以342m m -=--，解得53m =.10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以73231AC k -==-，131512AB k -==--，71335BC k -==--，设D 的坐标为(),x y （1x ≠且5x ≠且3x ≠），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，解得75x y =⎧⎨=⎩，即(7,5)D ；②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =，所以331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--，解得19x y =-⎧⎨=⎩，即(1,9)D -；③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k =所以132351BD AD y y k k x x --====---，，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即(3,3)D -；所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线1l 经过()()1,,4,5M m N -两点，2l 经过()6,0,(1,3)R S --两点，若12l l ⊥，则m =；若12l l ∥，则m =．【答案】0345-【解析】由已知()2303165l k -==---，当12l l ⊥时，所以155413l m k --==--，解得0m =，当12l l ∥时，153415l m k --==-，解得345m =-，经验证：当345m =-时，12,l l 不重合.四、解答题12．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC 为直角三角形，求m 的值.【答案】(1)115；(2)1-或12【解析】（1）依题意可得AB CD k k =，即201147m m---=--，解得115m =.又202143AB k -==--，101743AD k --==--，所以AB AD k k ≠，所以A 、B 、C 、D 四点不共线，所以115m =.（2）若A 为直角，则1AB AC k k =-，即2001144m m --⨯=---，解得12m =.若B 为直角，则1AB BC k k =-，即2021141m m --⨯=---，解得1m =-.若C 为直角，则1AC BC k k =-，即02141m m m m --⨯=---，解得m =综上，m 的值为1-或1213．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ 的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -.(1)求斜率MN k 与斜率PQ k ；(2)求证：四边形MNPQ 为矩形.【答案】(1)1,1MN PQ k k =-=-；(2)证明见解析【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -，所以1,111203124MN PQ k k ---=-==--=-，即1,1MN PQ k k =-=-.（2）因为1,1MN PQ k k =-=-，所以//MN PQ .又因为01,12112134MQ NP k k -=--=--==，所以//MQ NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，又因为1MN MQ k k ⋅=-，所以MN MQ ⊥，所以四边形MNPQ 为矩形.。
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2.2.1 垂直思维
海天——老人小孩都爱吃 ，作者：李智超 指导老师：张晓东
北京印刷学院
2.2.1 垂直思维
2.2.1 垂直思维
广告主题 “大小爱吃的酱” 扩大海天品牌及海天招牌拌饭酱在年轻消费群体中
广告目的 的影响力，吸引新的消费者尝试进而激发购买海天招 牌拌饭酱。
这是一组来自第六届全国大学生广告艺术大赛的获奖作品， 其创意思维便是垂直思维。
2Hale Waihona Puke 2.2 水平思维 如何解决公司大楼电梯不足的问题？
1、提高电梯上下速度； 2、把电梯固定对应楼层，低层不停； 3、各部门上下班时间错开； 4、在电梯门口装面镜子； 5、在电梯门口装液晶电视播放新闻。
1、2、3属于垂直思维，4、5属于水平思维
2.2.2 水平思维
你会选择哪个出口?
假设你被困在了一个奇幻的房间里，房间仅有两个 出口。与第一个出口连通的是一个由巨大的放大镜制 成的房间，聚焦的太阳光会把你炙烤至死；与第二个 出口连通的房间里有一条喷火龙。
当然是第一个出口了。只需等太阳下山就能出去。 水平思维抛开定势，打开新空间，找到独特有效的解决方案。
2.2.2 水平思维
快乐重生
广告公司：奥美中国 广告主：可口可乐
2.2.2 水平思维
这则广告，体现了一种水平思维方式：从新 的方向发掘灵感，同时改变自己传达广告讯息 的方式。创意瓶盖将原本废弃的可口可乐瓶瞬 间变成好玩实用的物品或玩具，这样的创意， 令人赞叹。
按照“提出问题”→“解决问题”的逻辑，由具体的生活 场景表现“大小爱吃的酱”这一主题，给受众传递海天招牌 拌饭酱是可以随身带的美味。
2.2.1 垂直思维
作品名称：我是90后 作者：卢杰敏 邓荟 黄超 黎家旺 杨丹妮 怀化学院 指导老师：姚劲松 蒋卓伦
2.2.2 水平思维
水平思维的过程就是使用一些非常规性的技 巧和方法，首先打破逻辑思维和线性思维，创 造可以激发想象的刺激点。这些刺激点可以帮 助需要解决问题的人实现横行跳跃，最终着陆 在新颖的想法上。
2.2.2 水平思维
打破大众的思维习惯，需要你自己先打破一切头脑 中的理所当然和约定俗成，让自己更开放更自由的心 态去思考。
此外，在使用水平思维的时候，不要忘记垂直思维， 二者的相辅相成，可以互为补充，有助于打破思维常 规。
谢谢大家
2．2垂直思维与水平思维
广告创意思维是广告创意的基础
2.2.1 垂直思维
垂直思维是指在一种结构范围中，按照有顺序 的、可预测的、程式化的方向进行思维的一种方 式，这也是一种符合事物发展方向和人类习惯的 思维方式。遵循由低到高，由浅入深的思维脉络， 顺着一条思路一直往下延伸，直到找出问题答案， 水落石出，水到渠成。