人教版七年级下册数学三元一次方程组解法PPT课件
类比法
① ② ③
由②+③得：（2x-y+z)+(2x+y-3z)=4+10 加减 整理得：4x-2z=14 ⑤
3x - z 9 把④、⑤组成二元一次方程组得： 4x - 2z 14
x 2 解这个二元一次方程组得： z -3 x 2
把 代入①得：2+y-2(-3)=5 z -3 解得：y=-3 ∴ 原方程组的解是
① ② ③
认识提高：用代入法解三元一次方程组 的关键是什么？ 如何用代入法消去一元 组合成含2个相同未知数的二元一次方程组 消元 组合
说说代入消元法:
用加减法解方程组:
3（2x+3y)=3⊙12 2（3x+4y)=2⊙17 配绝 配绝
2x 3y 12, ① ② 3x 4y 17.
① ② ③
认识提高：用加减法解三元一次方程组 的关键是什么？ 如何加减法消去一元 组合成含2个相同未知数的二元一次方程组 消元 组合
提高认识 1、数学思想：类比思想 2、解三元一次方程组的关键是： 无论用代入法还是加减法 都要想办法如何消去一元 组合成含2个相同未知数的二元一次方程组
消元 组合
x 2 y -3 z -3
写解
说一说：下列三元一次方程组用代入法 如何消元组合成二元一次方程组？
x 2 y -1 ① ② y z 5 x z 3 ③
4 x - 9z 17 3x y 15z 18 x 2 y 3z 2
写解
类比法
代入消元法:
解：由①得：x=5-y+2z ④ 变形 把④代入②得：2(5-y+2z)-y+z=4, 整理得:-3y+5z=-6 ⑤ 把④代入③得：2(5-y+2z)+y-3z=10, 整理得:-y+z=0 ⑥
x y 2z 5 2 x y z 4 代入 2 x y 3 z 10
代入
① ② ③
- 3y 5z -6 ⑤ 把⑤、⑥组成二元一次方程组得：- y z 0 ⑥
消元 组合
y -3 解这个二元一次方程组得： z -3
求解
把 y -3 代入④得：x=5-（-3）+2（-3） z -3 求解 解得：x=2 ∴ 原方程组的解是
数学思想：类比思想
① 说说代入消元法: x +y = 35 解方程组 2x +4 y = 94 ② 解： x = 35- y ③ 变形 由①得： 把③代入②得： 2（35-y）+4y= 94 解得 y= 12 把y= 12代入①，得x +12= 35 解得 ∴原方程组的解是 X=23
代入
求解Leabharlann x =23 y =12解:由①×3得： 6x+9y=36 ③ 由②×2得： 6x+8y=34 ④ 由③-④得:（6x+9y）-（6x+8y）=36-34 解得y=2 把y＝2代入①得，2x+3⊙2=12 解得:x＝3， x 3, ∴原方程组的解是 y 2.
加减 求解 写解
x y 2z 5 加减消元法: 解：由①+②得：（x+y-2z)+(2x-y+z)=5+4 2 x y z 4 加减 2 x y 3 z 10 整理得： 3x-z=9 ④
x 2 y -3 z -3
④ ⑤
消元 组合
求解 求解 写解
说一说：下列三元一次方程组用加减法 如何消元组合成二元一次方程组？
x 2 y -1 ① ② y z 5 x z 3 ③
4 x - 9z 17 3x y 15z 18 x 2 y 3z 2
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七年级下册数学：三元一次方程组的解法 (共17张PPT)
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该 注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
把 x=
5
2 代入③，得
2
z
3 2
问题探究
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
分析：
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程 （如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程 组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一 次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某个 未知数，就消某个未知数。
三元一次方程组的解法
教学目标：
1、掌握简单的三元一次方程组的 解法； 2、进一步体会消元转化思想．
什么叫做三元一次方程组?
方程组中含有三个未知数,且含未知数 的项的次数是一次，并且有三个方程， 这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组有哪几种方法 ？它 们的基本思想是什么？ 代入法、加减消元法、消元
x y z 6
总结归纳
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
人教版数学七年级下册 8.4 三元一次方程组的解法 课件(共21张PPT)
①与④组成方程组
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
人教版七年级下册数学：三元一次方程组的解法2 (共25张PPT)
②
5x 9 y 7z 8．
③
问 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？
方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到
的方程可与①组成一个二元一次方程组.
解： ②×3+③，得
11x+10z=35.
④
①与④组成方程组
3x 4z 7， 11x 10z 35．
解得
把 x=2， y=3代入③得z=1.
x 2,
∴原方程的解是
y
3,
z 1.
2. 甲乙丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数
大5，乙数的
1 3
等于丙数的
1 2
，求这三个数.
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
x y z 35,
x 10
则 2x y 5,
解：(1) ②×2+③得 x+2y=53.
④
④+①得 x=22.
代入④得 y=15 1 ．代入②得 z= 12 1 ．
2
2
x 22,
∴原方程的解是
y 15 1 , 2
z 12 1． 2
解：(2) ①+②得 5x+2y=16.
④
②+③得 3x+4y=18.
⑤
⑤-④×2得 x=2. 代入④得 y=3.
再将 ①×5+③，得
30a 6c 60， 即 5a c 10． ⑤
练习 1.解下列三元一次方程组：
x 2 y 9，①
(1)
y
z
3，
②
2z x 47．③
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=2，y=4，z=10.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
人教版七年级数学下册教学课件《三元一次方程组的解法》(第1课时)
问题： 1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法
（三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
面值
张数
钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法
考 点 1 三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( D )
2x 5
A.
x
2
y
7
x y z 6
x y z 7
C.
xyz
1
x 3y 4
4
x
-
y
z
2
B. x - 2y 3z 9
y
-3
x y 2
D.
y
z
1
x z 9
巩固练习
探究新知
8.4 三元一次方程组的解法
考点 1 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
分析：方程①中 只含x, z, 因此,可 以由②③消去y, 得到一个只含x, z
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④ 的方程, 与方程① 3x 4z 7, 组成一个二元一
x y z 12,
x
2
y
5z
22,
x 4 y.
这个方程组中含有 三 个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数是 1 .
人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法(共18张PPT)
⑤－②,得
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1
y
2
z 3
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么? （三）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注 意什么？
作业 习题8.4：1题，2题
本节内容结束
提出问题：1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知 数，我们自然会想到设1元、2元、5元的纸币分 别是x张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三 个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
定义
三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程。
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
前面我们学习了二元一次方程组及其解 法——消元法。对于有两个未知数的问题， 可以列出二元一次方程组来解决。实际上， 在我们的学习和生活中会遇到不少含有更多 未知数的问题。
纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元 纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各 多少张？
2. 化“二元”为“一元” 。
① x+y+z=2,
x-y+z=0,
③② x-z=4. 解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤
(z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得，
人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法课件(21张PPT)
x 4 y.
③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4y y z 12， 用的是什么消元方法？还 4y 2y 5z 22． 有什么方法？
即
5y z 12， 6y 5z 22．
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12，
解决问题
x y z 12， x 2 y 5z 22， x 4 y． 如何解这个三元一次方程组呢？
（1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法 求解？
x y z 12， x 2 y 5z 22，
① ②
①
解方程组
x+y+z=2, x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2
xz 1 ④
x-z = 4 ③
xz 1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
①
x+y+z=2,
x-y+z=0,
1课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？ （2）如何解一个三元一次方程组？
（3）三元一次方程组的解题思路是什么？
2.知识延伸：
在等式 y=ax2＋ ＋c中,当x=-1 时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求 a,b, c 的值. 作业：
教科书第106页练习 第1题第(1)小题． 习题8.4 第1题、第2题第(1)小题．
②
解法二：消去x x-z=4.
③
人教版七年级数学下册《三元一次方程组的解法》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元， 其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元的纸币各 多少张？
解：设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张.
x + y + z = 12， x + 2y + 5z = 22， x = 4y.
3
z = –2.
你还有其他解法吗？ 试一试，并与这种 解法进行比较！
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2 在等式 y = ax2+bx+c 中，当 x= –1 时，y=0；当 x=2 时，y = 3； 当 x=5 时，y=60.求 a，b，c 的值.
分析：观察题目，你能得到什么信息？
② – ①，得 a + b = 1；④ 把a =3，b = –2代入①，得 c = –5.
③ – ①，得 4a + b = 10；⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 因此
a + b = 1，
a = 3，
b = –2， c = –5，
4a + b = 10. 解这个方程组，得 a = 3，
b = –2.
即a，b，c的值分别为3，–2，–5.
我们继续探究！
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元， 其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元的纸币各 多少张？
分析 1.题目中有几个未知量？
1元纸币的数量、2元纸币的数量、5元纸币的数量
《三元一次方程组的解法_ppt1
示题目中的例数量3关系在． 等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表
②怎从样甲 解地三到元乙一地次的方过程x程组＝中呢，？2上我时坡们时知，间道＋，y二＝元一3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次
4a＋2b＋c＝3， ②
25a＋5b＋c＝60. ③
②－①，得a＋b＝1；Fra bibliotek④③－①，得4a＋b＝10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a＋ b＝1，
解这个方程组，得 a ＝ 3 ，
4 a＋ b＝1 0 .
把
a＝ 3， b＝ 2
b＝ 2 . 代入①，得c＝－5.
(4)解出方程组求出未知数的值；
过的二元一次方程组有什
三元一次 消 元 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一 骤和消元方法，不要盲目消元．
二元一次 消 元
一元一次
方程组
方程组
方程组
试一试 上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解? 比较一下，哪种方法更简便？
a＝ 3，
因此 b ＝ 2 , 即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
c 5,
例4 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有 一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h, 从 乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下 坡路的行驶过程中的时速分别是30 km, 20 km, 40 km， 则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长 度各是多少？
人教版《三元一次方程组的解法》PPTPPT课件初中数学ppt
8.4 三元一次方程组的解法
提问
情景导入
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ （2）解二元一次方程组的基本思想是什么？ （3）当未知数的系数分别为何种情况时选择 加减消元法？
实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该 怎么解决呢？
• 学习目标： 1．知道什么是三元一次方程组. 2．会用代入消元法和加减消元法解简单的三元 一次方程组.
快！
甲乙丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数
大5，乙数的
1 3
等于丙数的 1
2
，求这三个数.
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
x y z 35,
x 10
则 2x y 5,
解得
y
1
5
,
1 y 1 z． 32
z
1
0．
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
课堂小结
三元一次 方程组
思考 解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
随堂演练
基础巩固
对于方程组
2x+3y=5， 2x+y+z=6，此三元一次方程 3x-2y-z=-2，
z 先消去 ，应选择（ ）转化为二元一
次方程组.
B.加减消元法 C.两种都行
练习
(1)．“小试牛刀”——看谁反应快 请说说你会如何进行消元？
含未知数的项的次数都是1 1．知道什么是三元一次方程组. 先消去 ，应选择（ ）转化为二元一
问题 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。 2x+3y=5，2x+y+z=6， （2）题目中有哪些等量关系？ 你能说说什么叫三元一次方程组吗？
提问
情景导入
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ （2）解二元一次方程组的基本思想是什么？ （3）当未知数的系数分别为何种情况时选择 加减消元法？
实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该 怎么解决呢？
• 学习目标： 1．知道什么是三元一次方程组. 2．会用代入消元法和加减消元法解简单的三元 一次方程组.
快！
甲乙丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数
大5，乙数的
1 3
等于丙数的 1
2
，求这三个数.
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
x y z 35,
x 10
则 2x y 5,
解得
y
1
5
,
1 y 1 z． 32
z
1
0．
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
课堂小结
三元一次 方程组
思考 解三元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
随堂演练
基础巩固
对于方程组
2x+3y=5， 2x+y+z=6，此三元一次方程 3x-2y-z=-2，
z 先消去 ，应选择（ ）转化为二元一
次方程组.
B.加减消元法 C.两种都行
练习
(1)．“小试牛刀”——看谁反应快 请说说你会如何进行消元？
含未知数的项的次数都是1 1．知道什么是三元一次方程组. 先消去 ，应选择（ ）转化为二元一
问题 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。 2x+3y=5，2x+y+z=6， （2）题目中有哪些等量关系？ 你能说说什么叫三元一次方程组吗？