网络分析法

网络分析法（Analysis Network Process Method）简介
1996年Saaty教授在层次分析法（AHP）的基础上提出了网络分析法（Analysis Network Process Method ，ANP）。

ANP方法的基本理论与AHP法相同，不同的是模型结构，ANP 法中引入超矩阵的概念，采用这种方法，所有网络结构中的元素均能够对结论产生影响，最终结果不仅被备选方案的权重影响，也被备选方案所属元素集影响，可以通过反馈更好的反映现实生活。

ANP法的基本结构
与AHP法自上而下的层次结构不同，ANP法的网络结构中的连接没有固定方向，它既包括元素集之间的循环连接，也包括元素集对自身的反馈连接，这种网络结构往往能够较好的反映现实社会的问题，并且采用这种将问题细化结构、简单计算的方法远比采用简单划分结构、复杂计算过程的方法得到结果更令人满意。

网络分析法模型将系统分为控制层和网络层两个部分，控制层包括决策问题的目标和决策准则，至少应存在一个目标，但决策的准则可以没有，网络层由元素组组成，这些元素组受到控制层的支配，元素组间以及内部元素之间相互依存、相互影响，形成了网络结构。

典型的ANP模型如图所示：
网络分析法的基本步骤：
1）分析问题
对决策问题进行分析，形成元素集，分析元素层次是否内部独立，是否存在依存和反馈，分析方法类同于AHP方法，可采用会议法、专家填表等形式进行。

2）构造ANP的典型结构
首先构造控制层，界定决策目标和准则，再构造网络层次，分析每一个元素集的网络结构和相互影响关系，元素集间关系确定后即可构建相应的ANP网络，基本实际问题中都是既有内部依存又有循环的ANP网络层次。

3）构造ANP的超矩阵计算权重
网络分析法中的1-9标度法
几种常用的多目标决策方法
VAGUE 方法
Vague 方法由Cau 和Buehrer 提出，其本质是模糊集理论的一种推广形式。

Vague 集由真、假隶属函数定义，体现了元素对模糊概念的属于与不属于程度，较传统的模糊集理论有更强的表达不确定性的能力，且更具灵活性。

目前Vague 理论已经成功运用于模糊控制、模式识别、决策分析和专家系统领域，应用效果优于传统模糊集理论。

定义：假设论域{}12,,,n X x x x = ，X 上Vague 集A 由真隶属函数A t 和假隶属函数A f 描述:[0,1]A t X →，:[0,1]A f X →，其中()A i t x 是由支持i x 的证据所导出的肯定隶属度的下界，()A i f x 是由反对i x 的证据所导出的否定隶属度的下界，且()()1A i A i t x f x +≤。

元素i x 在Vague
集A 中的隶属度被区间[0,1]的一个子区间[(),1()]A i A i t x f x -所界定，称为该区间为i x 在A 中的Vague 值，记为()A i v x 。

对Vague 集A ，当X 离散时，记为：
1[(),1()]/,n
A i A i i i i A t x f x x x X ==-∈∑
当X 连续时，记为：
[(),1()]/,A A X
A t x f x x x X =-∈⎰
x X ∀∈，称()1()()A A A x t x f x π=--为x 相对于Vague 集A 的Vague 度，刻画了x 相对
于Vague 集A 的踌躇程度，是x 相对于A 的未知信息的一种度量。

()A x π值越大，说明x 相对于A 的未知信息越多，显然0()1A x π≤≤。

可知，x 相对于A 的隶属情况应具有三维表示((),(),())A A A t x f x x π。

对Vague 集的解释例如，设()[0.6,0.7]A v x =，则()0.6A t x =，()10.70.3A f x =-=，
()1()()0.1A A A x t x f x π=--=，此时可解释为，元素x 属于A 的程度为0.6，不属于A 的程
度是0.3，x 对A 的踌躇程度是0.1.用投票模型解释为，赞成6票，反对3票，弃权1票。

Vague 集将x 的隶属度限制在区间[0,1]中的一个子区间[(),1()]A A t x f x -内，如果
()1()A A t x f x =-，Vague 集退化为模糊集，如果()A t x 和1()A f x -同时为0或1，Vague 集退
化为经典集合。

模糊决策
模糊决策中常用的模糊数类型为三角模糊数。

若^
[,,]L M U a a a a =，其中0L M U a a a <≤≤，则称^
a 为一个三角模糊数，其特征函数（隶属函数）可表示为：
^()0L
L M M L U
M U M
U
a
x a a x a a a x a x a x a a a μ⎧-≤≤⎪-⎪⎪-=≤≤⎨-⎪⎪⎪⎩
其他
式中：L
a 和U
a 分别为^
a 所支撑的上届和下届，M
a 为^
a 的中值。

三角模糊数具有如下的运算法则：
假设^
[,,]L
M
U
a a a a =和^
[,,]L M U b b b b =为两个任意的三角模糊数，k 为任意的正实数，则有： （1）^
^[,,][,,][,,]L M U L M U L L M M U U a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++ （2）^
^[,,][,,][,,]L M U L M U L L M M U U a b a a a b b b a b a b a b ⨯=⨯=⨯⨯⨯ （3）^[,,]L M U k a k a k a k a ⨯=⨯⨯⨯ （4）^1
111
[
,,]U M L
a a a a -= 三角数比较的可能度公式
假设^
[,,]L M U
a a a a =和^
[,,]L M U b b b b =为两个任意的三角模糊数，则称：
^
^
()max 1max ,0,0(1)max 1max ,0,0M L U M M L M L U M U M
b a b a p a b a a b b a a b b λλ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎪
≥=-+--⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪-+--+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭
为^^
a b ≥的可能度，其中[0,1]λ∈。

这里，λ值的选择取决于决策者的风险态度，当0.5λ>时，称决策者是追求风险的，
当0.5λ=时，决策者是风险中立的，当0.5λ<时，称决策者是厌恶风险的。

特别当1λ=时，称^^()p a b ≥为^^a b ≥的悲观可能度，当0λ=时，称^^()p a b ≥为^^
a b ≥的乐观可能度。

定理1：若^
[,,]L M U a a a a =和^
[,,]L M U b b b b =为两个三角模糊数，则： （1）^
^0()1p a b ≤≥≤
（2）若U L
b a ≤，则^^
()1p a b ≥= （3）若U L a b ≤，则^
^
()0p a b ≥=
（4）^
^
^
^
()()1p a b p b a ≥+≥=，特别是^
^
()0.5p a a ≥=
若m 个三角模糊数两两进行比较，由上述定理1可知，得到的可能度矩阵()ij m m P p ⨯=是模糊互补判断矩阵。

熵权法
层次分析法和网络分析法确定权重实质上基本都是一种主观赋权法，它需要决策者对指标的重要性进行两两比较，主观性较强。

为在考虑专家意见的基础上使权重更加客观，可引入熵权的概念。

熵在信息理论中作为不确定性和信息量的度量，完全利用原始指标数据信息，以指标值之间的差异大小反映指标的“信息价值”来确定权重。

熵权法具体过程如下：
在有m 个评价指标，n 个方案的多目标评价问题中，由于各目标的量纲不一致，首先将决策矩阵进行标准化处理，得到优属矩阵[]ij m n μμ⨯=，然后定义第i 个指标的熵i E ：
1
1ln()ln n
i ij ij j E p p n ==∑
式中：1
/1,2,,n
ij ij ij
j p i m μμ===∑ 。

由熵的定义可知，如果某个目标的熵i E 越小，就表明其目标值的变异程度越大，提供的信息量越大，则其权重也越大。

反之，某目标的信息熵越大，表明其目标值的变异程度越小，提供的信息量越小，则其权重也应越小。

因此可根据各目标值的变异程度，利用计算熵值来确定各目标的权重，再对所有目标进行加权，从而得出较为客观的综合评价结果。

在这里，认为差异程度越大的目标越重要，则可将熵值取补后进行归一化，作为该目标的客观权重，第i 个指标的熵权计算公式如下：
1
1i
ei m
i
i E m E ω=-=-∑ 熵权法是一种客观赋权法，特点是完全利用原始指标数据信息来确定权重，独立于人的偏好与经验之外，客观性较强。

为保留专家和决策者主观意见的基础上使权重更为客观，即兼顾主客观两个方面，可将熵权法和层次分析法或网络分析法相结合。

熵权是对层次分析法和网络分析法确定的先验主观权重的一种修正，取ai ω为先验权重，熵权ei ω为后验权重，可得到第i 个指标的组合权重i ω：
1
ai ei
i n
ai ei
i ωωωωω==
∑。