整式的乘除题型及典型习题
整式的乘除(习题及答案)
整式的乘除(习题及答案)知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
——XXX整式的乘除（题）例1：计算(2x^3y)^2·(-2y)+(-8x^8y^3+4x^2)/(-2x^2)。
操作步骤】1）观察结构划部分：(2x^3y)^2·(-2y)+(-8x^8y^3+4x^2)/(-2x^2)2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算。
第一部分：先算积的乘方，然后是单项式相乘；第二部分：多项式除以单项式的运算。
3）每步推进一点点。
过程书写】解：原式=4x^6y^2·(-2y)+(4x^6y^3-2)/(-2x^2)8x^6y^3+4x^6y^3-24x^6y^3-2巩固练1.①-5a^3b^2·(-ab^2)=5a^4b^4；②(-m)^3·(-2m^2n^2)=2m^4n^2；③(-2x^2)^3·(-3x^3y)^2=36x^7y^6；④3b^3·(-2ac)·(-2ab)^2=12a^2b^7c。
2.①3xy^2·(2xz^2+3x^2y)=6x^2y^3z^2+9x^3y^3；②-4xy·(y^3-2)/2=-2xy·(y^3-2)；③(ab^2c-3a^2b)·abc/3=ab^3c^2-3a^3b^2c；④(2ab^2)^2·(2a^2-b)=8a^5b^4-8a^3b^2；⑤-a·(3a^3+2a^2-3a-1)=-3a^4-2a^3+3a^2+a。
3.①(x+3y)(x-3y)=x^2-9y^2；②(a-2b)(a+2b+1)=a^2-4b^2-1；③(-2m-3n)(2m-4n)=-4m^2+2mn+12n^2；④(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2；⑤(a-b+c)(a+b+c)=a^2-b^2+c^2.4.若长方形的长为(4a^2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为8a^3-4a^2+2a-1.5.若圆形的半径为(2a+1)，则这个圆形的面积为4πa^2+4πa+π。
整式的乘除练习题
整式的乘除练习题1. 乘法练习题1.1 两项乘积(1) 计算：$(3x+2)(4x+1)$解：将每一项与另一个多项式中的项相乘，并将结果相加。
进行乘法运算得到：$(3x+2)(4x+1)=12x^2+7x+2$(2) 计算：$(5a-1)(2a-3)$解：使用分配律，将每一项与另一项相乘，并将结果相加，进行乘法运算得到：$(5a-1)(2a-3)=(10a^2-15a-2a+3)=10a^2-17a+3$1.2 两项积与多项式的乘法(1) 计算：$(4x-3)(2x^2+5x-1)$解：将每一项与多项式中的每一项相乘，并将结果相加，进行乘法运算得到：$(4x-3)(2x^2+5x-1)=8x^3+20x^2-4x-6x^2-15x+3=8x^3+14x^2-19x+3$(2) 计算：$(3a^2+2)(a^3-4a+1)$解：将每一项与多项式中的每一项相乘，并将结果相加，进行乘法运算得到：$(3a^2+2)(a^3-4a+1)=3a^5-12a^3+3a^2+2a^3-8a+2=a^5-10a^3+3a^2-8a+2$2. 除法练习题2.1 单项式的除法(1) 计算：$\dfrac{6x^3}{2x}$解：将被除式的次数减去除式的次数，系数相除得到商，进行除法运算得到：$\dfrac{6x^3}{2x}=3x^2$(2) 计算：$\dfrac{-15a^4}{-5a^2}$解：将被除式的次数减去除式的次数，系数相除得到商，进行除法运算得到：$\dfrac{-15a^4}{-5a^2}=3a^2$2.2 多项式的除法(1) 计算：$\dfrac{5x^3+2x^2-3x}{x+1}$解：使用长除法，将除式$x+1$除以被除式$5x^3+2x^2-3x$，得到商和余数，进行除法运算得到：$5x^3+2x^2-3x=(x+1)(5x^2-3)+(-3x)$(2) 计算：$\dfrac{a^5+2a^4-3a}{a-1}$解：使用长除法，将除式$a-1$除以被除式$a^5+2a^4-3a$，得到商和余数，进行除法运算得到：$a^5+2a^4-3a=(a-1)(a^4+3a^3+3a^2+3a+2)+(-a)$综上所述，整式的乘除运算可以通过分配律和长除法等方法进行计算。
整式的乘除常考题型
整式的乘除常考题型汇总之阳早格格创做典型一、幂的运算一、采用题．（4分）下列运算精确的是（）A．4a2﹣2a2=2a2B．（a2）3=a5C．a2•a3=a6D．a3+a2=a5．（4分）下列算式中，截止是x6的是（）A．x3•x2B．x12÷x2C．（x2）3D．2x6+3x6．（4分）下列估计精确的是（）A．（a2）3=a6B．a2•a3=a6C．（ab）2=ab2D．a6÷a2=a3．（4分）下列估计截止精确的是（）A．a3•a3=a9B．（﹣y）5÷（﹣y）3=y2C．（a3）2=a5D．（a+b）2=a2+b2．（3分）下列各估计中，精确的是（）A．3a2﹣a2=2B．a3•a6=a9C．（a2）3=a5D．a3+a2=a5．（4分）下列整式的运算中，精确的是（）A．x6•x2=x8B．（6x3）2=36x5C．x6÷x2=x3D．（x6）2=x8．（4分）已知5x=3，5y=4，则5x+y的截止为（）A．7B．12C．13D．14．（4分）若3m=2，3n=5，则3m+n的值是（）A．7B．90C．10D．a2b．（4分）估计截止没有成能m8的是（）A．m4•m4B．（m4）2C．（m2）4D．m4+m4两、挖空题．（4分）（﹣2x2）3=．．（4分）估计：=．．（4分）若am=7，an=3，则am+n=．典型两、整式的乘法．（4分）估计﹣3x2（﹣2x+1）的截止是（）A．6x3+1B．6x3﹣3C．6x3﹣3x2D．6x3+3x2．（4分）估计：3a4•（﹣2a）=．．（4分）估计：2x2•x=．（﹣5a2b3）•（﹣4b2c）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣3）．（8分）（﹣3x）（7x2+4x﹣2）（x+1）（x2﹣x+1）（2+a）（2﹣a）+（a+3）2．．（6分）估计：（x﹣2）（x+5）﹣x（x﹣2）．【考面】4B：多项式乘多项式；4A：单项式乘多项式．【领会】根据多项式的乘法举止估计解问即可，多项式乘以多项式的规则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．【解问】解：本式=x2+5x﹣2x﹣10﹣x2+2x=5x﹣10．【面评】此题主要考查多项式乘以多项式的规则．注意没有要漏项，漏字母，有共类项的合并共类项．．（6分）估计：2x（3x2+4x﹣5）．【考面】4A：单项式乘多项式．【领会】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加估计即可．【解问】解：本式=6x3+8x2﹣10x．【面评】本题考查了单项式与多项式相乘，流利掌握运算规则是解题的闭键，计20．（6分）估计：（2ab）2+b（1﹣3ab﹣4a2b）．【考面】4A：单项式乘多项式；47：幂的乘圆与积的乘圆．【领会】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加估计即可．【解问】解：本式=4a2b2+b﹣3ab2﹣4a2b2=b﹣3ab2．【面评】本题考查了单项式与多项式相乘，流利掌握运算规则是解题的闭键，估计时要注意标记的处理．典型三、乘法公式一、采用题．（3分）下列运算精确的是（）A．（x﹣y）2=x2﹣y2B．（a+3）2=a2+9C．（a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2D．（x﹣y）（y+x）=x2﹣y2．（4分）下列估计精确的是（）A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2C．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣2y2D．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2．（4分）如（x+m）与（x+3）的乘积中没有含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3B．3C．0D．1．（4分）若（x+t）（x+6）的截止中没有含有x的一次项，则t的值是（）A．6B．﹣6C．0D．6或者﹣6．（4分）如果x2+kx+25是一个真足仄办法，那么k的值是（）A．5B．±5C．10D．±10两、挖空题．（4分）若x2+mx+4是真足仄办法，则m=．．（4分）若x2+mx+9是一个真足仄办法，则m的值是．三、解问题（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2．（8分）先化简，再供值：（a+2）2﹣a（a﹣4），其中a=﹣3．（6分）先化简，再供值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=﹣1．．（8分）先化简，再供值：（a+2）2+（1﹣a）（3﹣a），其中a=﹣2．【考面】4J：整式的混同运算—化简供值．【领会】先算乘法，再合并共类项，末尾代进供出即可．【解问】解：（a+2）2+（1﹣a）（3﹣a）=a2+4a+4+3﹣a﹣3a+a2=2a2+7，当a=﹣2时，本式=2×（﹣2）2+7=15．【面评】本题考查了整式的混同运算战供值的应用，能精确使用整式的运算规则举止化简是解此题的闭键，题目是一讲中档题目，易度适中．．（8分）先化简，再供值：（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x=﹣2．【考面】4J：整式的混同运算—化简供值．【领会】先根据真足仄圆公式战仄圆好公式算乘法，再合并共类项，末尾代进供出即可．【解问】解：（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）=x2+4x+4﹣x2+4=4x+8，当x=﹣2时，本式=4×（﹣2）+8=0．【面评】本题考查了整式的混同运算战供值的应用，能精确使用整式的运算规则举止化简是解此题的闭键，易度适中．典型四、整式的除法．（4分）若8x3ym÷4xny2=2y2，则m，n的值为（）A．m=1，n=3B．m=4，n=3C．m=4，n=2D．m=3，n=4．（4分）估计（25x2+15x3y﹣5x）÷5x（）A．5x+3x2yB．．5x+3x2y+1C．5x+3x2y﹣1D．5x+3x2﹣1．（4分）估计：（6x2﹣3x）÷3x=．（4分）估计：4a2b2c÷（﹣2ab2）=．．（4分）估计（4x3﹣8x2）÷2x=．．（6分）估计：a2•a4﹣2a8÷a2．【考面】4H：整式的除法；46：共底数幂的乘法．【领会】本式利用共底数幂的乘除规则估计，合并即可得到截止．【解问】解：本式=a6﹣2a6=﹣a6．【面评】此题考查了整式的除法，流利掌握运算规则是解本题的闭键．4x2•x+6x5y3÷（﹣3x2y3）6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）﹣3x2•2y+（2xy2）3÷（﹣2xy5）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．x3（2x3）2÷（﹣x4）2（2y+x）2﹣4（x﹣y）（x+2y）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）4x2•x+6x5y3÷（﹣3x2y3）【考面】4I：整式的混同运算；24：坐圆根．【领会】（1）最先化简两次根式，而后举止加减估计即可；（2）最先估计乘法，而后举止乘法估计，再合并共类项即可供解；（3）最先利用真足仄圆公式战多项式的乘法规则估计，而后来括号、合并共类项即可供解；（4）最先利用多项式与多项式的乘法规则、合并共类项即可化简括号内的式子，而后利用多项式与单项式的除法规则即可供解．【解问】解：（1）本式=﹣6++3=﹣3+=﹣；（2）本式=x3•4x6÷x8=4x9÷x8=4x；（3）本式=4y2+4xy+x2﹣4（x2+xy﹣2y2）=4y2+4xy+x2﹣4x2﹣4xy+8y2=﹣3x2+12y2；（4）本式=（a2b2﹣ab﹣2﹣2a2b2+2）÷（﹣ab）=（﹣a2b2﹣ab）÷（﹣ab）=ab+1．【面评】本题考查了整式的混同运算，明白运算程序，以及精确使用乘法公式是闭键．．（6分）估计：6a6b4÷3a3b4+a2•（﹣5a）．【考面】4I：整式的混同运算．【领会】本式利用单项式乘除单项式规则估计，合并即可得到截止．【解问】解：本式=2a3﹣5a3=﹣3a3．【面评】此题考查了整式的混同运算，流利掌握运算规则是解本题的闭键．．（8分）多项式8x7﹣12x4+x﹣6x5+10x6﹣9除以﹣2x2，余式为x﹣9，供商式．【考面】4H：整式的除法．【领会】根据题意列出代数式即可．【解问】解：设商式为A，∴﹣2x2×A+（x﹣9）=8x7﹣12x4+x﹣6x5+10x6﹣9，∴﹣2x2×A=8x7﹣12x4﹣6x5+10x6，∴A=（8x7﹣12x4﹣6x5+10x6）÷（﹣2x2）=﹣4x5+6x2+3x3﹣5x4【面评】本题考查整式除法，波及整式加减．（8分）化简供值：（3x3y+2x2y2）÷xy+（x﹣y）2﹣（2x﹣1）（2x+1），其中x，y的值谦脚y=+﹣1．（8分）先化简，再供值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y），其中x=1，y=2．【考面】4J：整式的混同运算—化简供值．【领会】先算括号内的乘法，合并共类项，算除法，末尾代进供出即可．【解问】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）=[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）=（﹣4y2+4xy）÷（2y）=﹣2y+2x，当x=1，y=2时，本式=﹣2×2+2×1=﹣2．【面评】本题考查了整式的混同运算战供值的应用，能精确根据运算规则举止化简是解此题的闭键．（8分）先化简，再供值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x=4，．【考面】4J：整式的混同运算—化简供值．【领会】本式中括号中利用仄圆好公式化简，来括号合并后利用多项式除以单项式规则估计得到最简截止，把x与y的值代进估计即可供出值．【解问】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy=（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy=﹣x2y2÷xy=﹣xy，当x=4，y=﹣时，本式=2．【面评】此题考查了整式的混同运算﹣化简供值，流利掌握运算规则是解本题的闭键．典型五、果式领会一、采用题．（3分）下列是果式领会的是（）A．4a2﹣4a+1=4a（a﹣1）+1B．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）C．x2+y2=（x+y）2D．（xy）2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）．（4分）把x2y﹣4y领会果式，截止精确的是（）A．y（x2﹣4）B．y（x+2）（x﹣2）C．y（x+2）2D．y（x ﹣2）2．（4分）下列从左边到左边的变形，属于果式领会的是（）A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1B．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）D．x2+4x+4=（x+2）2．（4分）下列各式由左边到左边的变形中，是果式领会的是（）A．a2﹣3a+2=a（a﹣3）B．a2x﹣a=a（ax﹣1）C．x2+3x+9=（x+3）2D．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1．（4分）下列果式领会过失的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x （x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2．（4分）正在使用提公果式法对于多项式4ab﹣2a2b举止领会果式时，应提的公果式是（）A．2aB．2bC．2abD．4ab．（4分）把多项式x2﹣3x+2领会果式，下列截止精确的是（）A．（x﹣1）（x+2）B．（x﹣1）（x﹣2）C．（x+1）（x+2）D．（x+1）（x﹣2）．（4分）若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m的值是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．2．（4分）多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公果式是（）A．4ab2cB．ab2C．4ab2D．4a3b2c．（4分）已知x2﹣kx+16是一个真足仄办法，则k的值是（）A．8B．﹣8C．16D．8或者﹣8两、挖空题．（4分）x2+kx+4可领会成一个真足仄办法，则真数k=．．（4分）若a2﹣b2=12，a+b=3，则a﹣b=．．（4分）果式领会：1﹣4x2=．．（4分）果式领会：x2﹣3x=．三、解问题．（8分）领会果式：x3+6x2y+9xy2．（6分）果式领会：2pm2﹣12pm+18p．．（8分）果式领会：（1）4x3﹣8x2+4x（2）x2（a﹣1）+1﹣a．．（11分）果式领会（1）25x2﹣16y2（2）2pm2﹣12pm+18p．【考面】55：提公果式法与公式法的概括使用．【领会】（1）本式利用仄圆好公式领会即可；（2）本式提与公果式，再利用真足仄圆公式领会即可．【解问】解：（1）本式=（5x+4y）（5x﹣4y）；（2）本式=2p（m2﹣6m+9）=2p（m﹣3）2．【面评】此题考查了提公果式法与公式法的概括使用，流利掌握果式领会的要领是解本题的闭键．．（8分）果式领会（1）ax2﹣4a（2）a3﹣6a2+9a．【考面】55：提公果式法与公式法的概括使用．【领会】（1）根据提公果式法，可得仄圆好公式，根据仄圆好公式，可得问案；（2）根据提公果式法，可得真足仄圆公式，根据真足仄圆公式，可得问案．【解问】（1）解：本式=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2）；（2）解：本式=a（a2﹣6a+9）=a（a﹣3）2．【面评】本题考查了果式领会的意思，一提，两套，三查看，领会要真足．．（12分）果式领会：①3x2﹣27②2am2﹣8am+8a．【考面】55：提公果式法与公式法的概括使用．【领会】①本式提与3，再利用仄圆好公式领会即可；②本式提与2a，再利用真足仄圆公式领会即可．【解问】解：①本式=3（x2﹣9）=3（x+3）（x﹣3）；②本式=2a（m2﹣4m+4）=2a（m﹣2）2．【面评】此题考查了提公果式法与公式法的概括使用，流利掌握果式领会的要领是解本题的闭键．．（12分）果式领会：（1）5y3+20y（2）2x3﹣18x（3）25x2﹣20xy+4y2．【考面】55：提公果式法与公式法的概括使用．【领会】根据提与公果式、公式法即可领会．【解问】解：（1）本式=5y（y2+4）（2）本式=2x（x2﹣9）=2x（x+3）（x﹣3）（3）本式=（5x﹣2y）2【面评】本题考查果式领会，波及提与公果式，以及公式法，属于前提题型．。
北师大初一数学7年级下册 第1章(整式的乘除)章末综合易错题型优生辅导(含解析)
北师大版七年级数学下册第1章整式的乘除章末综合易错题型优生辅导（附答案）1．计算的结果是（ ）A．B．C．D．2．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ）A．0B．1C．5D．123．下列各式运算正确的是（ ）A．3y3•5y4＝15y12B．（ab5）2＝ab10C．（a3）2＝（a2）3D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x104．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b25．下列等式中正确的个数是（ ）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个6．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（ ）A．89B．﹣89C．67D．﹣677．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）8．下列有四个结论，其中正确的是（ ）①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为A．①②③④B．②③④C．①③④D．②④9．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（ ）A．4xy+9＝64B．x+y＝8C．x﹣y＝3D．x2﹣y2＝9 10．已知，则x的值为（ ）A．±1B．﹣1或2C．1和2D．0和﹣111．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为 ．12．若a m＝8，a n＝2，则a m﹣2n的值是 ．13．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为 ．14．已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ ．15．已知（x+y）2＝20，（x﹣y）2＝4，则xy的值为 ．16．已知a﹣b＝5，ab＝﹣2，则代数式a2+b2﹣1的值是 ．17．若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝ ．18．已知a+b＝3，ab＝﹣2，求下列代数式的值．（1）（a﹣b）2＝ ．（2）a2+b2+ab＝ ．19．计算：1022﹣2×102×104+1042的结果为 ．20．化简（a﹣3）（﹣a+3）＝ ．21．若9x2+2（a﹣4）x+16是完全平方式，则a＝ ．22．已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）23．计算：（1）（x+3）（x﹣5）﹣x（x﹣2）；（2）已知2x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（3x﹣2）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣y2的值．24．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．25．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣1226．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）图2所表示的数学等式为 ；（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若a+b+c＝12，a2+b2+c2＝60，求ab+ac+bc的值；（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE，EG，若两正方形的边长满足a+b＝15，ab＝35，求阴影部分面积．27．乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）参考答案1．解：＝••＝•＝1×＝．故选：A．2．解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．3．解：A.3y3•5y4＝15y7，故本选项错误；B．（ab5）2＝a5b10，故本选项错误；C．（a3）2＝（a2）3，故本选项正确；D．（﹣x）4•（﹣x）6＝x10，故本选项错误；故选：C．4．解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．5．解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10故②的答案不正确；③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；④25+25＝2×25＝26．所以正确的个数是1，故选：B．6．解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．7．解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．8．解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时（﹣2）0＝1，故①错误，从而排除选项A和C；由于选项B和D均含有②④，故只需考查③∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×2＝92∴a﹣b＝±，故③错误．故选：D．9．解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；D、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；故选：D．10．解：由题意得，（1），解得x＝﹣1；（2）x﹣1＝1，解得x＝2；（3），此方程组无解．所以x＝﹣1或2．故选：B．11．解：如图所示：设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：x2+y2＝18，∴，故答案为18．12．解：∵a m＝8，a n＝2，∴a m﹣2n＝a m÷a2n＝a m÷（a n）2＝8÷22＝2，故答案为：2．13．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．14．解：根据0指数的意义，得当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．当x+2＝1时，x＝﹣1，当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．故填：﹣5或﹣1或﹣3．15．解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝20①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，∴①﹣②得：4xy＝16，则xy＝4，故答案为：416．解：a2+b2﹣1＝（a﹣b）2+2ab﹣1＝52﹣4﹣1＝20．故答案为：2017．解：把a+b＝8两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，将ab＝﹣5代入得：a2+b2＝74，则原式＝a2+b2﹣2ab＝74+10＝84，故答案为：8418．解：（1）∵a+b＝3，ab＝﹣2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9+8＝17；（2）∵a+b＝3，ab＝﹣2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，即a2+b2﹣4＝9，解得：a2+b2＝13，则原式＝13﹣2＝11．故答案为：（1）17；（2）1119．解：原式＝（102﹣104）2＝（﹣2）2＝4，故答案为：420．解：原式＝﹣（a﹣3）2＝﹣（a2﹣6a+9）＝﹣a2+6a﹣9，故答案为：﹣a2+6a﹣9．21．解：∵9x2+2（a﹣4）x+16是一个完全平方式，∴a﹣4＝±12，解得：a＝16或a＝﹣8．故答案为：16或﹣8．22．解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝＝＝；（3）20x＝＝＝．23．解；（1）原式＝x2﹣5x+3x﹣15﹣（x2﹣2x）＝x2﹣2x﹣15﹣x2+2x＝﹣15（2）（3x﹣2）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣y2＝9x2﹣12x+4﹣x2+y2﹣y2＝8x2﹣12x+4＝4（2x2﹣3x）+4∵2x2﹣3x﹣1＝0∴2x2﹣3x＝1∴原式＝4×1+4＝8．24．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案为：12；（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），∵长方形CEPF的面积为160，∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；故答案为：384．25．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝505026．解：（1）由图可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可得：＝＝42；（3）＝＝＝＝＝95．27．解：（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）＝4m2﹣n2+2np﹣p2。
第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册
《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型【知识梳理】1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；2.解题方法：配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。
初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。
.【典型例题】例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=4例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0,∴a=b=−2,∴原式=-6例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。
解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,∴ x=−1,y=4,,∴原式=1-4=-3例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,∴ a=1,b=−2,∴原式=-1例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）A．正数 B．零 C．负数 D．非负数解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A例7.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x −4y +7的值（ A ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数解析：原式=(x ²+2x+1)+（y ²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
整式的乘除计算题100题
整式的乘除计算题100题整式的乘除计算一直以来都是学习数学的重要组成部分，学习计算整式乘除是学习中学生必须完成的一项重要任务。
在学习整式乘除计算时，首先要学习整式乘除的基本概念，其次是学习解决实际问题的方法。
在学习计算整式乘除的过程中，为了更好地学习，有必要对各种类型的乘除题进行练习。
下面是100道整式乘除题，解题思路将在文章最后提供。
1. (2x + 3) (5x - 4)2. (4x^2 + 2x + 3) (4x + 7)3. (7x - 5) (3x + 1)4. (x^2 - 4x + 3) (2x - 1)5. (3x^2 + 2x - 5) (2x - 3)6. (4x^2 + x - 2) (9x - 4)7. (x^2 + 4x + 5) (3x - 4)8. (3x^2 + x - 2) (2x + 7)9. (3x^2 - 4x + 7) (2x - 5)10. (5x^2 + x - 6) (2x - 3)11. (2x + 3) (x - 4)12. (5x^2 + 2x + 3) (5x + 7)13. (2x + 3) (2x - 7)14. (3x^2 + 4x - 5) (3x + 1)15. (4x^2 - x + 2) (4x - 3)17. (2x^2 + 2x + 1) (4x - 6)18. (3x^2 + 5x + 4) (2x + 7)19. (4x^2 - 5x - 4) (4x - 1)20. (9x^2 + x - 3) (2x - 7)21. (2x + 3) (2x + 9)22. (5x^2 - 2x + 4) (5x + 8)23. (3x - 4) (3x + 5)24. (x^2 - 3x + 4) (2x - 5)25. (6x^2 + 2x - 7) (2x - 3)26. (2x^2 - 5x + 6) (9x - 4)27. (5x^2 + x - 8) (3x - 7)28. (4x^2 + 4x - 2) (2x + 9)29. (2x^2 - 7x - 3) (2x + 5)30. (8x^2 - x - 8) (2x - 3)31. (4x + 2) (4x - 3)32. (6x^2 + 4x + 9) (6x + 7)33. (3x - 7) (3x + 8)34. (x^2 - 4x + 5) (2x - 6)35. (3x^2 - 5x + 3) (2x - 9)36. (5x^2 - x - 4) (9x - 2)37. (5x^2 + 3x - 1) (3x - 8)39. (2x^2 - 6x - 4) (4x - 5)40. (7x^2 - x - 7) (2x - 3)41. (3x + 7) (3x - 6)42. (4x^2 + 6x + 2) (4x + 9)43. (2x - 5) (2x + 8)44. (x^2 - 3x + 5) (2x - 7)45. (7x^2 + 4x - 8) (2x - 3)46. (5x^2 + 6x - 9) (2x + 5)47. (3x^2 - 6x + 4) (9x - 8)48. (7x^2 + 5x - 2) (3x + 7)49. (4x^2 - 7x - 3) (4x - 5)50. (8x^2 - x - 9) (2x - 6)51. (2x + 6) (2x - 8)52. (3x^2 + 5x + 7) (3x + 2)53. (4x - 7) (4x + 5)54. (x^2 - 4x + 6) (2x - 9)55. (6x^2 - x + 3) (2x - 5)56. (5x^2 - 8x - 4) (9x - 2)57. (3x^2 - x - 6) (3x - 7)58. (2x^2 + 6x - 3) (2x + 8)59. (5x^2 - 7x + 9) (4x - 6)61. (4x + 8) (4x - 9)62. (9x^2 + 6x + 2) (9x + 5)63. (x - 5) (x + 7)64. (2x^2 - 5x + 8) (2x - 6)65. (4x^2 + x - 1) (2x - 9)66. (7x^2 + 8x - 4) (9x - 3)67. (6x^2 - 3x - 5) (3x + 8)68. (2x^2 + 7x - 6) (2x + 9)69. (3x^2 - 8x + 3) (4x - 5)70. (8x^2 - x - 7) (2x - 4)71. (3x + 5) (3x - 9)72. (5x^2 + 8x + 2) (5x + 7)73. (4x - 2) (4x + 6)74. (x^2 - 6x + 8) (2x - 5)75. (9x^2 + 4x - 7) (2x - 3)76. (6x^2 + 8x - 3) (2x + 5)77. (3x^2 - 7x + 2) (9x - 8)78. (4x^2 - x - 9) (3x + 7)79. (2x^2 - 9x + 5) (4x - 6)80. (7x^2 - 3x - 4) (2x - 8)81. (5x + 9) (5x - 8)83. (6x - 3) (6x + 5)84. (x^2 - 9x + 7) (2x - 8)85. (8x^2 + 3x - 6) (2x - 5)86. (4x^2 + 7x - 4) (9x - 2)87. (7x^2 + x - 9) (3x - 6)88. (5x^2 + 6x - 2) (2x + 4)89. (2x^2 - 8x + 9) (4x - 7)90. (6x^2 - 3x - 7) (2x - 9)91. (3x + 6) (3x - 8)92. (4x^2 + 7x + 1) (4x + 5)93. (2x - 3) (2x + 7)94. (x^2 - 5x + 6) (2x - 9)95. (9x^2 + x - 8) (2x - 4)96. (4x^2 + 8x - 1) (2x + 5)97. (7x^2 - 4x + 2) (9x - 8)98. (3x^2 - x - 5) (3x + 6)99. (2x^2 + 9x - 4) (4x - 7)100. (8x^2 - 2x - 6) (2x - 3)以上是100道整式乘除题，解题思路如下：1.式乘除时，要把两个整式拆解成各自的分母和分子，然后把分子分别相乘，把分母分别相乘，把答案整理成计算机可以识别的形式，即整式表示。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (1)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (2)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (2)【题型5 整式乘法的计算】 (3)【题型6 整式乘法的应用】 (3)【题型7 整式除法的运算与求值】 (5)【题型8 整式除法的应用】 (6)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (7)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (8)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (9)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x 2+x +1=0，则x 3−x 2−x +7=【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x 2+3x =10，则代数式(x−2)2+x(x +10)−5= ．【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a 、b 、m 均为整数，且(x +a )⋅(x +b )=x 2+mx +15，则所有的m 的和为 .【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x 3+mx+n ）（x 2-3x+4）展开的结果不含x 3和x 2项，求m 、n 的值．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x2+x2−3x+n)的积中不含有x与x3项．(1)直接写出m、n的值，即m=___________，n=___________；(2)求代数式(−m2n)3+(9mn)2+(3m)2014n2016的值．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A ．+21xyB ．﹣21xyC ．﹣3D ．﹣10xy【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x （﹣2x 2+3x ﹣1）＝6x 3+□+3x ，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A ．9x 2B ．﹣9x 2C ．9xD ．﹣9x【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x 3﹣6x 2+11x ﹣6＝（x ﹣1）（x 2+mx +n ），其中m 、n 是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m 2+6mn +9n 2的值．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a －1)(a 2＋a ＋1)；(2)(2x ＋5)(2x －5)－(x ＋1)(x －4)；(3)(3x －2)(2x ＋3)(x －2).【题型6 整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a 厘米、b 厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD 是长方形），若窗框的横条长度都为x 米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y 21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m ++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x 23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a 【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x 3+2x 2−3)÷(x−1)=x 2+3x +3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x 3+2x 2−3)÷(x−1)=x 2+3x +3余式为0，∴x 3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x 2+5x +6除以多项式x +2，所得的商式为______ ；(2)已知x 3+2x 2−ax−10能被x−2整除，则a = ______ ；(3)如图2，有2张A 卡片，21张B 卡片，40张C 卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a +8b )的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a 2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【题型9 整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S ，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S 1、S 2、S 3，定义：S =S 1S 2S 32；S ′1=S−S 1；S ′2=S−S 2；S ′3=S−S 3；F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，经研究发现，F s =4S 2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S 1=169，S 2=196，S 3=225，S =295，S ′1=126；S ′2=99；S ′3=70；F s =28224，所以S 2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S =84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d |=ad +3b−2c ，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x +y 7xy−x 22xy−3x2+1−3x−y |．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x 的二次多项式a x 2+bx +c 的特征系数对，把关于x 的二次多项式a x 2+bx +c 叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x 的二次多项式3x 2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；②上述速算规律可用等式表示为__________________；③试说明②中等式的正确性．【变式10-1】（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．(1)计算后填空：(x+2)(x+3)=_________；(x−1)(x+4)=_________；(x−3)(x−2)=_________；(2)归纳猜想后填空：(x+a)(x+b)=x2+______x+______(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：(x−2)(x+n)=______．【变式10-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）观察下面的几个算式，发现规律，并解决下列问题．①16×14=224=1×(1+1)×100+6×4；②23×27=621=2×(2+1)×100+3×7；③32×38=1216=3×(3+1)×100+2×8；…(1)按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果______．(2)试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是(10n+a)，(10n+b)，其中n，a，b均为1～9的整数，且a+b=10）．【变式10-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）七年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：12×21=121×(12+1)+10；23×32=121×(22+2)+10；34×43=121×(32+3)+10；……(1)根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式；(2)请用含n的代数式直接表示[10n+(n+1)]与[(10n+10)+n]之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性．【题型11整式乘法与面积的综合探究】【例11】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．(1)求：新长方形的周长（用含有a，b的式子表示），(2)求：美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）．(3)若a=8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积．【变式11-1】（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长PD=x，小正方形边长GH=y，则图中阴影部分的面积．【变式11-2】（2023春·湖北·七年级统考期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别a m和b m，小长方形的相邻两边长分别为x m 和y m．(1)如图1，若a=45，b=60，求x和y的值；(2)如图2，①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长；②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？【变式11-3】（2023春·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a，宽为b(b>0)的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含a,b的代数式表示），长方形ABCD的面积为____________（用含a,b的代数式表示）(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP=x.①用含a,b,x的代数式表示AE；②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么a,b必须满足什么条件?。
整式的乘除练习题
整式的乘除练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是整式？A. 3x^2B. 5x + 1C. x/2D. 2x^3 - 42. 计算下列表达式的结果是：A. (3x - 2)(2x + 1) = 6x^2 + 5x - 2B. (x^2 - 1)(x + 1) = x^3 + x^2 - x - 1C. (3x + 1)(2x - 3) = 6x^2 - 7x - 3D. (4x - 3)^2 = 16x^2 - 24x + 93. 多项式3x^3 - 2x^2 + 5x - 7与4x^2 - 3x + 1相乘的结果中，x^4的系数是多少？A. 12B. 9C. 13D. 114. 计算下列多项式的结果是：A. (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9B. (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4C. (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1D. (2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 15. 整式3x^2 - 4x + 2除以x - 1的结果是什么？A. 3x + 4B. 3x - 4C. 3x + 2D. 3x - 2二、填空题（每题3分，共15分）6. 计算下列表达式的值：(2x + 1)(3x - 2) = __________。
7. 多项式4x^3 - 5x^2 + 2x - 1除以2x - 1的商是__________。
8. 整式2x^2 - 3x + 1与3x + 2的乘积是__________。
9. 如果(3x + 2)(x - 1) = 3x^2 + ax - 2，那么a的值是__________。
10. 整式(x - 2)(x + 3) + 2x的结果是__________。
三、简答题（每题5分，共30分）11. 计算下列多项式的乘积：(x - 3)(x + 4)。
12. 展开并简化下列表达式：(2x - 1)^3。
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整式乘除
一．典型例题分析：
一、同底数幂的乘法
1.下面各式的运算结果为
14
a
的是（）
A.
347aaaa B. 59()()aa C. 86()aa D. 77
aa
2.化简
32
()()xyyx
为（）
A．
5()xyB．6()xyC．5()yxD．6
()yx
二、幂的乘方
1.计算
23
)x（
的结果是（）
A．
5xB．5xC．6x D．6
x
2.下列各式计算正确的是（）
A．
34()nnnxx B．23326
()()2xxx
C．
3131()nnaa D．24816
()aaa
三、积的乘方
1.
3
42
3ab
等于（）
A．
1269ab B．7527ab C．1269ab D．126
27ab
2. 下列等式，错误的是（）
A.64232)(yxyxB.
33
)(xyxy
C.442229)3(nmnmD.
64232
)(baba
四、单项式与多项式的乘法
1、计算
（1）3(421)aab（2）
2
(2).(3)xxxyx
（3）(3)(2)xyyx（4）
22
()()abaabb