北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量方法(一).ppt1105111801706
A
6
(课本第 113 页)思考 2：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
六、教后反思：
17
∥ u ∥v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
8
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则 l ⊥m a ⊥b a b 0 ； 线线垂直 l ⊥ a ∥ u a k u ； 线面垂直
四、课堂小 结
15
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ( 3, 0, 0 ), B (0, 4, 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 ) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
五、作业 布置
作业:课本 P 练习 1,2
法门高中
姚连省
1
一、引入新课
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
(课本第 111 页)思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？
由 O C （1 t） A t O B 得 O (0 ,y 1 ,z 1 ) （1 t） 2 , 3 ) t ( 2 , 1, 3 ) (1, 0 ,y 1 ,z 1 (1 t， 2 3 t， 6 t） （ ） 3 O C （ 0 ， 5， 9）
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
9
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), c o s ； 2 a b
au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), s in ； 2 a u
uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ),ห้องสมุดไป่ตู้c o s . u v
画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
5
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n ,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
113
16
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的法向量为 n ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ( a 1 , b1 , c 1 ), b ( a 2 , b 2 , c 2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
是平面 A C D 1 的一个法向量.
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学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ( 3, 0, 0 ), B (0, 4, 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 ) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
a
对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得
此方程称为直线的向量参数方程
O P O A t a 或 O P x O A yO B ( x y 1）
在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 O P 来表示，我们把向量 O P 称为点 P 的位置向 量. P
⑵直线
P
a
O 二、新知 A 探究
B
空间中任 意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定. 3
⑵直线
12
练习 （ 2 3 （ 12 P 12 2.已知两点 A 1，，） ,B 2，，） ,（1，，）,点 Q 在 O P
上运动,求当 Q A Q B 取得最小值时,点 Q 解:设 O Q O P ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, Q A Q B 取得最小值,
取得最小值时 ,点 Q 的坐标 .
1
3.在正方体 ABCD A B C D 1 1 1 面 A C D 1 的一个法向量 .
中，求证：
D B1
是平
11
练习 3 （ 1 1.已知两点 A (1， 2，),B 2，， 3） , , 求直线 AB 与坐标平面 yO z 的交点.
解:设直线 AB 与 yO z 平面的交点为 C (0, y 1 , y 2 )
10
三、课堂练 习
练习 1.已知两点 A (1， 2，),B 2 1 ，3 ） , 求直线 AB 与坐 3 （ ， 标平面 yOz 的交点 . 2.已知两点 A 1，，） , （ 1 2 ） ,（1，，）,点 Q 在 O P （ 23 B 2， ， P1 2
上运动 ,求当 Q A Q B
A
⑶平面
b
P
a
4
O
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n b
P
a
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x , y ) ,使得
OP xa yb
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平行
垂直
夹角
7
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a k b ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行
4 4 8 此时 Q ( , , ) 3 3 3
的坐标.
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练习 3:在正方体 A B C D A1 B 1 C 1 D 1 中， 是平面 A C D 1 的法向量 证：设正方体棱长为 1， 以 D A , D C , D D 1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz
求证： D B 1
D B 1 (1, 1, 1) ， A C ( 1, 1, 0 ) ， A D 1 ( 1, 0 , 1) D B 1 A C 0 ，所以 D B 1 A C , 同理 D B 1 A D 1 又因为 A D 1 A C A 所 以 D B1 平 面 A C D , 从 而 D B1
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)课件北师大版选修2_1
π 0, 2
,则 a· b0> 0;
一
二
思考辨析
【做一做2】 已知a=(1,0,-1),b=(1, 3,0),则向量a在向量b上的投 影为 .
解析:向量a在向量b上的投影为
������· ������ 12 +3+0 1 答案: 2
=
1 (1,0,- 1)· (1, 2
1 3,0)= . 2
一
二
一
二
思考辨析
【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 ������������与������������ 的坐标分别为 , .
解析:由已知得,点 E 0,0, 因此������������ =
1 1 1 , ,- , ������������ 2 2 2 1 1 1 1 , ,1,0, 2 2 2 2
1 2
,F
=
1 1 , ,0 2 2 1 1,0, . 2
,C(0,1,0),G 1,1,
1 2Leabharlann .答案:一
二
思考辨析
二、投影
一
二
思考辨析
名师点拨a· b0=|a|cos<a,b>是一个可正可负的实数,它的符号代 表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.
(1)若<a,b>∈
π (2)若<a,b>= ,则 a· b0=0; 2 π (3)若<a,b>∈ ,π ,则 a· b0< 0. 2
探究一
探究二
思维辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6. (1)写出点C'的坐标,给出 ������������'关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x 轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
高二数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何复习(北师大版)精选教学PPT课件
3 3 a.
BS·数学 选修2-1
如图 2－5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截 面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点 C 到平面 AEC1F 的距离．
图 2－5
BS·数学 选修2-1
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0,0)，
图 2－6
BS·数学 选修2-1
【思路点拨】 建立适当的坐标系，设出 M 点的坐标， 由点到平面的距离的向量公式列方程，若方程有解可求 M 点 坐标，无解则不存在 M.
【规范解答】 根据图形的结构特点，可建立如图空间 直角坐标系．
则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
平面 EDB．
BS·数学 选修2-1
(2)依题意得 B(a，a,0)，P→B＝(a，a，－a)，又D→E＝(0，a2， a2)，故P→B·D→E＝0＋a22－a22＝0，所以 PB⊥DE.
由已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E，所以 PB⊥平面 EFD．
BS·数学 选修2-1
如图 2－2，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC， 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，且 OA＝OP，OP⊥平面 ABC.
BS·数学 选修2-1
如图 2－3，在空间直角坐标系中，已知 E，F 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点，求：
(1)A1D 与 EF 所成角的大小； (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的正弦值； (3)平面 CD1B1 与平面 D1B1B 夹角的余弦值．
图 2－3
－34a2 ＝－
22a×
6 2a
3 2.
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)课件北师大版选修2_1
学 习 目 标 思 维 1.理解 空间向量基本定理及 其意义. 2.掌握 在简单问题中选用空 间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量. 3.能体会 从平面到空间的过 程,进一步培养对空间图形 的想象能力.
脉 络
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, ∵e1,e2,e3为空间的一个基底, ������ = 17, ������-3������ + ������ = 2, ∴ 2������ + ������ + ������ = -1, 解得 ������ = -5, ������ = -30, -������ + 2������-������ = 3,
答案
思维辨析
用基底表示向量 【例 2】如图,在四面体 O-ABC 中,G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 心,设������������=a,������������ =b,������������=c,试用向量 a,b,c 表示向量������������和������������.
数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §3 3.3
3.3 空间向量运算的坐标表示学习目标1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．知识点一 空间向量的坐标运算空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则1．在空间直角坐标系中，向量AB →的坐标与终点B 的坐标相同．(×) 2．设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ⇒x1x2＝y1y2＝z1z2.(×)3．四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC →的坐标相同．(√) 4．设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA →＝(0,1，－1)．(√)类型一 空间向量坐标的计算例1 (1)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(2a ＋3b )·(a －2b )＝________.(2)已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.13B.16C.63D.66考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 (1)－244 (2)C解析 (1)(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2＋3a ·b －4a ·b －6b 2＝2×62－22－6×72＝－244.(2)由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)，故cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝1＋0＋36×4＝63.反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练1 若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 2解析 据题意，有c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，故(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，c ∥BC →.求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 (1)因为BC →＝(－2，－1,2)，且c ∥BC →，。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算2
2 1 1 B. − ������ + ������ + ������ 3 2 2 2 2 1 D. − ������ + ������ − ������ 3 3 2
解析 :
连接 ON,由向量的加法,可知 ������������ = ������������ + ������������ = − ������������ +
【做一做 2】 给出下列命题: ① 在空间中, 零向量一定没有方向;
②若 ABCD-A'B'C'D'为平行六面体, 则������������ = ������' ������' ; ③若 ABCD-A'B'C'D'为长方体, 则������������ + ������������ + ������������' = ������������' + ������' ������' .
6.共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. 说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则 a=λb中的a只能为0,没有研究的意义.
【做一做3】 已知向量c,d不共线,设向量a=kc+d,b=c-k2d.若向量 a与b共线,则实数k的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:本题主要考查空间向量共线的充要条件.若a与b共线,则有 且只有一个实数λ使a=λb(b≠0)成立,只需确定λ的值即可求出k的值. ∵c,d不共线,∴c≠0,且d≠0,则a≠0,且b≠0. ∵a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb成立, 即kc+d=λ(c-k2d), 整理,得(k-λ)c+(1+λk2)d=0. ������-������ = 0, ∵c ≠0,d≠0,∴ 解得k=λ=-1.故选 C. 2 1 + ������������ = 0, 答案:C
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
数学选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何§6
个帅哥帅哥的 ffff§6距离的计算学习目标 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的观点.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.领会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一点到直线的距离1．点到直线的距离由于直线和直线外一点确立一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题．如图，设l 是过点 P 平行于向量s 的直线，A是直线l外必定点．作 AA′⊥ l，垂足为 A′，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA′的长度，而向量→PA在s上的投影的大小→A 到直线 l 的距离 d＝|PA·s0|等于线段 PA′的长度，所以依据勾股定理有点→2→2|PA| － |PA·s0 | .2．点到直线的距离的算法框图空间一点 A 到直线 l 的距离的算法框图，如图．知识点二点到平面的距离1．求点到平面的距离如图，设π是过点P垂直于向量n 的平面，A是平面π外必定点．作 AA′⊥ π，垂足为A′，则点 A 到平面π的距离 d 等于线段 AA′的长度．→→A 到平面π的距离 d＝而向量 PA在n上的投影的大小|PA·n0|等于线段 AA′的长度，所以点→|PA·n0|.2．点到平面的距离的算法框图空间一点 A 到平面π的距离的算法框图，如下图．知识点三直线到与它平行的平面的距离假如一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均相等．一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离．知识点四两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线．公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离．1．点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(√)2．直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上随意一点到平面的距离．(√)3．两异面直线间的距离不可以转变为点到平面的距离．(× )4．平面α外一点 P 到平面α的距离在平面α内任一点与点P 的距离中最短．(√)种类一向量法求两点间的距离例 1如下图，已知在矩形ABCD 中， AB＝ 4，AD ＝ 3，沿对角线AC 折叠，使平面ABC与平面 ADC 垂直，求线段BD 的长．考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离解过点 D 和 B 分别作 DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F.则由已知条件可知AC＝ 5，所以 DE＝3×4＝12， BF＝3×4＝12 5555.AD 29由已知得 AE ＝ CF＝AC＝5，9 7所以 EF＝5－2×＝ .5 5→→ →→由于 DB＝ DE ＋ EF＋ FB，→ 2→→→2→2→2→ 2→→→→→→所以 |DB| ＝ ( DE＋EF ＋ FB) ＝ DE＋ EF＋ FB＋ 2DE ·EF＋ 2DE·FB＋ 2EF·FB .由于平面 ADC ⊥平面 ABC，平面 ADC ∩平面 ABC＝ AC， DE?平面 ADC ， DE ⊥AC，所以DE ⊥平面 ABC，→→→ 2→ 2→ 2→ 2所以 DE⊥ FB，即 DE ⊥FB，所以|DB| ＝DE ＋EF＋ FB＝14425＋2549＋14425＝33725，→337337所以 |DB|＝，故线段 BD 的长是5.5反省与感悟(1) 若题目合适成立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解．(2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并联合|a|2＝a2求解．追踪训练 1(1) 正方体ABCD － A1B1C1D 1的棱长为—→→ 1—→1，点 M 在AC1上且 AM ＝ MC1，N 为 B1B2的中点，则→) |MN |等于 (1561521A. 6B. 6C.3D.6(2)已知线段 AB， BD 在平面α内，∠ ABD ＝ 120 °，线段 AC⊥ α，假如 AB＝ a， BD＝ b，AC ＝c，则线段CD 的长为 ()A.a2＋b2＋ c2＋ abB.a2＋ b2＋c2－abC.a2＋ b2＋c2－acD.a2＋b2＋ c2考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案(1)D(2)A分析→→→→→→→211→→ →(1)设 AB＝a， AD＝b， AA1＝c， MN ＝MA ＋ AB＋ BN＝a－ b＋ c，|MN |＝MN ·MN336＝42＋12＋1221. 9a b36c ＝69→→→(2) 设 AB＝a，BD ＝b， AC＝c，→→→→由于 CD＝ CA＋ AB＋ BD＝－c＋a＋b，所以→→ →|CD|＝CD ·CD＝－ c＋ a＋b ·－ c＋ a＋ b＝a2＋ b2＋ c2＋2a·b＝a2＋ b2＋ c2＋2|a||b|cos60°＝a2＋ b2＋ c2＋ ab.种类二求点到直线的距离例 2在棱长为 2 的正方体A1B1C1D 1－ ABCD 中， E，F 分别是棱C1C 和 D1A1的中点，求点A 到直线 EF 的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离解以 D 为坐标原点，DA ， DC， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系Dxyz，则 A(2,0,0) ， E(0,2,1) ，F(1,0,2) ．→所以直线 EF 的方向向量 EF→＝(1 ，－ 2,1)；取直线 EF 上一点 F(1,0,2) ，则点 A(2,0,0) 到直线 EF 上一点 F(1,0,2) 的向量 AF ＝( －1,0,2) ．→ →→→1 EF＝，由于 AF在 EF 上的投影为 AF ·→6|EF |所以点 A 到直线 EF 的距离→ 2→174d＝－→ EF2|AF|AF ·＝6.→|EF|引申研究本例条件不变，求点 B 到直线 EF 的距离．解→B(2,2,0) ，BF ＝(－ 1，－ 2,2)，→→→ →56BF ·EF＝由于 BF在 EF 上的投影为→ 6.|EF |所以 B 到直线 EF 的距离→ 2→ →174d＝－BF ·EF2＝|BF|→6.|EF |反省与感悟利用公式 d＝→2→2直线的方向向量→ 所|PA| － |PA·s0| 求点到直线的距离的步骤：求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．追踪训练 2(1) 点 P 是棱长为 1 的正方体→3→1→ABCD －A1B1C1D1内一点，且知足 AP＝AB＋ AD422 →)＋AA1，则点 P 到棱 AB 的距离为 (35313145A.6B.4C. 4D.12(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体 ABCD － A1B1C1D1中，点 M 是线段 DC1上的动点，则点M 到直线 AD1的距离的最小值为________．考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离答案(1)A (2)3a3→→→ →3分析AP·AB，所以点 P 到 AB 的距离 d＝(1)由于 AP在 AB上的投影为→＝4|AB|→→→2－AP·AB 2＝5|AP|→ 6.|AB|→→→(2) D(0,0,0) ， C1(0，a，a)， A(a,0,0)，D 1(0,0， a)，设 DM ＝λDC 1＝ (0，λa，λa)(0≤ λ≤1) ，AD 1→→→→→2 AM ·AD 1＝( －a,0， a)， AM＝ (－ a，λa，λa)， AM在AD 1上的投影为→＝2 a(1 ＋λ)．|AD 1|→→→ →313 2－AM ·AD1 22故点 M 到 AD 的距离 d＝|AM|→＝a－λ＋≥3 a.12λ2|AD 1|种类三求点到平面的距离例 3 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E，F 分别是 AB，AD 的中点， CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且 CG＝ 2，求点 B 到平面 EFG 的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解以 C 为坐标原点， CB， CG 所在直线分别为x 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系 Cxyz.由题意可知G(0,0,2) ，E(4，－ 2,0)，F(2，－ 4,0)，B(4,0,0) ，→→→∴GE＝ (4，－ 2，－ 2)， GF ＝ (2，－ 4，－ 2)， BE＝ (0，－ 2,0)．设平面 EFG 的一个法向量为n＝(x，y，z)．→4x－ 2y－2z＝0，x＝－ y，GE·n＝ 0，由得∴z＝－ 3y.→2x－ 4y－ 2z＝ 0，GF ·n＝ 0，令 y＝ 1，则n＝ (－ 1,1，－ 3)，→2 ＝2故点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝|BE·n|＝11|n|1111.反省与感悟利用向量求点到平面的距离的一般步骤(1)求出该平面的一个法向量；(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数目积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．追踪训练3已知点A(－1,1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量点 A 到平面 α的距离．考点 向量法求空间距离题点 向量法求点到平面的距离→解∵ OA ＝ (－ 1,1，－ 1)， n ＝ (1，－ 1,1)，→∴点 A 到平面 α的距离为 d ＝|OA ·n |＝|－1－1－ 1|＝3.|n |31．两平行平面 α，β分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1) ，且两平面的一个法向量为 n ＝ (－ 1,0,1) ， 则两平面间的距离是 ()3 2 A. 2 B. 2 C. 3D ． 3 2考点 向量法求空间距离题点 向量法求两平面间距离答案 B分析两平面的一个单位法向量为n ＝ － 2， 0， 2 ，故两平面间的距离为→d ＝ |OA ·n |＝2 222.2．在棱长为 a 的正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， M 是 AA 1 的中点，则点 A 1 到平面 MBD 的距离是 ()6 3 A. 6 aB. 6 a36 C. 4 aD. 3 a考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案A分析 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD 1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ， A 1 (a,0， a)，1A(a,0,0)， M a ， 0，2a ， B(a ，a,0)，→1∴BM ＝ 0，－ a ， 2a ，→ 1a .DM ＝ a ， 0，2 设 n ＝ (x ， y ， z)为平面 MBD 的一个法向量，→1az ＝ 0，1－ay ＋ y ＝ z ，n ·BM ＝ 0，∴22则∴1→1az ＝ 0，x ＝－ z.n ·DM ＝ 0.ax ＋ 22令 y ＝ 1，得 n ＝ (－ 1,1,2) ．→又∵ DA 1＝ (a,0， a)，→故点 A 1 到平面 MBD 的距离为d ＝|DA 1·n |＝6a.|n |63．设 A(2,3,1) ，B(4,1,2) ，C(6,3,7) ，D(－ 5，－ 4,8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为 ________．考点 向量法求空间距离题点 向量法求点到平面的距离49 17 答案17分析设平面 ABC 的一个法向量为n ＝ (x ， y ，z)．→n ·AB ＝ 0， ∵→n ·AC ＝ 0，x ， y ， z ·2，－ 2， 1 ＝ 0， ∴x ， y ， z ·4， 0， 6 ＝ 0，3即 2x － 2y ＋z ＝0，∴x ＝－ 2z ，4x ＋ 6z ＝ 0，y ＝－ z.令 z ＝－ 2，则 n ＝ (3,2，－ 2)．→又∵ AD ＝ (－ 7，－ 7,7)，→∴点 D 到平面 ABC 的距离为d＝|AD·n||n|＝|3× －7 ＋2× －7 －2×7|＝ 49 ＝49 17.32＋ 22＋－2 217174．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d＝ ________.考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案2→分析d＝|n·OP|＝ |－ 2－ 6＋ 2|＝2.|n|4＋4＋15.如图，已知矩形ABCD 与 ABEF 全等，平面 DAB 与平面 ABE 的夹角为直角， M 为 AB 中点， FM 与 BD 所成角为θ，且 cosθ＝39 .则 AB 与 BC 的边长之比为 ________．考点向量法求空间距离题点向量法求两线间的距离答案2∶ 2分析设 AB＝ a， BC＝ b，以 A 为坐标原点，AF ， AB， AD 所在直线分别为x 轴， y 轴， z轴成立如下图的空间直角坐标系Axyz，则有关各点坐标为F(b,0,0)， M 0，a， 0 ，2B(0， a,0)， D(0,0， b)．→a0 ，所以 FM＝－b，，2→BD ＝(0 ，－ a， b)，→2 a2→22，所以 |FM |＝ b ＋， |BD|＝a＋b4→ →2FM ·BD ＝－ a，22－ a→→2＝ 3 ，|cos 〈 FM ， BD 〉 |＝292＋ a 2 2b 4 · a ＋ b整理，得 b 4＋ 5b 2－ 26＝0，44a 2ab2b 213 (舍去 )．解得 2＝2 或2＝－4aa所以AB＝ a＝2BC b2.1． 由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，本质上就是直线上一点到平面的距离，可转变为点到平面的距离来求．2．两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转变为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转变为点到平面的距离求解．一、选择题→1．若 A(3cos α， 3sin α， 1)， B(2cos θ， 2sin θ， 1)，则 |AB|的取值范围是( )A ． [0,5]B ． [1,5]C ． (1,5)D ． [1,25]考点 向量法求空间距离题点 向量法求两点间的距离答案 B分析→2cos θ－ 3cos α2＋ 2sin θ－ 3sin α2|AB|＝＝ 9＋ 4－12cos αcos θ－ 12sin αsin θ＝ 13－ 12cos α－ θ，→由于－ 1≤ cos(α－ θ)≤ 1，所以 1≤ |AB |≤5.2．在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，棱长为 2，则异面直线 AC 与 A 1D 的距离为 ( )2 3 3A. 3B. 3C. 2D ．1 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两线间的距离 答案 A分析 以 D 为坐标原点， DA ，DC ， DD 1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系 Dxyz ，连结 B 1C ， AB 1，由于 A 1D ∥平面 AB 1C ，所以异面直线 AC 与 A 1D 的距离为 A 1 到平面 AB 1C 的距离．→D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， C(0,2,0) ，B 1(2,2,2) ， A 1(2,0,2) ， AC ＝ (－ 2,2,0)，→ →．AB 1＝ (0,2,2) ，AA 1＝ (0,0,2)设 n ＝ (x ， y ， z)为平面 AB 1C 的法向量，由 →n ·AC ＝0，→ n ·AB 1＝ 0，得 x ＝ y ＝－ z ，可取 n ＝(1,1，－ 1)，→ 2 3 故 A 到平面 ACB 的距离为 AA1·n ＝1 1 |n | 3 .3．若正四棱柱ABCD － A 1B 1C 1D 1 的底面边长为 1， AB 1 与底面 ABCD 成 60°角，则 A 1C 1 到底面 ABCD 的距离为 ()3A. 3B.1C.2D. 3考点 向量法求空间距离题点 向量法求点到平面的距离答案 D分析→ →→Dxyz ，C(0,1,0) ，以 D 为坐标原点， DA ，DC ，DD 1为 x ，y ，z 轴正向成立空间直角坐标系 C 1(0,1 → (0,0， →3)， A(1,0,0) ， CC 1＝ 3)， AC 1＝ (－ 1,1， 3)，→ →易知 C 1C ⊥平面 ABCD ，可取 CC 1为平面 ABCD 的法向量，→ → 故 A 1C 1 到平面 ABCD 的距离为 CC 1·AC 1＝ 3.→ |CC 1|4．已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，点 E 是 A 1B 1 的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是()6 5 4 5 2 5 5A.5B.5C.5D.5考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线距离 答案 B分析 以 B 为坐标原点， BC ，BA ， BB 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系 Bxyz ，→→则BA ＝(0,2,0)， BE ＝ (0,1,2) ，→ → 25设∠ ABE ＝ θ，则 cos θ＝ |BA ·BE |→ → ＝2 5 ＝ 5 ，|BA ||BE|22 5sin θ＝ 1－ cos θ＝ 5 .故 A 到直线 BE 的距离→25＝45d ＝ |AB |sin θ＝ 2× 55.5．若正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 a ，则平面 AB 1D 1 与平面 BDC 1 的距离为 ( )A. 2aB. 3a23C. 3 aD. 3 a考点 向量法求空间距离 题点 向量法求平面间的距离 答案D分析由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面 BDC 1，则两平面间的距离可转变为点B 到平面 AB 1D 1 的距离．明显 A 1C ⊥平面 AB 1D 1，以 D 为坐标原点，分别以 DA ，DC ，DD 1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系Dxyz ，则平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n ＝ (1，－→＝ (0，－ a,0)，则两平面间的距离为→＝ a＝d ＝ |BA ·n | 31,1)．又 A(a,0,0)，B(a ，a,0)，∴ BA|n |33 a.6．如图，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的侧棱 AA 1＝ 3.在底面△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，则点 B 1 到平面 A 1BC 的距离为 ()32 1A. 2B. 2C.2D ．1考点 向量法求空间距离题点 向量法求点到平面的距离答案A分析以 C 为坐标原点，分别以CA ， CB ， CC 1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立如下图的空间直角坐标系Cxyz ，则 C(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(0,1,0) ，A 1(1,0， 3)，B 1(0,1， 3)，C 1(0,0， 3)，→∴A 1B ＝ (－ 1,1，－ 3)，→→A 1C ＝ (－ 1,0，－ 3)， A 1B 1＝ (－ 1,1,0)．设平面 A 1BC 的一个法向量为 n ＝ (x ，y ， z) ，→－ x ＋ y － 3z ＝0，n ·A 1B ＝0，则→∴－ x － 3z ＝ 0，n ·A 1C ＝ 0，令 x ＝－ 3，得 y ＝ 0， z ＝ 1，∴ n ＝ (－3， 0,1)．→3故点 B 1 到平面 A 1BC 的距离为 d ＝ |n ·A 1B 1||n | ＝ 2 .7．已知三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的各棱长均为 a ，侧棱垂直于底面， D 是侧棱 CC 1 的中点，若点 C 到平面 AB 1D 的距离为 1，则 a 的值为 ( )A. 2B ．2C. 3D ．2 2 考点 向量法求空间距离题点 向量法求点到平面的距离答案D分析以 B 为坐标原点， BC， BB1所在直线分别为y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐3a a→标系Bxyz.由题设可知A2a，2， 0， C(0， a,0)， B1(0,0， a)， D 0， a，2，于是有 AB1＝3 a－2 a，－2， a，→＝ 0， a，－a→ 3 a， 0 .12，AC＝－B D 2 a，2设 n＝(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，→－ 3an·AB1＝0，2 ax－2y＋ az＝ 0，则则→＝ 0，an·B1D ay－2z＝ 0，令 y＝ 1，可得n＝ (3， 1,2)．→ n＝2 a.所以点 C 到平面 AB1D 的距离为 d＝ AC·4|n|2令4 a＝ 1，解得 a＝ 2 2.故当 a＝ 2 2时，点 C 到平面 AB1D 的距离为 1.二、填空题8．已知平面α的一个法向量为n＝ (－ 2，－ 2,1)，点 A(－ 1,3,0)在α内，则 P(－2,1,4) 到α的距离为 ________．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案10 3分析→，－ 4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以点P到α的距由于 PA＝(1,2离为→ n|＝|－ 2－ 4－ 4|10. |PA·3＝3 |n|9．在长方体 ABCD －A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，高AA1为 4，则点 A1到平面 AB1D 1的距离是 ________．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离答案4 3分析如图，以 A 为坐标原点，分别以AB， AD，AA1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0) ， A1 (0,0,4) ，B1(2,0,4) ， D1(0,2,4) ．设平面 AB1D 1的一个法向量为n＝( x，y，z)，→→∴AB 1＝ (2,0,4)， AD 1＝(0,2,4) ，→2x＋ 4z＝ 0，AB 1·n＝ 0，则∴→2y＋ 4z＝ 0，AD 1·n＝ 0，令 z＝ 1，得n＝ (－ 2，－ 2,1)，→|AA1·n|4∴点 A1到平面 AB1D 1的距离为d＝|n|＝3.10．已知正方体 ABCD － A1B1C1D 1的棱长为1，则平面A1BD 与平面B1CD 1间的距离为________．考点向量法求空间距离题点向量法求平面的距离答案3 3分析以 D 为坐标原点，分别以DA ， DC，DD 1所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，成立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则 D (0,0,0) ，A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ， D1(0,0,1) ，二位分为Greg→A 1D ＝ (－ 1,0，－ 1)，→A 1D 1＝ (－ 1,0,0) ．设平面 A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ， z) ，→y － z ＝ 0，n ·A 1B ＝0，则∴→－ x － z ＝ 0.n ·A 1D ＝ 0，令 z ＝ 1，得 y ＝1， x ＝－ 1，∴ n ＝( －1,1,1) ．→3 ∴点 D 1 到平面 A 1BD 的距离为 d ＝|A 1D 1·n | 1＝|n |＝3.3∵平面 A 1BD 与平面 B 1 CD 1 间的距离等于点 D 1 到平面 A 1BD 的距离，∴平面 A 1BD 与平面 B 1 CD 1 间的距离为3.3三、解答题11．在如下图的空间直角坐标系中，长方体 ABCD － A ′ B ′ C ′D ′的棱 AB ＝ AD ＝ 1，BB ′＝2， M ， N 分别为 A ′ D ′， D ′ C ′的中点，求直线 AC 与直线 MN 的距离．考点 向量法求空间距离题点 向量法求两直线间的距离解依照长方体的性质可知AC ∥ MN ，故两直线间的距离为点M 到直线 AC 的距离．→→ 1由题意得 AC ＝ (－ 1,1,0)， AM ＝ 0， ，－ 2 .2所以点 M 到直线 AC 的距离→ 2→17 166d ＝→ AC2＝.|AM| －AM ·4 － ＝ 4→8|AC|12．如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截而获得的，此中 AB ＝ 4，BC ＝ 2， CC 1＝ 3， BE ＝ 1.(1) 求 BF 的长；(2) 求点 C 到平面 AEC 1F 的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解(1)以 D 为坐标原点， DA ，DC， DF 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系Dxyz，则 D(0,0,0) ， B(2,4,0) ， A(2,0,0) ，C(0,4,0) ， E(2,4,1)， C1(0,4,3) ．设点 F(0,0， z)．∵截面 AEC1F 为平行四边形，→→∴AF ＝EC1，∴ ( －2,0， z)＝ (－ 2,0,2)，∴z＝ 2，∴ F(0,0,2) ，→→∴BF ＝(－2，－ 4,2)，∴ |BF|＝2 6.即BF的长为 2 6.(2)设平面 AEC 1F 的一个法向量为n1＝ (x， y,1)，→0·x＋ 4·y＋ 1＝ 0，n1·AE＝0，由得→－ 2·x＋ 0·y＋2＝ 0，n1·AF＝0，4y＋ 1＝0，即－2x＋2＝ 0，x＝ 1，1， 1∴1∴ n1＝1，－.4y＝－4，→又∵ CC1＝ (0,0,3) ，∴点 C 到平面 AEC1F 的距离为→3＝4 33|CC 1·n1|＝.d＝|n1|1＋ 1111＋1613．如图，在四棱锥 S－ ABCD 中，AD∥ BC 且 AD⊥CD ，平面 CSD⊥平面 ABCD ，CS⊥ DS，CS＝ 2AD ＝2， E 为 BS 的中点， CE＝2， AS＝ 3.求点 A 到平面 BCS 的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解如图，以 S(O)为坐标原点， OD ，OC 所在直线分别为x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系Sxyz.设 A(x A， y A， z A) ，由于平面CSD⊥平面 ABCD ， AD⊥ CD，故 AD⊥平面 CSD，即点 A在 xSz 平面上，所以→y A＝ 0， z A＝ |AD|＝ 1.22→ 2又 x A＋1 ＝|AS| ＝ 3， x A＞ 0，解得 x A＝ 2.进而 A(2， 0,1)．由于 AD∥ BC，故 BC⊥平面 CSD，即平面 BCS 与平面 ySz重合，进而点 A 到平面 BCS 的距离为 x A＝ 2.四、研究与拓展14．空间直角坐标系中(O 为坐标原点 )，在座标平面 xOy 上到点 A(3,2,5)， B(3,5,1) 距离相等的点有()A ． 1 个 B．2 个 C．不存在 D ．无数个考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案D分析过 AB 的中点7， 3→A， B 的距离相3，2且以 AB＝ (0,3，－ 4)为法向量的平面上的点到等．15．已知在斜三棱柱ABC－ A1B1C1中，∠BCA＝ 90°，AC＝ BC＝ 2，A1在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ，又知 BA1⊥ AC1 .(1)求证： AC1⊥平面 A1 BC；(2)求点 C1到平面 A1AB 的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离(1)证明如图，取 AB 的中点 E，连结 DE，则 DE∥ BC，由于 BC⊥ AC，所以 DE ⊥ AC，且A1D ⊥平面 ABC，以 D 为坐标原点，射线DE ， DC ，DA1分别为 x， y， z 轴的正半轴成立空间直角坐标系，则 A(0，－ 1,0)，C(0,1,0) ， B(2,1,0) ，→→→设 A1(0,0， t)， C1(0,2， t)，此中 t＞ 0，则 AC1＝ (0,3， t)，BA1＝ (－ 2，－ 1， t)， CB＝ (2,0,0)，→ →由于 AC1·CB＝ 0，所以 AC1⊥ CB，又由于 BA1⊥ AC1，且 BC∩ BA1＝ B， BC，BA 1?平面 A1BC，所以 AC1⊥平面 A1BC.(2) 解由(1)知 AC1⊥平面 A1 BC，→→2所以 AC1·BA1＝－ 3＋t ＝ 0， t＞ 0，得 t＝ 3.设平面 A1AB 的法向量为n＝ (x， y， z)，→→AA1＝ (0,1，3)， AB＝ (2,2,0) ，→n·AA1＝y＋3z＝ 0，所以→n·AB＝2x＋2y＝0，设 z＝ 1，则n＝ ( 3，－3， 1)．→|AC1·n| 2 21所以点 C1到平面 A1AB 的距离 d＝|n|＝7.。
数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 疑难规律方法 第二章
1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →； OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 第2层 化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋12(BD →＋BC →)；(2)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (2)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层 证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的平面BCD 与平面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析 当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件． 正解 必要不充分总结 a·b <0⇔a 与b 的夹角为钝角或a 与b 方向相反，a·b >0⇔a 与b 夹角为锐角或a 与b 方向相同．易错点2 判断是否共面出错例2 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是( ) A.OA → B.OB → C.OC →D.OA →或OB →错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a ，b 共面．对A ，B ：设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面， 所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0， 此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面， 故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底． 同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．对C ：因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底． 正解 C易错点4 混淆向量运算和实数运算 例4 阅读下列各式，其中正确的是( ) A ．a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c B ．a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 C ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D.OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 A(或B 或C)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律，故A ，C 错误；a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故B 错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 D易错点4 忽略建系的前提例4 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 中点，试建立合理的坐标系，求AF →，BC →夹角的余弦值．错解 以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直． 正解 设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ， 因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)， 所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点5 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例5 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求平面ABD 1与平面BD 1C 的夹角的大小．错解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， C 1(0,1,1)．由题意知A 1D →是平面ABD 1的一个法向量，A 1D →＝(－1,0，－1)，DC 1→是平面BCD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)，所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为120°.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．正解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知AD 1→＝(－1,0，－1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量．所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为60°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知在直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求直线BC 1与CD 夹角的余弦值．解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)．所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故直线BC 1与CD 夹角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP 垂直于BB 1交C 1C 于P 点， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为坐标原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，如图．因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1()0，2，2. 点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 夹角的大小．解 取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则E (1,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0，取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量为MD →＝(0，3，0)， 所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 夹角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )． 设AE ＝BF ＝x (0≤x ≤G )， ∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )， C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形， 所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ?平面ABCD ， 所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 的夹角为45°，所以sin45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1， 所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且当DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 夹角为45°. 点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求平面A 1ECF 与平面DEC 夹角的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F 平面B 1CE ，EC ?平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以A 1E →＝(1,0，－2)，A 1C →＝(2,1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由A 1E →·m ＝0，A 1C →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0， 令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13.所以平面A 1ECF 与平面DEC 夹角的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ?平面A 1B 1C 1D 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B E S ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43. 2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求平面ADF 与平面DFC 夹角的余弦值．分析 求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角．(1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．DC →＝(0,2,0)，D 1C →＝(0,2，－2)，∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0，取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，设平面ADF 与平面DFC 的夹角为0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量为p ＝(1,1,1)， ∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量为q ＝(0,1，－1)，设平面ADF 与平面DFC 的夹角为θ，则cos θ＝|n ·q ||n ||q |＝|0＋0＋1|2×2＝12， ∴平面ADF 与平面DFC 的夹角的余弦值为12. 3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43. 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴y max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在， 此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →，即PQ ⊥QD ，连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0，即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1，由题图知，当a 2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a 2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a 2<1，即a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →；当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。
北师大版数学高二-高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(21OB OA OP +=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(+λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量复习
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。
则空间中任意一个向量p可表示为
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3), b (b1,b2 , b3)则
a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R) ;
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的