全等三角形题型归类及解析

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全等三角形的五大基本模型及题型归纳总结

全等三角形的基本模型一、平移模型常见的平移模型：例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE ＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.例2：如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.二、轴对称模型常见的轴对称类型：例3：如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD例4：如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有______ 对全等三角形．例5：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：BE＝CD.例6：如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF. 试证明下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.三、旋转模型常见的旋转模型例7：如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.两个特殊的旋转模型：（一）绕点型：（手拉手模型）（1）自旋转（2）共旋转（典型的手拉手模型）例7：在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。

4) △AGB ≌△DFB 5) △EGB ≌△CFB 6) BH 平分∠AHC 7) GF ∥AC练习：1. 如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。

4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2. △ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC3. 已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2. 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD与BE的位置关系，并说明理由．（二）半角模型：说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。

全等三角形—知识讲解及典型例题解析

中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。

全等三角形题型归类及解析汇报

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。

全等三角形压轴题及分类解析

BA OCE图8七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）同类变式：如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．CBO D图7AEA B CMNO PQ同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．CF GEDAH图9 图10 图11图①图②5.已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，连接AE CD，．（1）求证：AGE DAC△≌△；（2）过点E作EF DC∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF△是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDB F二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

全等三角形的九大经典模型(解析版)

全等三角形的九大经典模型【题型1平移模型】【题型2轴对称模型】【题型3旋转模型】【题型4一线三等角模型】【题型5倍长中线模型】【题型6截长补短模型】【题型7手拉手模型】【题型8角平分线模型】【题型9半角全等模型】【知识点1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1平移模型】1(2023春·陕西咸阳·八年级统考期末)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结论一定正确的是()A.∠B=∠FB.AC⊥DEC.BC=DFD.AC、DE互相平分【答案】D【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D选项的结论正确．故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．1.(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△A B C ，边B C 与边CD的交点为F，连接EF，若EF将CDE 分为面积相等的两部分，且AB=4，则CF=【答案】(1)见解析(2)2【分析】(1)首先由点C为AE的中点得出AC=CE，再根据SSS证明△ABC≌△CDE即可；(2)根据平移的性质得A B =CD=AB=4,再由EF将CDE分为面积相等的两部分得CF=DF=12CD =2【解析】(1)证明：∵点C为AE的中点，∴AC=CE在△ABC和△CDE中，AB=CD BC=DE AC=CE∴△ABC≌△CDE(2)解：将△ABC沿射线AC方向平移得到ΔA B C ，且AB=4，∴A B =CD =AB =4,∵边B C 与边CD 的交点为F ，连接EF ，EF 将CDE 分为面积相等的两部分，如图∴CF =DF =12CD =2,故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS 证明△ABC ≌△CDE 是解答本题的关键．2.(2023春·重庆·八年级校考期中)如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DCE ，连接BD 交AC于点F ．(1)求证：△AFB ≌△CFD ；(2)若AB =9，BC =7，求BF 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)1<BF <8【分析】(1)根据∠A =∠FCD ，∠AFC =∠CFD ，即可证明；(2)在△BCD 中，利用三边关系求出BD 的取值范围即可解决问题．(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠A =∠FCD ，在△AFB 和△CFD 中，∠A =∠FCD ∠AFB =∠CFD AB =CD∴△AFB ≌△CFD ．(2)【解析】解：∵△AFB ≌△CFD ，∴BF =FD ，在△BCD 中，BC =7，CD =9，∴2<BD <16，∴2<2BF <16，∴1<BF <8．【点睛】本题考查平移变换、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型．3.(2023春·八年级课时练习)已知△ABC ，AB =AC ,∠ABC =∠ACB ，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ．如图，连接BD 、AF ，则BD AF (填“>”“<”或“=”)，并证明．【答案】【答案】BD =AF ，证明见解析【分析】由△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，得到AC =DF ，∠DFB =∠ACB =∠ABF ，即可证明；【解析】【详解】解：BD =AF ．证明：由△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，AB =AC ,得AC =DF =AB ,，∠DFB =∠ACB =∠ABF ．在△ABF 和△DFB 中，{AB =DF∠ABF =∠DFB BF =FB，∴△ABF ≌△DFB (SAS )，∴BD =AF ．故答案是=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确分析证明是解题的关键．【知识点2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【题型2轴对称模型】1(2023春·河北邯郸·八年级校考期末)如图，在长方形ABCD 中，点M 为CD 中点，将△MBC 沿BM 翻折至△MBE ，若∠AME =α，∠ABE =β，则α与β之间的数量关系为()A.α+3β=180°B.β-α=20°C.α+β=80°D.3β-2α=90°【答案】D【分析】直接利用平行线的性质结合翻折变换的性质得出△ADM≌△BCM(SAS)，进而利用直角三角形的性质得出答案．【详解】∵M为CD中点，∴DM=CM，在△ADM和△BCM中∵AD=BC ∠D=∠C DM=CM ,∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴∠AMD=∠BMC，AM=BM∴∠MAB=∠MBA∵将点C绕着BM翻折到点E处，∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD ∴∠DME=∠AMB∴∠EBM=∠CBM=12(90°-β)∴∠MBA=12(90°-β)+β=12(90°+β)∴∠MAB=∠MBA=12(90°+β)∴∠DME=∠AMB=180°-∠MAB-∠MBA=90°-β∵长方形ABCD中，∴CD∥AB∴∠DMA=∠MAB=12(90°+β)∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE∵∠AME=α，∠ABE=β，∴90°-β+α=β+12(90°-β)∴3β-2α=90°故选D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是利用全等三角形对应角相等即可求解.1.(2023·全国·八年级专题练习)如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】DE +BF =EF ，见解析【解析】试题分析：通过延长CF ，将DE 和BF 放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．猜想：DE +BF =EF ．证明：延长CF ，作∠4=∠1，如图：∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =∠DAB ，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF =∠FAE ，在△AGB 和△AED 中，∠4=∠1AB =AD ∠ABG =∠ADE，∴△AGB ≌△AED (ASA )，∴AG =AE ，BG =DE ，在△AGF 和△AEF 中，AG =AE ∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△AGF ≌△AEF (SAS )，∴GF =EF ，∴DE +BF =EF ．2.(2023春·山东青岛·八年级统考期中)如图，在Rt ΔABC 中，∠C =90°，将ΔABC 沿AB 向下翻折后，再绕点A 按顺时针旋转α度(α<∠ABC )．得到Rt ΔADE ，其中斜边AE 交BC 于点F ，直角边DE 分别AB 、BC 于点G ,H1 请根据题意用实线补全图形；(不得用铅笔作图)．2 求证：ΔAFB ≅ΔAGE【答案】(1)作图见详解；(2)证明见详解.【分析】(1)根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系；(2)由题意易得△ABC ≌△AED ，即可得AB =AE ，∠ABC =∠E ，然后利用ASA 的判定方法，即可证得△AFB ≌△AGE ．【解析】解：(1)画图，如下图；证明：由题意得：△ABC ≌△AED ．∴AB =AE ，∠ABC =∠E ．在△AFB 和△AGE 中，∠ABC =∠EAB =AE∠α=∠α∴△AFB ≌△AGE (ASA )．【点睛】本题考查折叠与旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用以及注意折叠与旋转中的对应关系．3.(2023春·山西临汾·八年级统考期末)阅读材料，并回答下列问题如图1，以AB 为轴，把△ABC 翻折180°，可以变换到△ABD 的位置；如图2，把△ABC 沿射线AC 平移，可以变换到△DEF 的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论(1)请你写出一种全等变换的方法(除翻折、平移外)，．(2)如图2，前进小组把△ABC 沿射线AC 平移到△DEF ，若平移的距离为2，且AC =5，则DC =．(3)如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A ′的位置，且得出一个结论：2∠A ′=∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．(4)如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 外部点A ′的位置，此时∠A ′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．【答案】(1)旋转；(2)3；(3)见解析；(4)不成立，正确结论：∠2-∠1=2∠A '，见解析【分析】(1)由题意根据三种全等变换翻折、平移、旋转的定义进行判断即可；(2)根据平移的距离的定义可知AD=2，则DC=AC-AD进行求解即可；(3)根据轴对称及三角形内角和定理进行分析即可得出结论；(4)由题意根据轴对称及三角形内角和定理，进行分析即可得出结论.【解析】解：(1)除翻折、平移外全等变换的方法还有旋转；故答案为：旋转.(2)∵AD=2，AC=5，∴DC=AC-AD=5-2=3；故答案为：3.(3)∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，在△DEA'中，∠A'=180°-(∠A'DE+∠A'ED)；由平角定义知，∠2=180°-∠A'DA=180°-2∠A'DE，∠1=180°-∠A'EA=180°-2∠A'ED，∴∠1+∠2=180°-2∠A'DE+180°-2∠A'ED=2(180°-∠A'ED-∠A'DE)，∴2∠A′=∠1+∠2．(4)∠2-∠1=2∠A'，理由如下：∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，在△DEA'中，∠A'=180°-(∠A'DE+∠A'ED)，由平角定义知，∠2=180°-∠A'DA=180°-2∠A'DE，∠1=2∠A'ED-180°，∴∠2-∠1=(180°-2∠A'DE)-(2∠A'ED-180°)=180°-(∠A'DE+∠A'ED)，∴∠2-∠1=2∠A'．【点睛】本题是三角形综合题，综合考查平移的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．【知识点3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.【常见模型】【题型3旋转模型】1(2023春·全国·八年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)【答案】(1)EF=GE，理由见详解；(2)BE-DF=EF，理由见详解；(3)BE=a+b-c2，理由见详解【分析】(1)根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE=EF；(2)在BE上取BG=DF，连接AG，由∠ADC+∠B=180°，∠ADF+∠ADC=180°，得∠B=∠ADF，从而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE=EF，从而解决问题；(3)作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG=BE，连接CG，由(2)同理可两次全等证明出DE=GD即可．【详解】解：(1)EF=GE，理由如下：∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，∴AG=AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE=∠FAE，在△GAE和△FAE中，AG=AF∠GAE=∠FAE AE=AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴GE=EF；(2)BE-DF=EF，理由如下：如图2，在BE上取BG=DF，连接AG，∵∠ADC+∠B=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF，在△ABG和△ADF中，BG=DF∠B=∠ADF AB=AD，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠BAG=∠FAD，AG=AF，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠GAF=2∠EAF，∴∠GAE=∠EAF，在△GAE和△FAE中，AG=AF∠GAE=∠FAE AE=AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴GE=EF，∴BE-DF=EF；(3)如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG=BE，连接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF=CB，∠EBC=∠GFC，∵BE=GF，∴△CBE≌△CFG(SAS)，∴∠BCE=∠FCG，CG=CE，∵∠DAB=60°，∴∠FCB=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCF+∠BCE=60°，∴∠DCG=60°，又∵CG=CE，∴△ECD≌△GCD(SAS)，∴GD=DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB(HL)，∴AF=AB，∴b+a-BE=c+BE，∴BE=a+b-c2．【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．1.(2023春·八年级课时练习)如图，等边△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，则以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角的度数分别为．【答案】55°，60°，65°．【分析】通过旋转△AOB至△CDB，可得△BOD是等边三角形，将OA,OB,OC放在一个三角形中，进而求出各角大小。

初二全等三角形难题全等三角形难题及答案

初二全等三角形难题全等三角形难题及答案1、如图，在ABC 中，AB BC, ABC 90 。

F 为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF ,连接AE,EF 和CF。

求证：AE CFo 2、如图，D是ABC的边BC 上的点，且CD AB, ADB BAD,AE是ABD 的中线。

求证：AC…旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 , F是AB的中点，直线I经过点C,分别过点A、B作I的垂线，即AD丄CE , BE丄CE , (1)如图1,当CE 位于点F的右侧时，求证：AADC CEB ; (2)如图2,当CE位于点F的左侧时…全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂…1、如图，在ABC中，AB BC, ABC 90 。

F为AB 延长线上一点，点E在BC上，BE BF,连接AE,EF和CF。

求证：AE CFo 2、如图，D是ABC的边BC上的点，且CD AB,ADB BAD, AE是ABD 的中线。

求证：AC 2AE。

AB AC PB PC。

3、如图，在ABC 中，AB AC,求证：1 2，P 为AD上任意一点。

4、如图，BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高，F、G分别是线段DE、BC的中点求证：FG DE5、如图所示，MBC是等腰直角三角形，/ ACB = 90° AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：/ ADC =Z BDE6、如图，在锐角ABC中，已知ABC 2 C,ABC的平分线BE与AD垂直，垂足为D,若BD 4cm, 求AC的长参考答案1、思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

全等三角形经典题型

全等三角形经典题型全等三角形是几何学中的一个重要概念，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。

在解决全等三角形的经典题型时，我们通常会利用全等三角形的性质和一些几何定理来推导和证明。

以下是一些经典的全等三角形题型以及解题思路：1. SSS（边-边-边）判定法，当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定两个三角形全等。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。

2. SAS（边-角-边）判定法，当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以判定两个三角形全等。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF，那么可以得出三角形ABC 全等于三角形DEF。

3. ASA（角-边-角）判定法，当两个三角形的两角和一边分别相等时，可以判定两个三角形全等。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，那么可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。

4. RHS（直角边-斜边-直角边）判定法，当两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等时，可以判定两个三角形全等。

例如，已知直角三角形ABC和直角三角形DEF，且∠BAC=∠EDF，AC=DF，AB=DE，那么可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。

5. AAS（角-角-边）判定法，当两个三角形的两角和一边的对应边分别相等时，可以判定两个三角形全等。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF，且∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AB=DE，那么可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。

在解决全等三角形题型时，我们要注意使用合适的判定法，并根据题目给出的已知条件进行推导和证明。

同时，还要注意运用其他几何定理和性质，如平行线的性质、垂直线的性质、等腰三角形的性质等，来辅助解题。

以上是关于全等三角形经典题型的回答，希望对你有所帮助。

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全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析
一、角平分线型
角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分
线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，
连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，
•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．
3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；
(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，
AC=8，求DC 的长。

A
B C D
E P D A C
B
M N
二、中点型
由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线
2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线
4、三角形的中位线
2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，
BE
平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC
边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；
（2）求证：1
2
CE BF =
D
A
E
F
C
H
G
B
3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关
系，并证明你的结论。

4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的
中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．
E F
D
B
A
3、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若AD=4，EC=2.求DE 的长。

4、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ；（2）ΔBDH ≌ΔADC 。

4. 如图∠ACB=90°,AC=BC,BE ⊥CE,AD ⊥CE 于D ，AD=2、
5cm ，DE=1.7cm,求BE 的长
F
G
E D C B A A
B C D
E
H
5.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
6.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、
C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不
F E D
C
B
A
变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 为什么？
(3) 若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不
变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.
（4）归纳前二个问得出BD 、DE 、CE 关系。

用简洁的语言加以说明。

四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．
（2）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的
猜想是正确的；
（3）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化
过程．
2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
4、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD
E D
C B
A
5、已知P是等边△ABC内的一点，BPC
PC
PB
PA∠
=
=
=则
,3
,4
,5的度数为多少？
6、已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，APB
∠
则的度数为多少？.
A B
D
C
P
E
A B C
D
E
F
G
五、等腰三角形型
由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答
1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
M
C
F
1. 在△ABC 中，,AB=AC ，在AB 边上取点D ，在AC 延长线上取点E ，使CE=BD ，
连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF .
2. 如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分
别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明. F C B E
D
E
C B A
M
F
折叠型
２３、如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ．
(1)如图②，若M 为AD 边的中点，
①,△AEM 的周长=_____cm ；
②求证：EP=AE+DP ；
(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．。