2012年第八届湖南省大学生力学竞赛试题及参考答案-湘潭大学
第8届全国力学竞赛试题及答案
结论 3 分
证明方法不 限。 结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 y = −a(x − b)2 + c 的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值）。在 x = −r + Δx 处，抛物线的高为 y2 = −a(−r + Δx − b)2 + c 。假设抛物线过 A 点，则有 0 = −a(−r − b)2 + c 。因此有 y2 = 2a(r + b)Δx − aΔx2 ，略去高阶小量，即 y2 ∼ Δx 。
ε1
=
1 E
⎡⎣σ1
−ν
(σ 2
+ σ3 )⎤⎦
=
−
p E
(1−
2ν
)
代入(2-5)式，有： − FpL (1− 2ν ) = − pΔV ( F ) ，
E
从而得到体积改变量：
(2-5) 1 分 1分
(2-6) 2 分
ΔV ( F ) = FL (1− 2ν ) = σπ D2L (1− 2ν )
E
（1－8）
2 分，可以带入 角度。如果坐 标系选取不 同，或符号不 同，只要正确 即可。下面类 似处理
2分
同时根据系统水平动量守恒，有
u
=
v+n x'y'
cosϕ
−
v+τ x'y'
sin ϕ
联立（1－7），（1－8），（1－9），解出
（1－9） 1 分
v+n x'y'
=
v0
sinϕ(e − cos2 1+ cos2 ϕ
工程力学竞赛复习题及答案-知识归纳整理
知识归纳整理16.画出杆AB 的受力图。
17. 画出杆AB 的受力图。
18. 画出杆AB的受力图。
25. 画出杆AB 的受力图。
物系受力图26. 画出图示物体系中杆AB、轮C、整体的受力图。
7. 图示圆柱A重力为G，在中心上系有两绳AB和AC，绳子分别绕过光滑的滑轮B和C，并分别悬挂重力为G1和G2的物体，设G2＞G1。
试求平衡时的α角和水平面D对圆柱的约束力。
解（1）取圆柱A画受力图如图所示。
AB、AC绳子拉力大小分别等于G1，G2。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑Fx ＝0，-G1+G2cosα＝0求知若饥，虚心若愚。
∑F y ＝0， F N ＋G 2sinα-G ＝0 （3）求解未知量。
8.图示翻罐笼由滚轮A，B 支承，已知翻罐笼连同煤车共重G=3kN，α=30°，β=45°，求滚轮A，B 所受到的压力F NA ，F NB 。
有人以为F NA =Gcos α，F NB =Gcos β，对不对，为什么？解（1）取翻罐笼画受力图如图所示。
（2）建直角坐标系，列平衡方程： ∑F x ＝0， F NA sinα-F NB sinβ＝0 ∑F y ＝0， F NA cosα+F NB cosβ-G＝0 （3）求解未知量与讨论。
将已知条件G=3kN，α=30°，β=45°分别代入平衡方程，解得： F NA ＝2.2kN F NA ＝1.55kN有人以为F NA =Gcosα，F NB =Gcosβ是不正确的，惟独在α=β=45°的事情下才正确。
千里之行，始于足下。
9.图示简易起重机用钢丝绳吊起重力G=2kN 的重物，不计杆件自重、摩擦及滑轮大小，A，B，C三处简化为铰链连接；求AB 和AC 所受的力。
解（1）取滑轮画受力图如图所示。
AB、AC 杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：∑F x ＝0， -F AB -Fsin45°+Fcos60°＝0 ∑F y ＝0， -F AC -Fsin60°-Fcos45°＝0 （3）求解未知量。
湖南科技学院第8届大学生物理竞赛试卷(答案)
湖南科技学院第8届大学生物理竞赛答案一、填空题（每空2分，共计30分）1．（︒-30sin g ，︒30cos 2g υ） 2． （J 12）3.（204a qπε，由O 指向D ） 4.（E R 2π，0）5．（平行于x 轴，沿z 轴的反方向）6．（2222-T mA π）7.（氧气，氢气，1T ）8. （h A 0，mv v h )(201-） 二、计算题（共计70分） 1、（12分）解：棒与小球绕轴的转动惯量为3/431222Ml Ml Ml J =+=取棒、球和子弹为系统，在子弹穿过小球时，系统所受外力对轴的合力矩为零，对轴的角动量守恒．设子弹刚穿出小球后，棒的角速度为ω0则有021ωJ l m l m +⋅=v v 由此可解得 ω0＝3m v / 8Ml ①要使棒能转动完整的一周，必须球能摆至最高点，且这时棒的角速度ω ≥0．从最低点到最高点的过程中，棒、球与地球系统的机械能守恒．取球在最低点时重力势能为零，则220212322/21ωωJ l Mg l Mg Mgl J ++⋅=+ ② 由①、②式并利用ω ≥0的条件，可解得子弹的最小入射速率为gl m M24min =v 2、（12分）(1) a r R <<场强：3013π4,π4rr Q E r Qr D ε ==介质内)(b r a <<场强：3023π4,π4rr Q E r r Q D r εε ==; 介质外)(b r >场强：3033π4,π4r r Q E r Qr D ε == 金属球的电势r d r d r d 321 ⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞b b a a R E E E U r d 4r d 4r d 433030 ⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞b b a r a R r r Q r r Q r r Q πεεπεπε )11(π4)11(π400ba Q a R Q r r -++-=εεεε 3、（12分）解: 计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量⎰⎰=-==aym y B x x y B S B 0232322d )(2d 2ααΦ ∴ v y B t y y B t m 21212d d d d ααε-=-=Φ-= ∵ ay v 22=∴ 212y a v =则 ααεaBy y a y Bi 8222121-=-= i ε实际方向沿ODC ．4、解：(1)等体过程由热力学第一定律得E Q ∆=吸热 )(2)(1212V T T R i T T C E Q -=-=∆=υυ25.623)300350(31.823=-⨯⨯=∆=E Q J对外作功 0=A(2)等压过程)(22)(1212P T T R i T T C Q -+=-=υυ吸热 75.1038)300350(31.825=-⨯⨯=Q J )(12V T T C E -=∆υ内能增加 25.623)300350(31.823=-⨯⨯=∆E J对外作功 5.4155.62375.1038=-=∆-=E Q A J 5、解: 由反射干涉相长公式有λλk ne =+22 ),2,1(⋅⋅⋅=k得 122021612380033.14124-=-⨯⨯=-=k k k ne λ 2=k , 67392=λo A (红色)3=k , 40433=λ o A (紫色)所以肥皂膜正面呈现紫红色．由透射干涉相长公式 λk ne =2),2,1(⋅⋅⋅=k所以 k k ne 101082==λ 当2=k 时， λ =5054o A (绿色)故背面呈现绿色．6、（10分）解：22*)23cos 1(ax a πψψψ== a a a a a a a a 21)21(14cos 1)4(cos 145cos 12653cos 122222===+===πππππ。
力学竞赛试题及答案
力学竞赛试题及答案一、 四叶玫瑰线解：（1）对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =，在直角坐标系中可写成（图3-1）⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 将θρ2cos a =代入上式， 得 ⎩⎨⎧==θθθθsin 2cos cos 2cos a y a x （1） 利用三角函数的积化和差公式 )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα-++=可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)sin 3(sin 2 )cos 3(cos 2θθθθa y a x （2）图3-1 图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。
如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮1O 在固定内齿轮O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r ，画笔所在E 点离小齿轮圆心1O 的距离为e 。
随系杆1OO 的转动，其E 点的轨迹为⎩⎨⎧--=+-=ϕθϕθsin sin )( cos cos )( e r R y e r R x EE 利用小齿轮的纯滚动条件)(θϕθ+=r R ，有θϕrrR -=，代入上式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)sin(sin )( )cos(cos )( ϕθϕθr r R e r R y r r R e r R x E E 作变换，令βϑ3=，上式可改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)3sin(3sin )( )3cos(3cos )( ϕβϕβr r R e r R y r r R e r R x E E （3）对照式（2）和式（3）中的系数，有2ae =， 2a r R =-， 13=-r r R联解之，得a R 2=， a r 23=， 2ae = （4） 做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出θρ2cos a =的四叶玫瑰曲线。
二． 手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小； （3）给出笔与手指间的摩擦因数μ随AC 长度x 变化应满足的条件。
力学竞赛大学试题及答案
力学竞赛大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 一个物体在水平面上以恒定速度直线运动，其运动状态是：A. 静止B. 匀速直线运动C. 匀速圆周运动D. 变速直线运动答案：B2. 牛顿第二定律的数学表达式是：A. F = maB. F = mvC. F = m(v^2)D. F = m(v^2)/r答案：A3. 根据能量守恒定律，下列说法正确的是：A. 能量可以在不同形式之间转换B. 能量可以在不同物体之间转移C. 能量的总量可以增加D. 能量的总量可以减少答案：A4. 一个物体从静止开始做自由落体运动，其下落高度与时间的关系为：A. h = 1/2gt^2B. h = gtC. h = 2gtD. h = gt^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小________，方向________，作用在________的物体上。
答案：相等；相反；不同2. 一个物体的动能与其质量成正比，与其速度的平方成正比，其公式为：Ek = ________。
答案：1/2mv^23. 一个物体在斜面上下滑时，其受到的摩擦力大小与斜面的倾角成________关系。
答案：正比4. 根据胡克定律，弹簧的弹力与其形变成正比，其公式为：F =________。
答案：kx三、计算题（每题10分，共20分）1. 一辆汽车以20m/s的速度在水平公路上匀速行驶，求汽车受到的摩擦力大小，已知汽车质量为1500kg，摩擦系数为0.05。
答案：汽车受到的摩擦力大小为750N。
2. 一个质量为2kg的物体从10m高处自由落下，忽略空气阻力，求物体落地时的速度。
答案：物体落地时的速度为20m/s。
四、简答题（每题10分，共20分）1. 简述牛顿第一定律的内容及其物理意义。
答案：牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。
其物理意义是，物体具有惯性，即物体倾向于保持其当前的运动状态，除非有外力作用。
(完整版)湘潭大学大学物理练习册答案习题解答(1-22上)
练习一运动的描述 （一）1．（D ）2.（D ）3．217,5s m s m 4．m m π5,105．（1）s m t x V 5.0-=∆∆= （2）()s m v t t dt dx v 62,692-=-==（3）()()()()质点反向运动时，,05.125.25.1215.1===⨯-⨯+⨯-⨯=v s t m S6．答：矢径是从坐标原点至质点所在位置的有向线段。
位移是由前一时刻质点所在位置引向后一时刻质点所在位置的有向线段，它们的一般关系为r r r ρρρ-=∆若把坐标原点选在质点的初始位置，则00=r ρ，任意时刻质点对此位置的位移为r r ρρ=∆，即此时r ρ既是矢径也是位移。
练习二 运动的描述 （一）1． ()()s m t t s rad t t 612,34223--2．（c ）3．三 ， 三至六4．s m s m s m 20,3103.17=5．1032,224,432102+===∴===⎰⎰⎰⎰t x dt t dx t v tdtdv t dt dv a txv t6．根据已知条件确定常量K222224,4,4Rt R v t s d ra Rt v t k ======ωωω22222228.3532168841s m a a a sm R v a s m Rt dt v d a s m Rt v s t n n =+=========ττ时，练习三 运动定律与力学中的守恒定律（一）1．（D ）2. （C ）3．4．θ2cos 15．因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于张力T ，设2m 对地加速度为/2a ，取向上为正；1m 对地加速度为1a （亦即绳子的加速度）向下⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-21/2/222111aa a a m g m T a m T g m()()()212121/22121221222112m m a m g m m a m m m m a g T m m a m g m m a +--=+-=++-=解得：6．(1)子弹进入沙土后受力为－kv,由牛顿定律有mt k v v t ev v vdv dt m k vdvdt m k dt dvm kv -=∴=-=-∴=-⎰⎰00,,（2）求最大深度()()kv mv x ev k m x dte v dx dt dx v mkt m kt 00max 00,1,=-=∴=∴=--Θ练习四 运动定律与力学中的守恒定律（二）1．（C ）2.（B ）3．s m S N 24,140⋅()()sm m mv I v mv mv I sN dt t dt F I t t 24,14040301212221=+=∴-=⋅=+==⎰⎰ρΘ4．2221221,m t F m m t F m m tF ∆++∆+∆5．（1）系统在水平方向动量守恒。
湘潭大学大学物理练习题答案(上-下合集-仅供期末复习之用)
这个答案仅供复习之用,平时一定要自己动脑筋做作业…..练习一 运动的描述 （一）1．（D ） 2.（D ）3．217,5s m s m 4．m m π5,105．（1）s m t x V 5.0-=∆∆= （2）()s m v t t dt dx v 62,692-=-==（3）()()()()质点反向运动时，,05.125.25.1215.1===⨯-⨯+⨯-⨯=v s t m S6．答：矢径是从坐标原点至质点所在位置的有向线段。
位移是由前一时刻质点所在位置引向后一时刻质点所在位置的有向线段，它们的一般关系为r r r -=∆若把坐标原点选在质点的初始位置，则00=r，任意时刻质点对此位置的位移为r r =∆，即此时r既是矢径也是位移。
练习二 运动的描述 （一）1． ()()s m t t s rad t t 612,34223--2．（c ）3．三 ， 三至六4．s m s m s m 20,3103.17=5．1032,224,432102+===∴===⎰⎰⎰⎰t x dt t dx t v tdtdv t dt dv a txv t6．根据已知条件确定常量K222224,4,4RtR v t s d ra Rt v t k ======ωωω22222228.3532168841s m a a a sm R v a s m Rt dt v d a s m Rt v s t n n =+=========ττ时，练习三 运动定律与力学中的守恒定律（一）1．（D ）2. （C ）3．4．θ2cos 15．因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于张力T ，设2m 对地加速度为/2a ，取向上为正；1m 对地加速度为1a （亦即绳子的加速度）向下⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-21/2/222111aa a a m g m T a m T g m()()()212121/22121221222112m m a m g m m a m m m m a g T m m a m g m m a +--=+-=++-=解得：6．(1)子弹进入沙土后受力为－kv,由牛顿定律有mt k v v t ev v vdv dt m k vdvdt m k dt dvm kv -=∴=-=-∴=-⎰⎰00,,TT()相对2a 2()牵连1a（2）求最大深度()()kv m x ev k m x dte v dx dt dx v kt m kt 0max 00,1,=-=∴=∴=--练习四 运动定律与力学中的守恒定律（二）1．（C ）2.（B ）3．s m S N 24,140⋅()()sm m mv I v mv mv I sN dt t dt F I t t 24,14040301212221=+=∴-=⋅=+==⎰⎰4．22211211,m t F m m t F m m t F ∆++∆+∆5．（1）系统在水平方向动量守恒。
力学竞赛综合练习含答案
力学竞赛练习一、选择题1.如下列图，均匀细杆AB 质量为M ，A 端装有转轴，B 端连接细线通过滑轮和质量为m 的重物C 相连，假设杆AB 呈水平，细线与水平方向夹角为θ时恰能保持平衡，则杆对轴A 有作用力大小下面表达式中不正确的选项是〔 〕 A.mgB ．Mg2 sin θC ．M 2－2Mm sin θ＋m 2 gD ．Mg －mg sin θ2．如下列图，在倾角为θ的光滑斜面上A 点处，以初速v 0与斜面成α角斜抛出一小球，小球落下将与斜面作弹性碰撞．求a θ、满足什么条件时，小球将逐点返跳回出发点A ？( )．A ．k =⋅θαcos sinB ．k =⋅θαsin cosC ．k =⋅θαcot cotD ．k =θαtan tan (123=,,,k )3.在竖直平面的一段光滑圆弧轨道上有等高的两点M 、N ，它们所对圆心角小于10°，P 点是圆弧的最低点，Q 为弧NP 上的一点，在QP 间搭一光滑斜面，将两小滑块〔可视为质点〕分别同时从Q 点和M 点由静止释放，则两小滑块的相遇点一定在〔 〕 （A ）P 点 〔B 〕斜面PQ 上的一点〔C 〕PM 弧上的一点 〔D 〕滑块质量较大的那一侧4.一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进展一段给定的路程。
木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。
设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。
以下诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是〔 〕A B θ CA 、雨点下落的速度B 、单位体积中的雨点数C 、车行进的速度D 、木板的面积5.有一只小虫清晨6时起从地面沿树干向上爬，爬到树顶时是下午6时，第二天清晨6时起从树顶沿树干向下爬，爬回地面时是下午四时。
假设小虫爬行时快时慢，则两天中，一样钟点〔时、分、秒〕爬过树干上一样高度的时机是〔 〕 A ．一定有一次 B.可能没有 C ．可能有两次 D.一定没有6.物体A 、B 质量一样，在倾角为30o 的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，下滑轮通过轻杆固定在斜面底端，现将系统由静止释放，则物体A 在下降h 距离时的速度大小为〔 〕 A ． 2 g h B ．2 3 g h ／5 C ．22gh D ．8 g h ／57.如下列图，在静止的杯中盛水，弹簧下端固定在杯底，上端系一密度小于水的木球．当杯自由下落时，弹簧稳定时的长度将( )． A ．变长 B ．恢复到原长 C ．不变 D ．无法确定8.如下列图，M 、N 是两个共轴圆筒的横截面．外筒半径为R ，筒半径比R 小得多，可以忽略不计．筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空．两筒以一样的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动．设从M 筒部可以通过窄缝S(与M 筒的轴线平行)不断地向外射出，两种不同速率v1和v2的微粒，从S 处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N 筒后就附着在N 筒上．如果R 、v1和v2都不变，而ω取*一适宜的值，则( )A ．有可能使微粒落在N 筒上的位置都在a 处一条与S 缝平行的窄条上B ．有可能使微粒落在N 筒上的位置都在*一处如b 处一条与S 缝平行的窄条上C ．有可能使微粒落在N 筒上的位置分别在*两处如b 处和c 处与S 缝平行的窄条上BA30D ．只要时间足够长，N 筒上将到处落有微粒 量为二、填空题1.一均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在A 、B 两点，B 点比A 点高h ．在A 点，绳子力为T A ．绳子的质m ，绳长为L ．则在B 点绳子的力T B =.2.质量为m 的小球挂在长为L 、不可伸长的轻线上，静止于自然悬挂状态。
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（20分）
即
可见，该轴处于安全范围内。（25分）
解：应用点的合成运动方法确定CD杆上C点与AE杆上接触点C'之间的速度关系
取CD杆上C为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；则
（a）（5分）
应用平面运动方法确定AE上A、C'点之间速度关系
（b）（10分）
将（b）代入（a）得
作速度矢量图，并投影到 与垂直轴上
且 有
即
（15分）
所以
（20分）
得
分
二.与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2，试列出该系统的运动微分方程(本题25分)。
2012年第八届湖南省大学生力学竞赛试题及参考答案
考试方式闭卷考试时间120分钟
学校专业班级
学号姓名
题Байду номын сангаас
号
一
二
三
四
五
总分
阅卷
教师
得
分
………………………………………………………………………………………………………………
得
分
一.导槽滑块机构图示瞬时，杆AB速度为 ，杆CD速度为 ，角已知，且 ,求导槽AE的角速度（本题20分）。
C位置处的弯矩值为 （5分）
(2)若加载后梁与C支座已经接触，即 ，则梁为超静定结构，可用力法进行求解。
力法方程：
解得
据此，可得
（15分）
得
分
四.以工字钢为大梁的桥式起重机，由于不满足刚度要求，加固成图4所示形式。设除工字钢外，其余各杆只受轴向拉伸或压缩，且各杆的横截面积均相等。已知工字钢的抗弯刚度为EI，各杆的抗压或抗拉刚度为EA。若不计工字钢剪力和轴力对变形的影响，试求当P作用在工字钢跨中位置时，工字钢的最大弯矩。（15分）
图2
解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x轴原点位于弹簧自然长度位置,逆时针转向为正。
（3分）
系统动能：
（6分）
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）
（9分）
拉格朗日函数：
（12分）
（16分）
（20分）
代入
并化简
（15分）
得
分
五.图5所示为一皮带轮轴（ 、 与 相垂直）。已知 和 均为 ，1、2轮的直径均为 ，3轮直径为 ，轴的直径为 。若 ，试按第三强度理论对该轴进行校核。（25分）
图5
解：建立坐标系如图示。根据外载荷简化，可得轴1与轴2的外力矩为
（3分）
从而可得
（5分）
轴的内力图为
轴2的合成弯矩为 低于右侧轴承处的弯矩，因此，右侧轴承所在截面为危险截面。（15分）
系统的运动微分方程
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 ， ， ，略去二阶以上无穷小量，则
上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。（25分）
得
分
三．如图所示AB梁，AC段受均布载荷q作用，梁与支座C处有一间隙 ，试求AB梁在C位置处的弯矩值。[本题15分]
图3
解：(1)若加载后梁与C支座仍未接触，则弯矩图与相应简支梁相同。AB梁的弯矩图如图 所示。
图4
解：以杆件CD为多余约束，截开CD杆得基本体系如图2a所示。基本结构（即基本静定系）在载荷P作用下，工字梁AB的弯矩图如图2b所示，其余各杆的轴力都为零。在单位载荷作用下，工字梁AB的弯矩图 及其余各杆的轴力 如图4c所示。
（5分）
（10分）
求得 后，在工字梁中点的截面上的弯矩为梁的最大弯矩，其值为