平面向量的分解定理及应用讲义
平面向量的分解定理ppt-沪教版PPT课件
B C=4 e1 + e2, C D =8 e1 -9 e2,证明A，D，B， 三点共线
2020年10月2日
8
小结
1.平面向量基本定理，其实质在于：
同一平面内任一向量都可以表示为两个
不共线向量e1,e2的线性组合，且e1,e2是 这一平面内所有向量的一组基底
2020年10月2日
9
演讲完毕，谢谢观看！
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2020年10月2日
10
F1 F2
G
2020年10月2日
4
问题1 给定一个向量a是否可以分解成两个不共线方向上的
向量之和, 即
aOMON
N C
a
a
e2 e1
B
e2
A
O e1
M
结论
在同一平面内有两个不共线的向量e1，e2 ，给定向量a，
那么向量a，存在一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．
问题2 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？
2020年10月2日
6
例1
如 图 所 示 ， 平 行 四 边 形 A B C D 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ，
且 A B a ， A D b ， 用 a 、 b 表 示 M A 、 M B 、 M C 、 M D ?
平面向量的分解定理(沪教版高二上)课件
推荐阅读《平面向量分解定理在解题中的应用》一书，深入了解该定理在实际问题中的应用。
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探讨向量分解定理在高维空间中的形式和应用，为高维向量分析提供理论基础。
01
向量分解定理在二维平面上的推广
将向量分解定理从直角坐标系扩展到任意坐标系，包括极坐标系和参数方程形式。
02
向量分解定理在三维空间中的推广
将二维平面向量分解定理的应用范围扩展到三维空间，研究三维向量的分解和表示方法。
向量分解定理在计算机图形学中的应用
利用向量分解定理研究计算机图形学中的向量运算和变换，如平移、旋转、缩放等。
向量分解定理在信号处理中的应用
将向量分解定理应用于信号处理领域，如频谱分析、滤波器设计等，提高信号处理的效果和效率。
向量分解定理在物理学中的应用
将向量分解定理应用于物理学的各个领域，如力学、电磁学、光学等，为解决实际问题提供数学工具。
平面向量的分解定理ppt(沪教版高二上)ppt课件
目录
平面向量分解定理的引入平面向量分解定理的证明平面向量分解定理的应用平面向量分解定理的扩展和推广总结与回顾
01
CHAPTER
平面向量分解定理的引入
如果两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$不共线，那么对于任意向量$overset{longrightarrow}{c}$，存在唯一的一对实数$x$和$y$，使得$overset{longrightarrow}{c} = xoverset{longrightarrow}{a} + yoverset{longrightarrow}{b}$。
平面向量的分解定理
平面向量的分解定理【知识概要】平面向量的分解定理如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.其中，把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.注：① 21,e e 为非零向量.由于零向量的方向不确定，且零向量与任意实数的积都为零向量，因此当1e （或2e ）为零向量时22a e λ= （或11e λ ），此时a 只能与2e （或1e ）平行；② 21,e e 为互不平行的向量.当21,e e 平行时，向量a 也必然与21,e e 平行； ③ 21,e e 不一定互相垂直，也不一定是单位向量.④ 基向量的选择不是唯一的，当基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被a ，21,e e 唯一确定的数量.【典例精讲】例1判断下列命题真假：（1）一个平面内只有一对不平行的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基； （2）平面中任意两个向量都可以作为这个平面内所有向量的一组基. 答案：（1）假命题 （2）假命题例2下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ A ）(A) 12(2,1),(1,2)e e =-=- (B) 12(2,1),(6,3)e e =-=-(C) 121(1,),(6,3)2e e =-=-(D) 12(0,0),(1,2)e e ==-例3已知向量12,e e 是平面α 内所有向量的一组基底，且1212,32e e b e e α=+=-，1223c e e =+ ，若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），试求,λμ的值。
解：将12a e e =+与1232b e e =-代入c a b λμ=+得：121212()(32)(3)(2)c e e e e e e λμλμλμ=++-=++-又∵1223c e e =+，且12,e e 是一组基底，于是根据定理中的唯一性可得以下的方程组：3223λμλμ+=⎧⎨-=⎩ 解之得：13515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩例4 △ABC 中，,,BC a CA b AB c ===，三边BC 、CA 、AB 的中点依次为D 、E 、F ，则AD BE CF ++=____________。
25、平面向量分解定理及应用
（二）向量的三种线性运算及运算的三种形式 向量运算中的基本图形： ① 向量加减法则：三角形或平行四边形； ② 实数与向量乘积的几何意义——共线； ③ 定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量 数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
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1
中小学 1 对 1 课外辅导专家
OA + OB = OC
记 OA =(x1,y1)， OB =(x1,y2) 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2)
OB - OA = AB
2,3 与 b 1, 5 ，求 3a b 及 b 3a 的坐标.
巩固练习：1）已知向量 a
4, 1 与 b 5, 2 ，求 2a 3b 的坐标.
2）已知 a
(1, 2), b (3,1), c (11, 7), 并且 c xa yb. 求 x,y 的值.
2,1 、 3,2 、 1,3 .
B(-3,2)
y C(-1,3) D A(2,1)
（2）如果四边形 ABCD 是平行四边形，求 D 的坐标.
O
x
巩固练习：1）若点 A 坐标为(2,-1), AB 的坐标为(4,6),则 B 点的坐标为(
精锐教育网站：
.
【高2数学】11-平面向量的分解定理与向量的应用解读
平面向量的分解定理与向量的应用基础概念一、基础知识概述本周首先学习了平面向量的分解定理，主要是通过定理用两个不共线的向量来表示另一个向量或将一个向量分解成两个向量，并且了解定理分解的条件．其次学习了向量的应用，向量是一个非常重要的知识点，在解析几何、立体几何、代数、物理方面都有着广泛的应用． 二、重难点知识归纳 （一）平面向量分解定理：定理：如果1e 、2e 是同一平面内两个不平行的向量，那么对这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=．基：不平行的1e 与2e 叫做平面内表示所有向量的一组基． 说明：（1）基向量肯定是非零向量，且基并不唯一，只要不平行就行． （2）由定理可将任一向量按基方向分解且分解形成唯一． （二）向量的应用：（1）向量知识在不等式中的应用：利用向量数量积的一个重要性质||||||b a b a ⋅≤⋅，变形为222||||||b a b a ⋅≤⋅，可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易． （2）向量知识在物理中的应用：利用向量分解定理进行分解，与物理性质相结合．典型例题例1、如图所示，已知梯形ABCD 中BC AD //，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且AD BC 3=，a BA =，b BC =．试以a 、b 为基表示EF 、DF 、CD ．分析：我们首先应根据BC AD //且BC AD 31=，用b 表示AD ，然后反复采用向量和与差的三角形法则就可计算出所求向量． 解答：∵BC AD //且BC AD 31=， ∴b BC AD 3131==，∴b AD AE 6121==． ∵BC BF 21=，∴b BF 21=，∴b a BF BA FA 21-=-=，∴a b b a b FA AE AF EA EF -=---=--=+=31)21(61，a b a b b EF AE EF EA EF DE DF -=-+-=+-=+=+=613161，b a b a b BF DF FC DF FD CF CD 32)2161()()(-=+--=+-=+-=+=．例2、如图所示，ABC ∆中，AB AD 32=，BC DE //交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N ，设a AB =，b AC =，用a ，b 分别表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN ．解析：本题主要考查向量的加法、减法的三角形法则及数乘向量的混合运算能力． 利用BC DE //⇒ADE ∆∽ABC ∆，ADN ∆∽ABM ∆，再用三角形法则求解．BC DE 323232//==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=，a b AB AC BC -=-=．由ADE ∆∽ABC ∆得，)(3232a b BC DE -==． 由AM 是ABC ∆的中线，BC DE //，得)(3121-==，而且)(21)(2121+=-+=+=+=．)(313232~b a AM AN AB AD ABM ADN +==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∆∆．例3、已知x 、R y ∈，且1||<x ，1||<y ．求证：xyy x -≥-+-12111122． 证明： ∵2222114)(2422412yx y x xy xy -+-=+-≤-=-， 故只要证明不等式22221141111y x y x -+-≥-+-即可． 为此，构造向量)1,1(22y x m --= ，)11,11(22yxn --=．由向量数量积性质：222||||||n m n m ⋅≥，得4)1111)(11(2222≥-+--+-y x y x ． 从而22221141111yx y x -+-≥-+-．所以原不等式成立． 例4、一个物体受到同一平面内三个力1F 、2F 、3F 的作用，沿北偏东︒45的方向移动了m 8，其中N F 2||1=，方向为北偏东︒30；N F 4||2=，方向为东偏北︒30；N F 6||3=，方向为西偏北︒60，求合力F 所做的功．解析：以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则： )3,1(1 =，)2,32(2 =F ，)33,3(3 -=F ， 所以)342,232(321+-=++= F F F F ． 又位移)24,24( =，故合力F 所做的功为：)(624362424)342(24)232(J W =⨯=⨯++⨯-=⋅=． 答：合力F 所做的功为J 624．分析：比较条件等式和欲证等式可知，关键在于证明βα22cos cos =，βα22sin sin =，即证ββαcos cos cos 2=，ββαsin sin sin 2=．于是由条件等式容易联想到向量)sin sin ,cos cos (22βαβα =和)sin ,(cos ββ =的模，故可考虑向量法来证明．证明：构造向量)sin sin ,cos cos (22βαβα =，)sin ,(cos ββ =b ，与的夹角为θ， 则1||2=，1||2=，故1||||==．又1sin sin sin cos cos cos 22=⋅+⋅=⋅ββαββα，从而1||||cos =⋅=b a θ， 即0=θ，即a 与b 同向．从而b a =，即ββαcos cos cos 2=，ββαsin sin sin 2=，βα22cos cos =，βα22sin sin =，∴⎩⎨⎧+=-+-=-+-222225)2()5(0)2(2)5(5y x y x ，解得⎩⎨⎧==7311y x 或⎩⎨⎧-==3722y x ． ∴点B 的坐标是)7,3( 或)3,7(- ，)5,2( -=AB 或)5,2(-= AB ．基础练习一、选择题1、1e 、2e 是表示平面内所有向量的一组基，则下列各组向量中，不能作为平面向量一组基的是（ ）A ．21e e +和21e e -B ．2123e e -和1264e e -C ．212e e +和122e e +D ．2e 和21e e +2、若a OP =1，b OP =2，)1(21-≠=λλ PP P P ，则OP 等于（ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．1(λλ-+λλ++1 3、若G 是ABC ∆的重心，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则GC GB GA ++等于（ ）A ．6B ．6-C ．GE 6-D ．04、在平面直角坐标系中，O 为原点，a OA =，b OB =，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则MN 用a 、b 表示为（ ）A ．)(2-5、O 为平面上一动点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足)(0R OC OB OA ∈≠=+λλ ，则O 点轨迹必过ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心6、设平面上有4个互异的点A 、B 、C 、D ，已知0)()2(=-⋅-+AC AB DA DC DB ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形等于（ ）A ．4-B ．2C ．2或4-D ．2-或49、已知)1,2( A 、)5,3( B ，把向量AB 按向量)2,3( =a 平移后得CD ，则下列向量中能与CD 垂直的是（ ）10、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ）A ．)1,0(,)( ∈+λλB ．)22,0(,)(∈+λλBC AB C ．)1,0(,)( ∈-λλ D ．)22,0(,)( ∈-λλ 二、填空题11、在点)1,2(1P 和)9,3(2- P 上分别放置质量为2和8的两个质点，则它们的重心坐标为___________．12、设1e 和2e 是两个不共线的向量，且212e k e AB +=，213e e CB +=，212e e CD -=．若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为___________．13F ，则=++CF BE AD ___________．三、解答题14、如图所示，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若a AB =，b AD =，试以a 、b 为基底表示DE 、BF ．15、求函数29103x x y -+-=的最大值．16、已知)0,0(1cos sin 44>>+=+b a b a b x a x ．证明：对于任何正整数n 都有11212)(1cos sin ---+=+n n n n n b a b x a x ．。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件共12张PPT
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
a j
o
i
x
x
OA xi y j a ( x, y )
0 _(0_,_0_).
例1.如图，分别用基底{i, j}表示向量 a、b、c、d，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
y
如图， i, j 是分别与x轴、y轴方向相
a
同的单位向量，取{e1, e2}为基底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ，
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．
得
x1＝cos30°＝
23，y1＝sin30°＝12，所以
B
23，21.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝ 23，
所以 D－12
23.
复习回顾
平面向量基本定理:
高二数学上册课件：8.3平面向量分解定理(共10张PPT)
2018/9/21
8.3
分平 解面 定向 理量 的
例题 2.如图， 平行四边形ABCD的两条对角线交于M， AB a， AD b . (1)用a， b 分别表示 MA， MB， MC， MD； 1 (2)若DE EB， 用a， b 表示 AE， CE . 3
1 1 1 1 解： (1) MA a b； MB a b 2 2 2 2 1 1 1 1 MC a b； MB a b 2 2 2 2 1 3 3 1 (2) AE a b； CE a b 4 4 4 4
A
2018/9/21
基向量 唯一性
应用
8.3
分平 解面 定向 理量 的
例题 3.如图， OA和OB是不平行的两个向量， k R， 且 AP k AB，用OA、 OB表示OP .
解： OP (1 k )OA kOB.
O
P
B A
基向量 唯一性
应用
4.在ABC中， AB a， BC b， G是ABC的重心， 用向量 、 b 表示向量 AG . OA OB， 若A, Ba ,C 三点满足 OC
结论： 平面内任一向量a都可以表示成两个不平行 e1， e2的线性组合.而且这种线性组合是唯一的. 其中e1， e2叫这个平面内所有向量的一组“基”.
应用
2018/9/21
8.3
分平 解面 定向 理量 的
唯一性的证明： (1)当a 0时，a 0 0e1 0e2； (2)当a 0时，假设a e1 e2 ' e1 ' e2 则( ')e1 ( ')e2 0 ( ')e1 ( ')e2 0 e1 / / e2， '， ' e1 / / e2 ', '
07平面向量分解定理【教师版】
=
1 2
,
−3 4
例 2、已知 D 是 ABC 的边 BC 上的点，且 BD : DC = 1: 2 ， AB = a, AC = b ，如
图所示．若用 a, b 表示 AD ，则 AD =
．
uuur 【答案： AD =
2
r a
+
1
r b
】
33
例
3、已知向量
a
=
(3,−2)
，b
此为三点共线定理的充分性，可补充讲解必要性】
例 7、在 ABC 中， AB 边上的中线 CO 的长为 4 ，若动点 P 满足
AP = sin2 AO + cos2 AC( R) ，则 (PA + PB) PC 的最小值是
．
【答案：-8，由三点共线定理可得 P, O, C 三点共线，进而可得结论】
=
(−2,1)
，
c
=
(7,−4)
，用
a
和
b
来表示
c
，则
c
为
（）
A．
2a
−
b
B．
2a
+
b
C．
a
−
2b
D．
a
+
2b
【答案：C】
例 4、 ABC中，若 AD
= 2DB,CD
=
1 CA + CB, 则 3
=
________．
【答案： 2 ，可用三角形相似，在此题讲解时不可用三点共线定理；在讲解三点共 3
O
取值范围．
【答案：以 O 为原点， OA 为 x 轴正半轴建立坐标系，设 AOC =
平面向量的分解与合成
平面向量的分解与合成平面向量是指在平面上具有大小和方向的箭头，用来表示平面上的位移、力、速度等物理量。
分解与合成平面向量是向量分析中的重要概念和基本操作。
本文将介绍平面向量的分解与合成的概念、方法与应用。
一、平面向量的分解分解平面向量的目的是将一个复杂的向量分解为若干个简单的分量，以便更好地进行运算和分析。
分解平面向量有两个基本方向，即水平方向（x轴方向）和垂直方向（y轴方向）。
1. 水平方向分量（x轴分量）对于平面上的向量A，我们可以将其在x轴上的分量记作Ax，其大小等于向量A在x轴上的投影长度。
根据几何关系，水平方向分量Ax的计算公式为：Ax = A * cosθ其中，θ为向量A与x轴正方向的夹角。
2. 垂直方向分量（y轴分量）类似地，对于平面上的向量A，我们可以将其在y轴上的分量记作Ay，其大小等于向量A在y轴上的投影长度。
根据几何关系，垂直方向分量Ay的计算公式为：Ay = A * sinθ其中，θ为向量A与x轴正方向的夹角。
通过求解Ax和Ay，我们可以得到平面向量A的分解表示：A = Ax + Ay二、平面向量的合成合成平面向量是指通过两个或多个简单的分量构成一个复杂的向量。
在平面向量的合成中，我们将简单分量按照一定方向和大小放置在平面上，形成一个新的复合向量。
1. 平行四边形法则如果我们想要合成两个平面向量A和B，可以使用平行四边形法则。
首先，我们从起点O开始，沿着向量A的方向画出一个边长为A的线段AB，然后从点B开始，沿着向量B的方向画出一个边长为B的线段BC，使得向量AB与向量BC相连形成一个平行四边形OABC。
连接O与C，得到平行四边形的对角线OC，这条对角线OC即为向量A和向量B的合成向量C。
2. 三角形法则在特殊情况下，我们可以使用三角形法则来合成平面向量。
如果向量A和向量B的作用方向相同，我们可以直接将它们的大小相加得到合成向量C。
如果向量A和向量B的作用方向相反，我们可以将它们的大小相减得到合成向量C。
平面向量的分解定理与向量的应用
年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题平面向量的分解定理与向量的应用教学目的1. 了解平面向量基本定理的证明2. 学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。
教学内容【知识梳理】平面向量分解定理：如果21,e e 是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=，我们把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基。
证明唯一性：证明：（1）当0=a 时，21000e e ⋅+⋅=（2）当0≠a 时，假设1122a e e λλ''=+，则有1122e e λλ+=1122e e λλ''+111222()()0e e λλλλ''-⋅+-⋅=.由于21,e e 不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即1122,λλλλ''==.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量a 在给出基底21,e e 的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被a ，21,e e 唯一确定的数量。
特别：.若OP ＝12OA OB λλ+，则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是1。
【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==, ，分别用b a ,表示MC MB MA ,,和MD .变式练习：已知OB OA ,是不平行的两个向量，k 是实数，且)(R k AB k AP ∈=，用OB OA ,表示OP .例2、证明：菱形对角线互相垂直。
例3、对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形例5、如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
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学科教师辅导讲义学员学校： 年 级：高二 课时数：2 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 平面向量的分解定理及应用授课日期及时段教学目的1. 了解平面向量的分解定理的论证过程。
2. 知道基向量的特征，并能准确通过基向量来表示一个向量3. 了解向量在平面几何中的应用（平行、共线、垂直、夹角）4. 了解向量在代数中的应用教学内容【知识结构】1. 平面向量分解定理：如果12e ,e 是同一平面内的两个不平行的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ使a =1122e e λλ+。
其中不共线的向量12e ,e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：（1）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。
（2）上面的分解师唯一的。
2. 向量的加法、减法，实数与向量积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算。
任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。
3. 几个重要的结论：（1）若向量,a b 为不共线向量，则a b a b a b +-、为以、为邻边的平行四边形对角线的向量。
（2）2222+=2+a ba b a b +-（）。
（3）G 为∆ABC 的重心112233,),,),,)y By B y A （x （x （x 1231230(,)33x x x y y y GA GB GC G ++++⇔++=⇔ 4. 向量运算与几何图形（1) 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景;当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.（2)平面几何的许多性质，平行、垂直、夹角、长度、三点共线、三线共点等都可以由向量的线性运算表示出来，因此，向量方法是研究几何的一个有效的强有力的工具①要证明CD AB =，只要证明CDAB =;②要证明AB ⊥CD ，只要证明0=⋅CD AB ;③要证明AB ∥CD ，只要证明存在实数λ，使得CD AB λ=;④要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在实数λ，使得AC AB λ=; ⑤利用向量的数量积公式，可以求角ba b a ⋅=αcos .5. 用向量法解决平面几何问题的一般步骤：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，把平几问题转化为向量问题。
选择基向量或建坐标系后用向量（基向量或坐标）表示问题中涉及的几何元素；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量→向量的运算→向量和数到形 【例题精讲】例1. 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k 的值为多少？例2. 已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π． （1）求ω；（2）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．例3. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；⑵若|b |=,25且b a 2+与4a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.例4. 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.aA BC例5. 设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)b x x =，x R ∈.（Ⅰ）若()13f x =-且[,]33x ππ∈-，求x ；（Ⅱ）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)(||)2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值.例6. 设a =(1+cos α, sin α)，b =(1－cos β,sin β)，c =(1，0)，α∈(0,π)，β∈(π,2π), a 与c 夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2= π6，求sin α-β4的值。
例7. 已知{a n }是等差数列,公差d ≠0，其前n 项和为Sn,点列P 1（1,S 11）,P 2(2, S 22 )，……P n （n ，S nn ）及点列M 1(1,a 1)，M 2(2,a 2)，……，Mn （n ，a n ）（1）求证：1n PP (n>2且n ∈N*)与12PP 共线； （2）若12PP 与12M M 的夹角是α，求证：|tan α|≤24例8 给定两个长度为1的平面向量120OA OB ︒和，他们的夹角为，点C 在以O 为圆心的弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x,y R ∈,求x+y 的最大值。
例9 设两个向量,a b 满足2,1,,60a b a b ==︒的夹角为，若向量27ta b a tb ++与向量的夹角为钝角， 求实数t 的取值范围。
例10 设{}n a 的首项为-10，公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1-2，公差为12的等差数列，O 为坐标原点，向量(11),(11)OA OB =-=，，,点列n P 满足n ()n n OP a OA b OB n N *=⋅+⋅∈.（1）求证：12n ...,PP P ，共线； （2）若点k ()n P k N P *∈表示点到中处于第一象限的点，求k 的值。
【巩固练习】1. 已知a OA =，b OB =，c OC =，且恰有023=+-c b a ，则A 、B 、C 三点（ ） A 、构成直角三角形 B 、构成等腰三角形 C 、共线 D 、无法确定2. 已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为（ ）A 、正三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰锐角三角形3. 在ABC △中，0AB AC ⋅<，ABC △的面积是415，若||3AB =，||5AC =，则BAC ∠= （ ）.A 6π.B 32π .C 43π .D 65π4. 已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ( )A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心5. 已知非零向量AC AB 与满足0=•⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC AC AC AB AB 且,21=•AC AC AB AB 则ABC ∆为 （ ） A ．三边均不相等的三角形. B ．直角三角形. C ．等腰非等边三角形. D ．等边三角形6. 已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为（ ）A 、正三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰锐角三角形7. 已知平面上直线l 的方向向量e =(－45，35)，点O(0,0)和A(1,－2)在l 上的射影分别为O 1和A 1，则11O A =入e ，其中入=（ ）A 、115B 、－115 C 、2 D 、－28. 已知O 、A 、B 、C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1OA +入2OB +入3OC =O ，则对于三个角：∠AOB 、∠BOC 、∠COA 有下列说法： ①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角； ③这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角； ④这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。
其中可以成立的说法的序号是 （写上你认为正确的所有答案）9.设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=_____10.已知平面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于_______11. 有两个向量1(1,0)e=，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12ee +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当0PQ P Q ⊥时，t =秒．12. 已知以角B 为钝角的ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，(),2m a b =，()3,sin n A=-，且.n m ⊥（1）求角B 的大小； （2）求A A cos 3sin +的取值范围.13. 已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，且a 与b 满足关系式3a kb ka b-=+，其中0k >.（1）试用k 表示a b ⋅；（2）求a b ⋅的最大值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小.。