高中数学新教材第二册第六章《6.3平面向量的基本定理及坐标表示》全套课件
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平面向量的正交分解及坐标 高中数学课件6-3-2
跟踪训练1 (1)如图，分别取与x轴，y轴正方向 相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝ 2 ， θ＝45°，则向量a的坐标为
√A.(1, 1)
C.( 2， 2)
B.(－1，－1) D.(－ 2，－ 2)
解析 由题意，得 a＝( 2cos 45°)i＋( 2sin 45°)j＝i＋j＝(1,1).
(2)已知点 M(5，－6)，且M→N＝(－3,6)，则点 N 的坐标为_(_2_,0_)__.
解析 ∵M→N＝(－3,6)，设 N(x，y)， 则M→N＝O→N－O→M＝(x－5，y＋6)＝(－3,6). ∴xy－ ＋56＝ ＝－6，坐标表示
例 2 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)， 求B→D的坐标.
解 ∵A→C＝A→B＋A→D， ∴A→D＝A→C－A→B＝(－1，－1)， ∴B→D＝A→D－A→B＝(－3，－5).
反思 感悟
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法 则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算.
思考 点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？
答案
表示形 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有 式不同 等号
区 别 意义
不同
联系
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的 位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也 表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表 示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量 终点的坐标相同
(2)若 B( 3，－1)，求B→A的坐标. 解 B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 教学课件
1.向量的定义： 2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量 能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
C
A B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法， 称为向量加法的三角形法则.
B
C
F
O
A
B O
C A
O
O B
A B
A C
O
A
B
O
B
A
O
A
B
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和 结合律呢？
D A
C B
D
A
C
B
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图， 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计 算力F所做的功？
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以 先来定义向量的夹角概念.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数 量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、 C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
7
5
2
1.向量的定义； 2.有向线段的三要素及向量的几何表示； 3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示； 4.平行向量、相等向量、共线向量.
高中数学6-3平面向量基本定理及坐标表示6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示课件新人教A版必修第二册
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 向量数乘的坐标运算
类型2 向量共线的坐标表示及应用
类型3 共线向量与线段分点坐标的计算
类型1 向量数乘的坐标运算
【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
1
1
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3) a－ b．
2
3
[解] (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
x2y2≠0时，才能使用．
(－1，3)
1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为_________．
(－1，3)
[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．]
－4
2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝______．
－4
[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]
1
所以ቊ
解得k＝λ＝－ ．
3
2 + 2 = −4，
1
3
1
3
1
3
当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－ a＋b＝－ (a－3b)，
1
3
因为λ＝－ <0，
所以平行时ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
【例4】
已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且
||＝2||，求点P的坐标．
[思路导引]
－2．
点P在直线AB上，且||＝2||→＝2或＝
[解]
设P点坐标为(x，y)，||＝2||．
当P在线段AB上时，＝2，
人教版高中数学必修第二册： 6.3.1平面向量基本定理【课件】
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ B ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解： ①与不共线；② = − ，则与共线； ③ 与不共
线； ④ = −，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不
共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
于是∆是直角三角形.
1. 在∆中， = ，
Ԧ
= ，若 ，分别在 ， 边上，
2
1
A）
且 = 2， = 2.则向量 + 表示（
Ԧ
3
A.
B.
3
C.
D.
解：如图所示， = + ，
2
因为 = 2，所以 = 3 .
Ԧ 1 ， 2 的方向分解，能
发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则 = + . 由与1 共线，与2 共线可得，存在实数
1 ，2 ，使得 = 1 1 ， = 2 2 ，所以Ԧ = 1 1 + 2 2 .
也就是说，与1 ， 2 都不共线的向量都可以表示成
Ԧ
1 1 + 2 2
的形式.
问题3 当是与
Ԧ
Ԧ
1 或 2 共线的非零向量时， 是否也可以表
示成1 1 + 2 2 的形式？当是零向量呢？
Ԧ
平面内任一向量都可以按
Ԧ
1 ， 2 的方向分解，表示成1 1 + 2 2
存在唯一一个实数，使 = .
Ԧ
思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由
人教版数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课件
＝b，则 ＝( D )
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
1
1
A. a＋ b
2
4
2
2
C. a＋ b
3
3
B．
D．
1
a＋
3
1
a＋
2
5
b
6
3
b
4
因为DE＝EC.
所以
1
＝ (
2
1
2
1
＋)＝
3
4
＝ ＋ ＝ a＋ b.
1
)＝ (
2
1
＋
2
＋)
法二
2．已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点
即ቊ
1=6−
=1
解得ቊ
=5
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，
则
1
－
＝________．
2
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
2−
得
4
=
3+2
所以 ＝. 因为DE＝EC，所以
1
2
1
3
a＋ b.
2
4
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
1
1
3
)＝ ＋
2
2
4
＝
1
1
＝ ＝ ，
2
2
1
＋ ( － )＝
2
1
2
＋ (－
法一
跟踪训练
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设 ＝a，
高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理课件
③因为 e1－2e2＝－12(4e2－2e1)， 所以 e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不能作为一组基底． ④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则11＋－λλ＝＝00，，无 解，所以 e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 能作为一组基 底． 【答案】 ③
解：连接 FA，DF.因为 AD∥BC，且 AD＝13BC， 所以A→D＝13B→C＝13b，所以A→E＝12A→D＝16b. 因为B→F＝12B→C，所以B→F＝12b，所以F→A＝B→A－B→F＝a－12b. 所以E→F＝E→A＋A→F＝－A→E－F→A＝－16b－a－12b＝13b－a， D→F＝D→A＋A→F＝－(A→D＋F→A)＝－13b＋a－12b＝16b－a.
1．设点 O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个
平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：选 B.寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，A→D与A→B不共
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
底表示A→D＝( )
A.12(a－b)
作为基底向量，O→A与C→D不共线，可作为基底向量．
用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边 上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用基底 {a，b}表示向量D→E，B→F.
新教材高中数学第6章平面向量及其应用：平面向量基本定理pptx课件新人教A版必修第二册
1．已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所
有向量基底的是( )
A．{A→B，D→C}
B．{A→D，B→C}
C．{B→C，C→B}
D．{A→B，D→A}
D [由于A→B，D→A不共线，所以是一组基底．]
2．设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，则( )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C B．A→D＝13A→B－43A→C
所以O→B＝O→P＋P→B＝O→P－B→P＝23μ－2λa＋μ3＋λb，
又O→B＝b，所以2μ33μ＋－λ＝2λ＝1，0，
解得λ＝54， μ＝53，
所以B→P＝45B→N，即 BP∶PN＝4∶1.
2．将本例中点 M，N 的位置改为“O→M＝12M→B， N 为 OA 的中点”，其他条件不变，试用 a，b 表示 O→P.
用基底表示向量
【例 2】 (1)(多选题)D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB
上的中点，且B→C＝a，C→A＝b，则下列结论正确的是( )
A．A→D＝－12a－b
B．B→E＝a＋12b
C．C→F＝－12a＋12b
D．E→F＝12a
(2)如图所示，▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点， DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] B→N＝O→N－O→B＝12a－b， O→M＝O→A＋A→M＝O→A＋13A→B＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13O→B＝23a ＋13b. 因为 B，P，N 和 O，P，M 分别共线， 所以存在实数 λ，μ 使B→P＝λB→N＝2λa－λb，
O→P＝μO→M＝23μa＋μ3b，
高一下学期数学人教A版必修第二册第六章6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件
学习重点：
平面向量坐标表示的定义及其加减运算.
上节课我们学习了平面向量的坐标表示，如果已知 a (x1 ，y1) ，b (x2 ，y2) 同学们思考：怎样求 a b ，a b 的坐标?
.
探究一:平面向量加、减运算的坐标表示
由平面向量的坐标表示可知：
a b (x1i y1 j) (x2 i y2 j) x1i x2i y1 j y2 j (x1 x2 )i ( y1 y2 ) j，
x 14,
2
例题
若 AB (1,1), AD (0,1), BC CD (a,b) ,则 a b 的值为( ).
A. -1
B. 0
C. 1
D.2
答案：A 解析：
BC CD BD AD AB (0,1) (1,1) (1,0) ,故 a 1,b 0 ,
故 a b 1
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和（差）.
例1. 已知 a (3，2) ，b (2 ，1) ，求 a b ，a b 的坐标. 解：a b (3，2) (2 ，1) (1，3)
a b (3，2) (2 ，1) (5，1)
例2. 如图，已知 A (x1，y1) ，B (x2，y2 ) ，求 AB 的坐标.
例3. 如图，已知 ABCD 的三个顶点A，B，C的坐标 分别是 (2，1) ，(1，3) ，(3，4) ，求顶点D的坐标.
设顶点D的坐标为 (x ，y) ，因为
AB (1 (2) ，3 1) (1，2)
DC (3 x ，4 y) ，又 AB DC ，所以
(1，2)
(3
x ，4
即 a b (x1 x2 ，y1 y2)
类比求 a b 坐标的方法，试求 a b 的坐标.
高中数学第六章平面向量及其应用31平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册
，b
}为
基底表示向量―AM→＝________．
解析：―AM→＝―A→D ＋―DM→＝―A→D ＋12―D→C ＝―A→D ＋12―A→B ＝b ＋12a . 答案：b ＋12a
3．在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
―→ AB
＋
―→ AD
＝t
―→ OA
，则实数t＝
________；若―B→E ＝13―B→D ，且―A→E ＝λ―A→B ＋μ―A→D ，则实数λ＝________．
[问题探究]
1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延
长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且
―→ OP
＝－
1 2
―→ OA
＋
m―O→B ，求实数m的取值范围．
提示：由平面向量等和线的结论可知0<－12＋m<1，所以12<m<32.
2.如图所示，设D，E分别为△ABC的边AB，BC上的点，且有
对平面向量基本定理的理解 (1)基底具备两个特征：①基底是由两个不共线的向量构成的；②基底的选择是不 唯一的．
(2)基底e1，e2确定后，平面内任一向量a 的分解式是唯一的，特别地，a1e1＋a2e2 ＝0时，恒有a1＝a2＝0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．
又――AA→→DB －＋― ―BA→ →CB ＝ ＝――BA→→DC ，，则yx－＋xy＝＝ba
， ，
所以x＝12a －12b ，y＝12a ＋12b ，
即―A→B ＝12a －12b ，―B→C ＝12a ＋12b .
用基底表示向量的两种基本方法 一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为 止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
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其中实数t叫做参变数，简称参数.
（2）特殊：当t＝1 时，点M是中点，
O
2
M A
L
则OM＝OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
一、知识梳理
例2.设e1,e2是不共线的非零向量， 且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1)证明：a,b可以作为一组基底；
（2)以a,b为基底，求向量c = 3e1 - e2的分解式； 所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
A
DB AB AD a b
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
M
a
B
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，若OA＝a，OB＝b， 则OM 1（a b）
2
O
A
M
B
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A(x,y)
j
Oi x
x
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
y a
A(x, y)
j
Oi
x
向量OA 的坐标 就是终点 A 的坐标； 反过来，终点 A 的坐标也就是向量 OA 的坐标.
、
例题讲解
例1如图，分别用基底 i、 j表示向量 a、b、 c、 d，并求出它们的坐标
a 2i 3 j (2, 3) b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2, 3) d 2i 3 j (2, 3)
思考探究
思考：如何在平面直角坐标系中标出坐标为 (x2 x1, y2 y1)的点 P ？有 什么发现？
向量 AB 的坐标与
以原点为起点、点 P
为终点的向量的坐
标是相同的.
P
试求向量 AB 的模长.
AB OP (x2 x1)2 ( y2 y1)2
例题讲解
例2 如图，已知 ABCD的三个顶点 A, B,C的坐标分别是 (2,1)、(1,3)、(3, 4），
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j
a b (x1 x2, y1 y2)
a (x1i y1 j) x1i y1 j
a (x1, y1)
向量形式与坐标形式的相互转化
课堂练习
练习1：已知 A(x1, y1), B(x2, y2 )，求 AB 的坐标.
（2）平面向量基本定理的应用 （3）直线的向量参数方程式。 （4）线段中点的向量表示式。
数形结合 、转化思想、 方程思想
类比归纳：特殊
一般
6.3.2平面向量的正交 分解及坐标表示
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
O i xi x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
试求顶点 D 的坐标.
y
思路一、AB DC
思路二、OD OB BD OB BA BC
思路三、OM 1 (OB OD) 1 (OA OC)
2
2
x
思考探究
【问题5】设 a (x1, y1),b (x2, y2) ，其中 b 0 .若 a 与 b 共 线，这两个向量的坐标会有什么关系？
x
例题讲解
例4 设点 P是线段 P1P2 上的一点，P1、P2的坐标分别是( x1, y1)、( x2 , y2 ).
（1）当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标； （2）当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标.
分析（1）利用
OP
1 2
(OP1
OP2 )
，求得点 P的坐标.
y 关键：由 P1P PP2 ，得
OP
1
1
OP1
1
OP2
P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
x
课堂小结
【问题6】你能够回答一下本节课我们所学习的基本内容吗？
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
c
-3
-4
i1 2
3 4x d
c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
-5
小结 平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
平面向量坐标运算
思考探究
【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力 G 的作用，产生两个效 果，一是木块受平行于斜面的力F1 的作用，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2．问重力G 与力F1 和 F2有什么关系？
分析：若 a 与 b 共线，则当且仅当存在实数 ，使得 a b ，
(x1, y1) (x2 , y2 )
x1 y1
x2 y2
x1 y2 x2 y1 0
例题讲解
例3 已知 A(1，1)，B(1，3),C(2，5），试判断三点 A，B，C 的位置关系.
步骤一、画图观察.
y
步骤二、通过计算加以验证.
6.3平面向量的基本定理 及坐标表示
6.3.1平面向量的基本定理
一、知识梳理
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底 来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解 及运算的准确性.
λ1a1
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
y yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.
j
任作一个向量a,由平面向量基本
b
a
观察这四个向量之间的位置
关系，你有什么发现？
c
d
思考探究
【问题4】已知 a (x1, y1),b (x2, y2) ，你能得出 a b, a b, a 的坐标吗？
.
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j
a b (x1 x2, y1 y2)
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
探究定理内涵
1. 基底 e1 、e2 条件： 不共线向量
基底组数：
无数组
2. 定理中a1，a2的值是否唯一？ 3. 定理的价值何在？
若OA＝a，OB＝b，则OM 1（a b）
2
变式探究：
O
（1）若P是AB靠近A的三等分点，
则OP 2 a＋1 b 33
A PM
B
（2）若 AP=t AB ，
则OP （1－t）a＋tb
一、知识梳理
（2）若 AP=t AB ， 则OP
分析：OP = OA + AP
解： AP t AB
O
OP OA AP OA t AB
一、知识梳理
一、问题情境 （1）如何求此时竖直和水平方向速度？ （2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
一、知识梳理
探究：给定平面内两个向量 e1 、e2 ，平面内任一向量是否都可 以在这两向量方向上分解呢？
N
B
A e2 e1
M
一、知识梳理
e2
a
e1
B
a
e2
分解 O
eA1
平移 共同起点
a OA OB
F1
G
F2
G F1 F2