复数经典试题(含答案)百度文库
(完整版)复数练习(含答案)
复数基础练习题一、选择题1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( )A ．2 B. C. D ．1324．(2011年高考湖南卷改编)若∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( )a ，b A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－15．复数z ＝＋i 2对应点在复平面( )3A ．第一象限内 B ．实轴上 C ．虚轴上 D ．第四象限内6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝，b ＝B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝，b ＝D ．a ＝1，b ＝3321212327．复数z ＝＋i 在复平面上对应的点位于( )1212A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－IC ．－3－iD ．－3＋i9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－＋i B.－I C ．－－i D.＋i3434343410．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )A ．5－6iB ．3－5iC ．－5＋6iD ．－3＋5i12．向量对应的复数是5－4i ，向量对应的复数是－5＋4i ，则＋对应的复数是( )OZ 1→ OZ 2→ OZ 1→ OZ 2→ A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋i ，那么这个复数是( )3A. B.I C.＋i D.＋2i11531153115315．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A ．1－3iB ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．5 B. C ．6 D.5617．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1 C. D.221218．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．519．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.∈S2i20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·＝( )z z A ．3－i B ．3＋I C ．1＋3i D ．321．化简的结果是( )2＋4i(1＋i )2A ．2＋i B ．－2＋I C ．2－iD ．－2－i 22．(2011年高考重庆卷)复数＝( )i2＋i3＋i41－i A ．－－i B ．－＋I C.－i D.＋i 121212121212121223．(2011年高考课标全国卷)复数的共轭复数是( )2＋i1－2i A ．－i B.i C ．－i D ．i353524．i 是虚数单位，()4等于( )1＋i 1－i A ．i B ．－I C ．1 D ．－125．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋IC ．2＋2iD ．3＋i26．设z 的共轭复数是，若z ＋＝4，z ·＝8，则等于( )z z z z z A ．i B ．－i C ．±1 D ．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －|＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |z z 二、填空题28．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．m 29．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．30．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－－i ，z 4＝－i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别3232是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.31．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量与，则向量表示的复数是________．OA → OB → AB → 32．已知f (z ＋i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.33．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·＋z ＝________.z 35．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．36．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则＝________.z答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z ＋z ＝1－1＝0，从而由z ＋z ＝0⇒/ z 1＝z 2＝0，故②212212错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i ＝0，故④也是错误的．故选A.2． 解析：选D.∵<2<π，∴sin 2>0，cos2<0.π2故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z |＝|1－a i|＝ ＝2，∴a ＝±.a 2＋13而a 是正实数，∴a ＝.34．解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5． 解析：选B.∵z ＝＋i 2＝－1∈R ，33∴z 对应的点在实轴上，故选B.6．解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得Error!，解得a ＝，b ＝.32127． 解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的(12，12)点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴Error!，解得Error!，∴z ＝3－i.9．解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋＝2＋i ，x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.3410．解析：选D.由z ＋i －3＝3－i ，知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i ＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i ＝5－6i.12．解析：选C.＋对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.OZ 1→ OZ 2→ 13． 解析：选D.∵z 1＋z 2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i ＝1－i ，∴z 1＋z 2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝5＋i ，即a ＋＋b i ＝5＋i ，3a 2＋b 23∴Error!，解得Error!.∴z ＝＋i.115315．解析：选D.先找出z 1－z 2，再根据求函数值的方法求解．∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i.∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝ (cos θ－sin θ)2＋4＝5－2sin θcos θ＝≤.5－sin2θ617．解析：选C.|z ＋1|＝|z －i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z ＋i|＝|z －(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为.2218解析：选B.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，又|z －2－2i|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝＝(x －2)2＋(y －2)2＝.(x －2)2＋1－(x ＋2)21－8x 而|x ＋2|≤1，即－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min ＝3.法二：利用数形结合法．|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，＝－2i ∈/S ，故选B.2i 20．解析：选A.(1＋z )·＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.z 21．解析：选C.＝＝＝2－i.故选C.2＋4i (1＋i )22＋4i 2i 1＋2ii 22．解析：选C.＝＝＝＝＝－i.i2＋i3＋i41－i －1－i ＋11－i －i1－i (－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )1－i 2121223．解析：选C.法一：∵＝＝＝i ，∴的共轭复数为－i.2＋i 1－2i (2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )2＋i ＋4i －252＋i 1－2i 法二：∵＝＝＝i ，2＋i 1－2i －2i2＋i 1－2i i (1－2i )1－2i ∴的共轭复数为－i.2＋i1－2i 24．解析：选C.()4＝[()2]2＝()2＝1.故选C.1＋i 1－i 1＋i 1－i 2i－2i 25．解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则＝x －y i ，由z ＋＝4，z ·＝8得，z z z Error!⇒Error!⇒Error!.∴＝＝＝±i.z z x －y i x ＋y i x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2法二：∵z ＋＝4，z 设z ＝2＋b i(b ∈R )，又z ·＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，z ∴b 2＝4，∴b ＝±2，∴z ＝2±2i ，＝2∓2i ，∴＝±i.z zz 27．解析：选D.∵＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －|＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于z z B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －|＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于z D ，|z |＝≤|x |＋|y |，故D 正确．x 2＋y 2二、填空题28．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2)，m ∴m －3＝2，即m －2－3＝0.m m 解得m ＝9.答案：929．解析：∵|z |＝3，∴＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)(x ＋1)2＋(y －2)2为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内55接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.31．解析：表示－对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知对应的复数是－6－8i.AB → OB → OA → AB → 答案：－6－8i32．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则f [a ＋(b ＋1)i]＝3(a ＋b i)－2i ＝3a ＋(3b －2)i ，令a ＝0，b ＝0，则f (i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i ＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴Error!解得a ＝－1.34．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·＝|z |2＝5.∴z ·＋z ＝6－2i.z z 答案：6－2i35．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：136．解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝，∴|z |＝＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25，t i 3－4i |t |5∴z ＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)．±25i3－4i z 答案：±(4＋3i)。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．42．复数3(2)2-i 的虚部为（ ） A ．2 B ．32-C ．322-D ．03．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1 D ．0或-14．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．25．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③ 6．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --8．3i3i-+=+（ ）A ．43i 55+B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--9．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．912．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1- 14．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=15．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞16．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i - 19．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +20．设i 为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 二、填空题21．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______．22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 28．若复数2iiz -=-，则z =_______． 29．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.30．设12z i =-，则z =___________ . 31．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 32．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 33．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 34．计算：3i1i+=-___________. 35．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________.36．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=37．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．38．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．39．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 40．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 三、解答题41．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值． (1)()211i i ()x y x y x y -++=-+-- ；(2)22()623i 01x x x x x --+--=+. 42．若复平面内单位圆上三点所对应的复数123,,z z z ，满足22z 13z z =且23i i 0z z +-=，求复数123,,z z z ．43．已知复数()()()121i z m m m R =++-∈ (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值. 44．（1）化简：2320211i i i i +++++；（2）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值． 45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C8．B9．A10．A11．C12．C13．D14．D15．A16．D17．A18．A19．C20．A二、填空题21．02223．124．125．3-26．1 27．-2 28．12i-293031．22i+##2i2+3233．3435.363738．140三、解答题41．(1)32x y =⎧⎨=-⎩；(2)x ＝3. 【解析】 【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答. (1)因x ，y ∈R ，()211i i ()x y x y x y -++=-+--，则有211x x y y x y -=-⎧⎨+=--⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=-⎩. (2)因x ∈R ，22()623i 01x x x x x --+--=+，于是得22601230x x x x x ⎧--=⎪+⎨⎪--=⎩，解得3x =， 所以3x =. 42．答案见解析. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的运算求得3z 和2z ，再结合复数的乘除运算，即可求得1z . 【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为123,,z z z ，故可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ，则由23i i 0z z +-=，可得cos sin 0sin cos 10βγβγ-=⎧⎨+-=⎩，利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得1cos 2sin γγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩z 3故当z3时，z2＝－i(z3－1)，z1＝223zz=1；当z3时，z2＝－i(z3－1)z1＝223zz=＝1．43．(1)1-;(2)11,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．(1)()()()121iz m m m R=++-∈为纯虚数，10m∴+=且210m-≠1m∴=-(2)z在复平面内的对应点为(1,21)m m+-由题意：10210mm+>⎧⎨-<⎩，∴112m-<<．即实数m的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．而||z当11(1,)52m=∈-时，||minz44．（1）1i+；（2）5．【解析】【分析】（1）根据123*i i+i i0,n n n n n N+++++=∈求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解【详解】（1）因为123*i i+i i0,n n n n n N+++++=∈，所以2320211i i i i+++++，()()2345678910111i i i i i i i i++i i i=++++++++++()201720182019202020162021+i i i i i i +++++， 1i =+.（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭， 故另一个根为12i -， ∴(12i)(12i)5k =+-= 45．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i=++++⋅⋅⋅+()()() 23456789102019202020212022 i i i i i i i i i i i i i i=++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i000=++++⋅⋅⋅+1i=-+所以232022111122221i z z z zz z z z⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．26．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ） A ．负实数 B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)7．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．28．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 29．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．i -D ．1-10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．513．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 14．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-15．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） ABC ．12D ．216．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 517．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 20．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限二、填空题21．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________ 24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______27．计算：3i1i+=-___________. 28．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________.29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．计算cos 40isin 40cos10isin10________．33．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．34．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．35．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．36．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 37．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 38．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 三、解答题41．把下列复数表示成代数形式： (1)554cos33isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)77cos 44isinππ⎫+⎪⎭42．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.43．（1）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，求实数m 的值 ；（2）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，求实数m 的值. 44．已知复数()()211i z a a a R =-++∈.(1)若复数z 是虚数，求实数a 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数a 的值.45．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B 13．B 14．D15．A 16．A 17．A 18．D 19．B 20．C 二、填空题21．1##1+2223．12或12##12-或122425．-2 26．i2728. 29．()34-，30．13i + 31．i -3212i33．12- 3435．2i +##i 2+ 36．12 37．22i +##2i 2+38．39．2i -+ 40．1 三、解答题41．(1)2-【解析】 【分析】根据复数的运算及三角函数诱导公式求解即可. (1) 因为51coscos 2cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，5sinsin 2sin 333ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以5514cos 42332isinππ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为7coscos 2cos 444ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7sinsin 2sin 444ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以77cos 44isinππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎭⎭42．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y43．（1）0m =或3；（2）2m = 【解析】 【分析】（1）由虚部为0直接求解即可；（2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，可得230m m -=，解得0m =或3；（2）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =. 44．(1)1a ≠-； (2)1. 【解析】 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可. (1)因为()()211i z a a a R =-++∈是虚数，所以10a +≠，解得1a ≠-， (2)因为()()211i z a a a R =-++∈是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =.45．2i - 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可． 【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C 则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形， 所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y -- 即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，则(2,1)D -，对应的复数为2i -， 故答案为：2i -。
复数考试题目大全及答案
复数考试题目大全及答案一、选择题1. 下列哪个选项是复数的共轭？A. 2 + 3iB. 2 - 3iC. 3 + 2iD. 3 - 2i答案：B2. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A3. 复数 \( z_1 = 2 + i \) 和 \( z_2 = 1 - 2i \) 的和是：A. 3 - iB. 3 + iC. 1 + 3iD. 1 - 3i答案：A二、填空题1. 复数 \( z = a + bi \) 中，\( a \) 称为复数的______，\( b \) 称为复数的______。
答案：实部，虚部2. 复数 \( z = -4 + 3i \) 的共轭复数是______。
答案：-4 - 3i3. 若复数 \( z \) 的模为 10，且 \( z \) 的虚部为 6，则 \( z \) 的实部为______。
答案：±8三、简答题1. 解释什么是复数的模，并给出计算公式。
答案：复数的模是复数在复平面上到原点的距离，计算公式为\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)，其中 \( z = a + bi \)。
2. 描述如何计算两个复数的乘积。
答案：两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的乘积计算公式为 \( z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd+ (ad + bc)i \)。
四、计算题1. 计算复数 \( z = 1 + 2i \) 的模和共轭复数。
答案：复数 \( z \) 的模为 \( |z| = \sqrt{1^2 + 2^2} =\sqrt{5} \)，共轭复数为 \( 1 - 2i \)。
2. 求复数 \( z_1 = 3 - 4i \) 和 \( z_2 = 1 + i \) 的乘积。
答案：\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 4i)(1 + i) = 3 + 3i - 4i -4i^2 = 3 - i + 4 = 7 - i \)。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3．复数z满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A．BC．D4．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．59．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3 C．D ．9 12．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ） A．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15- B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-二、填空题21．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．37．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．42．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 43．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数.(1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.44．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .45．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .【参考答案】一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．D 15．B 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C二、填空题 21．1- 2223．1 24．四 25．3- 26．1i -##i+1- 27．-2 28．329．13i +##3i+130．1i -+（答案不唯一） 31．1i -+ 32．1 33．734．1##1+35．8336．11+ 3738．12 39．9π40三、解答题41．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长. (1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩， 所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=， 所以复数()4i zp q +-的模为1.42．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】 【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±； （2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=， 得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=， 即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-.43．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 44．(1)2i ；【解析】 【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-， 解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z45．z =或z = 【解析】【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得22a b ==或2b =-，所以z =+或z =.。
复数试题及答案
复数试题及答案1. 复数的概念复数是指实数和虚数的和，形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算(1) 两个复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(2) 两个复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i(3) 两个复数的乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(4) 两个复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2+d^2)3. 复数的模复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2 + b^2)。
4. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数为a-bi。
5. 复数的幂运算(1) 复数的平方：(a+bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi(2) 复数的立方：(a+bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i6. 复数的极坐标表示复数a+bi可以表示为r(cosθ + i*sinθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。
7. 复数的指数形式复数a+bi可以表示为r*e^(iθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。
8. 复数的根(1) 一个复数的平方根：如果z^2 = a+bi，则z = ±√(a^2 + b^2) * (cos(θ/2) + i*sin(θ/2))(2) 一个复数的立方根：如果z^3 = a+bi，则z = (a^3 +3ab^2)^(1/3) * (cos(θ/3) + i*sin(θ/3))9. 复数的解方程对于方程z^2 + az + b = 0，其解为z = (-a ± √(a^2 - 4b)) / 2。
10. 复数的几何意义复数a+bi在复平面上对应点(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
答案：1. 复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1） B ．（-1，1） C ．（1，-1） D ．（-1，-1） 4．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ） A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1或4- C ．4- D ．0或4-8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）AB C ．D ．12．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --14．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+ D ．11i 22-15．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i +18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．419．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2 B C ．D ．3 20．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 二、填空题21．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 31．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 32．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 35．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.38i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 39．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.三、解答题41．已知复数()()211i z a a a R =-++∈.(1)若复数z 是虚数，求实数a 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数a 的值. 42．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 43．用两种不同的方法解方程2i z =．44．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．45．已知ABC中，AB，AC对应的复数分别为12i--，通过几何作图-+，23i求出这两个复数和与差对应的向量．【参考答案】一、单选题1．B2．A3．D4．B5．B6．D7．C8．B9．A10．A11．B12．D13．C14．C15．A16．D17．B18．C19．B20．A 二、填空题 21．1 22．2 23．2- 2425．1 26．1i -##i+1- 27．-228．29．12i -##2i+1-30．31．6 32．1 33．734．1##1+35．3＋2i36．－1＋2i##2i －1 37．[)2,+∞ 38．1-1- 3940．9 三、解答题41．(1)1a ≠-； (2)1. 【解析】 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可. (1)因为()()211i z a a a R =-++∈是虚数，所以10a +≠，解得1a ≠-，(2)因为()()211i z a a a R =-++∈是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =.42．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-. 43．z =或z = 【解析】 【分析】法一：设i z x y =+，(,)x y R ∈，利用复数相等求,x y ，写出复数z ；法二：利用复数模的运算，可得||1z =，进而求z ． 【详解】法一：设i z x y =+，(,)x y R ∈，由题意，222i i x y xy -+=，得22021x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2222i z =+或22i 22z =--. 法二：由2i z =，方程两边求模，知：2|||i|=1z =，即||1z =， 则可设cos isin z θθ=+，有2cos 2isin 2i z θθ=+=，所以cos 20sin 214k θπθπθ=⎧⇒=+⎨=⎩（k Z ∈）， 所以2cos 22sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2cos 22sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以2222i z =+或22i 22z =--. 44．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+. 45．见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A为复平面的坐标原点，以,AB AC为邻边作平行四边形，如图，所以12i--的和对应的向量为AD.-+，23i()()-+---对应的向量为CB，如图，12i23i()()----+对应的向量为BC，如图，23i12i。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，所以复数对应的坐标为 在第一象限，
故选：A
7．D
【分析】
利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．
【详解】
因为，
所以，则．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，
一、复数选择题
1．已知复数 ，若 为虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）
A． B． C． D．
3．复数 在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知复数 为纯虚数，则实数 （）
A．-1B．0C．1D．0或1
19．（多选题）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）
A． B． C． D．
20．下面是关于复数 （i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）
A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为
21．已知复数 （其中 为虚数单位），则（）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限B． 可能为实数
【分析】
先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为复数 ，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限
故选：B
4．C
【分析】
结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可
【详解】
解析：因为为纯虚数，所以，解得，
故选：C.
解析：C
【Hale Waihona Puke 析】结合复数除法运算化简复数 ，再由纯虚数定义求解即可
13．已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数的模是（）
A．5B． C． D．3
14．若 为虚数单位， ，且 ，则复数 的模等于（）
A． B． C． D．
15．已知 是虚数单位，设 ，则复数 对应的点位于复平面（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
16． 是虚数单位，下列说法中正确的有（）
【详解】
因为 ， ，所以 ， ，
所以 或 .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据虚数不能比较大小得 是解题关键，属于基础题.
6．A
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.
【详解】
，所以复数对应的坐标为在第一象限，
故选：A
解析：A
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.
D．对任意的复数 ，都有
27．任何一个复数 （其中 、 ， 为虚数单位）都可以表示成： 的形式，通常称之为复数 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）
A．
B．当 ， 时，
C．当 ， 时，
D．当 ， 时，若 为偶数，则复数 为纯虚数
28．下面四个命题，其中错误的命题是（）
【详解】
解析：因为 为纯虚数，所以 ，解得 ，
故选：C.
5．A
【分析】
根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.
【详解】
因为，，所以，，
所以或.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.
解析：A
【分析】
根据虚数不能比较大小可得 ，再解一元二次不等式可得结果.
A．复数 是实数的充要条件是
B．复数 是纯虚数的充要条件是
C．若 ， 互为共轭复数，则 是实数
D．若 ， 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于 轴对称
26．已知 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）
A．复数 的模
B．若复数 ，则 （即复数 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限
C．若复数 是纯虚数，则 或
5．已知 ，若 （i为虚数单位），则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或 C． D．
6．已知 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．设 ，则 （）
A． B．1C．2D．
8．若 ，则在复平面内 对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9．设复数 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．若复数 ，则 （）
A． B． C． D．
12．复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
A． 比 大B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数
C． 的充要条件为 D．任何纯虚数的平方都是负实数
29．对于复数 ，下列结论错误的是（）.
A．若 ，则 为纯虚数B．若 ，则
C．若 ，则 为实数D．纯虚数 的共轭复数是
30．（多选） 表示( )
A．点 与点 之间的距离B．点 与点 之间的距离
C．点 到原点的距离D．坐标为 的向量的模
故选：D
解析：D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数 的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为 ，
所以在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为 .
故选：D
3．B
【分析】
先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为复数，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限
故选：B
解析：B
C． D． 的实部为
22．复数 满足 ，则下列说法正确的是（）
A． 的实部为 B． 的虚部为2C． D．
23．若复数z满足 ，则（）
A． B．z的实部为1
C． D．
24．已知 为虚数单位，复数 ，则以下真命题的是（）
A． 的共轭复数为 B． 的虚部为
C． D． 在复平面内对应的点在第一象限
25．下列关于复数的说法，其中正确的是（）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 ，则 可能是纯虚数
D．若复数 满足 ，则 对应的点在第一象限或第三象限
17．已知复数Z在复平面上对应的向量 则（）
A．z=-1+2iB．|z|=5C． D．
18．下面是关于复数 的四个命题，其中真命题是（）
A． B． C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、复数选择题
1．B
【分析】
利用复数的除法法则可化简，即可得解.
【详解】
，.
故选：B.
解析：B
【分析】
利用复数的除法法则可化简 ，即可得解.
【详解】
， .
故选：B.
2．D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为，
所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.