简述方程函数思想在初中数学中的应用
简述方程函数思想在初中数学中的应用
作者：姚建华
来源：《都市家教·下半月》2015年第08期
【摘要】数学作为一门自然科学与人们的生活息息相关，随着知识经济的全球化，数学在我国学校教学中占有十分重要的地位，它不仅是初中学校的一门必修课程，还是中考、高考的重要内容。
在人教版初中数学教学中，方程函数思想在其中发挥了十分重要的基础性作用。
学校应把方程函数思想与初中数学课二者相结合，这不仅能够让学生灵活运用方程函数思想，将复杂繁琐的数学问题转化为简单易计算的问题，从而增强学生学习化学的热情，培养学生创新思维，使得学生真正的了解数学、热爱数学。
因此学校要清楚的认识到方程函数思想在数学教学在初中发挥的巨大作用。
本文针对初中数学教学中方程函数思想的重要性等问题进行分析，希望对学校教学有所帮助。
【关键词】方程函数思想；初中数学教学；应用方法；人教版
近年来，随着中国教育体制的不断变革，素质教育更加注重培养学生的思维能力。
初中数学是一门思维科学，而方程函数是学校教学的重要手段，因此学校要在初中教学中结合方程函数思想教学的方法。
方程函数思想就是充分利用函数的性质和内涵，通过不断的对比、转化，然后构造出新的合理的函数，最终使数学问题由繁入简，这样不但可以提高学生学习数学的兴趣，发挥学生的主观能动性，还可以培养学生的发散思维、创新思维，逐渐培养学生科学严谨的学习态度。
由此可见方程函数思想不仅是初中数学教学的重要组成部分，同时它也是当前应试教育向素质教育转型的重要标志。
一、初中数学教学中方程函数思想的具体内容
方程函数思想主要包括两个方面：方程思想和函数思想。
方程思想具体是指运用数学语言将方程函数问题中的条件，根据数学关系，然后逐步转变为数学模型，具体为方程组、方程式、不等式、方程组和不等式的组合等。
函数思想是利用函数问题作为切入点，利用已知的条件，构造不同的函数形式，例如：反比例函数、一次函数、以及二次函数等。
由此可见方程与函数是两种不同的概念，但是将二者相结合的方程函数思想，在初中数学中的应用价值很大。
基于此，我们一般把方程和函数两种不同的思想统称为方程函数思想。
二、初中数学中方程函数思想的具体应用
1.方程函数思想的内涵形成
在初中数学教学中，学校要重视提高学生对数学基础知识的学习和掌握，不断夯实基础，只有这样函数、不等式、以及方程才能够将用法熟记，做到学以致用，然后灵活运用，进行全方面综合掌握。
数学教学是一种多变的学科，因此只有不断利用方程函数思想，才能够提高学
生的思维能力，真正做到举一反三，不仅要记牢公式和定理，还可以做到学以致用。
方程函数思想还能不断提高学生思考能力，提高学生的逻辑思维能力、思考能力以及动手运算能力。
2.方程函数思想在方程组中的应用
人教版初中数学中的鸡兔同笼的问题。
例：现有一个鸡兔同笼，头共有35个，脚共有94只，然后让学生算出鸡兔同笼中共有鸡与兔各有多少？
解析：这一鸡兔同笼问题，可以根据已知的条件，然后找到数量中的隐含条件，最后利用方程组或者方程式来进行计算。
解法1：设：鸡有x只，兔有y只。
x+y=35；2x+4y=94。
学生通过解方程就可以得出结果，然后答题。
答：鸡有23只，而兔有12只。
解法2：设鸡有x只，兔则有（35-x）只。
2x+（35-x）×4=94。
学生通过解方程就可以得出结果，然后答题。
答：鸡有23只，而兔有12只。
3.方程函数思想在不等式中的应用
人教版初中数学中的求方程根分布的问题。
例：实数范围，然后使x的方程x2（m-1）x+2m+6=O[3]
①有两个实数的根，即两个实根。
②有两个实根，且一个大于0，一个小于0。
③两个实根都大于1。
解析：①当方程有两个实根，则需要满足b2-4ac=[2（m一1）]2—4x（2m+6）≥0。
②满足第二个条件，则需要设f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6，使f（0）0，同时能够成立。
解：①解得：m≤一1或m≥5。
②解得：m
③解得：一5
4.方程函数思想在函数中的应用
人教版初中数学中的函数问题。
例：李红拥有一家毛绒狗销售公司，她销售的毛绒狗每件的进价20元，在不断的销售过程中，李红逐渐摸索出每月销售量为y（件）和毛绒狗销售的单价x（元）之间的数量关系能够用一次函数（y=-lOx+500）来表达。
假设李红每个月的销售利用为N元，求每件毛绒狗的定价到底为多少元，她能够获得最大利润？
解析：根据这个题目中所给的已知条件，我们可以的出一个二次函数，然后通过这个列出的二次函数，就能够得到相应的答案。
解：N-（x-20）×y=（x-20）×（-lOx+500）=一lOx2+700x-10000，x=一b/2a=35。
根据这个二次函数我们可以得出结果，每件毛绒狗的定价为35元时候，她能够获得最大的利润。
5.方程函数思想在函数与方程中的应用
人教版初中数学中的函数与方程中应用的问题。
我们知道方程函数思想能够在一定条件下，函数和方程是可以相互.
例：当k取什么值的时候，能使方程x2—3x+k的两个根，其中一个根大于l，另一个根小于l？[4]
解析：我们从这道题的表面上来看，这是一个简单的方程问题，但如果我们从函数的角度来分析此题，就可以利用函数的性质和概念进行解题，我们应该采用数形结合的方法，简化问题。
解法：我们可以设方程x2-3x+k=0，然后根据其自变量的值为0，将其看做抛物线与坐标轴的交点，通过画出相应的抛物线，即可得出结果，即k
综上所述，方程函数思想在初中数学教学中具有十分重要的作用，它是数学教学的重要组成部分，同时也是提高初中数学教学质量的有效方式。
目前我国科技信息技术快速发展，不同学科间的联系也更为密切，自然科学与社会科学相互渗透、紧密结合，这就要求我们要领会方程函数思想其中的奥秘，对我们的日常生活会有很大的帮助。
基于此，让学生能够在学习数学的过程中，对数学知识进行分析研究，综合利用，灵活分析，方程函数思想抓住其中的等量和数量关系，做到游刃有余，使数学问题能够迎刃而解。
教师在数学教学的过程中要更加注重发挥方程函数思想的巨大作用，培养学生的动手操作能力、实际观察能力、创新思维能力等。
通过方程思维函数的方法，提高学生学习数字的热情，使学生真正爱上数学。
参考文献：
[1]《义务教育化学课程标准解读》[J]，高等教育出版社
[2]王明禄.巧设函数证明教材中的不等式[J].中国教育研究，2011（11）
[3]刘水强.数学分析中的数学思想方法及其教学[M].政法成人教育学院学报，2012（1）
[4]李储福.函数方程思想在解题中的应用[J].昌潍师专学报.1998（5）。
浅谈方程思想在初中数学中的应用
浅谈方程思想在初中数学中的应用方程思想在初中数学中的应用方程是初中数学中重要的思想之一。
它是通过符号和运算符来表示变量之间关系的数学语言。
方程思想在初中数学中应用广泛，为学生提供了解决实际问题的重要工具，本文将从方程的定义、形式及应用等方面展开讨论。
一、方程的定义方程是指将变量与常数之间用符号连接成式子，通过等号将式子分为左右两边的数学表达式。
方程中的变量通常用字母表示，可以是未知数或变化的数。
例如，x+y=5就是一个方程，其中x和y为变量，5为常数，"+"和"="为运算符号。
方程的基本特征是等式关系，即左右两边的值相等。
方程中存在未知数或变量，我们需要通过运算和变换来求解未知数的值，以满足等式关系。
因此，方程思想可以帮助我们解决各种数学问题。
二、方程的形式1. 一元一次方程一元一次方程是指方程中只有一个未知数，且未知数的最高次幂为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法是消元法，通过加减乘除等运算将未知数移至等式左边并将已知数移到等式右边，直到未知数的系数为1。
例如，在方程2x+3=7中，我们可以通过将3移到等式右边再将2除以得到x=2，从而求出未知数x的值。
2. 一元二次方程一元二次方程是指方程中只有一个未知数，且未知数的最高次幂为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有因式分解法、配方法、公式法、解关于二次项系数的方程等方法，具体方法可以根据题目情况选择。
例如，在方程x^2-3x+2=0中，我们可以通过因式分解得到(x-1)(x-2)=0，从而求出未知数x的值为1或2。
三、方程思想的应用1. 解代数方程代数方程是指根据实际问题所建立的含有未知数和已知数关系的方程。
代数方程可以帮助我们解决各种实际问题，例如长方形、三角形、平面和立体图形的边和面积等问题。
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题。
函数与方程都是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法，教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想。
标签：函数与方程思想中学数学应用函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系;而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。
一、函数与方程思想的概念以及相互转化1.函数与方程思想的概念函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。
函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。
方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
2.函数与方程思想的相互转化如果变量间的数量关系用解析式表示，则这个解析式又可以看作一个方程，通过解方程的方法进行研究，使问题得到解决，这就是函数与方程的思想。
很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。
二、函数与方程思想在高考中的几个典型应用许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往需转化为方程来求解，因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题，函数与方程思想在解题中的应用十分广泛，函数与方程思想是数学中的基本思想，也是历年高考的重点和热点。
函数与方程思想在初中数学解题中的应用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。
它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。
本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。
关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。
一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。
在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。
用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。
函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。
目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。
函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。
本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。
1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。
解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。
当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。
初中数学重要知识点的归纳与解析函数与方程的应用解析
初中数学重要知识点的归纳与解析函数与方程的应用解析初中数学重要知识点的归纳与解析：函数与方程的应用解析初中数学作为学生学习数学的基础阶段，承载了培养学生数学思维和解决问题能力的重要任务。
其中，函数与方程作为数学的两个核心概念，不仅在初中数学中占有重要地位，也贯穿了后续高中和大学的数学学习。
本文将对初中数学中与函数与方程相关的重要知识点进行归纳与解析。
一、函数与方程的基本概念函数是数学中一个重要的概念，指的是两个集合之间的一种对应关系。
在初中数学中，常见的函数主要包括一次函数、二次函数、绝对值函数等。
方程是一个含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。
初中数学中的方程主要包括一元一次方程、一元二次方程等。
二、函数的图像与性质每个函数都有一个特定的图像，通过图像可以直观地了解函数的性质。
一次函数的图像为一条直线，其斜率代表了函数的增减趋势；二次函数的图像为一条抛物线，其开口方向和开口程度决定了函数的凸性。
在初中数学中，通过观察函数的图像可以判断函数的单调性、最值、零点等性质。
三、方程的解与解的判定初中数学中的方程主要涉及一元一次方程和一元二次方程。
对于一元一次方程，通过等式两边的运算可以求得方程的解；对于一元二次方程，可以利用因式分解、配方法、求根公式等方法求解方程。
在解方程的过程中，需要注意方程解的存在性和唯一性；对于无解或有无数个解的方程，要加以判定并给出解的解释。
四、函数与方程的应用在实际问题中，函数与方程经常被用于解决各种数学应用问题。
比如，利用一次函数可以描述线性关系，可以用来计算两个变量之间的增减速度、成本与收益的关系等；利用二次函数可以描述抛物线关系，可以用来计算物体的运动轨迹、储水池的设计等。
在解决实际问题时，需要根据问题的具体情境，建立合适的函数模型，并通过方程求解得到问题的答案。
五、解析几何与函数方程初中数学中的解析几何主要研究平面上的几何图形与代数方程之间的关系。
通过建立符合几何图形特点的方程，可以解决与几何图形相关的问题。
初中数学知识点的函数与方程应用总结
初中数学知识点的函数与方程应用总结函数与方程是初中数学中重要的知识点，它们在解决实际问题和数学思维的发展中起着重要的作用。
本文将对初中数学中与函数与方程相关的知识点进行总结，包括函数的概念与性质、方程的解法及应用等方面。
首先，我们来介绍函数的概念与性质。
函数是一个具有特定的输入与输出关系的数学工具。
通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数的规则或表达式。
函数的图像可以通过画出各个输入值与输出值之间的对应关系而得到。
函数的性质包括奇偶性、单调性、极值和周期性等。
奇函数与偶函数是对称的，奇函数以原点为对称中心，而偶函数以y轴为对称中心。
单调函数在定义域上只增或只减，极值点是函数的最大值或最小值点，周期函数具有重复出现的特征。
其次，我们来讨论方程的解法及应用。
方程是一个含有未知数的等式，其解即为使等式成立的未知数的值。
在初中数学中，我们主要学习一元一次方程、一元一次不等式和一次函数方程等。
对于一元一次方程，我们可以使用逆运算原则、等式的性质和方程组的方法进行解题。
一元一次不等式可以通过图像和代数的方法进行解答。
一次函数方程则需要利用函数的性质，将方程转化为关于自变量的等式进行求解。
函数与方程在实际问题中的应用广泛。
例如，利用函数的性质可以解决经济学中的边际分析问题，通过求导数和函数图像可以研究物体的运动和速度等。
方程的应用可以帮助我们解决生活中的实际问题，如购物打折、时间与速度的关系等。
在几何学中，函数与方程也被广泛应用于线性函数、二次函数、三角函数等的研究及应用中。
在学习函数与方程时，我们还需要注意一些常见的错误。
首先是函数的定义域和值域的范围，我们需要确保函数在定义域内有意义。
其次是方程在解答过程中不要忽略等式性质的应用，很多时候，我们可以通过一些数学技巧简化解题过程。
还需要注意的是，在解题过程中，我们要多使用变量和符号代表未知数，避免仅凭感觉思考和操作。
总结起来，函数与方程是初中数学中重要的知识点，它们的应用范围广泛。
在初中数学教学中方程函数思想的运用
在初中数学教学中方程函数思想的运用作者：刘昭慧来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第04期摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用一、方程函数思想的概念所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.二、方程函数思想在初中数学教学中的运用（一）方程函数思想的形成在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：1. 夯实基础，提高认识在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.2. 提高方程函数思想意识要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.3. 培养学生创新思维能力数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.1.利用方程或方程组解题例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.（二）利用函数解题例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.（三）利用函数与不等式解题例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.解法：因为a=-10（四）利用函数与方程相转化的方法解题在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.[江西省九江市第三中学（332000）]。
第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用
第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
数学与应用数学毕业论文--函数与方程思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）文献综述毕业论文（设计）翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要：函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。
和函数有必然联系的是方程，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y＝f (x)也可以看作二元方程f (x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量。
这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
在中学数学中，函数与方程是相互联系不可分割的，涉及这两个方面的问题可以相互转化。
许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。
因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。
关键词函数思想，方程思想，应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决。
方程函数思想在初中数学中的应用
方程函数思想在初中数学中的应用摘要：在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。
方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。
本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。
关键词：方程；函数；初中数学方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型（可以是方程，可以是不等式，或者方程与不等式的混合），然后运用方程或不等式的解答方式来求解。
而函数思想一般就是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和灵活运用函数的特点是把握函数思想的关键，同时，函数的研究不能离开方程。
函数和方程思想可以使数学问题变得简洁，清晰，可以化繁为简，变难为易。
这种思想在数学解题中有着广泛的运用。
方程于函数是密切相关的，对于函数y=f(x)（其中f(x)为x的一次式或二次式），当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式f(x)看作二元方程y- f(x)=0。
利用函数方法解答方程，运用方程公式解答函数。
本文就方程与函数的思想在初中数学中的具体运用作些探讨。
例1：已知函数y=x³的图像，求解方程x³-x²+1=0.分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图像与方程结合出来，却完全可以做到事半功倍的效果。
错误解法：完全运用方程的思想x³-x²+1=0 → x²(x-1)+1=0 → x²(x-1)=-1进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x²这个目前完全大于0的数，所以可以得出：X=0不成立，x²>0 → x-1=-1 → x=0 ? 这里你没有看错，先前我们假定x 不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。