采样系统原理

第八章采样系统理论第8章采样系统理论基本要求8-1 采样过程与采样定理8-2 信号的恢复与零阶保持器8-3 z变换与z反变换8-4 脉冲传递函数8-5 采样系统的性能分析8-6 采样系统的数字校正基本要求①正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。

②Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。

③正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。

④熟练掌握Z域稳定性的判别方法。

⑤熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。

⑥熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。

⑦掌握最小拍采样系统的设计步骤。

图8-1 机载火力控制系统原理图8-1 采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程τ1该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示，其中载波信号)(t p τ是一个周期为T ，宽度为)，的脉冲序列，如图8-3（b ）所示。

幅值为τ幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c ）所示。

调制后得到的采样信号是一个周期为T ，宽度为T <τ(图8-3 信号的采样过程实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d ）所示的符号表示。

)()()(t f t p t f ⋅=*τ（8-1）由于载波信号)(t p 是周期函数，故可以展成如下Fourier 级数∑+∞-∞==n tjn ns e C t p ω)(（8-2）则采样信号可以表示为)(t f *τ∑+∞-∞=*=n tjn ns e t f Ct f ωτ)()(（8-4）2/02/)2/sin(1)(1τωωτωτωs s n s s Ttjn n en n T dt et p TC --==⎰（8-3）s ωnC 其中，为采样频率，Fourier 系数由下式给出若连续信号的Fourier 变换为，则采样信号的Fourier 变换为)(ωj F 连续信号与离散信号的频谱曲线如图8-4所示。

)(t f )(t f *τ∑+∞-∞=*+=n s njn j F Cj F )()(ωωωτ（8-5）图8-4香农（Shannon）采样定理❖若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。

由此可得如下著名的：香农（Shannon）采样定理图8-5）如果采样频率满足以下条件s ωmax 2ωω≥s 式中为连续信号频谱的上限频率max ω则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。

（8-6）二、理想采样过程❖为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念。

❖载波信号可以近似成如下理想脉冲序列（）)(t p 0→τ∑+∞-∞=-=k T kT t t )()(δδ（8-7）再设当时，则采样过程的数学描述为0<t 0)(=t f 此时，采样过程如图8-6所示。

理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。

∑+∞=*-⋅=⋅=0)()()()()(k T kT t t f t t f t f δδ（8-8）图8-6 理想采样开关的采样过程同样，可以展成如下Fourier 级数∑+∞-∞==n t jn n T s e C t ωδ)(()T t δT C n 1=其中（8-10）∑+∞-∞=*=n t jn s e t f T t f ω)(1)(则有（8-11）∑+∞-∞=*+=n s jn j F T j F )(1)(ωωω和（8-12）图8-7 连续信号和采样信号的频谱注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：①频谱的上限频率是有限的；②存在一个理想的低通滤波器。

但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；8-2信号的恢复与零阶保持器❖信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。

Tk t kT )1(+<<可将)(t f 展成如下泰勒级数时，ΛΛ+-⋅++-⋅'+===n kT t n kT t kT t t f n kT t t f kT f t f )()(!1)()()()()(（8-13）各阶导数的近似值❖由此类推，计算n 阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。

若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n 阶保持器的数学表达式。

2)2()(2)()(TT kT f T kT f kT f t f kT t -+--≈'=MTT kT f kT f kT f )()()(--≈'（8-14）零阶保持器的数学表达式为)((<=<)(+ f)1kT ttkTfkT（8-16）图8-8 信号的采样与保持过程理想采样开关的输出Laplace 变换为零阶保持器的输出为∑+∞=-=0*)()(k kTsekT f s F (8-17)[]∑+∞=----=0)(1)(1)()(k h T kT t kT t kT f t f (8-18)由上式可知零阶保持器的∑+∞=+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0)1()()(k Tsk kTs h s ee kTf s F ∑+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)(1k kTsTse kTf s e se s G Tsh --=1)((8-20)(8-19)传递函数零阶保持器的频率特性为ωωωj ej G Tj h --=1)(T j eT T T ωωω212/)2/sin(-=seT ss ωπωωπωωπω//)/sin(-=ss h T j G ωπωωπωω/)/sin()(⋅=)/sin()(s sh j G ωπωωπωω∠+-=∠相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为其中❖零阶保持器的频率特性曲线如图8-9所示，对比图8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。

0, 2(21)sin(/), (21)2(1) (n 0,1,2,)s ss s sn n n n ωωωπωωπωωω<<+⎧∠=⎨+<<+⎩=L图8-9 零阶保持器的频率特性曲线8-3 z 变换与z 反变换一、z 变换❖连续信号经采样后得到的脉冲序列为)(t f 对上式进行Laplace 变换，得∑+∞=*-⋅=0)()()(k kT t kT f t f δ（8-25）∑+∞=-*=0)()(k kTsekT f s F （8-26）引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z 变换的定义式如下Tsez=称为的z 变换，记作或)(z F )(t f *)()]([z F t f Z =*)()]([z F kT f Z =ΛΛ+++++=---kzkT f zT f zT f z f z F )()2()()0()(210由此可看出是关于复变量的幂级数。

)(z F 1-z ∑+∞=-=*==0ln )/1()()()(k kzT s zkT f z F s F （8-28）例8-1求单位脉冲信号的z 变换。

)()(t t f δ=)()()()(0t kT t t f t f k δδ=-=∑+∞=*)(t f *0=t 解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有11)(0=⋅=z z F例8-2求单位阶跃信号的z 变换。

❖解：设，则该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式)(1)(t t f =ΛΛ+++++=---kzzz z F 211)(1>z )1(,111)(1>-=-=-z z zzz F)1|(|,)1()(2>-=⋅=∑+∞=-z z TzzkT z F k k例8-3求单位斜坡信号的z 变换。

❖设，则❖上式两边对z 求导数，并将和式与导数交换，得❖上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z 变换∑+∞=-⋅=)(k kzkT z F )0(,)(>=t t t f )1||(,1>-=∑+∞=-z z zzk k21)1(1)(--=⋅-∑+∞=--z zk k k )(Tz -解：ΛΛ+++++=------kakTTa aTzez ezez F 2211)()|(|,111aTaTaTe z ez z ze---->-=-=))(1()1(1)(TTT e z z e z e z z z z z F ------=---=例8-5❖设，求的z 变换。

)1(1)(+=s s s F )(t f *解：上式两边求Laplace 反变换，得)0(,1)(>-=-t e t f t再由例8-2和例8-4有111)(+-=s s s F注意：z Ts ln 1=)(s F )(z F )(t f *❖不能直接将代入来求，因为是针对采样信号进行z 变换。

二、z 变换的基本定理其中和为任意实数。

1a 2a 1．线性定理：11221122[()()]()()Z a f t a f t a F z a F z **+=+（8-30）)(1t f *)(2t f *)(1z F )(2z F 若和z 变换为和，则证明：112211220[()()][()()]kk Z a f t a f t a f kT a f kT z**+∞-=+=+∑∑∑+∞=-+∞=-+=022011)()(k kk kzkT f a zkT f a )()(2211z F a z F a +=2．实数位移定理❖若的z 变换为，则)(t f *)(z F )()]([z F z nT t f Z n-*=-（8-31）])()([)([1∑-=-*-=+n k knz kT f z F z nT t f Z （8-32）证明：❖证明式（8-31）❖由于当时，，所以有∑+∞-=--=nj jnzjT f z)(∑+∞=----=0)()(k n k nznT kT f z∑+∞=-*-=-0)()]([k kznT kT f nT t f Z 0<j 0)(=jT e ∑+∞=--*=-0)()]([j jnzjT f znT t f Z )(z F z n-=证明式（8-32）∑+∞=-*+=+0)()]([k kznT kT f nT t f Z ∑+∞=+-+=0)()(k n k n znT kT f z⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∑-=-+∞=-100)()(n k kj j n z kT f z jT f z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=-10)()(n k k n z kT f z F z3．复位移定理❖已知的z 变换函数为，则)(])([aTakTez F ekT f Z ±⋅=μ证明：∑+∞=-⋅⋅=0)(])([k kakTakTzekT f ekT f Z μμ∑+∞=-±⋅=0)()(k kaTzekT f )(aTez F ±⋅=)(kT f )(z F4．Z 域尺度定理❖若已知的z 变换函数为，则证明：∑+∞=-⋅=0)()]([k kkkzkT f a kT f a Z ∑+∞=-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=0)(k ka z kT f ⎪⎭⎫⎝⎛=a z F )(kT f )(z F 其中，为任意常数。