自动控制原理课件 第八章 采样系统理论
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自动控制原理采样控制系统PPT课件
s
/s
ωS=2∏/T
传递函数
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零阶保持器的频率特性
低通特征：
|G0(jω)|
幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. ωS -∏
相角滞后特性：
2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180°
零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 (s)
1 [1 esT s
]
1 s
1
1 e sT
lim e * (t ) lim( z 1)E( z)
t
z 1
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举例
例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。
解：由复数位移定理
Z[e(t)] Z[t eat ] E[z eaT ]
令e1 (t )
t, 则E1(z)
Z[e1(t)]
Tz (z 1)2
所以
Z[e(t)]
2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一 致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
第9页/共87页
3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ(t) , R(s)=1
理想单位脉冲
频率特性:
gh(t)=1(t)-1(t-T)
一. 采样过程 连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
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二.采样过程的数学描述
τ非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。
e*(t) = e(t) δT(t）
其中:T (t) (t nT)
自动控制原理8PPT课件
式中： Z ----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
自动控制原理(程鹏)
程 鹏
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
1
版权信息： 版权所有属于高等教育出版社和作者
2
序 言
本《自动控制原理多媒体教学课件 》是根据程鹏主编的 《自动控制原理》 (第二版)一书而编辑的,使用PowerPoint2000 下编辑而成，故建议在Office2000及Mathtype5.1环境中进行浏 览和修改。 本文稿基本涵盖了教材各章节的主要知识点。可作为使用 该教材的教师课堂演示文稿的蓝本，以省去教师对文字、公式 和插图等的录入时间，可以让教师们把更多的精力去考虑教学 内容的编排以及课堂教学的组织等更重要的问题,还可为自学本 书的读者提供一个课堂教学的主要线索，因此在文稿中还选编 了一些基本内容和方法的提示和总结，期望对读者理解本书的 内容有所帮助。出版这个多媒体课件可以说是抛砖引玉，期望
55目录第1章自动控制原理的一般概念第2章自动控制系统的数学模型第3章时域分析法第7章非线性系统分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章控制系统的校正第8章采样系统理论第9章状态空间分析方法66目录使用说明双击选定章节就可进入相应章节的目录您会看到各章的基本要求和具体章节点击便可进入具体小章节由于是使用不同章节间的超级链接请在复制时将所有章节复制在同一个文件中链接速度可能会稍慢请耐心等待
7
文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 体36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有M 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有Mathtype5.1的前提 下，对公式的编辑可通过双击公式进入公式编辑器进行修改 ，单击公式，可随意拉动以调整公式显示的大小和位置。
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
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版权信息： 版权所有属于高等教育出版社和作者
2
序 言
本《自动控制原理多媒体教学课件 》是根据程鹏主编的 《自动控制原理》 (第二版)一书而编辑的,使用PowerPoint2000 下编辑而成，故建议在Office2000及Mathtype5.1环境中进行浏 览和修改。 本文稿基本涵盖了教材各章节的主要知识点。可作为使用 该教材的教师课堂演示文稿的蓝本，以省去教师对文字、公式 和插图等的录入时间，可以让教师们把更多的精力去考虑教学 内容的编排以及课堂教学的组织等更重要的问题,还可为自学本 书的读者提供一个课堂教学的主要线索，因此在文稿中还选编 了一些基本内容和方法的提示和总结，期望对读者理解本书的 内容有所帮助。出版这个多媒体课件可以说是抛砖引玉，期望
55目录第1章自动控制原理的一般概念第2章自动控制系统的数学模型第3章时域分析法第7章非线性系统分析第4章根轨迹法第5章频域分析法第6章控制系统的校正第8章采样系统理论第9章状态空间分析方法66目录使用说明双击选定章节就可进入相应章节的目录您会看到各章的基本要求和具体章节点击便可进入具体小章节由于是使用不同章节间的超级链接请在复制时将所有章节复制在同一个文件中链接速度可能会稍慢请耐心等待
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文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 文稿中，各章节标题均用隶书40pt字，每节中二级标题用楷 体36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 36pt字。对于定义、定理均用蓝色加粗标明。在文字描述 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有M 中，彩色加粗的文字均为关键字。在装有Mathtype5.1的前提 下，对公式的编辑可通过双击公式进入公式编辑器进行修改 ，单击公式，可随意拉动以调整公式显示的大小和位置。
自动控制原理的采样控制系统分析与设计PPT文档98页
何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
自动控制原理的采样控制系统分析与 设计
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
自动控制原理的采样控制系统分析与 设计
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
自动控制原理课件
1 ∞ E*(s) = ∑E[s + jnωs ] T n=−∞
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
上式表明，采样函数的拉氏变换式 是以ωs 上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以 是以 为周期的周期函数。另外， 为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数 的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式E(s)之间 的拉氏变换式 与连续函数拉氏变换式 之间 的关系。 的关系。 通常E*(s)的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于S平面的左半部 通常 的全部极点均位于 平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量 代替上式中的复变量s， 因此可用 代替上式中的复变量 ，直接求得采样信 号的傅氏变换： 号的傅氏变换：
∞ k=0 ∞
或
e*(t ) = e(t )∑δ (t − kT) = e(t )δT (t )
k=0
采样开关相当于一个单位脉冲发生器， 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图8-7所示 所示。 号的调制过程如图 所示。
图8-7：采样信号的调制过程
8.2.2 采样定理
采样定理(shannon定理 ，由于它给出了从采 采样定理 定理)， 定理 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题， 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。 把采样信号恢复为连续信号。 的条件下， 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下， 根据采样定理， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量， 有图 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保 特性的理想滤波器滤去高频频谱分量 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。 留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
自动控制原理课件
图8-2：离散反馈信号
第8章 采样控制系统
在采样系统中， 在采样系统中，采样开关重复闭合的时 间间隔T称为采样周期 间间隔 称为采样周期
1 fs = T
2 ωs = T
分别称为采样频率及采样角频率。其中T代表 分别称为采样频率及采样角频率。其中 代表 采样周期。 采样周期。连续性时间函数经采样开关采样后 变成重复周期等于采样周期的时间序列。 变成重复周期等于采样周期的时间序列。该时 间序列通道在连续型时间函数上打*号来表示 号来表示， 间序列通道在连续型时间函数上打 号来表示， 如图8-2所示 所示。 如图 所示。这种时间序列属于离散型时间函 数。
采样控制系统的特点，连续信号的 离散化，采样定理，信号的恢复，保持 器，Z变换，差分方程，脉冲传递函数， 采样系统的稳定性，采样系统的稳态误 差，采样系统的分析，采样系统的校正， 最小拍控制器。
第8章 采样控制系统
近年来，随着脉冲技术、数字式元部件、 近年来，随着脉冲技术、数字式元部件、 数字电子计算机， 数字电子计算机，特别是微处理机的迅速发 展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制 器。数字控制器的应用使得控制系统的本质 发生了很大变化， 发生了很大变化，因此必须用本章将要介绍 的采样(或离散) 的采样(或离散)控制理论来分析与研究其控 制性能。 制性能。
e* (t ) = r * (t ) − b* (t )
第8章 采样控制系统
因此，在离散系统中， 因此，在离散系统中，通过控制器对被控对 象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信 上述离散系统的方块图示于图8-1。 号e* (t ) 。上述离散系统的方块图示于图 。
图8-1：离散系统结构图
第8章 采样控制系统
第8章 采样控制系统
自动控制理论最新版精品课件第8章 采样控制系统的分析与设计
第8章 采样控制系统的分析与设计
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
02
s
2
1 js
2
02
由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
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A0 T
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2
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由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
《自动控制原理》课件
集成化：智能控制技术将更加集 成化，能够实现多种控制技术的 融合和应用。
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网络化：智能控制技术将更加网 络化，能够实现远程控制和信息 共享。
绿色化：智能控制技术将更加绿 色化，能够实现节能减排和环保 要求。
控制系统的网络化与信息化融合
网络化控制：通过互联网实现远程控制和监控
现代控制理论设计方法
状态空间法：通过建立状态空间模型，进行系统分析和设计 频率响应法：通过分析系统的频率响应特性，进行系统分析和设计 极点配置法：通过配置系统的极点，进行系统分析和设计 线性矩阵不等式法：通过求解线性矩阵不等式，进行系统分析和设计
最优控制理论设计方法
基本概念：最优控制、状态方程、控制方程等 设计步骤：建立模型、求解最优控制问题、设计控制器等 控制策略：线性二次型最优控制、非线性最优控制等 应用领域：航空航天、机器人、汽车电子等
动态性能指标
稳定性：系统在受到扰动后能否恢复到平衡状态 快速性：系统在受到扰动后恢复到平衡状态的速度 准确性：系统在受到扰动后恢复到平衡状态的精度 稳定性：系统在受到扰动后能否保持稳定状态
抗干扰性能指标
稳定性：系统在受到干扰后能够 恢复到原来的状态
准确性：系统在受到干扰后能够 保持原有的精度和准确性
信息化控制：利用大数据、云计算等技术实现智能化控制
融合趋势：网络化与信息化的融合将成为未来控制系统的发展方向 应用领域：工业自动化、智能家居、智能交通等领域都将受益于网络化与 信息化的融合
控制系统的模块化与集成化发展
模块化：将复杂的控制系统分解为多个模块，每个模块负责特定的功能，便于设计和维护 集成化：将多个模块集成为一个整体，提高系统的性能和可靠性 发展趋势：模块化和集成化是未来控制系统发展的重要方向 应用领域：广泛应用于工业自动化、智能家居、智能交通等领域
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设
解：
1 ，求 f F ( s) s( s 1)
(t ) 的z变换。
上式两边求Laplace逆变换，得 再由例8-2和例8-4有
1 1 F (s) s s 1
f (t ) 1 et , (t 0)
z z z (1 eT ) F ( z) T z 1 z e ( z 1)( z eT )
k 0
(8-18)
24
e kTs e ( k 1)Ts Fh ( s) f (kT ) s k 0 1 eTs kTs f ( kT ) e s k 0
(8-19)
由上式可知零阶保持器的传递函数
1 e Gh ( s) s
k k 0
（8-32）
39
证明：
证明式（8-31）
Z [ f (t nT )] f (kT nT ) z
k 0
第八章
采样系统理论
1
主要内容
8-1 采样过程与采样定理 8-2 信号的恢复与零阶保持器 8-3 z变换与z逆变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的性能分析 8-6 采样系统的数字校正
返回主目录
基本要求
1.
正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保 持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联 系。
27
T
0
0
s
(幅频特性
2s
3 s
0
0
s
(b) 相频特性
2s
3 s
图8-11 零阶保持器的频率特性曲线
28
8-3 z变换与z逆变换
一、z变换
连续信号 f (t ) 经采样后得到的脉冲序列为
f (t ) f (kT ) (t kT )
k 0
（8-25）
对上式进行Laplace变换，得
2.
z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和 通过部分分式分解进行逆变换, 了解用z变换法解差
分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样 系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算 方法, 掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。
3
3.
返回子目录
4.
5.
熟练掌握z域稳定性的判别方法。
Gh (j )
π
s
sin(π / s )
26
其中
0, sin( π / s ) π, 2ns (2n 1)s (2n 1)s 2( n 1)s (n 0,1,2, )
零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6 可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通 滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许 部分高频分量通过。
F ( s) f (kT ) e
k 0
返回子目录
kTs
（8-26）
29
引入一个新的复变量 z
F ( s)
e
Ts
将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下
s (1 / T ) ln z
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
（8-28）
称F ( z )为f (t ) 的z变换，记作 Z[ f (t )] F ( z)或 Z[ f (kT )] F ( z)
特性如图8-6所示，便可以将采样信号完 全恢复成原连续信号。由此可得如下著 名的香农（Shannon）采样定理。
图8-6
13
如果采样频率 s满足以下条件 式中 max 为连续信号频谱的上限 频率。 则经采样得到的脉冲序列可以 无失真地恢复为原连续信号。
14
s 2 max
（8-6）
（8-13）
21
返回子目录
各阶导数的近似值
f (kT ) f (kT T ) （8-14） f (kT ) T f (kT ) 2 f (kT T ) f (kT 2T ) f (t ) t kT T2
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知
n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13） 的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的 数学表达式。
F ( z) f (0) z 0 f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (kT ) z k
（8-29）
由此可看出F ( z )是关于复变量 z 1 的幂级数 。
30
例8-1 求单位脉冲信号的z变换。
解：
(t kT ) (t ) 设 f (t ) (t ) ，则 f (t ) f (t ) k 0 由于 f (t ) 在时刻 t 0 的脉冲强度为1， 其余时刻的脉冲强度均为零，所以有
信号的过程，能够实现这一过程的装置 称为保持器。
kT t (k 1)T
可将 f 时，
(t )展成如下泰勒级数
f (t ) f (kT ) f (t ) t kT (t kT )
1 (n) f (t ) (t kT ) n t kT n!
（8-30）
1 1
2 2
其中 a1 和
a2
为任意实数。
37
证明：
Z [a f (t ) a f (t )] [a1 f1 (kT ) a2 f 2 (kT )]z
a1 f1 (kT ) z
k 0
1 1
2 2
k
k 0
k
a2 f 2 (kT ) z
p(t )
n
Cne
j ns t
（8-2）
8
s 为采样频率，Fourier系数 Cn 其中， 由下式给出
1 T 1 sin(ns / 2) ns /2 -jnωs t Cn p(t )e dt e T 0 T ns / 2
则采样信号 f (t )可以表示为
幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。
6
返回子目录
T
图8-3 信号的采样过程
7
f (t ) p(t ) f (t )
（8-1）
实现上述采样过程的装置称为采样开关 可用图8-3（d）所示的符号表示。
由于载波信号
p(t ) 是周期函数，
故可以展成如下Fourier级数
0
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t kT )
k 0
此时，采样过程如图8-7所示。
（8-8）
理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。
16
图8-7 理想采样开关的采样过程
17
同样， T (t ) 可以展成如下Fourier级数
T (t )
22
零阶保持器的数学表达式为 f (t ) f (kT )， kT t (k 1)T
（8-16）
图8-10 信号的采样与保持过程
23
理想采样开关的输出Laplace变换为
F ( s) f (kT ) e
* k 0
kTs
(8-17)
零阶保持器的输出为
f h (t ) f (kT )1(t kT ) 1(t kT T )
35
注意：
1 不能直接将 s ln z 代入 T
F (s)
来求 F ( z ) ，因为z变换是 针对采样信号 f (t ) 进行z变换。
36
二、z变换的基本定理
1．线性定理
f 若f (t ) 和 2 (t ) 的z变换为F1 ( z ) 和 F2 ( z) ，
1
则
Z[a f (t ) a f (t )] a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
19
注意：
上述香农采样定理要求满足以下 两个条件：
1. 2. 频谱的上限频率是有限的。 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想 的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应 用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低
通滤波器。
20
8-2 信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复是指将采样信号恢复为连续
其中 则有 和
n
C
n
e
j ns t
1 Cn T
1 f (t ) f (t ) e jnst T n
（8-10）
（8-11）
1 F ( j ) F (j j ns ) T n
（8-12）
18
图8-9 连续信号和采样信号的频谱
F ( z) 1 z 1
0
31
例8-2 求单位阶跃信号的z变换。
解： 设
f (t ) 1(t )，则
F ( z) 1 z 1 z 2 z k
该级数的收敛域为 z 1 ，在该收敛域内， 上式可以写成如下闭合形式
1 z F ( z) , 1 z 1 1 z ( z 1)
熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理 解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的 关系。 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。
6. 7.
掌握最小拍采样系统的设计步骤。
4
图8-1 机载火力控制系统原理图
5
8-1 采样过程与采样定理
一、采样过程
——将连续信号转换成离散信号的过程
该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示， 其中载波信号 p(t )是一个周期为T，宽度为 ( ( T ) ， 幅值为 1 的脉冲序列，如图8-3（b）所示。 调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为
解：
1 ，求 f F ( s) s( s 1)
(t ) 的z变换。
上式两边求Laplace逆变换，得 再由例8-2和例8-4有
1 1 F (s) s s 1
f (t ) 1 et , (t 0)
z z z (1 eT ) F ( z) T z 1 z e ( z 1)( z eT )
k 0
(8-18)
24
e kTs e ( k 1)Ts Fh ( s) f (kT ) s k 0 1 eTs kTs f ( kT ) e s k 0
(8-19)
由上式可知零阶保持器的传递函数
1 e Gh ( s) s
k k 0
（8-32）
39
证明：
证明式（8-31）
Z [ f (t nT )] f (kT nT ) z
k 0
第八章
采样系统理论
1
主要内容
8-1 采样过程与采样定理 8-2 信号的恢复与零阶保持器 8-3 z变换与z逆变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的性能分析 8-6 采样系统的数字校正
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基本要求
1.
正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保 持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联 系。
27
T
0
0
s
(幅频特性
2s
3 s
0
0
s
(b) 相频特性
2s
3 s
图8-11 零阶保持器的频率特性曲线
28
8-3 z变换与z逆变换
一、z变换
连续信号 f (t ) 经采样后得到的脉冲序列为
f (t ) f (kT ) (t kT )
k 0
（8-25）
对上式进行Laplace变换，得
2.
z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和 通过部分分式分解进行逆变换, 了解用z变换法解差
分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样 系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算 方法, 掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。
3
3.
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4.
5.
熟练掌握z域稳定性的判别方法。
Gh (j )
π
s
sin(π / s )
26
其中
0, sin( π / s ) π, 2ns (2n 1)s (2n 1)s 2( n 1)s (n 0,1,2, )
零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6 可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通 滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许 部分高频分量通过。
F ( s) f (kT ) e
k 0
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kTs
（8-26）
29
引入一个新的复变量 z
F ( s)
e
Ts
将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下
s (1 / T ) ln z
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
（8-28）
称F ( z )为f (t ) 的z变换，记作 Z[ f (t )] F ( z)或 Z[ f (kT )] F ( z)
特性如图8-6所示，便可以将采样信号完 全恢复成原连续信号。由此可得如下著 名的香农（Shannon）采样定理。
图8-6
13
如果采样频率 s满足以下条件 式中 max 为连续信号频谱的上限 频率。 则经采样得到的脉冲序列可以 无失真地恢复为原连续信号。
14
s 2 max
（8-6）
（8-13）
21
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各阶导数的近似值
f (kT ) f (kT T ) （8-14） f (kT ) T f (kT ) 2 f (kT T ) f (kT 2T ) f (t ) t kT T2
由此类推，计算n阶导数的近似值需已知
n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13） 的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的 数学表达式。
F ( z) f (0) z 0 f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (kT ) z k
（8-29）
由此可看出F ( z )是关于复变量 z 1 的幂级数 。
30
例8-1 求单位脉冲信号的z变换。
解：
(t kT ) (t ) 设 f (t ) (t ) ，则 f (t ) f (t ) k 0 由于 f (t ) 在时刻 t 0 的脉冲强度为1， 其余时刻的脉冲强度均为零，所以有
信号的过程，能够实现这一过程的装置 称为保持器。
kT t (k 1)T
可将 f 时，
(t )展成如下泰勒级数
f (t ) f (kT ) f (t ) t kT (t kT )
1 (n) f (t ) (t kT ) n t kT n!
（8-30）
1 1
2 2
其中 a1 和
a2
为任意实数。
37
证明：
Z [a f (t ) a f (t )] [a1 f1 (kT ) a2 f 2 (kT )]z
a1 f1 (kT ) z
k 0
1 1
2 2
k
k 0
k
a2 f 2 (kT ) z
p(t )
n
Cne
j ns t
（8-2）
8
s 为采样频率，Fourier系数 Cn 其中， 由下式给出
1 T 1 sin(ns / 2) ns /2 -jnωs t Cn p(t )e dt e T 0 T ns / 2
则采样信号 f (t )可以表示为
幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。
6
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T
图8-3 信号的采样过程
7
f (t ) p(t ) f (t )
（8-1）
实现上述采样过程的装置称为采样开关 可用图8-3（d）所示的符号表示。
由于载波信号
p(t ) 是周期函数，
故可以展成如下Fourier级数
0
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t kT )
k 0
此时，采样过程如图8-7所示。
（8-8）
理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。
16
图8-7 理想采样开关的采样过程
17
同样， T (t ) 可以展成如下Fourier级数
T (t )
22
零阶保持器的数学表达式为 f (t ) f (kT )， kT t (k 1)T
（8-16）
图8-10 信号的采样与保持过程
23
理想采样开关的输出Laplace变换为
F ( s) f (kT ) e
* k 0
kTs
(8-17)
零阶保持器的输出为
f h (t ) f (kT )1(t kT ) 1(t kT T )
35
注意：
1 不能直接将 s ln z 代入 T
F (s)
来求 F ( z ) ，因为z变换是 针对采样信号 f (t ) 进行z变换。
36
二、z变换的基本定理
1．线性定理
f 若f (t ) 和 2 (t ) 的z变换为F1 ( z ) 和 F2 ( z) ，
1
则
Z[a f (t ) a f (t )] a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
19
注意：
上述香农采样定理要求满足以下 两个条件：
1. 2. 频谱的上限频率是有限的。 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想 的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应 用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低
通滤波器。
20
8-2 信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复是指将采样信号恢复为连续
其中 则有 和
n
C
n
e
j ns t
1 Cn T
1 f (t ) f (t ) e jnst T n
（8-10）
（8-11）
1 F ( j ) F (j j ns ) T n
（8-12）
18
图8-9 连续信号和采样信号的频谱
F ( z) 1 z 1
0
31
例8-2 求单位阶跃信号的z变换。
解： 设
f (t ) 1(t )，则
F ( z) 1 z 1 z 2 z k
该级数的收敛域为 z 1 ，在该收敛域内， 上式可以写成如下闭合形式
1 z F ( z) , 1 z 1 1 z ( z 1)
熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理 解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的 关系。 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。
6. 7.
掌握最小拍采样系统的设计步骤。
4
图8-1 机载火力控制系统原理图
5
8-1 采样过程与采样定理
一、采样过程
——将连续信号转换成离散信号的过程
该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示， 其中载波信号 p(t )是一个周期为T，宽度为 ( ( T ) ， 幅值为 1 的脉冲序列，如图8-3（b）所示。 调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为