三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心
特级教师 王新敞
对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，
一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．
1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：
对称轴为2
x k π
π=+
、对称中心为(,0) k k Z π∈．
对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即
2
x k π
ωφπ+=+
()k Z ∈，由此解出1
()2
x k π
πφω
=
+
- ()k Z ∈，这就是函数
sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．
对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出
1
()x k πφω
=
- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1
(
(),0) k k Z πφω
-∈．
2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：
对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2
k π
π+
k Z ∈．
对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即
x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1
()x k πφω
=
- ()k Z ∈，这就是函数cos()
y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．
对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2
x k π
ωφπ+=+ ()k Z ∈，
由此解出1
()2
x k π
πφω
=
+
- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1(
(),0) 2
k k Z π
πφω+
-∈．
3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心：
渐近线为2
x k π
π=+
、对称中心为(
,0)2
k π
k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．
对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即
2
x k π
ωφπ+=+
()k Z ∈，由此解出1
()2
x k π
πφω
=
+
- ()k Z ∈，这就是函数
tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．
对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2
k x π
ωφ+= ()k Z ∈，由此解出1()2
k x π
φω=
- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2
k k Z π
φω-∈．
例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4
π
对称；⑶关于点（
4π，0）对称；⑷关于直线x =12
π
对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（6
21π
π-k ，0）（z k ∈），当k=1时为
（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12
x π
=
，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．
解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采
用代入验证法．易求()3
f π
=sin(2×
3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3
π
)=2、()12f π=sin(2
×12π+3
π
)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。