正弦函数图象的对称轴与对称中心
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
正弦函数的对称性
例2、函数y sin(2x π ) 的对对称称中轴心是是__x_(_k__2π__k2__π__π6____,10π__23)___((k_k______ZZ_,.))
奇偶性
在x R上 sin( x) sin x,cos( x) cos x y sin x是奇函数, y cos x是偶函数. y sin x关于原点对称,
2
0
1 2
余弦曲线：对称中心(k
2
,
0)
;
对称轴
2 5 x
2
x k (k Z)
例1 求函数y sin(2x )图象的对称轴方程及对称中心坐标.
4
解：令2x k (k Z)，得x k (k Z)
4
2
28
令2x k (k Z)，得x k (k Z )
一个值是( B).
A. θ π B. θ π C.θ π D. θ π
2
4
8
3、若f ( x) sin x a cos x的图象关于
直线x π 对称,则a _____.
6 f (0)
f (π)
a 3
4、若f ( x) cos(23x φ)的图象关于
4
28
对称轴方程x k (k Z )；对称中心（k ，0）(k Z)
28
28
练习1:
求函数y cos(1 x )图象的对称轴方程及对称中心坐标.
23
对称轴方程x 2k 2 (k Z )；
3
对称中心（2k 5 ，0)(k Z )
正弦函数与余弦函数的
三角函数的周期性与对称性
三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中一种重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将探讨三角函数的周期性与对称性。
一、周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数来说，周期性是它们的重要性质之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数（sin(x)）是三角函数中最常见的函数之一。
它的图像是一条波浪形曲线，具有明显的周期性。
正弦函数的周期被定义为2π或360度。
换句话说，正弦函数在每个2π或360度的区间内都会重复相同的图像。
2. 余弦函数的周期性余弦函数（cos(x)）也是一种常见的三角函数。
它的图像是一个波峰波谷相间的曲线。
余弦函数的周期同样被定义为2π或360度，因此在每个2π或360度的区间内，余弦函数也会重复相同的图像。
3. 正切函数的周期性正切函数（tan(x)）和余切函数（cot(x)）是三角函数中较为特殊的两种函数。
正切函数的周期为π或180度，而余切函数的周期也为π或180度。
这意味着在每个π或180度的区间内，正切函数和余切函数会重复相同的图像。
二、对称性对称性是指函数的图像相对于某个中心线具有镜像对称的特点。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有对称性，而正切函数和余切函数则不具备对称性。
1. 正弦函数的对称性正弦函数的图像以y轴为中心线具有对称性。
即当x取正值时，对应的正弦函数值与x取相同绝对值的负值时的函数值相等，这是因为正弦函数的图像在y轴处对称。
2. 余弦函数的对称性余弦函数的图像以y轴为中心线同样具有对称性。
与正弦函数类似，余弦函数的函数值在x取正值时与x取相同绝对值的负值时的函数值相等。
3. 正切函数和余切函数的无对称性与正弦函数和余弦函数不同，正切函数和余切函数没有对称性。
它们的图像不存在以y轴为中心线的镜像对称。
综上所述，三角函数具有周期性和对称性的特点。
正弦函数和余弦函数在每个2π或360度的区间内具有周期性，而正切函数和余切函数的周期为π或180度。
三角函数的对称轴
y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。
y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。
y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。
这是要记忆的。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。
（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。
以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（k π/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。
由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。
通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。
下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。
1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。
解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。
三角函数中心对称
三角函数中的中心对称函数1. 引言三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
而在三角函数中，存在着一类特殊的函数，即中心对称函数。
本文将详细解释什么是中心对称函数，包括其定义、用途和工作方式等。
2. 中心对称函数的定义在三角函数中，如果一个函数满足f(x)=−f(−x)，则称该函数为中心对称函数。
换句话说，如果将该函数的图像以原点为对称轴进行翻转后，得到的图像与原图像完全重合，则该函数就是中心对称的。
常见的三角函数中存在两个具有中心对称性质的函数：正弦函数（sin）和奇数幂余弦函数（cos）。
2.1 正弦函数（sin）正弦函数是最基本、最常见的三角函数之一。
它可以表示一个圆上任意点在y轴上的投影值，并且满足以下定义：sin(x)=opposite ℎypotenuse其中，opposite代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最近点的边长，ℎypotenuse代表斜边的长度。
正弦函数是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。
这是因为正弦函数的图像以原点为中心，左右对称，即将一段正弦曲线翻转后可以得到与原曲线完全重合的曲线。
2.2 奇数幂余弦函数（cos）奇数幂余弦函数是另一个具有中心对称性质的三角函数。
它可以表示一个圆上任意点在x轴上的投影值，并且满足以下定义：cos(x)=adjacent ℎypotenuse其中，adjacent代表与角度x相对应的直角三角形斜边上离x所在顶点最远点的边长。
奇数幂余弦函数也是一个中心对称函数，即满足f(x)=−f(−x)。
和正弦函数类似，奇数幂余弦函数的图像以原点为中心，左右对称。
3. 中心对称函数的用途中心对称函数在数学、物理、工程等领域有着广泛而重要的应用。
下面将分别介绍它们在不同领域中的具体用途。
3.1 几何学在几何学中，中心对称函数可以用来描述和计算图形的对称性质。
通过正弦函数和奇数幂余弦函数，我们可以得到一些特殊角度的正弦值和余弦值，从而推导出一些特殊角度的三角函数值。
正弦函数的对称轴和对称中心
1.正弦函数的对称轴和对称中心是什么？
答：正弦函数y=sinx的对称中心就是曲线与x轴的交点。
对称中心是：(kπ,0)；对称轴就是函数取得最值时的x的值，对称轴是：x=kπ＋π/2。
正弦在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。
一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。
通常，我们用x 表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
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正弦函数图象的对称轴
与对称中心
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
函数
)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心
新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼
摘要：
新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。
所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。
关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数
函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其
图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴
的交点分别成中心对称图形。
∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2
π
π+
=k y ，对称中心点为
（0,πk ）,其中 Z k ∈。
正弦型函数
)sin(ϕω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。
一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准
确的求出正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的对称轴与对称中心。
若
a x =是)sin()(ϕω+==x A x f y 的对称轴，则
A a f ±=)(；若)0,(a 是它的对称中心，则0)(=a f 。
函数
)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法：令
1)sin(±=+ϕωx ，得）（Z k 2
k ∈+=+π
πϕωx ，则
ωϕππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的
对称轴方程为ω
ϕ
ππ222-+=k x ，其中 Z k ∈。
例1：函数)2
52sin(π
+=x y 图象的一条对称轴方程是：（ ） （A ）2
-
π=x （B ）4
-
π=x （C ）8
π=
x （D ）4
5π=
x 解：由性质知，令1)252sin(±=+
πx 得2
252πππ+=+k x )(Z k ∈，即
ππ-2k x =
)(Z k ∈，取1=k 时，2-π
=x ，故选（A ）。
例2：函数5
2sin 52cos
x
x y +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）。
解：)4
52sin(252sin 52cos
π+=+=x x x y ，设1x ， 2x 分别是其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标，则有
由○
2-○1得π=-)(5
2
12x x 可知，相邻两条对称轴之间的距离是
2
5π。
函数
)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法：令0)sin(=+ϕωx ，得
）（Z k ∈=+πϕωk x ，则)(2Z k k x ∈-=
ω
ϕ
π，所以函数
)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点
)(0k Z k ∈-），（ω
ϕπ成中心对称。
例3：设函数)3
2sin(2π
+
=x y 的图象关于点)0,(1x P 成中心对称，若
]0,2
[1π
-
∈x ，则=1x ________.
解：由性质知， 令0)3
2sin(2=+
π
x 得ππ
k x =+
3
2)(Z k ∈，即
6
2π
π-=k x )(Z k ∈，所以函数
)32sin(2π+=x y 图象的对称中心是)0,6
2(π
π-k )(Z k ∈。
在6
2π
π-=k x 中，取0=k ，得]0,2
[6
-
1
π
π
-
∈=x 。
由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线，因此只要把对称轴的方程代入到函数解析式，函数就会取得最大值或最小值。
易错点就在于很多同学误认为由于正弦函数
x y sin =的周期是π
k 2，就会错误的令成
2
k 2π
πϕω+
=+x 。
通过类比可以得到余弦型函数
)cos(ϕω+=x A y 的对称轴方程是
ω
ϕ
π-=
k x ，对称中心点是)0,222(ω
ϕ
ππ-+k ，其中Z ∈k 。