三角函数图像的对称轴对称中心
第60课--求三角函数的对称轴或对称中心
第60课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
三角函数的像对称性与对称轴分析
三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。
本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。
一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。
我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。
1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。
即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。
这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。
2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，x轴即为正弦函数的对称轴。
二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。
1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。
如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。
这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。
2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。
也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。
因此，y轴即为余弦函数的对称轴。
三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。
以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称
tan的对称轴和中心对称在数学中，tan函数是一个常见的三角函数，它代表了一个角的正切值。
然而，很少有人注意到tan函数具有一些有趣的对称性质。
tan函数具有对称轴对称性。
对于一个给定的角度x，tan(-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于y轴对称，我们将得到角度-x的正切值。
这个性质可以帮助我们在计算中简化问题。
tan函数还具有中心对称性。
对于一个给定的角度x，tan(π-x)等于-tan(x)。
这意味着，如果我们将一个角度x的正切值绘制在坐标系中，然后将整个图形关于x轴翻转，我们将得到角度π-x的正切值。
这个性质也可以帮助我们在计算中简化问题。
这些对称性质对于解决三角函数相关的问题非常有用。
通过利用tan函数的对称轴和中心对称性，我们可以简化计算，减少错误的可能性，并更好地理解三角函数的性质。
tan函数具有对称轴对称性和中心对称性，这些性质在解决三角函数问题时非常有用。
通过充分利用这些对称性质，我们可以更好地理解和应用tan函数。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三角函数的对称轴
三角函数的对称轴
对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
定义域
实数集r，可以扩展到复数集c
值域
[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1
零值点：(kπ，0)，k∈z
对称性
1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距
2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称
周期性
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数(其图象关于原点对称)
单调性
在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数
在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数
对称轴和对称中心求法
正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。
例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心
对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12
对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)。
三角函数的周期性与对称性
三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中一种重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将探讨三角函数的周期性与对称性。
一、周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数来说，周期性是它们的重要性质之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数（sin(x)）是三角函数中最常见的函数之一。
它的图像是一条波浪形曲线，具有明显的周期性。
正弦函数的周期被定义为2π或360度。
换句话说，正弦函数在每个2π或360度的区间内都会重复相同的图像。
2. 余弦函数的周期性余弦函数（cos(x)）也是一种常见的三角函数。
它的图像是一个波峰波谷相间的曲线。
余弦函数的周期同样被定义为2π或360度，因此在每个2π或360度的区间内，余弦函数也会重复相同的图像。
3. 正切函数的周期性正切函数（tan(x)）和余切函数（cot(x)）是三角函数中较为特殊的两种函数。
正切函数的周期为π或180度，而余切函数的周期也为π或180度。
这意味着在每个π或180度的区间内，正切函数和余切函数会重复相同的图像。
二、对称性对称性是指函数的图像相对于某个中心线具有镜像对称的特点。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有对称性，而正切函数和余切函数则不具备对称性。
1. 正弦函数的对称性正弦函数的图像以y轴为中心线具有对称性。
即当x取正值时，对应的正弦函数值与x取相同绝对值的负值时的函数值相等，这是因为正弦函数的图像在y轴处对称。
2. 余弦函数的对称性余弦函数的图像以y轴为中心线同样具有对称性。
与正弦函数类似，余弦函数的函数值在x取正值时与x取相同绝对值的负值时的函数值相等。
3. 正切函数和余切函数的无对称性与正弦函数和余弦函数不同，正切函数和余切函数没有对称性。
它们的图像不存在以y轴为中心线的镜像对称。
综上所述，三角函数具有周期性和对称性的特点。
正弦函数和余弦函数在每个2π或360度的区间内具有周期性，而正切函数和余切函数的周期为π或180度。
三角函数的对称轴
y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。
y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。
y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。
这是要记忆的。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。
（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。
以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（k π/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。
由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。
通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。
下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。
1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。
解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。
三角函数 对称轴 关系
三角函数对称轴关系三角函数是数学中研究角度与三角量之间关系的函数，其在各个领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，对称轴是一个非常重要的概念。
对于一般的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，它们都是具有对称轴的。
三角函数的对称轴是其函数图像的垂直平分线。
对于正弦函数y=sinx，其对称轴是直线x=k π+π/2 (k∈Z)；对于余弦函数y=cosx，其对称轴是直线x=kπ(k∈Z)；对于正切函数y=tanx，其对称轴是直线x=kπ+π/2 (k∈Z)。
这些对称轴是三角函数图像的重要特征，可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质。
三角函数的对称轴与其周期性有着密切的关系。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像以对称轴为中心左右对称，表现出非常明显的对称性。
这种对称性在解决一些数学问题时可以发挥重要的作用。
例如，在求解一些关于三角函数的方程时，可以利用对称轴的性质来简化计算过程。
此外，三角函数的对称轴还与其定义域有关。
对于正弦函数和余弦函数，它们的定义域是无限的，因此它们的对称轴也是无限的。
而对于正切函数，其定义域是除去整数倍的π/2的实数集，因此其对称轴是有限的。
这种定义域的限制也使得正切函数的图像呈现出独特的形状。
在实际应用中，三角函数的对称轴可以帮助我们更好地理解和分析三角函数的性质，从而更好地应用于各个领域。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述周期性变化的物理量，如振动、波动等；在工程学中，三角函数可以用来设计各种机械、电子设备等；在金融学中，三角函数可以用来描述金融数据的波动等。
因此，深入理解三角函数的对称轴性质对于各个领域的科学研究和实践应用都具有重要的意义。
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1 三角函数图像的对称轴对称中心
1、将函数)32sin()(π
+=x x f 图象上各点向右平移)0(>ϕϕ个单位，得到函数)(x g 的图象。
（1）若)(x g 的图象与原图象重合，求ϕ的最小值；
（2）若)(x g 的图象关于y 轴对称，求ϕ的最小值；
（3）若)(x g 的图象关于直线6π
=x 对称，求ϕ的最小值；
（4）若)(x g 的图象一个对称中心为)0,12(π
-，求ϕ的最小值；
（5）若)(x g 的图象关于原点对称，求ϕ的最小值；
（6）若)(x g 的图象经过点)21,4(π-
M ，求ϕ的最小值 2、函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=324sin 2πx y 图像与x 轴交点中，离原点最近的点是 ； 3、函数y = sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－
8π 对称,则a 的值为 （ ） A ．1 B ．－2
C ．－1
D ．2 4、函数)62sin(3π
+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ）
（A ）0=x （B ）32π=
x （C ）6π-=x （D ）3π=x 5、函数)3
3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 。
6、函数)62sin(4π-
=x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π
7、设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
8、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意的x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则=)3(π
f （ ） A 3或0 B －3或0 C 0 D －3或3。