三次函数的对称中心问题
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。
所以，函数的对称中心是（）。
定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
高考数学考点 三阶函数的对称中心
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。
看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b x a=-. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02b x a=-，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=≠-的对称中心为(,)b c a a . 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.3. 指数复合型函数()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2m a n m. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1 已知函数2()231x f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】231x y =+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2()()12131x g x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数 由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->-，即(32)()g a g a +>-因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=-，所以(32)()g a g a +>-又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12a <-所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.例2设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f = 3218()2133f x x x x =-++对称中心为()2,1， 所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+=所以128()()()8f a f a f a +++=．【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）A 、0B 、7C 、14D 、212. 函数y=24x y x -+=-的对称中心是 ． 3. 已知函数2()1ax a f x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式()1f x x >-的解集是 ．4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.5. 已知函数1()21x f x a =+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 6. 已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 7.已知4()42xx f x =+，则12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ． 8.已知函数()x f =ax x -+-2，若对*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ． 3()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2C B A ,,P2|PC PA |=+||PB。
三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索——凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中我们遇到了这样一道题目：16.对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点，为的对称中心点”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】，我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响，这些影响主要体现在那些方面，我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的； 如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
三次函数图象对称性研究
三次函数图象对称性研究苏州新区第一中学 蔡 莹一、问题的提出首先，我们来看以下两份资料：1、最简单的二次函数2y x =的图象关于y 轴成轴对称图形，而且，一般地，二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠ 经配方可化为 224()24b ac by a x a a -=++ ，其图象也都是轴对称图形，对称轴为2bx a =- 。
2、我们还知道，最简单的三次函数 3y x = 的图象是关于原点 O(0,0) 成中心对称图形的。
这两份材料虽然简单，可是放在一起来看，经类比联想，就大有文章了： 一般地，三次函数图象一定是中心对称图形吗？二、研究探索方案一：一般地，设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象C 为中心对称图形，（一）、对称中心在图象C 上时，可设为00(,())P x f x ，则C 上任意一点11(,())M x f x （1x R ∈）关于00(,())P x f x 的对称点0101(2,2()())M x x f x f x *--都在C 上，也就是说，对任意1x R ∈，恒有01012()()(2)f x f x f x x -=- （1） 由32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，（1） 式化简整理为323211100032232101001000(222)(6)(124)(842)ax bx cx ax bx cx d ax ax b x ax bx c x ax bx cx d ---++++=-++-++++++（2） 比较上式两边各对应项系数可知， 欲使（2）式对1x R ∈均成立，须且只须020032000320006(3)124222842b ax b c ax bx c ax bx cx dax bx cx d -=+⎧⎪=++⎪⎨+++⎪⎪=+++⎩（4） （5） 由（3）式 得03b x a=- （6） 将（6）式分别代入（4）、（5），经化简验证，此时（4）、（5）两式均成立，即03b x a=- 同时满足对称中心的条件（3）、（4）、（5），所以，三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象一定是中心对称图形，对称中心为(,())33b b P f a a--。
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
三次函数图象一定是中心对称图形吗？
ｂ ， ≠０ ｄ ） ≠０ ｃ ， ≠０．
三、 交流与合作
）中≠ （凸０ 其 ）
在以上两个小组研 究的基础上， 我组织他们 进行 了交流和答辩 等合作 活动． １第二小组的同学对第一小组的研究提出一 ． 点质疑， 他们指出， 第一小组的研究在 “ 设三次函
论， 更重要的是， 学生获得了研究问题 的一些途径
的图象 为中心对图形， 对称中心为Ｐ ｘ， （ｏ ． ｏ ， 上任意一点Ｍ（ｌ （１ （ｌ ） 厂 ） 则Ｃ （ ） ｘ， ｚ） Ｘ ∈Ｒ Ｉ ） 关于 Ｐ ｘ ，（ｏ 的对称 点 Ｍ ２０ 一 １ （ｏＩｚ） ） （ ５ ， ２ （ｏ 一． ）都在 上， Ｉｚ） 厂 １ （ ） 也就是说， 对任意
ｎ
放在一起来看， 就大有文章了． 究的兴趣和热 研 情一下子调动起来了．
一
由（ 式得 Ｘ ＝一２． ３ ） Ｏ 。 ＝ 。
将 （ 式分别代入 （ 、５， ６ ） ４ （ 经化简验证， ） ） 此 时（ 、５两式均成立， Ｏ 同时满足对 ４ （ ） ） 即Ｘ：一 称中心的条件（ 、４、５， ３ （ （ 所以， ） ） ） 三次函数 Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ（ ≠０ （） ｘ ＋ｂ ａ ）
一
般地， 设三次 函数解析式为
ＩＺ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ （ ≠０， （） ｘ ＋ｂ ａ ）
先研 究简单特殊 的情况．
Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ （ ） ｘ ＋ｂ ＋ｄ （ ≠０ ａ ）
１当ａ≠０ ｃ ， ＝ ｄ 时， ． ， ≠０ ｂ ＝０
维普资讯
由以上两点， 同学们大胆类 比、联想、猜 请 测， 有什么想法？ 同学们觉得以上这两份材料虽然简单， 可是
三次函数图象的对称中心的新解法
几 何 对 称 中 心 以 及 其 对 称 中心 Ｍ 点 的 坐 标 为
Ｍ （ 是） ＾， ．
若能求 出 Ｍ 点 的坐标 为Ｍ （ ， ） ＾ 是 中的 ｈ ｋ ， 的 值， 则等价 于证 明 了三次 函数 一 厂 ）一 ａ－ ＋ （ ．。 ． ２
妇 － ４ ｄ ａ ｂＣ ｄ均 为 常 数 ， ａ≠ ０ 的 图 象 ｑ甜 － （ ， ，， 且 ） Ｃ具 有 几 何 对 称 中 心 以 及 给 出 了 其 对 称 中 心 Ｍ 点 的 坐 标 Ｍ （ ， ）的 计 算 公 式 ． ｈｋ
为 常数 ， ａ≠ ０ （ 且 ） 具体 过程 此略 ） ．
从 而 可 知 ： 次 函 数 三
ｙ— ｆ ｘ） ａ 。 ｒ ＋ｃ ｉ 一 ｘ ＋ｈ ｒ＋ｄ ａ ６Ｃ ｄ均 为常 （ ，，，
Ｂ（ ， ４ ｂ － ｑ ） 别 关 于 Ｍ （ ， ） １ａ － ４ｆ－ 分 ｈ 是 的对 称 点 分
别 为 Ａｌ ， １ ， （ ， ） （ Ｙ ） Ｂ１ ２ ． ｌ ２
ｆ
一ｈ ，
数 ， ａ≠ ０ 的图象 Ｃ具有几何对称 中心 以及 其对 且 ）
Ｉ 一 Ａ ２２ ． 垡 是 （。 — ） ｈｋ
称 心 点 坐为 （ｂ 中 Ｍ 的 标Ｍ 券一 ＋） 一， ．
以 上 解 答 紧 扣 中心 对 称 图 形 的 几 何 特 征 ， 运 用 了 学 生 们 熟 悉 的 方 法 ， 解 答 了 问 题 ， 使 得 既 又
咖１±
ｆ ＝， ＝ ＝ ｈ
一 是
学生 在此解 答 中加 深 了对 中心 对 称 图形 性 质 的 掌握 ， 较之 文 ［ ］的解 答更 直 接 、 １ 自然 ， 运 用 本 且
文所 采用 的方法 及结果 更 易解 答 文Ｅ ｉ中的三 道 ｌ
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首先，利用GC，探究 的图象对称中心坐标.
步骤：
①．画出 的图象，并适当调整 的取值范围，如图1；
②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU键，选择菜单的FCN键，再选择Extremum，OK，可以得到一个极值点 ；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点 ，如图2、3；
三次函数的对称中心问题
广州市第四中学高二3班梁隽铭
指导教师刘运科
对于三次函数 ，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：
可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出 的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.
先考虑较简单的两个特殊情况：
一、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况较简单.因 是奇函数，故其对称中心坐标为 .
故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
七、一点心得
图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.
【解】设 ，
，
比较系数，有
解得 ，
故 的对称中心坐标为 .
五、综上， 的对称中心坐标为 .在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于 的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于 的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.
六、利用导数知识，求 的对称中心坐标.
③．求出两个极值点的中点 ，画出 的图象如图4，可求 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；
④．故可知， 是奇函数，对称中心为 ；故 的对称中心为 .
图1
图2
图3
图4
图5
图6
那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到 的图象可能是由某个奇函数 通过适当平移得到，故有如下的解法：
二、求 的图象对称中心坐标.
此特殊情况也较简单.将 的图象通过适当平移就可得到 的图象.当 时，将 的图象向上平移 个单位长度，就可得到 的图象；当 时，将 的图象向下平移 个单位长度，就可得到 的图象.因 是奇函数，对称中心坐标为 ，故 的图象对称中心为 .
上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求 的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因 是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当 时，最简单的一个具体实例：
【解】设将 的图象通过适当平移可以得到 的图象，则可设 ，
显然，，故
，
比较系数，可知：
解得 .
故 ，
将 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，
即可得到 的图象.
因 的图象对称中心坐标为 ，
故 的图象对称中心坐标为 .
将此法推广到一般情况，就可以解决求 的对称中心坐标问题：
四、求 的对称中心坐标.
【解】 ，其判别式 ，导函数图象对称轴方程为 .
⑴．当 时，导函数有两个零点 ， 有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为 ，纵坐标为 .
⑵．当 时，若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，当 时， 取到最小值，函数增长率最小，对应 图象上的对称中心点；
若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，当 时， 取到最大值，函数增长率最大，对应 图象上的对称中心点.