三次函数的对称性中心问题
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(ab f a b --对称。
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
高考数学考点 三阶函数的对称中心
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。
看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。
初中数学教案三次函数的图像与性质
初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点，它具有独特的图像和性质。
本教案将以图像为线索，详细介绍三次函数的特点和性质，帮助学生深入理解和掌握这一概念。
一、三次函数的基本形式三次函数的一般形式为：$y = ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。
二、三次函数的图像为了研究三次函数的图像，我们将从以下几个方面进行讲解。
1. 零点与轨迹在$x$轴上，三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。
解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。
2. 极值点与拐点三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。
求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$，令其等于零，即可求得极值点和拐点的横坐标。
然后再代入原函数中，求得对应的纵坐标。
3. 对称性三次函数具有奇函数的对称性，即$f(-x) = -f(x)$。
这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上，那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。
三、三次函数的性质除了图像特点之外，我们还需要讲解三次函数的其他性质，包括：1. 定义域和值域三次函数的定义域为全体实数。
值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。
2. 单调性三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。
当$a>0$时，函数单调递增；当$a<0$时，函数单调递减。
3. 凹凸性通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负，可以判断三次函数的凹凸性。
当$y''>0$时，函数凹；当$y''<0$时，函数凸。
4. 渐近线对于三次函数而言，它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。
通过求解极限或观察图像，可以确定渐近线的方程。
四、教学实例与练习为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质，我们可以设计一些教学实例和练习题，如：1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像，并求出其所有零点和拐点的坐标。
三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索——凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中我们遇到了这样一道题目：16.对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点，为的对称中心点”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】，我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响，这些影响主要体现在那些方面，我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的； 如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
三次函数的对称性中心问题
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
高中数学函数对称性问题
高中数学函数对称性问题作者：万林毅来源：《学园》2014年第26期【摘要】新课标苏教版高中数学书在介绍函数的性质时，重点放在了函数的周期性、奇偶性以及单调性上，然而纵观近几年高考数学真题，在有关抽象函数的考题中，函数的对称性对解题有很大帮助，可见高考中函数对称性的重要。
【关键词】高中数学高考数学常见函数特殊函数对称性【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0139-02众所周知，在高中数学的学习中，函数是重难点，且高考试题中有关函数性质的试题所占比重很大。
学生在根据课本学习了函数的定义、周期性、奇偶性及单调性后，能利用函数图像解决问题，同时也能根据图像直观地对具有特殊性质的函数进行认知，然而要提高学生综合运用知识和解决难题的能力，还需对函数的对称性进行总结归纳。
本文重点介绍对称性的概念、常见函数的对称性和抽象函数的对称性这三个方面。
一函数的对称性函数的对称性分为中心对称和轴对称。
第一，中心对称。
将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。
一个函数图像可以有多个对称中心。
第二，轴对称。
将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。
一个函数图像可以有多条对称轴。
二常见函数的对称性第一，常数函数。
y=c（c∈R）。
既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
第二，一次函数。
y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。
既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
第三，反比例函数。
y=k/x（k∈R且k≠0）。
既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
第四，二次函数。
y=ax2+bx+c（a≠0）。
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三次函数的对称性中心问题
而)3()3()3()3]()3(
3[)
3(2323
a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a
b f -=
)
0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)
0()(23
≠+++=a d cx bx ax
x f 的对称中心为
（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以
2)()(=-+-++n m x f m x f
+++++++d m x c m x b m x a )()()(23d
m x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n
=0
化简得：
上式对
恒成立，故
⎩⎨⎧=-+++=+0
032
3n d cm bm am b am 得
，。
所以，函数的对称中心是
（
）。
定理3：若三次函数
有极值，则它的对称中心
是两个极值点的中点
证明：不妨设0232
=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242
>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2
211x f x B x f x A
[][]
a
c
x x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a d
x x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(212121212212122121212
22
13
23
122
2321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又
d
a
b
c a b b a b a d
a b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232
3
21+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫
⎝⎛-+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+∴
)3(2)(21a
b f x x f -=+∴
所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
定理4：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图像关于点),(n m A 对称，则)('x f y =的图像关于直线m x =对称
证明：)(x f y =的图像关于),(n m A 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+
由x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()()(lim 0
'
)()()(lim )()(lim )
(2)(2lim
)2()2(lim
)2('0000'x f x x f x x f x x x f x f x x f n x x f n x x m f x x m f x m f x x x x =∆--∆-=∆∆--=∆+-∆--=∆--∆+-=-→∆→∆→∆→∆
)
('x f y =∴图像关于直线m x =对称。
三次函数的对称中心是
（
）。
所以其导函数的图像关于直线
a
b
x 3-
=对称。
定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条
证明：
设三次函数，一直线与三
次曲线切于点Q （d
cx bx ax
x +++02
030
,），且直线过点
（）。
直线方程可写为：d
cx bx ax x x c bx ax
y ++++-++=02
0300020
))(23(
又
d
a b c a b b a b a a b f +⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-33)3()3(2
3
=
+⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-d a b c a b b a b a 33)3(2
3d cx bx ax x a
b c bx ax ++++--
++02
030002
0)3)(23(
化简为：
a
b x a b x 30)303
0-
==+
（
这说明切点就是对称中心。
经典例题欣赏： 1. 求7
63)(23
-+-=x x x
x f 的对称中心。
2. 求2
3
3
1)(x x
x f -=的极值和对称中心。
3. （2004年重庆高考题）设函数))(1()(a x x x x f --=, )1(>a
（1）求导函数)('
x f ,并证明)(x f 有两个不同的极值
点2
1
,x x
（2）若不等式0)()(2
1
≤+x f x f 成立，求a 的取值范围。
4. 已知))()(()(c x b x a x x f ---=
（1）求证))(())(())(()('
c x b x c x a x b x a x x f --+--+--=
（2）若)(x f 是R 上的增函数，是否存在点P 使)(x f 的图像关于点P 中心对称？如存在，请求出P 点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。
（3）。