三次函数平移对称中心到原点公式
函数的对称性
函数的对称性新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心求函数的对称中心是一种确定函数图像的方法，它有助于我们分析函数的性质和特点。
对称中心是指函数图像关于其中一直线对称的点或轴，可以是x轴、y轴、原点、其中一条直线等。
在下面的文章中，我将详细介绍如何求函数的对称中心，包括求函数的对称轴、对称点以及应用实例等。
一、函数的对称轴函数的对称轴是指函数图像关于该轴对称，对称轴可以是x轴或y轴。
要确定函数的对称轴，我们需要根据函数的定义和特点进行分析。
1.判断函数对称轴是否为x轴首先，我们可以观察函数的定义域和值域。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是x轴。
例如，当函数为偶函数时，它的对称轴通常是x轴。
2.判断函数对称轴是否为y轴在一些情况下，函数的对称轴可能是y轴。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是y轴。
例如，当函数为奇函数时，它的对称轴通常是y轴。
二、函数的对称点函数的对称点是指函数图像上关于对称轴对称的点。
对称点的求解需要根据函数的定义进行计算。
1.关于x轴对称的点如果函数的对称轴是x轴，那么它的对称点可以通过令y等于函数式中的负值来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=-f（x）。
2.关于y轴对称的点如果函数的对称轴是y轴，那么它的对称点可以通过将x值置为相反数来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=f（-x）。
三、函数对称中心的应用实例下面以一个应用实例来说明如何求函数的对称中心。
例1：求函数f（x）=x^2的对称中心。
解：首先，我们观察函数的定义式，它是一个关于x的二次函数。
根据二次函数的性质，我们知道二次函数的图像通常是关于对称轴对称的。
所以，我们需要确定对称轴的位置。
由于函数为关于x的二次函数，我们可以判断其对称轴可能是y轴。
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。
所以，函数的对称中心是（）。
定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三次函数
2.对称中心
三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)是关于点对称的，且对称中心为点(- b , f (- b )),此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a
证明：只需证明f (- b + x)+ f (- b - x) = 常数，即可。
3a
3a
3.三次函数f (x)图象的切线条数
0,∴
x0
=1,
x0
=
-
1 2
,
∴过点(1,1)与曲线y = x3相切的直线方程为3x - y - 2 = 0或3x - 4 y +1= 0，故有2个。
方法2：由大招结论，y = x3的中心对称点为A(0,0),过点A的切线方程为y = 0.
点P(1,1)在曲线y = x3上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三.P与曲线y = x3有2条切线。
32
12 2x -1
2016 2016
2016
解：依题意得：f ′(x) = 3x2 - 6x+3,∴ f ′′(x) = 6x - 6.
由f ′′(x) = 0,即6x - 6 = 0.∴ x =1. 又 f (1) = 2,∴函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为(1,2).
的距离为
1 1+ t
2
，则z
=
a2
+ (b
-1)2的最小值为
1 1+ t
2
.故选A
(2)依题意，设h(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 ,得h′(x) = x2 - x+3,∴ h′′(x) = 2x -1.
三次函数图象的性质探索
三次函数图象的性质探索柳华【摘要】主要从三次函数的导函数的特征属性入手,探索三次函数图象的性质。
三次函数f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）也一定有对称中心,且对称中心为（-b/3a,f（-b/3a））。
【期刊名称】《林区教学》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】2页(P90-91)【关键词】三次函数;导数;对称中心;对称轴;极值【作者】柳华【作者单位】临沂市中医药职工中等专业学校,山东临沂276000【正文语种】中文【中图分类】O174大家知道，导数这一高等函数工具，已经走进了中学课堂，从而三次函数自然成为高考函数把关试题的结合点。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
对于一次函数y=ax+b(a≠0)，它的图象是直线，图象既中心对称又轴对称;二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线仅轴对称而非中心对称，其对称轴只有一条，且对称轴方程为顶点坐标为，当时，取得最值。
那么三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是否为轴对称或者是中心对称图形?三次函数满足什么条件才具有极值?本文将从三次函数的导函数的特征属性入手，对三次函数图象的性质作以猜想并给出证明，读来很有趣味。
先对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导数:f'(x)=3ax2+2bx+c，由此可知y=f'(x)的图象是二次抛物线，由导数的意义和抛物线的对称性可知三次函数曲线在直线两侧等距离处升降速度相同，由此启发我们猜想:三次函数曲线存在对称中心，并且对称中心的横坐标，即定理1:三次函数曲线y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称图形且对称中心为证明:因为形如y=ax3+cx(a≠0)的三次函数是奇函数，所以其图象是中心对称图形，对称中心坐标为(0，0)。
将函数y=ax3+cx(a≠0)的图象按向量珗a=(－m，d)平移，可得函数y=a(x+m)3+c(x+m)+d(a≠0)的图象，从而函数y=a(x+m)3+c(x+m)+d(a≠0)是中心对称图形，对称中心坐标为(－m，d)。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中间y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中间：(kπ,0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中间：（kπ+π/2,0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中间：（kπ,0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin&su p2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α =4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα =4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C (n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-co sα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))帮助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))全能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cos α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sin α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1 -tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 个中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒睁开式泰勒睁开式又叫幂级数睁开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!* (x-a)n+……适用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x =x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x =x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x =1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时,只需记住公式即可轻松作答,在比赛中,往往会用到与图像联合的办法求三角函数值.三角函数不等式.面积等等.傅立叶级数傅里叶级数又称三角级数f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一,二象限为正, 第三,四象限为负余弦第一,四象限为正第二,三象限为负正切第一,三象限为正第二,四象限为负编辑本段相干概念三角形与三角函数1.正弦定理：在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(个中R为外接圆的半径)2.第一余弦定理：三角形中随意率性一边等于其他双方以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=c cosB + b cosC3.第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它双方的平方之和减去这双方与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA4.正切定理(napier比较)：三角形中随意率性双方差和的比值等于对应角半角差和的正切比值,即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 5.三角形中的恒等式：对于随意率性非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证实:已知(A+B)=(π-C)所以tan(A+B)=tan(π-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整顿可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC相似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ三角函数图像：界说域和值域sin(x),cos(x)的界说域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的界说域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的界说域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a²+b²) , c+√(a²+b²）]初等三角函数导数三角函数图像y=sinx---y'=cosxy=cosx---y'=-sinxy=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2xy=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2xy=secx---y'=secxtanxy=cscx---y'=-cscxcotxy=arcsinx---y'=1/√(1-x²)y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)y=arctanx---y'=1/(1+x²)y=arccotx---y'= -1/(1+x²)倍半角纪律假如角a的余弦值为1/2,那么a/2的余弦值为√3/2反三角函数三角函数的反函数,是多值函数.它们是横竖弦Arcsin x,反余弦Arccos x,横竖切Arctan x,反余切Arccot x等,各自暗示其正弦.余弦.正切.余切.正割.余割为x的角.为限制反三角函数为单值函数,将横竖弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为横竖弦函数的主值,记为y=arcsin x;响应地,反余弦函数y=arccos x 的主值限在0≤y≤π;横竖切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π.反三角函数现实上其实不克不及叫做函数,因为它其实不知足一个自变量对应一个函数值的请求,其图像与其原函数关于函数y=x对称.其概念起首由欧拉提出,并且起首运用了arc+函数名的情势暗示反三角函数,而不是f-1(x).反三角函数主如果三个：y=arcsin(x),界说域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条; y=arccos(x),界说域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;y=arctan(x),界说域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;sinarcsin(x)=x,界说域[-1,1],值域【-π/2,π/2】证实办法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得其他几个用相似办法可得.编辑本段高级数学内容总体情形高级代数中三角函数的指数暗示(由泰勒级数易得)：sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]泰勒睁开有无限级数,e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… ≦此时三角函数界说域已推广至全部复数集.·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证实Q=Asinx+Bcosx,是以也可以从此动身界说三角函数.填补：由响应的指数暗示我们可以界说一种相似的函数－－双曲函数,其失去许多与三角函数的相似的性质,二者相映成趣.:复数域内正余弦函数的性质（1）对于z为实数y来说,复数域内正余弦函数的性质与平日所说的正余弦函数性质是一样的.（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的.（3）在复数域内不克不及再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1.（4）sinz.cosz分离为奇函数,偶函数,且以2π为周期.编辑本段三角函数的性质定理三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主如果因为下列两个成果.正弦定理于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可暗示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R个中R是三角形的外接圆半径.它可以经由过程把三角形分为两个直角三角形并运用上述正弦的界说来证实.在这个定理中消失的公共数 (sinA)/a 是经由过程A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数.正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知双方及其一边的对角求其他角和边的问题.这是三角测量中罕有情形.余弦定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：c^2=a^2＋b^2－2ab·cosC.也可暗示为：cosC=（a^2＋b^2－c^2）/ 2ab.这个定理也可以经由过程把三角形分为两个直角三角形来证实.余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时肯定未知的数据.假如这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是独一的（边-边-角）.要当心余弦定理的这种歧义情形.正切定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]编辑本段三角函数在解三次方程中的运用一元三次方程的解是三个不相等的实根时,可用三角函数常识求出方程的解.一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）重根判别式：A=b^2－3ac;B=bc－9ad;C=c^2－3bd.总判别式：Δ=B^2－4AC.当Δ=B^2－4AC＜0时,盛金公式④：X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);X(2,3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),个中θ=arccosT,T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2)),(A＞0,－1＜T＜1).在运用卡尔丹公式解三次方程时,对于x^3+px+q=0,有x1=√(-p/3)cos(Φ/3)x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3)x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3)对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0,只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解.例：一建筑物的楼顶要建一个储水池,按施工的设计请求,这个储水池的长.宽.高之和为70.5dm（为了削减占用楼顶面积,取长＞高＞宽）,满储水量为10082.44(dm)^3,立体对角线为1903.17dm,问：若何施工才干达到设计请求？解：设取长.宽.高分离为X⑴.X⑵.X⑶,依题意：X⑴＋X⑵＋X⑶=70.5;X⑴·X⑵·X⑶=10082.44;X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=1903.17.解这个方程组.依据韦达定理,得一元三次方程：X^3－70.5X^2＋1533.54X－10082.44=0a=1,b=－70.5,c=1533.54,d=－10082.44.A=369.63;B=－17372.61;C=219308.8716,Δ=－22444974.63＜0.依据盛金判别法,此方程有三个不相等的实根.运用盛金公式④求解.θ=90°.把有关值代入盛金公式④,得：X⑴=12.4(dm);X⑵=34.6(dm);X⑶=23.5(dm).经磨练,成果准确.因为取长＞高＞宽,所以,应取长为34.6dm;高为23.5dm;宽为12.4dm来进行施工.。