(公开课)2.1.2(1)椭圆的简单几何性质

e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆.（0<e<1) 思考：当e＝0时，曲线是什么？当 e＝1时，曲线是什么？ 圆 一条线段 [为什么？课后思考]
[3]e与a,b的关系:
c a 2 b2 a 2 b2 b2 e 1 2 2 a a a a
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小结一：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量） {2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴（共两条线） y
e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆（0<e<1）
22 22 x yy 22 22 22 x 答案 将椭圆方程 4 x ＋ 9 y ＝ 36 化为标准方程 ＋ ＝ 1 ， 则 a 99 ， 答案 将椭圆方程 4x ＋9y ＝36 化为标准方程 则 a＝ ＝ ， 99 ＋ 44 ＝1， 55 22 22 22 bb＝ 44 ，所以 aa ＝ 33 ， c＝ bb＝ ，故离心率 e＝ ＝ ，所以 ＝ ， c＝ aa－ － ＝ 55 ，故离心率 e＝3 ； ； 3 2 y2 2 x2 x＋ y＝1 中，a2＝ 2 25，b2＝ 2 20，则 a＝5，c＝ a2－ 2 b2＝ 2 椭圆 ， 椭圆 ＋ ＝ 1 中， a ＝ 25 ， b ＝ 20 ，则 a ＝ 5 ， c ＝ a － b ＝ 55 ， 25 20 25 20 55 故离心率 e＝ 故离心率 e＝5 . . 5
B2 A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
x
椭圆的简单几何性质
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方程
图形
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b
yP
F1 O F2
y 2 x2 2 1 a b 0 2 a b y
F2
P
x
O F1
x
范围 对称性 顶点 焦点 轴长 离心率 a、 b、 c 的关系
F1
b
o c
B1
x=-b
F2
4
x
2.椭圆对称性
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y
对称轴
从图形上看：
O
x
对称中心
5
2、椭圆的对称性 x2 y2 从方程上看： 2 2 1(a b 0) a b （1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；
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3． (2013 年广东)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1， 0)， 1 离心率等于 ，则 C 的方程是( D ) 2 x2 y2 A． ＋ ＝1 3 4 x2 y2 C． ＋ ＝1 4 2 x2 y2 B． ＋ ＝1 4 3 x2 y2 D． ＋ ＝1 4 3
x2 y2 【解析】设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a＞0，b＞0)．因为椭 1 c 1 圆的右焦点为 F(1,0)，所以 c＝1.又离心率为2，即a＝2，a＝2， x2 y2 则 b ＝a －c ＝3.所以椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
c 6 6 ∵e＝ ＝ ，∴c＝ a， 3 a 3 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴b ＝a －c ＝a － a ＝ a ， 3 3
2 2 y x ∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1. 27 9
x 2 y2 y 2 x2 综上可知，椭圆的标准方程是 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 9 3 27 9
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于 y 原点成中心对称. B2 所以，坐标轴是 椭圆的对称轴，原点 是椭圆的对称中心.
A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
x
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
6
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
(0, ±b) 令 x=0，得 y= ± ？ b 说明椭圆与 y轴的交点？
a2=b2+c2
x2 y2 1 1 36 32
y2 x2 2 1 25 16
两解
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题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
探究点二
由椭圆的几何性质求方程 6 例 2 椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ ，求椭圆的标准方程. 3
解 ∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，(3,0)为右顶点，则 a＝3，
∴b2=100-36=64
x2 y 2 1 100 64
注意
不能确定焦点 所在的坐标轴时， 则应进行分类讨论
∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
y 2 x2 1. 100 64
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练习 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？为什么？ 2 2 x y C1:4x2＋9y2＝36 与 C2: ＋ ＝1 25 20
则椭圆的离心率为（ D ） 2 1 3 A B C 3 3 3 提示 (a-c):(a+c)=2:3
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是 4 3 A. B. 5 5
解析
1 D 5
( B ) 2 C. 5 1 D. 5
又 b ＝a －c ，消去 b 整理得 5c ＝3a －2ac， 4 3 2c a c 1( 3舍去). 即 5 e ＋ 2 e － 3 ＝ 0 ， ∴ e ＝ 或 e ＝－ a c 5c 3a 5 e 4 a 5
由于椭圆 C1 的离心率较大， 因此椭圆 C1 更扁， 椭圆 C2 更圆.
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巩固练习：
则m的值是 A. 1 4
《全优课堂》P 22 1-3题
1.椭圆x 2 m y2 1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长 的两倍，
A
1 2
B.
C.2
D.4
x2 y2 1 2. 若焦点在x轴上的椭圆 1的离心率为 ， 2 m 2 则m等于 B A. 3 3 B. 2 8 C. 3 2 D. 3
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题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
求椭圆方程
试一试 (课本P41 练习3)
求适合下列条件的椭圆 方程： 1 （ 1 ） 焦点在x轴上，a 6, e ; 3 2焦点在y轴上，c 3, e 3 . 5
x2 y2 y2 x2 1或 1 25 16 25 16
隐含条件：
A1
B2 (0,b)
b F1
a F2
(a,0)
A2
o c
B1 (0,-b)
x
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问题：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些
比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的
量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？
F1
F2
8
2a保持不变，改变焦距2c (2a>2c)大小，所画 椭圆的扁平程度？
4、椭圆的离心率e
[1]离心率的取值范围：0<e<1
高二数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
2.1.2椭圆的简单几何性质
（第一课时）
1
教学目标：
(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;
(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率; (3)培养分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线 作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质.
a2=b2&椭圆方程，研究其几何性质
课本P40 例4
例1.求椭圆 16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点坐标. 解：把已知方程化成标准方程
x2 y2 1 25 16
于是a 5, b 4, c a 2 b2 25 16 3.
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
3
椭圆
简单的几何性质
a x a ， 观察下图，可知 b y b 1、范围：
2 a c 2 2 2 ac 22 b, b 22 a 2 c 2 a c a c
2 2 x y 从方程上看 2 2 1 a b (代数法)
x2 y2 a 2 1, b2 1
y
B2 x=-a A1 x=b x=a a A2
即x 2 a 2 , y 2 b2
a x a
b y b
说明：椭圆位于直线x=±a， 和y=±b所围成的矩形之中.
(±a, 0) a 说明椭圆与 x轴的交点？ 令 y=0，得 x= ± ？
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个 交点，叫做椭圆的顶点. A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(－b,0)，B2(b,0)
y
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分 别叫做椭圆的长轴和短轴. (-a,0) a、b分别叫做椭圆的长半轴长和 短半轴长.
c 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 c a 椭圆的离心率，记为e，即 e a
(刻画椭圆扁平程度的量)
叫做
a2=b2+c2 a>c>0
[2]离心率对椭圆形状的影响(保持长轴长2a不变，改变焦距2c) 1) e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
2) e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
a x a, b y b
b x b, a y a
关于x轴、y轴、原点对称 (±a，0)，(0，±b) (c,0)、(-c,0) (±b，0)，(0，±a) (0 , c)、(0, -c)