第八章 数学的试验方法

关于“三、双因素试验”这一部分不在此介绍了。
第八章
数学的试验方法
我们以前说的观察、分析、类比、归纳、特殊化等方法，实际上都是
数学试验方法，只是当时没有从这个角度指出来。人们在学习和研究数学
时，一般都是先有目的、有计划地进行数学试验，然后才进入探索、讨论 、求解或证明阶段。由此可见数学试验方法在数学研究中的重要作用。
第一节 数学试验方法的基本思想
1 1 1 1 1 ② c 6时， 1 , 这时d=12； d 2 4 6 12 1 1 1 1 1 ③ c 5时， 1 , 这时d=20； d 2 4 5 20 1 1 1 1 1 2 1 3 c 12, （3）b 3时，有 , ， c d 2 3 6 c 6 同理可得：当c=11，6，5，4时，d均无正整数解.当c=10时，d=15；当
1 1 1 1 及2 b 5， 已知的a b c d， 1， 已得到的是a 2， a b c d 1 1 1 1 3 （2）b 4时，目前已推得 4 c 8，① c 7时， 1 , d 2 4 7 28
即这时d也不是正整数，故这种情形下无解；
x 6m 1, ( m ) 2 y 6m 2m 1.
用试验法关键是确定怎样的试验方案，使得试验的范围缩小，试验次数 减少，这就需从条件中去寻找方案了。
例8.11 设正整数 求 a, b, c, d 的值. 解 ，且 a, b, c, d 满足 a b c d
数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→ 逐项试验→去伪存真(剔除不合题意的解)→找出问题解答。 以下举例说明：
例8.1 试求出1～100以内的质数。
分析 一般方法要对2～100内的自然数逐一进行试验，但若利用质数与 合数的概念，则可从2起有规则地剔除合数，使得试验的次数大大减少。 解 写出2～100内的自然数，因为2是质数，则保留2，然后将2之后所 有2的倍数划去，又因为3是质数，则保留3，再将3之后所有3的倍数划去， 等等，一直这样进行到最后一个质数，则最后剩下的就是要求的质数。 该方法被称作厄拉多塞(公元前3世纪)筛法，这是实验法的典型例子，
当n＝4时，有 x16＋x-16＝(x8＋x-8)2－2＝22072－2＝4870847,
由以上结果可以猜想： 对任意正整数n，原式的个位数字可能都是7.
证明 用数学归纳法证明原式的个位数字恒为7.
(1)当n＝1时，由以上试验的结果可知，结论成立；
(2)假设当n＝k时结论成立研究问题中，每次试验都能获取一定的信息，因此，对于某些结构较
为复杂的数学题，若不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对各次实
验结果作不完全归纳，探索条件与结论的内在联系，猜测解题方向。 例8.6 设x为实数，n为正整数，且 x 3x 1 0 ，试确定 x
2
2n
x
f(n)＝f(3m＋k)＝(3m＋k)3＋2(3m＋k)
＝(27m3＋27m2k＋9mk2＋k3)＋(6m＋2k) ＝3(9m3＋9m2k＋3mk2＋2m)＋(k3＋2k) ＝3M＋R(k). 其中 M＝9m3＋9m2k＋3mk2＋2m，R(k)＝k3＋2k. 因为m为整数，k＝0，±1，所以M为整数，且 R(0)＝0，R(1)＝3，R(-1)＝-3，由整除性质可知，3整除f(n)，得证. 该例题主要为说明试验方法，若是用数学归纳法来证明或许更简单些。
图问题时就经常应用的线段分割点，欧洲的文艺复兴时期，意大利许多艺 术家发现了它在美学上的意义，称其为黄金分割点，并大量用于艺术品的创 作中。例如，教材中举出了几点：主持人站在舞台的黄金分割点处最协调； 矩形的长与宽之比为黄金分割时最美观；人体许多部位成黄金分割关系时最 具美感。近代，人们又发现了它在优选法方面的作用。
＝(－1)2－0＝1， 由以上各次试验结果可以猜测，对于任意正整数n，可能有 sinnx＋cosnx＝(－1)n 成立，从而可用数学归纳法证明该结论(证明略).
第三节 非标准问题的试验求解
非标准问题是指题目的条件与问题之间缺乏常规的逻辑联系，一般难以
直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功。 例8.10 求方程 x2－6y＋5＝0 的整数解. 解 将方程变形为 x2＋5＝6y，说明左端是6的倍数，令f(x)＝x2＋5，且 x＝6m＋k ( m为任意整数，k＝0，±1，±2，3 )，则
2 n
的个位数字.
分析 由题设可得x＋x-1＝3，然后取n＝1，2，3，4的情形进行试验：
当n＝1时，有 x2＋x-2＝(x＋x-1)2－2＝32－2＝7,
当n＝2时，有 x4＋x-4＝(x2＋x-2)2－2＝72－2＝47, 当n＝3时，有 x8＋x-8＝(x4＋x-4)2－2＝472－2＝2207,
它只需要试验个别数，同时将大量不符合的数排除掉。再如例8.2（不讲）是
常见的选择题，这类题型也常常可用实验法将不符合题目的选项排除掉。
例8.4 设n为整数，求证：f(n)＝n3＋2n能被3整除. 分析 要想对无限个n逐个进行试验，这是不现实的，若将n按被3除所得 的余数来划分，就可能把无限的问题转化为有限的情形. 证明 设n＝3m＋k，（m为整数，k＝0，±1）则
1000 1382 1000 1236 1382 1618 1618 2000
两次试验比较优劣，假如1618倍较好，
现在假设在1382倍较好，则将[1618，2000]去掉，在剩余部分的0.618处及 对折处作比较，即在稀释1236倍做第三次试验，并与1236倍试验比较优劣。
如此继续进行，最后就能很快找到稀释的最佳倍数。
c=9时，d=18；当c=8时，d=24；当c=7时，d=42； 综上所述，满足题设条件的a，b，c，d共有6组正整数解：
（2，4，6，12），（2，4，5，20），（2，3，10，15），
（2，3，9，18），（2，3，8，24），（2，3，7，42）. 上述例子表明，不定方程的整数解问题适合于用试验法求解，但要谋取
x
2k 1
x
2k 1
(x x
2k
2k 2
) 2,
由归纳假设可知，上式括号中的数的个位数是7，其平方是49， 因此，上式的个位数是7， 即n＝k＋1时结论也成立，所以对任意正整数n都成立.
例8.7 设n为正整数，且sinx＋cosx＝－1，求sinnx＋cosnx的值. 分析 先考察n＝1，2，3，4的情形，以便从中得到结论或思路： 当n＝1时，有 sinx＋cosx＝－1， 当n＝2时，有 sin2x＋cos2x＝1， 当n＝3时，有
二、0.618的由来
假设试验的范围为[0,1]，取x1，x2为试验点，设x=x2，则让x1=1-x.即 1-x在[0,x]中的地位，相当于x在[0,1]中的地位（x1+x2=1）.
1 x x 即 , 整理得x 2 x 1 0, x 1
解得x
0
x1
x x2
1
5 1 0.618, 0.618点，被称作黄金分割点，这在古希腊人研究作 2
最优的解题途径，仍然需要加强练习，需要掌握灵活的方法及适当的技巧。
第四节 优选问题的试验求解
人们在生产、科研等方面，为确定合适的工作条件或优化制作过程，以
便达到高质量、高产量或低成本等所面临的问题，叫做优选问题，解决此类
问题的方法叫做优选法。例如，粉笔粗细与长短比例多少为宜，农药稀释多 少倍为好，车辆调度如何达到最优化，某种混合物如何配料最合理等，都是 可用优选法的试验来解决的问题。
一、单因素试验
以下举例子说明单因素试验的情形：
假设某农药稀释在1000～2000倍之间较合适，那么，具体稀释多少倍 最好呢？这就是一个单因素的试验问题。 对于上述问题，若运用均分法试验，即分别稀释1001，1002，1003， …，1999倍逐一试验、对比，这虽然能找出最佳方案，但太麻烦，既费时 ，又费料，此法显然不可取。若采用“0.618法”，则将快捷得多： 第一次试验，稀释取1618倍； 第二次试验，稀释取1382倍(对折)； 则将[1000，1382]去掉，在剩余部 分的0.618处再试验，反之亦然。
1 1 1 1 1 ， a b c d
1 1 1 1 4 1 1 1 1 由题设条件得 1 , 从而有 1, a b c d a a b c d 因此1 a 4, 若a 3, 可推出矛盾：这时b, c, d最小分别取4， 5， 6，则得到 1 1 1 1 1 1 1 1 19 的最大值是 1, 由此可知a 2. 这时有： a b c d 3 4 5 6 20 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 . 同理可得 , 因此2 b 6,以下试验： b c d 2 2 b b c d 2 1 1 1 1 3 2 3 （ 1 ）b 5时，有 , ，5 c 7， 由此只有c 6. c d 2 5 10 c 10 1 1 1 1 2 但这时 1 , 可见d不是正整数，因此这种情形下无解； d 2 5 6 15 1 1 1 1 1 2 1 在此范围内再试验： （2）b 4时，有 , ，4 c 8， c d 2 4 4 c 4
sin3x＋cos3x＝(sin2x＋cos2x)(sinx＋cosx)－sinxcosx(sinx＋cosx),
由题设有(sinx＋cosx)2＝(－1)2可推出sinxcosx＝0，所以上式＝－1， 当n＝4时，有
sin4x＋cos4x＝(sin3x＋cos3x)(sinx＋cosx)－sinxcosx(sin2x＋cos2x)
f(x)＝(6m＋k)2＋5＝6(6m2＋2mk)＋(k2＋5).
下面对k＝0，±1，±2，3逐一试验，寻找(k2＋5)为6的倍数的情形. 容易得到如下结论：当且仅当k＝±1时(k2＋5)为6的倍数，则把x＝6m±1