高数第八章知识点资料
《高等数学》第八章复习要点
第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。
1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。
2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高数第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。
高等数学 第8章
以前研究的函数都是只有一个自变量的一元函数，但在自 然科学和工程技术中的很多问题都要取决于多个因素，从而产 生了有几个自变量的函数，称为多元函数．多元函数的微分学 是在一元函数微分学的基础上发展起来的．由于多元函数是一 元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但又由于 自变量的增多，也会产生某些本质的差别．因此在学习多元函 数的理论时，既要注意到它与一元函数的联系，又要弄清它们 之间本质的差别。
dz fx(x ，y)x f y(x ，y)y
由于 dx x，dy y 所以函数z=f(x, y)的全微分可记作
dz fx(x ，y)dx f y(x ，y)dy
三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式， 如三元函数u=f(x, y, z)的全微分存在，则
du f dx f dy f dz x y z
设P0(x0, y0)是平面上一点，称点集
(x ，y) (x x0 )2 ( y y0 )2
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
不是极值 不确定
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函 数z=f(x, y)的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数fx’(x, y)，fy’ (x, y)，并解方程组
fx(x ，y) 0 ，
f
y(
x
，y)
0
.
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点(x0, y0)，求出二阶偏导数的值A，B， C。
高数第八章
高数第八章第八章第一节 向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），|21M M |=2222)(-(1)(-1)++=2211=++;COS α=-21,COS β=21,COS γ=-22;α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求.P OM OA OA rjOM方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COS θ=31||||=OM OA ，θθ于是OA rjOMP =|3aθ||=COS OA ．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cos θθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sin θ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率 结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示i j ka×b=│a x a y a z│b x b y b z例题1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA=1∕2│c ×b │i j kc ×b=│2 2 2│=4i-6j+2k1 2 4S ABC =1∕2│4i-6j+2k │=2222)6(4+-+=142.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求3.（-2a ）·（3b ）4.a 、b 夹角的余弦解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18 二、cos<a,b>=a·b/│a │·│b │=3/221张浩康 赵奇第三节 曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程： 球面 ()()()22022R z z y y x x =-+-+-椭球面 1222222=++cz b y a x单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x双叶双曲面 1222222=--c z b y a x椭圆抛物面z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面） z b y a x =-22222.空间曲面方程1）一般方程()0xF；yz,,=2）显式方程()y x F=；z,3）参数方程()v u x x,=()()平面上某区域y∈u,v=,y，其中uv为DDvu()v u z=z,3.设()平面上的曲线，则,C0:=z为yOzyf1）();0,22=z绕C轴旋转所得的曲面为fx+±zy2）().0y2,2=C轴旋转所得的曲面为f绕y+±zx旋转曲面由母线和旋转轴确定。
高等数学第八章
1 , x r Q ， x Q， D( x r ) D( x ) . x I. 0 , x r I, 即任意正有理数是 D( x ) 的周期，但正有理数
中不存在最小值， D( x ) 无最小正周期 故 .
负整数集： {， 2,1} , 整数集： {， 1 0， } Z Z ，1 ， ，
有理数集： {全体有理数 , Q } 无理数集： {全体无理数 , I } 实数集： Q I . R
3.常用不等式:
x , x0, 绝对值 : x R , x x , x 0 .
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
o
3 . x h (h 0) h x h .
o
4 . x h (h 0) x h 或 x h .
o
5 . x, y R , x y x y x y .
1.1 函数的概念及其初等性质
1.1.1 预 备 知 识
1.一些常用的符号
“对每一个” . : 表示“对任意一个”或 “至少有一个” . ：表示“存在一个”或 “ ：表示“可推出”或若，则”.
或 ：表示“当且仅当”“充分必要” 或“等价” .
2.常用数集 自然数集： * {0,1,2,} , 正整数集： ( N ) {1,2,3,} , N Z
若 在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期 T ， 则称这个最小正周期T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期.
常 用
f ( x ) sinx, cos x 的周期为T 2 , f ( x ) tan x, cot x 的周期为 T , F ( x) Asin( x B) C 的周期为T 2 ,
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
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(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
(4) f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
第一类曲线积分的计算法
设平面光滑曲线弧 L由参数方程
x x(t)
y
[kf (i ,i ) hg(i ,i )]si
i 1
n
n
lim 0
kf
(i
,i
)si
lim
0
hg(i ,i )si
i 1
i 1
k f ( x, y)ds h g(x, y)ds.
L
L
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
(2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )
L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
其中(x, y) L,求其质量M。
M2
A M1 Mi1
1.分割：M1, M2 ,, Mn1 si ,
o
x
2.近似： M (i ,i )si ,
曲线形构件的质量
n
3.求和： M (i ,i )si ,
i 1
n
4.取极限：M
lim 0
i 1
i1 n
4.取极限： A
lim
0
i 1
h(i ,i )si ,
柱面的面积：
A L h(x, y)ds.
注意：
1. 函数 f (x, y)在闭曲线 L 上对弧长的
曲线积分记为 f (x, y) ds . L
2.当积分路径 L 为 x 轴上的直线段时,曲线积
分 [a,b] 就相当于 f (x, y)ds上的定积分.
第八章 曲线积分与曲面积分
定积分的积分区域： [a,b] 二重积分： 平面区域 D 三重积分： 空间区域 曲线积分： 一段曲线 曲面积分： 一块曲面
一、第一类曲线积分的概念
曲线形构件的质量： y
例：平面曲线的质量 金属
B L Mn1
细线 L AB，线密度为(x, y),
(i ,i ) Mi
2 a 2 adt 2a3 0
例3（书P169 例2）
计算 R2 x2 y2 ds，其中L为上半圆弧x2 y2 Rx, y 0.
L
y
解：
x OLcos , y OLsin;
L
OL R cos
x
y
R cos2 , R cos sin
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
z
高度为h(x, y)，求的面积。
2)若h(x, y)不为常数;
方法：分割、近似、求和、取极限 1.分割：
h(i ,i )
o
y
x
A
L Mi B
M i1
(i ,i )
2.近似：
h(i
,i
)si
,
其中si
表示M
i1M
的长度。
iபைடு நூலகம்
n
3.求和： A h(i ,i )si ,
y 2
ds
1
dy
2
dx
dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2
ds
1
dx dy
2 dy
y
L
y
B
A
O
x
Oa b
x
3. f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
性质：
(1) [kf (x, y) hg(x, y)]ds k f (x, y)ds h g(x, y)ds.
L
L
L
证
b
[kf (x, y) hg(x, y)]ds
a
n
lim 0
L
c
(3) L : (), .
L f (x, y)ds
f [() cos, ()sin]
[()]2 [()]2 d.
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1： L : y 2x, 0≤x≤2
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
(i ,i )si ,
M L (x, y)ds.
柱面的面积：
z
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
高度为h(x, y)，求的面积。
o
x
1)若h(x, y) 常数;
y
L
柱面的面积：
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
(0
2
)
o
y
xR x
推广:
空间R3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t),
≤t≤
z
O
y
x
f (x, y, z)ds
f [x(t), y(t), z(t)]
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
( < )
例4 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
1 y 2 dy
yds
2
y
1 y 2 dy
L
0
1 (5 5 1) 3
y 2
y2 x
2
0
2x
例2. 计算 (x2 y 2 )ds 其中L: x2+y2=a2. L
解： L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2
(x2 y 2 )ds L
2 (a 2 cos2 t a 2 sin 2 t) (a sin t)2 (a cost)2 dt 0