高等数学第讲义七章8
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高等数学同济第七版第七章学习指导
,（7-18）
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为
最新高等数学1-8-函数的连续性教学讲义ppt课件
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铃
三体三部曲书评
七（2）林泽凯
目录
一、作品简介 二、作者简介 三、精彩片段及赏析 四、读后感悟
一、作品简介
《三体》三部曲，又名“地球往事”三部曲，作者刘慈欣。该系列小说 由《三体》、《三体Ⅱ黑暗森林》、《三体Ⅲ死神永生》三部小说组成， 于2006年至2010年由《科幻世界》杂志连载，出版。
《三体》三部曲讲述了地球文明和三体文明在宇宙中的兴衰历程。作品 对人类历史、物理学、天文学、社会学及哲学等均有涉及，从科幻的角 度对人性进行了深入探讨，全书格局宏大，立意高远，被誉为迄今为止 中国当代最杰出的科幻小说，是中国科幻文学的里程碑之作，将中国科 幻推上了世界的高度。
2014年底小说第一部的英文版在美国上市，反响热烈，并于2015年获 得美国科幻奇幻协会“星云奖”等五个奖项提名。2015年8月23日， 《三体》获第73届世界科幻大会颁发的雨果奖最佳长篇小说奖，这是亚 洲科幻小说首次获得雨果奖。 10月，作者刘慈欣因该作获得全球华语 科幻文学最高成就奖。
n
n
当x0时, f(x)0;
当x0时, ex 1, lim enx lim(ex)n , f(x)x1.
n
n
综上得
x 1, x 0
f
(x)
0,
x 0,
x 1, x 0
注 当 |a|1时 ,lim an0; 当 |a|1时 ,lim an.
n
n
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铃
例
5
讨论
f
(x)
y sin x x
如 果 补 充 定 义 ： 令 x=0 时 y=1
则 所 给 函 数 在 x=0 成 为 连 续
高等数学讲义课件 第7节 方向导数及梯度
u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在 这点的法线的一个方向相 同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这 个法线方向的方向导数．
同济大学的高等数学讲义 (7)
f (b) f (a) f ′(ξ ) g′(ξ ) = 0 g(b) g(a)
由此得到公式(4).
g
注1 柯西中值定理可简单地表示为
( f , g ∈ C [a , b ] ∩ D[a , b ]) ∧
g ′( x ) ≠ 0
f (b ) f ( a ) f ′ (ξ ) x ∈ (a, b ) ∧ = . g (b ) g ( a ) g ′ (ξ )
sin x sin x 0 = = ( sin x )′ = cos ξ > cos x. x x0 x =ξ
g
例3 设函数 f (x)的导函数(-∞, +∞)内恒为常数,则 f (x) 为线性函数. 证 则 设在区间(-∞, +∞)内 f ′( x) ≡ k ,令F(x)=f(x)-kx,
F ′( x ) = f ′( x ) k = k k ≡ 0,
f ′(ξ ) =
或
f (b ) f ( a ) , ba
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
g
注1 拉格朗日中值定理的几何描述 注2 当b<a时,上式仍然成立,即
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
公式⑴称为微分中值公式.
y y=f (x)
y= (x) o a
y
f ( x0 + x) f ( x0 ) ≤ 0,
x0 o U(x0) x
故当Dx>0时 ,
f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≤ 0; x
故当Dx<0时, f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≥ 0; x
由函数f (x)在点x0处的可导性及极限的保号性,得
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
高数(第七版)第7章讲稿
说明 1的通解为:
y Q(x)e P(x)dxdx C1 e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C1e P(x)dx
这表明:一阶非齐次线性方程的通解等于对应于它 的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.
例1.(P316,例1)求方程 dy 2 y (x 1)5/2的通解. dx x 1
从而 dy u x du ,方程 1变为u x du (u)
dx
dx
dx
即 du (u) u ,这是可分离变量方程,求出它的
dx
x
通解,再将u y 代入得1的通解.
x
例1P310?解方程 y2 x2 dy xy dy .
dx dx
解:先化为标准形式
(xy x2 ) dy y2 dx
解法 : 作换元,令 y p, y dp dx
原方程变为 dp f (x, p) 一阶方程 dx
设其通解为: p (x,C1),C1是任意常数 即 y (x,C1)
y (x,C1)dx C2 , (C1, C2是任意常数)
只表示一个原函数
例2.(P323,例3)求(1 x2) y 2xy的通解,并求满足初始
y C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1)
代入原方程,得
C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 x 1
(x 1)5/2
C(x)(x 1)2 (x 1)5/2
C(x) (x 1)1/2
C(x)
(x
1)1/2 dx
2 3
(x
1)3/ 2
C1
y C(x)(x 1)2
过点(x0 , y0 )的那条积分曲线.
初值问题 3的几何意义:求微分方程 y f (x, y, y)
y Q(x)e P(x)dxdx C1 e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C1e P(x)dx
这表明:一阶非齐次线性方程的通解等于对应于它 的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.
例1.(P316,例1)求方程 dy 2 y (x 1)5/2的通解. dx x 1
从而 dy u x du ,方程 1变为u x du (u)
dx
dx
dx
即 du (u) u ,这是可分离变量方程,求出它的
dx
x
通解,再将u y 代入得1的通解.
x
例1P310?解方程 y2 x2 dy xy dy .
dx dx
解:先化为标准形式
(xy x2 ) dy y2 dx
解法 : 作换元,令 y p, y dp dx
原方程变为 dp f (x, p) 一阶方程 dx
设其通解为: p (x,C1),C1是任意常数 即 y (x,C1)
y (x,C1)dx C2 , (C1, C2是任意常数)
只表示一个原函数
例2.(P323,例3)求(1 x2) y 2xy的通解,并求满足初始
y C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1)
代入原方程,得
C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 x 1
(x 1)5/2
C(x)(x 1)2 (x 1)5/2
C(x) (x 1)1/2
C(x)
(x
1)1/2 dx
2 3
(x
1)3/ 2
C1
y C(x)(x 1)2
过点(x0 , y0 )的那条积分曲线.
初值问题 3的几何意义:求微分方程 y f (x, y, y)
高等数学上册第七章教材
高等数学上册第七章教材高等数学是大学中理工科专业的一门重要课程，它涵盖了许多基础和高级的数学概念和理论。
在高等数学上册的第七章中，我们将讨论一些与多元函数相关的内容。
本章将介绍多元函数的概念、连续性、偏导数以及多元函数的极值问题。
通过学习本章的内容，我们将能够更深入地理解和应用多元函数的基本概念和性质。
一、多元函数概念在第七章中，我们将学习多元函数的定义和性质。
所谓多元函数，简而言之，就是具有多个自变量的函数。
我们将研究多元函数的定义域、值域以及图像等特征，同时了解多元函数与一元函数的差异。
二、多元函数的连续性连续性是多元函数中非常重要的一个性质。
在本章中，我们将讨论多元函数的连续性及其判定方法。
我们将学习如何通过函数的定义和极限的性质来确定一个多元函数是否连续，以及如何判断多元函数在某个点是否连续。
三、多元函数的偏导数偏导数是多元函数中的一个重要概念，它描述了函数在某个方向上的变化率。
在本章的第三节中，我们将学习多元函数的偏导数的定义和性质，以及如何计算偏导数。
我们将学习如何通过偏导数来判断多元函数的增减性，并掌握偏导数的链式法则和隐函数求导等重要技巧。
四、多元函数的极值问题极值问题是多元函数研究的核心内容之一。
在第七章的最后一节，我们将重点讨论多元函数的极值问题。
我们将学习如何通过求偏导数和二阶导数来判断多元函数的极值，并通过举例来加深对多元函数极值问题的理解。
通过学习高等数学上册第七章的教材，我们将更好地理解多元函数的概念及其基本性质。
同时，我们将能够掌握多元函数的连续性判定、偏导数的计算和应用、以及多元函数的极值问题的解决方法。
这些知识将为我们今后在数学和相关领域的研究和应用奠定坚实的基础。
高等数学作为一门重要的核心课程，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
通过仔细学习和理解高等数学上册第七章教材中的内容，我们将能够更好地应用数学方法解决实际问题，并为我们的学习和职业发展打下坚实的数学基础。
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
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是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a.
它的模 :
可见 1 1 a a a ;a ;
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运算律 : 结合律 (a ) (a )a
分配律 (a b )a b
则有单位 a向 1 a .量 因此 aaa
a
a
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
定理. 设 a 为非零向量 , 则
证: “ ”. 设 aa∥∥bb , 取 ＝±
(, a为,唯b 同一向实时数)
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
故0, 即.
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
若
称为向量 ab垂直，记
零向量与任何向量都垂直
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,
记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,
则称此 k 个向量共面 .
8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；
9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成____________；
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、要始使点，a 则b终点a 构 b成成_立 ___，_向__量__a__,_b_应__满__足_____；_____
高等数学第七章8
一、向量的概念
M2
向向量 量（表矢示量 ：a）或：既M有1M大2小或又粗有体方字向母的。量. M 1
数向学量上的以模M：1向为量起的点大，M小2，为记终|点a的|或有|向M线1M 段2来| 表示向量.
零单向 位量向：量：模模长长为为0的1的向向量量，，记记0a规0 定或其M方1M 向2是0 任意的。
5、 与 _____无 关 的 向 量 称 为 自 由 向 量 ；
6、 平 行 于 同 一 直 线 的 一 组 向 量 叫 做 _________ ， 三
个 或 三 个 以 上 平 行 于 同 一 平 面 的 一 组 向 量 叫 做 ___
_________；
7、两向量___________，我们称这两个向量相等；
ABc,BCa表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
谢
谢
观
12、要__使___a___b___a____b_成_；立，向量a,
b
应满足_______
___________ .
二 、 用 向 量 方 法 证 明 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
三、把ABC 的BC边五等分，设分点依次为 D1,D2,D3,D4 ，再把各分点与点A连接，试以
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例. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . DD
C
解: abAC baBD
2MA b M
2MB A a B
M A1(ab) MB1(ba)
2
2
MC1(ab) MD1(ba)
2
2
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三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 4
a5
a3 s
a2 a1
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2. 向量的减法
三角不等式 两向量同向或反向时等号成立。
a
ab baຫໍສະໝຸດ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三. 向量与数的乘法
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二、向量的线性运算（加减法） 1. 向量的加法
a 平行四边形法则: b ab
三角形法则: ab b a
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运算规律 :交换律 a b b a
a b ba ab b
(ab)c c a(bc) bc
ab
a
b a
结合律 (ab)ca(bc) a b c
自由向量：不考虑起点位置的向量.
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相等向量：a大小相等且方向b相 同的向量a .记作 ab
负向量：大a 小相等但方向相反的a向量.
两向量的夹角 :任取空间 一点O
称取 为向量值 ab0 的范 ， 夹角围ab
零向量与其它向量夹角规定为[0, π] 任意值
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思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC AD AMMD
1(ab). 2
DCAB AMMB
1(ab). 2
一、填空：
练习题
1、 向 量 是 _________的 量 ；
2、 向 量 的 ___________叫 做 向 量 的 模 ；
3、 ___________的 向 量 叫 做 单 位 向 量 ；
4、 _____________的 向 量 叫 做 零 向 量 ；
a∥b
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在数轴上
1
•
oi
x
•
x
p
∥ OP x OP xi
点 p 1 1向O 量 P x i 1 1实数x
(x称为点 p 的在轴上的坐标)
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC
D b
BM MD A
a
C
M
B
AD AMMD MCBMBMMC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
BC
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四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
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思考题
已试知 用平aA,行bC表四示边a,平形行ABB四CD边D的形b对四角边线上对应的向量.
它的模 :
可见 1 1 a a a ;a ;
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运算律 : 结合律 (a ) (a )a
分配律 (a b )a b
则有单位 a向 1 a .量 因此 aaa
a
a
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
定理. 设 a 为非零向量 , 则
证: “ ”. 设 aa∥∥bb , 取 ＝±
(, a为,唯b 同一向实时数)
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
故0, 即.
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
若
称为向量 ab垂直，记
零向量与任何向量都垂直
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,
记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,
则称此 k 个向量共面 .
8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；
9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成____________；
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、要始使点，a 则b终点a 构 b成成_立 ___，_向__量__a__,_b_应__满__足_____；_____
高等数学第七章8
一、向量的概念
M2
向向量 量（表矢示量 ：a）或：既M有1M大2小或又粗有体方字向母的。量. M 1
数向学量上的以模M：1向为量起的点大，M小2，为记终|点a的|或有|向M线1M 段2来| 表示向量.
零单向 位量向：量：模模长长为为0的1的向向量量，，记记0a规0 定或其M方1M 向2是0 任意的。
5、 与 _____无 关 的 向 量 称 为 自 由 向 量 ；
6、 平 行 于 同 一 直 线 的 一 组 向 量 叫 做 _________ ， 三
个 或 三 个 以 上 平 行 于 同 一 平 面 的 一 组 向 量 叫 做 ___
_________；
7、两向量___________，我们称这两个向量相等；
ABc,BCa表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
谢
谢
观
12、要__使___a___b___a____b_成_；立，向量a,
b
应满足_______
___________ .
二 、 用 向 量 方 法 证 明 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
三、把ABC 的BC边五等分，设分点依次为 D1,D2,D3,D4 ，再把各分点与点A连接，试以
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例. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . DD
C
解: abAC baBD
2MA b M
2MB A a B
M A1(ab) MB1(ba)
2
2
MC1(ab) MD1(ba)
2
2
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三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 4
a5
a3 s
a2 a1
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2. 向量的减法
三角不等式 两向量同向或反向时等号成立。
a
ab baຫໍສະໝຸດ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三. 向量与数的乘法
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二、向量的线性运算（加减法） 1. 向量的加法
a 平行四边形法则: b ab
三角形法则: ab b a
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运算规律 :交换律 a b b a
a b ba ab b
(ab)c c a(bc) bc
ab
a
b a
结合律 (ab)ca(bc) a b c
自由向量：不考虑起点位置的向量.
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相等向量：a大小相等且方向b相 同的向量a .记作 ab
负向量：大a 小相等但方向相反的a向量.
两向量的夹角 :任取空间 一点O
称取 为向量值 ab0 的范 ， 夹角围ab
零向量与其它向量夹角规定为[0, π] 任意值
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思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC AD AMMD
1(ab). 2
DCAB AMMB
1(ab). 2
一、填空：
练习题
1、 向 量 是 _________的 量 ；
2、 向 量 的 ___________叫 做 向 量 的 模 ；
3、 ___________的 向 量 叫 做 单 位 向 量 ；
4、 _____________的 向 量 叫 做 零 向 量 ；
a∥b
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在数轴上
1
•
oi
x
•
x
p
∥ OP x OP xi
点 p 1 1向O 量 P x i 1 1实数x
(x称为点 p 的在轴上的坐标)
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC
D b
BM MD A
a
C
M
B
AD AMMD MCBMBMMC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
BC
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四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
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思考题
已试知 用平aA,行bC表四示边a,平形行ABB四CD边D的形b对四角边线上对应的向量.