四川省泸州泸县第五中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 (word版含答案)

秘密★启用前2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试数学试题（理）考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题 60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U 是实数集R ,函数y =的定义域为()2,{|log 11}M N x x =-<,则()C U N M ⋂=A. {|21}x x -≤<B. {|22}x x -≤≤C. {|2}x x <D. {|12}x x <≤ 2．若复数z满足)3i z i = (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为iiC. 1D.3．设向量(),1a x = ，(1,b = ，且a b ⊥，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 56π D. 23π 4．“sin 2α=”是“cos2=0α”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．已知实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则实数k 的值为A. 6B. 5C. 4D. 36．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为a 的等腰三角形和边长为a 的正方形，则该几何体的体积为A. 313a B.316a C. 312a D. 323a 7．在数列{}n a 中, 1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭,则n a ＝ A.2ln n + B.()21ln n n +- C.2ln n n + D.1ln n n ++ 8．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 4παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α等于 A.1516 B.78C.16D.1532 9．()6232x x ++展开式中x 的系数为A. 92B. 576C. 192D. 38410．已知正四棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是83 C.92 D.9411．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为6π的直线，交抛物线于A B 、两点，则AF BF=A.7+B.7-C.7±D.7±12．已知函数()22,03,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B.13,24⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,13⎛⎫⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 90分）试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上，答在试卷上概不给分. 二、填空题（本大题共4个小题，5分每题，共20分） 13．计算：lg4lg4000-=___________14．从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______.15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，12)(2+-=x x x f ，不等式)2()3(2x f x f >-的解集用区间表示为__________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y m n-= (0,0)m n >>有相同的焦点(),0c -和(),0c ,若c 是a 、m 的等比中项, 2n 是22m 与2c 的等差中项,则椭圆的离心率是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是,,a b c ,()cos 2cos .C b A =- （I ）求角A 的大小; （II ）求25πcos 2sin 22C B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围.18．（本小题满分12分）炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炉料溶化完毕到出钢的时间)的一组数据，如表所示：（I ）y 与x 是否具有线性相关关系？（II ）如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？参考公式：r ＝nxy()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，线性回归方程ˆˆˆybx a =+19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，0=60ABC ∠，E 为AB 的中点， PA ABCD ⊥平面，PC 与平面PAD （I ）在棱PD 上求一点F ，使//AF 平面PEC ； （II ）求二面角D PE A --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，且椭圆的离心率为12.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若M 为椭圆C 的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于M ）且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.21．（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x x x ax =+-，在1x x =和2x x =处有两个极值点，其中12x x <， R a ∈. （I ）当3a =时，求函数()f x 的极值；（II ）若21e x x ≥（e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为2x cos y θθ==⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过极坐标系内的两点4A π⎫⎪⎭和3,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （I ）写出曲线C 的普通方程，并求直线l 的斜率； （II ）设直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求BP BQ ⋅.23．（本小题满分10分）已知函数()22f x x x a =-++， a R ∈. （I ）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（II ）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求a 的取值范围.2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试数学（理）参考答案一．选择题1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．B 10．B 11．C 12．A 二．填空题13． 3 14．225 15．)3,1(- 16．12三．解答题17．解：(1)由正弦定理,cos 2sin cos cos ,A C B A C A =()2sin cos A C B A +=,2sin cos .B B A =∵B 为ΔABC 的内角∴sin 0B ≠∴cos A =∵A 为ΔABC 的内角∴π6A =. (2) 25πcos 2sin 22CB ⎛⎫--⎪⎝⎭= sin cos 1B C +-= 5πsin cos 16B B ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭= sin B +5π5πcoscos sin sin 166B B +-=3sin 12B B -π 1.6B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由π6A =可知, 5π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ2π,663B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, π1sin ,1,62B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦π116B ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25πcos 2sin 22C B ⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围为1.⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．解：(1)根据题意列表并计算如表：＝159.8，＝172，＝265448，＝ i于是r ＝≈0.9906＞0.75.∴y 与x 具有线性相关关系.(2)利用(1)中所求的数据可以求得，的值为＝≈1.267，＝－＝－30.47，∴所求的回归直线方程＝1.267x －30.47. (3)当x ＝160时，＝1.267×160－30.47≈172(min )， 即大约需要冶炼172分钟.19．解:(1)以BD 为x 轴， CA 为y 轴， AC 与BD 的交点为O ，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系.其中： ()0,1,0A ， ()B ， ()0,1,0C -， )D， ()0,1,P m ，1,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()=0,2,PC m --.设平面PAD 的法向量()=,,n x y z， ()=0,0,AP m ， )=1,0AD - .所以0, 0,mz y =-=所以)=n所以cos ,PC n因此2m =，故()0,1,2P设=PF PD λ ， ()=0,0,2AP，)=PD ，则：)==,,22AF AP PF λλ+--.设平面PEC 的法向量为()=,,m x y z，1=,22EP ⎫⎪⎪⎝⎭， ()=0-2-2PC ，，所以120,2220x y z y z ++=--=故()=m ，. =0m AF ⋅，所以322=0λλλ-++-，因此1=2λ，所以F 为PD 中点.(2)平面PEA的法向量)1=3,0n - ，平面PED的法向量)2=3n -，12cos ,n n由二面角D PE A --为锐二面角，因此，二面角D PE A --20．解：（1）可知离心率12c e a ==，故有2c a =， 222222344a ab ac a =-=-=又有点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，代入得221914a b +=，解得2a =，b =故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为()0y kx m k =+≠， ()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=.∴122834kmx x k -+=+， 212241234m x x k -=+.∵直线MA 与MB 斜率之积为14. 而点()2,0M ，∴12121224y y x x ⋅=--. ∴()()()()1212422kx m kx m x x ++=--.化简得()()()2212124142440k x x km x x m -++++-=，∴()()22222412841424403434m km k km m k k---⋅++⋅+-=++， 化简得22280m km k --=，解得4m k =或2m k =-， 当4m k =时，直线AB 的方程为直线MA 与MB 斜率之积为()144y k x =+，过定点()4,0-. 4m k =代入判别式大于零中，解得()11022k k -<<≠. 当2m k =-时，直线AB 的方程为()2y k x =-，过定点()2,0，不符合题意. 故直线AB 过定点()4,0-.21．解：（1）由()21ln 32f x x x x =+-， ()0x >，则()231x x f x x-+'=，当2310x x -+>时，得x >或0x <<；当2310x x -+<时，得x <<. 即函数()f x在⎛⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x的极大值为ln f =⎝⎭， ()f x的极小值为f =⎝⎭.（2）()()22111ln 2x f x f x x -=+ ()()222121x x a x x ---， 又()1f x x a x +'=-= ()210x ax x x-+>，所以12,x x 是方程210x ax -+=的两个实根， 由韦达定理得： 12x x a +=， 121x x =，∴()()22111ln 2x f x f x x -=+ ()()222121x x a x x --- ()2222111ln 2x x x x =--= ()2222111211ln 2x x x x x x --= 2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设()21e x t t x =≥，令()11ln ,e 2g t t t t t ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭， ()()22211111022t g t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'. ∴()g t 在[)e,+∞上是减函数， ()()e 1e 122e g t g ≤=-+， 故()()21f x f x -的最大值为e 1122e-+. 22．解：（1）由题意得曲线C 的普通方程为，∵()()1,1,0,3A B ，∴直线l 的斜率为2-. （2）易知直线l的参数方程为 3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 代入22143x y +=，得2192405t +=，设方程2192405t +=的两个根为12,t t ， 所以1212019BP BQ t t ⋅==. 23．解：（1）当1a =时， ()221f x x x =-++．由()5f x ≥得2215x x -++≥． 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以x ≠∅； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 故原不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或． （2）()()222224242244f x x x x a x x x a x a +-=-++=-++≥+--=+， 原命题等价于()()min 23f x x +-<， 43a +<， 71a ∴-<<-．。