第十一章 网络函数与频率响应
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电路的频率响应—网络函数定义和分类
串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利 用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等 许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危 害。
11-2 串联谐振电路
i
+
+
R u_ R
uL
+
u
_
L
+
_
C
u
_
C
（1） 谐振条件
可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相 位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率 下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。
谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和
总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电 源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。
例试求图 (a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
U1 / I1 和转移阻抗 U2 / I1 。
解：首先画出网络的相量模型，如图 (b)所示。用阻抗 串并联公式求得驱动点阻抗
U I 11 j1CR2R Rj11C1jR 2C 2C22Rj23C 2RC jC
为求转移阻抗 U2 / I1， 可外加电流源 I1 ，用分流公
有U ： LUCQU
所以串联谐振又称为电压谐振。
谐振时: UL与UC 相互抵消，但其本
身不为零，而是电源电压的Q倍。
ULI0XLR 0LUQ U
UL
相量图：
1
UC
I0XC
0C
UQU
R
UR
U
如Q=100,U=220V,则在谐振时
I
ULUCQU 22000V
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利 用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等 许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危 害。
11-2 串联谐振电路
i
+
+
R u_ R
uL
+
u
_
L
+
_
C
u
_
C
（1） 谐振条件
可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相 位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率 下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。
谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和
总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电 源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。
例试求图 (a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
U1 / I1 和转移阻抗 U2 / I1 。
解：首先画出网络的相量模型，如图 (b)所示。用阻抗 串并联公式求得驱动点阻抗
U I 11 j1CR2R Rj11C1jR 2C 2C22Rj23C 2RC jC
为求转移阻抗 U2 / I1， 可外加电流源 I1 ，用分流公
有U ： LUCQU
所以串联谐振又称为电压谐振。
谐振时: UL与UC 相互抵消，但其本
身不为零，而是电源电压的Q倍。
ULI0XLR 0LUQ U
UL
相量图：
1
UC
I0XC
0C
UQU
R
UR
U
如Q=100,U=220V,则在谐振时
I
ULUCQU 22000V
网络函数的频率特性
第20讲
重点：
网络函数和频率特性
1、网络函数的定义和分类； 2、网络函数的计算方法； 3、网络函数的频率特性；
4、各种滤波器。
10.1 网络函数
一、网络函数 1、网络函数的定义和分类 定义： 动态电路在频率为w的单一正弦激励下，正弦稳 态响应（输出）相量与激励（输入）相量之比，称为 正弦稳态的网络函数。记为H（jw），即
根据以上分析可知，RC高通电路的对数幅频特性 曲线，可近似用两条直线构成的折线来表示。其中一 条直线是，当f＞fL时，用零分贝线即横坐标轴表示； 当f＜fL时，用斜率等于20 dB/十倍频的一条直线表 示，即每当频率增加十倍，对数幅频特性的纵坐标增 加20dB。两条直线交于横坐标上f= fL的一点。利用 折线近似方法画出的对数幅频特性如下图（ b）中的 虚线所示。
二、波特图
定义： 为了在同一坐标系中表示如此宽的变化范围，在 画频率特性曲线时常采用对数坐标，这样画出的图象 称为对数频率特性，又称波特图。 画法： 下面以最简单的无源单级RC低通和高通电路为例， 说明波特图的画法。 首先，写出低通滤波器的幅频函数式和相频函数 式，如前面所列。
其次，根据低通滤波器的幅频函数式写出对数幅 频特性为
结论：
（1）电路的截止频率决定于电容所在回路的时间 常数τ，高通电路的下限截止频率为 f L wL 1 1 ，
2π
低通电路的上限截止频率为
fH
wH 1 1 2 π 2 π 2 π RC
2 π
2 π RC
。
（2）当信号源等于下限频率fL或上限频率fH时， 放大电路的增益下降3 dB，且产生+45o或-45o的相移。 （3）近似分析中，可以用折线化的近似波特图表 示放大电路的频率特性。
重点：
网络函数和频率特性
1、网络函数的定义和分类； 2、网络函数的计算方法； 3、网络函数的频率特性；
4、各种滤波器。
10.1 网络函数
一、网络函数 1、网络函数的定义和分类 定义： 动态电路在频率为w的单一正弦激励下，正弦稳 态响应（输出）相量与激励（输入）相量之比，称为 正弦稳态的网络函数。记为H（jw），即
根据以上分析可知，RC高通电路的对数幅频特性 曲线，可近似用两条直线构成的折线来表示。其中一 条直线是，当f＞fL时，用零分贝线即横坐标轴表示； 当f＜fL时，用斜率等于20 dB/十倍频的一条直线表 示，即每当频率增加十倍，对数幅频特性的纵坐标增 加20dB。两条直线交于横坐标上f= fL的一点。利用 折线近似方法画出的对数幅频特性如下图（ b）中的 虚线所示。
二、波特图
定义： 为了在同一坐标系中表示如此宽的变化范围，在 画频率特性曲线时常采用对数坐标，这样画出的图象 称为对数频率特性，又称波特图。 画法： 下面以最简单的无源单级RC低通和高通电路为例， 说明波特图的画法。 首先，写出低通滤波器的幅频函数式和相频函数 式，如前面所列。
其次，根据低通滤波器的幅频函数式写出对数幅 频特性为
结论：
（1）电路的截止频率决定于电容所在回路的时间 常数τ，高通电路的下限截止频率为 f L wL 1 1 ，
2π
低通电路的上限截止频率为
fH
wH 1 1 2 π 2 π 2 π RC
2 π
2 π RC
。
（2）当信号源等于下限频率fL或上限频率fH时， 放大电路的增益下降3 dB，且产生+45o或-45o的相移。 （3）近似分析中，可以用折线化的近似波特图表 示放大电路的频率特性。
高等教育出版社第六版《电路》第011章 电路的频率响应.ppt
sin2 (0t)
( Q 2
1 R2
L) C
CQ2US 2
1 2
CQ
2U
2 Sm
=
常量
1 2
L
I
2
m
10
§11-3 RLC串联电路的频率响应
一、电路的频率响应：
本节讨论
U U
R S
( (
j) j)
、 UU
C S
( (
j) j)
和
U L ( j) US ( j)
j
+ _
U S
I1
j
+ U L _ I2
2Ω I2
2Ω
{ (2 j)I1 2I2 U S 2I1 (4 j)I2 0
I2
(2
2U S
j)(4
j)
4
4
2U S
2
j6
H1
(
j)
I2 U S
2
4 2 j6
0
1 1 2
0
但作为一个放大器，如音频放大器就不好了，会产生严
重的线性失真。 这就要求通频带越宽越好。
15
2、H
C
(
j
)
U C U S
( (
j)、H j)
L
(
j
)
U U
L S
( (
j j
) )
的频率特性 ：
H
C
(
j
)
U C U S
( (
j) j)
a c
12.4 网络函数与频率响应
1
O
θ arctanωRC
模M和幅角 随频率 的变化
第4页
幅频特性
1 RC H ( jω)
ω2 1 RC 2
H (0) 1
|H(j)|
1
低通特性
H () 0
o
第5页
相频特性
θ(
jω)
arctan
1
ω RC
arctan
ωRC
θ(0) 0
π θ()
2
|(j)|
o
-/2
第6页
若以电压uR为输出时电路的频率响应
12.4 网络函数与频率响应
令网络函数H(s)中的复频率s =j，分析H(j)随变化的特性，根据
网络函数零极点的分布可以确定正弦稳态电路的频率响应。
对于某一固定的角频率
m
( jω zi )
H ( jω) H0
i1 n
H ( jω) ejφ
( jω pj)
j 1
第1页
幅频特性
m
( j zi )
H (s) sC RC
1
1
R
s
sC
RC
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第3页
1
H (s) RC 1
s RC
令 s jω
1 一个极点 p1
RC
j M2 j2
1 RC 1 RC
H ( jω)
jω 1 RC Mejθ
M ω2 1 RC 2
M1 j1
-1/RC
|HR (j)|
1 0.707
高通特性
o 1/RC
相频特性
π
θR ( jω) 2 arctanωRC
第十一章 网络函数与频率响应
(ω
)
tg
1
L
1
C
tg 1
XL
XC
tg 1
X
幅频特性
R
R
R
|Z()|
|Z()|
XL() X()
()
/2
相频特性
R
0
0
XC()
0
0
–/2
2. 电流谐振曲线
谐振曲线：电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I(ω)
U
R2
(L
1
C
)2
I( )
定量分析：
图（a）电路：
Z(ω) jL3
jL1
(
1
jC
2
)
jL1
1
jC 2
j L3
L1 ω2 L1C 2
1
j
ω3
L1
L3C2 ω(L1 ω2 L1C2 1
L3 )
当Z()=，即分母为零
ω12 L1C 2 1 0
ω1
1 L1C2
Y
jC
1
R jL
R2
R
(L)2
j(C
R2
L (L)2
)
G jB
谐振时 B=0，即
C L 0 R2 (L)2
求得
ω0
1 ( R)2 LC L
由电路参数决定。
当 1 ( R )2 , 即 R L时, 改变频率可能发生谐振。
LC L
网络函数的极点和频率响应
网络函数的极点和频 率响应
目 录
• 网络函数概述 • 网络函数的极点 • 网络函数的频率响应 • 网络函数的稳定性分析 • 网络函数极点与频率响应的关系
01
网络函数概述
定义与性质
定义
网络函数是描述网络输入与输出之间 关系的数学函数，通常用于描述线性 时不变系统的行为。
性质
网络函数具有线性、时不变性和因果 性等基本性质，这些性质决定了系统 的动态行为。
极点的位置和数量影响系统的频 率响应特性，决定了系统的带宽 和阻尼特性。
极点的位置和分布影响系统的动 态性能，如调节时间和超调量等。
03
网络函数的频率响应
频率响应的定义与性质
频率响应
网络函数在频率域的表示，描述了网络在不同频率下 的输出与输入的比值特性。
线性时不变性
频率响应是网络对不同频率信号的响应，具有线性时 不变性。
复数表示
频率响应通常以复数形式表示，其实部和虚部分别代 表幅度和相位信息。
频率响应的计算方法
傅里叶变换法
将网络函数在时间域表示为信号的频谱函数，通过傅里叶变换得 到频率响应。
网络分析法
利用网络元件的频率响应特性，通过电路分析方法计算整个网络 的频率响应。
实验法
通过测量网络对不同频率信号的响应，得到频率响应数据。
02
频率响应：网络函数对正弦波输 入的频率依赖性，描述了系统在 不同频率下的输出与输入关系。
极点位置影响频率响应的形状， 极点的位置和数量决定了系统在 不同频率下的行为。
03
极点靠近虚轴可能导致系统不稳 定，而远离虚轴的极点对频率响
应的影响较小。
04
利用频率响应改善网络性能
01
通过调整网络函数的极点和零点位置，可以改变频率响应的形 状，从而优化网络性能。
目 录
• 网络函数概述 • 网络函数的极点 • 网络函数的频率响应 • 网络函数的稳定性分析 • 网络函数极点与频率响应的关系
01
网络函数概述
定义与性质
定义
网络函数是描述网络输入与输出之间 关系的数学函数，通常用于描述线性 时不变系统的行为。
性质
网络函数具有线性、时不变性和因果 性等基本性质，这些性质决定了系统 的动态行为。
极点的位置和数量影响系统的频 率响应特性，决定了系统的带宽 和阻尼特性。
极点的位置和分布影响系统的动 态性能，如调节时间和超调量等。
03
网络函数的频率响应
频率响应的定义与性质
频率响应
网络函数在频率域的表示，描述了网络在不同频率下 的输出与输入的比值特性。
线性时不变性
频率响应是网络对不同频率信号的响应，具有线性时 不变性。
复数表示
频率响应通常以复数形式表示，其实部和虚部分别代 表幅度和相位信息。
频率响应的计算方法
傅里叶变换法
将网络函数在时间域表示为信号的频谱函数，通过傅里叶变换得 到频率响应。
网络分析法
利用网络元件的频率响应特性，通过电路分析方法计算整个网络 的频率响应。
实验法
通过测量网络对不同频率信号的响应，得到频率响应数据。
02
频率响应：网络函数对正弦波输 入的频率依赖性，描述了系统在 不同频率下的输出与输入关系。
极点位置影响频率响应的形状， 极点的位置和数量决定了系统在 不同频率下的行为。
03
极点靠近虚轴可能导致系统不稳 定，而远离虚轴的极点对频率响
应的影响较小。
04
利用频率响应改善网络性能
01
通过调整网络函数的极点和零点位置，可以改变频率响应的形 状，从而优化网络性能。
第11章电路的频率响应
ω0C
R2
ω0 L (ω0 L)2
0
求得
ω0
1 ( R)2 LC L
由电路参数决定。
在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振， 要由下列条件决定：
当 1 ( R )2 , 即 R L时, 可以发生谐振
LC L
C
当
R
L时, 不会发生谐振, C
因ω0是虚数.
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
ω0
I (ω0 ) I 0
I(ω) U / | Z | I (ω0 ) U / R
R
R2 (ω L 1 )2
ωC
1 1 (ωL 1 )2
R ωRC
1
1
1 (ω0 L ω 1 ω0 )2
1 (Q ω Q ω0 )2
R ω0 ω0 RC ω
ω0
ω
I (η)
I0
1 1 Q 2 (η 1 )2
R
RI
2 0
P
P
谐 振 时 电 感(或 电 容)中 无 功 功 率 的 绝 对 值
谐振时电阻的有功功率
注意
电源不向电路输送无功。电感中的无功 与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此 进行能量交换。
(c) 能量
设 u U m0 sin t
则
i
Um0 R
sin
t
I m0
sin
t
uC
U Cm0
sin(
ω2
L1 L3 L1 L3C 2
(串 联 谐 振)
当Y( )=0，即分母为零，有：
ω12 L1C 2 1 0
1 ω1 L1C2
(并 联 谐 振)
可见， 1< 2。
电路设计--网络函数
分类：
1.若输入和输出属于同一端口， 称为驱动点函数
/I 称为驱动点阻抗。 /I 和U U 2 2 1 1 /U 称为驱动点导纳。 /U 和I I 2 2 1 1
图 11-1
2.若输入和输出属于不同端口时，称为转移函数。
/I 称为转移阻抗。 /I 和U U 1 2 2 1
第十一章
电路的频率响应
* 为什么要研究电路的频率响应特性
11. 1 网络函数
一、定义网络函数： ( jw ) R H ( j ) k Esj ( jw )
( jw) R 其中： 为输出端口k的响应； k
( jw) 为输入端口j的输入变量。 E sj
H为 的函数,反映了网络的频率特性,它由其内 部结构和元件参数决定. H ( j ) | H ( j ) | e j ( ) 其中： | H ( j ) | ——幅频特性 ( ) ——相频特性
U 1 I 1 1 R R 1 R 2 2C 2 j3RC j C 1 2 2 1 jC j C 2 R C 2R jC
/I ， 为求转移阻抗 U 2 1
，用分流公 可外加电流源 I 1 的表达式 式先求出 U
/U 称为转移导纳。 /U 和I I 1 2 2 1 /U 和 U /U 称为转移电压比。 U 2 1 1 2
/I 和I /I 称为转移电流比。 I 2 1 1 2
二、网络函数的计算方法
输出相量 H ( j ) 输入相量
网络函数不仅与电路的结构、参数值有关，还与输入、
输出变量的类型以及端口对的相对位置有关。
网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。
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电台2 640 1000 1660
– 660 I1=0.015
电台3 1026 1611 1034
577 I2=0.017
I(f ) I0
I1 3.0% I0
I2
I2 3.4%
I1
I0
0 640 820 1100 f / kHz
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，形状愈尖选择性愈好。 若LC不变，R大，曲线平坦，选择性差。
t
Im
sin0
t
uC
Im
0C
sin(0t
90)
L C
Im
cos
0t
U Cm
sin(0t
90)
wC
1 2
CuC2
1 2
LI
2 m
cos 2 0t
电场能量
wL
1 2
Li 2
1 2
LI
2 m
sin2
0t
磁场能量
WLm=WCm
w总
wL
wC
1 2
LI
2 m
（b） 通用谐振曲线
ω ω η, I(ω) I(ω)
ω0
I(ω0 )
I(ω) U / | Z |
I(ω0 ) U / R
R
R2 (L 1 )2
C
1
1 (ω0 L ω 1 ω0 )2
R ω0 ω0 RC ω
1
1 (L 1 )2 R RC
1
（并联谐振）
当Z()=0，即分子为零
ω23 L1L3C2 ω2 ( L1 L3 ) 0 可求得
ω2
L1 L3 L1 L3C 2
（串联谐振）
（1<2）
图（b）电路：
Z(ω1 )
1
jC
jL1
1
jC 2
jL1
1
jC 2
1
jC 3
jL1
1 ω2 L1C 2
指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：
可见
Ie tej(t ) Ie t cos(t ) Ie t sin(t )
i Im[Ie tej(t ) ] Im[Iej e( ] jt )
R
0
0
3. 电流I 达到最大值I0=U/R（U一定）。 4. 电压 UR U, UL UC 0
当0L=1/(0C)>>R时， UL= UC >>U
I R
+
U
+ U R
_
+ U_L
jL
_
UC+_
1 jω C
串联谐振又称电压谐振。
UL
UR U
I
UC
旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。
五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1. 阻抗的频率特性（frequency characteristic）
Z
R
j(ωL
1 ωC
)
|
Z
(ω)
|
φ
(ω)
| Z(ω) |
R2
(L
1
C
)2
R2 (X L XC )2
R2 X 2
Z
R
j(L
1
C
)
R
j( X
L
XC
)
|
Z
|
U _
j L
当L 1 , 感性
1
C
jω C
当L 1 , 即 容性
串联谐振（Series Resonance）
C
ω0
根据 1 谐振的谐定振义角频ωL率（1rCeson0ant即anguωlLarfre1Cquency）
1 2
CU
2 Cm
即:能量交换只在L，C之间进行 ，与电源间无能量交换。
wL
wC
w总
i
uC
四、特性阻抗和品质因数
1. 特性阻抗（characteristic impedance）
0L
1
0C
L C
仅由电路参数决定。
2. 品质因数（quality factor）Q
单位：
Q ω0 L 1 1 L
(ω
)
tg
1
L
1
C
tg 1
XL
XC
tg 1
X
幅频特性
R
R
R
|Z()|
|Z()|
XL() X()
()
/2
相频特性
R
0
0
XC()
0
0
–/2
2. 电流谐振曲线
谐振曲线：电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I(ω)
U
R2
(L
1
C
)2
I( )
U/R1
U/R2
0
0
3. 选择性与通用谐振曲线 （a）选择性（selectivity）
若RLC串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时，
则接近谐振频率0 的电流将可能大于其它偏离谐振频率的
电流而被选择出来，这种性能在无线电技术中称为“选择 性”。
I()
0
0
例
R
+
u1_
+ u2
_
+ u3
第11章 电路的频率特性
重点
11. 1 串联电路的谐振 11. 2 并联电路的谐振 11. 3 串并联电路的谐振 11. 4 复频率和相量法的推广 11. 5 网络函数 11. 6 滤波器的概念 11. 7 无源滤波器 11. 8 有源滤波器
本章重点
• 电路发生谐振的条件 • 谐振电路的特点 • 谐振频率的计算 • 相量法的拓广 • 网络函数 • 频率特性 • 滤波器的概念
C
当 R L时, 不可能发生谐振。 C
当电路发生谐振时，电路的入端阻抗为
Z(ω0 )
R2
(ω0 L)2 R
L RC
返回目录
11.3 串并联电路的谐振
由纯电感和电容所构成的串并联电路
L3
C3
L1
C2
L1
C2
（a） 定性分析
（b）
电路既可以发生串联谐振（Z=0），又可以发生并联谐 振（Z=）。有两个谐振点。
返回目录
11.2 并联电路的谐振
一、简单 G、C、L 并联电路
+
并联谐振
IS
U G C L （Parallel Resonance）
_
对偶：
R L C 串联
Z
R
j(L
1
C
)
ω0
1 LC
G C L 并联
Y G j(C 1L)
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z|
R
IL(0) =IC(0) =QIS Q ω0C 1 1 C
G ω0GL G L
Q推导过程如下：
由定义得
Q
2π
1 2
CU
2 Cm
T GU 2
2πf0
C G
ω0C G
二 、电感线圈与电容并联
I
+ R IL
IC
U
jL
1
jC
-
IC
I
U
IL
谐振时的电压、电流相量图
j
1 ω2 L1 (C2 C3 )
C3 (1 ω2 L1C2 )
当Z()=，即分母为零 C3 (1 ω2 L1C2 ) 0
ω1
1 L1C 2
并联谐振
当Z( )=0，即分子为零
1 ω2 L1(C2 C3 ) 0
ω2
1 L1 (C 2 C 3 )
串联谐振
定量分析：
图（a）电路：
Z(ω) jL3
jL1
(
1
jC
2
)
jL1
1
jC 2
j L3
L1 ω2 L1C 2
1
j
ω3
L1
L3C2 ω(L1 ω2 L1C2 1
L3 )
当Z()=，即分母为零
ω12 L1C 2 1 0
ω1
1 L1C2
+
u1(t)
u2(t)
_
解 下图LC滤波网络可满足设计要求
C3
L1
+ u1(t)
_
+ C2 R u2(t)
_
取 ω2
1 ，使L1和C2发生并联谐振，此时L1和C2 L1C 2
并联支路阻抗为，相当于开路，负载端没有2电压分量。
取 ω1
1
电路发生串联谐振，虚框内呈短
L1 (C2 C3 )
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
令＝ / 0 ，可得
I(η )
I0
1 1 Q 2 (η 1 )2