频率响应函数估计方法综述
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第 27卷第 5期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
Vol. 27 No. 5 2008
频率响应函数估计方法综述
段虎明 , 秦树人 , 李 宁
(重庆大学 测试中心 ,重庆 400044)
摘 要 : 回顾了近年来以线性系统为基础模型的频率响应函数估计方法的理论研究和发展现状 。根据干扰误差
| GYZ ( f) |2 ,κ( f)为测量信号的信噪比 。该文献还证明
了 HV 估计实际上就是系统频响函数的最大似然估计 ,
并且分析了 HV 估计方差的渐进表达和其频谱的置信
区间 。
1. 6 Hc 估计 [ 11 - 12 ] 频响函数估计存在偏差的原因是公式中有噪声自
谱项的存在 , 因此如何避免算式中出现噪声自谱项是 获得频响函数无偏估计的关键 。围绕这一思想 , 有人
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (编号 50605065 )重庆大学研究生 科技创新基金 ,项目编号 : 200701Y1B01000196 收稿日期 : 2007 - 07 - 27 修改稿收到日期 : 2007 - 09 - 10 第一作者 段虎明 男 ,博士生 , 1979年 1月生
谱 , Z ( f)为系统输入端的测量信号的频谱 , N ( f)为系 统输出端的随机噪声的频谱 , Y ( f)为系统输出端的测 量信号的频谱 。这样系统的频响函数就可以表示为
(4)
其中 : GMM ( f)为实测输入噪声的自谱均值 ; GFF ( f)为系
统输入信号的自谱均值 。可见 H1 估计的误差主要来
自于系统输入端的噪声影响 。
第 5期 段虎明等 : 频率响应函数估计方法综述
49
112 H2 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示系统 ,同理可定义 H2 估计为 :
计 ,而且易证明 H3 Ε H4 ,这样可得 H1 ～ H4 估计的关系
为 H1 Φ H4 Φ H3 Φ H2 。
1.
4 Ha rithm 和
估计 Hgeom
[1 - 2]
针对图 1系统输入输出均包含有加性噪声干扰的
情况 ,人们提出了很多平均方案来减小误差 , 包括很多
的非线性平均技术 。在文献 [ 1 ]中作者就针对多次系
展开 ,同样可以证明测量次数足够多时 , Hgeom估计为无 偏估计 。
在文献 [ 2 ]中 ,除了进一步讨论 Harithm 估计和 Hgeom 估计外 ,还定义谐波平均 Hhar和指数平均 Hp , 并且讨论 和比较了各种方法的优劣 。在文献 [ 9 ]中 , 作者进一步
将文献 [ 8 ]中频响函数估计的各种非线性平均技术从 单输入单输出系统 ( Single Input and Single Output, SI2
H1 ( f) = GZY ( f) /GZZ ( f)
(3)
其中 : GZY ( f)为实测输入信号和实测输出信号的互谱
均值 ; GZZ ( f)为实测输入信号的自谱均值 。
由公式 ( 3 ) 可 得 H1 估 计 与 系 统 真 实 频 响 函 数
H ( f)的关系为
H1 ( f) = H ( f) / [ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ]
(2)
然而实测的输入输出信号中总是存在各种干扰噪声信
号 ,因此频响函数一般不能精确计算 。为了减小误差 , 提高频响函数的测量精度 , 学者们提出了一系列的频 响函数估计方法 ,下面对它们作简要介绍 。 111 H1 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示的系统 , 按照最小二乘估计原则可定 义 H1 估计为 :
1 系统 中 加 性 随 机 噪 声 干 扰 为 主 要 误 差 的 频 响函数估计方法
这类型频率响应函数估计方法的计算相对比较简 单 ,很早就有学者研究 [ 1, 2 ] ,所以这类型方法较多 ,且都 较为成熟 ,因而在各种领域的实际工程中得到了广泛 的应用 。其基本模型如图 1所示 :
在图 1中 , F ( f)为系统输入信号的频谱 ,即输入信 号的 Fourier变换 , H ( f)为待估计的系统 , X ( f)为系统 输出信号的频谱 , M ( f)为系统输入端的随机噪声的频
频响函数的 H3 估计定义为
H3 ( f)
=
1 2
[ H1 ( f)
+ H2 ( f)
]
(7)
频响函数的 H4 估计定义为
H4 ( f) = H1 ( f) H2 ( f)
(8)
将式 ( 4)与式 ( 6)代入式 ( 7)和式 ( 8)可得 H3 、H4 与系
统真实频响函数 H的关系为
H3 ( f)
见参考文献 [ 1 ] ) :
E [ Hk ( f) ]
=
lim
n→∞
Ha
rithm
( f)
= H ( f)
(14)
即当测量次数达到一定程度时可以认为 Harithm 估计为
无偏估计 。同理对于 Hgeom估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1,
|N ( f) / F ( f) | < 1时 ,也可以将式 ( 13)进行 Taylo r级数
SO )推广到多输入多输出系统 (M ultip le Input and M ul2
tip le Output, M IMO ) 。
1.
5 H
估计 [ 10 ]
V
针对图 1 系统输入输出均包含由加性噪声的情
况 ,最简单成熟的方法是 H1 估计和 H2 估计 , 但它们都 是有偏估计 ,很多学者对之提出了改进的估计算法 , 在
在一般的实际测量中 , 输入输出噪声是同时存在 的 ,即图 1所示系统模型 ,考虑到 H1 估计和 H2 估计分 别为欠估计和过估计 ,为了减小误差影响 , 自然有人提 出 H1 估计和 H2 估计的折衷算法 , 即这里要讲到的 H3 估计和 H4 估计 ,他们是 H1 估计和 H2 估计的算术平均 值和几何平均值 。
(6)
其中 : GNN ( f)为实测输出噪声的自谱均值 ; GXX ( f)为系
统输出信号的自谱均值 。可见 H2 估计的误差主要来
自于系统输出端的噪声影响 。
H1 估计不能消除输入噪声的影响 , H2 估计不能 消除输出噪声的影响 , 因此 H1 估计和 H2 估计都是有 偏估计 , 其中 H1 估计比真值 H 偏小 , 为欠估计 , 而 H2 估计比真值 H偏大 ,为过估计 ,即 H1 Φ H Φ H2 。 1. 3 H3 和 H4 估计 [2 - 3 ]
出了一种频响函数的估计方法 ( Hn 估计 )可以在不引 入第 3个测试信号的情况下获得系统频响函数的无偏 估计 。
Hn 估计的基本思想是在对图 1所示的系统 , 使用 相同的激励信号进行 n 次测量 , 对应第 i次测量的数 据有
Yi ( f) - N i ( f) = H ( f) [ Zi ( f) - M i ( f) ] ( 17) 其中 , Zi ( f) =M i ( f) + F ( f) , Yi ( f) = N i ( f) + X ( f) , i = 1, 2, …, n - 1。对式 ( 17 )两端同时乘以 Zj ( f) 的共轭 ZHj ( f) , j = i + 1, …, n。再取期望值并除以分析时间 T 乘以 2可得
在实际工程中 ,对一个系统进行分析和设计时 ,首 先要有一个可以描述被控制过程中动态特性的数学模 型 。这类数学模型通常是通过对实验实测数据的分析 来确定模型的结构和参数 。这种实验建模的方法就是 系统辨识 ,例如对频率响应函数进行的测量和估计 。
频 率 响 应 函 数 (频 响 函 数 、Frequency Response Function、FRF、传递函数 、Transfer Function)反映了系统 对不同输入信号的传递能力 ,是描述动态系统特征的 一种非参数估计模型 。对任何线性系统来说 ,都可以 应用频率响应函数在频域中直接分析系统的稳定性 , 对系统进行综合设计和校正 。它为应用控制理论分析 和工程实际中复杂问题的求解提供了强有力的工具 。
参考文献 [ 10 ]中 ,作者讨论了 HV 估计 ,其定义如下 :
HV ( f)
= GYY ( f)
- κ( f) GZZ ( f) 2GYZ ( f)
+
Ψ ( f)
( 15 )
其中 , Ψ ( f ) = [ GZZ ( f ) κ ( f ) - GYY ( f ) ]2 + 4κ ( f )
=
1 2
H
( f)
{
[1
+ GNN
( f)
/ GX X
( f)
]+
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] - 1 }
(9)
H4 ( f) = H ( f) { [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ] +
1
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] } 2
(9)
根据以上两式可知 , H3 估计和 H4 估计也都是有偏估
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
提出通过引入第 3 个信号来消除噪声自谱项 , 以获得
频响函数无偏估计 。
图 2 估计噪声模型
50
振 动 与 冲 击 2008年第 27卷
如图 2所示 , 试验装置由激振系统 (信号发生器 、 功率放大器 、激振器和力传感器组成 )和受试系统两部 分组成 。如果 3 个实测信号中的噪声之间互不相关 , 而且每个实测信号中的噪声与系统的实际输入输出之 间也互不相关 ,则系统频响函数的无偏估计为
H2 ( f) = GYY ( f) /GYZ ( f)
(5)
其中 : GYZ ( f) 为实测输出信号和实测输入信号的互谱
均值 ; GYY ( f)为实测输出信号的自谱均值 。
同理 ,由公式 ( 5)可得 H2 估计与系统真实频响函
数 H ( f)的关系为
H2 ( f) = H ( f) [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ]
统测量 定义 了算 术平 均估 计 Harithm 和几 何 平 均 估 计 Hgeom如下 :
n
∑ Harithm ( f)
=
1 n
k =1
Hk
( f)
( 11)
n
∏ Hgeom ( f) =
n
Hk ( f)
k =1
( 12)
式中 , Hk ( f)表示对系统进行第 k次输入输出测量经公 式 ( 1)计算以后的频响函数估计 , n 为测量平均次数 。
由于在 实 际 测 试 过 程 中 不 可 避 免 地 存 在 干 扰 噪 声 ,因此频响函数模型估计的精度问题一直是科研工 作者和工程技术人员必须面对的问题之一 。
下面就根据系统中存在主要干扰误差的不同 ,将 频响函数的估计方法分为含有加性随机噪声干扰 、含 有非线性失真干扰 、含有频谱泄漏干扰等多种情况讨 论 ,并且逐一进行探讨和分析 。
图 1 输入输出系统模型
Fra Baidu bibliotek
H ( f)
= Y ( f)
/Z ( f)
=
X F
( (
f) f)
+N ( f) +M ( f)
=
H0
( f)
1 1
+N +M
( f) ( f)
/X ( f) /F ( f)
(1)
若系统的输入输出端都不存在干扰噪声 , 则频响函数
可以按照公式 ( 2)计算 :
H ( f) = H0 ( f) = X ( f) / F ( f)
Hc ( f) = GPY ( f) /GPZ ( f)
( 16)
在 Hc 估计中使用 3 个信号实现了完全互功率谱频响
函数估计 ,避免了噪声自谱项的出现 ,是无偏估计 。
1. 7 Hn 估计 [12 ] 从前面几节的讨论可知 , 互谱技术和平均技术是
得到无偏 、高精度的频响函数的关键 。滑广军 [12 ]等提
主要成分的不同分为几个方面讨论 ,包括加性随机噪声 、加窗泄漏引起的噪声 、非线性系统失真引起的噪声等 。综合论述 了各种干扰误差下 ,各种频率响应函数估计方法的原理 、特点及其在工程中的应用 。最后对文章内容进行了总结并对频 率响应函数估计领域的发展前景进行了探讨和展望 。
关键词 : 频响函数估计 ;线性系统 ;误差 ;非线性失真 ;频谱泄漏 中图分类号 : N945. 14; O321; TN911. 4 文献标识码 : A
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
Vol. 27 No. 5 2008
频率响应函数估计方法综述
段虎明 , 秦树人 , 李 宁
(重庆大学 测试中心 ,重庆 400044)
摘 要 : 回顾了近年来以线性系统为基础模型的频率响应函数估计方法的理论研究和发展现状 。根据干扰误差
| GYZ ( f) |2 ,κ( f)为测量信号的信噪比 。该文献还证明
了 HV 估计实际上就是系统频响函数的最大似然估计 ,
并且分析了 HV 估计方差的渐进表达和其频谱的置信
区间 。
1. 6 Hc 估计 [ 11 - 12 ] 频响函数估计存在偏差的原因是公式中有噪声自
谱项的存在 , 因此如何避免算式中出现噪声自谱项是 获得频响函数无偏估计的关键 。围绕这一思想 , 有人
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (编号 50605065 )重庆大学研究生 科技创新基金 ,项目编号 : 200701Y1B01000196 收稿日期 : 2007 - 07 - 27 修改稿收到日期 : 2007 - 09 - 10 第一作者 段虎明 男 ,博士生 , 1979年 1月生
谱 , Z ( f)为系统输入端的测量信号的频谱 , N ( f)为系 统输出端的随机噪声的频谱 , Y ( f)为系统输出端的测 量信号的频谱 。这样系统的频响函数就可以表示为
(4)
其中 : GMM ( f)为实测输入噪声的自谱均值 ; GFF ( f)为系
统输入信号的自谱均值 。可见 H1 估计的误差主要来
自于系统输入端的噪声影响 。
第 5期 段虎明等 : 频率响应函数估计方法综述
49
112 H2 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示系统 ,同理可定义 H2 估计为 :
计 ,而且易证明 H3 Ε H4 ,这样可得 H1 ～ H4 估计的关系
为 H1 Φ H4 Φ H3 Φ H2 。
1.
4 Ha rithm 和
估计 Hgeom
[1 - 2]
针对图 1系统输入输出均包含有加性噪声干扰的
情况 ,人们提出了很多平均方案来减小误差 , 包括很多
的非线性平均技术 。在文献 [ 1 ]中作者就针对多次系
展开 ,同样可以证明测量次数足够多时 , Hgeom估计为无 偏估计 。
在文献 [ 2 ]中 ,除了进一步讨论 Harithm 估计和 Hgeom 估计外 ,还定义谐波平均 Hhar和指数平均 Hp , 并且讨论 和比较了各种方法的优劣 。在文献 [ 9 ]中 , 作者进一步
将文献 [ 8 ]中频响函数估计的各种非线性平均技术从 单输入单输出系统 ( Single Input and Single Output, SI2
H1 ( f) = GZY ( f) /GZZ ( f)
(3)
其中 : GZY ( f)为实测输入信号和实测输出信号的互谱
均值 ; GZZ ( f)为实测输入信号的自谱均值 。
由公式 ( 3 ) 可 得 H1 估 计 与 系 统 真 实 频 响 函 数
H ( f)的关系为
H1 ( f) = H ( f) / [ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ]
(2)
然而实测的输入输出信号中总是存在各种干扰噪声信
号 ,因此频响函数一般不能精确计算 。为了减小误差 , 提高频响函数的测量精度 , 学者们提出了一系列的频 响函数估计方法 ,下面对它们作简要介绍 。 111 H1 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示的系统 , 按照最小二乘估计原则可定 义 H1 估计为 :
1 系统 中 加 性 随 机 噪 声 干 扰 为 主 要 误 差 的 频 响函数估计方法
这类型频率响应函数估计方法的计算相对比较简 单 ,很早就有学者研究 [ 1, 2 ] ,所以这类型方法较多 ,且都 较为成熟 ,因而在各种领域的实际工程中得到了广泛 的应用 。其基本模型如图 1所示 :
在图 1中 , F ( f)为系统输入信号的频谱 ,即输入信 号的 Fourier变换 , H ( f)为待估计的系统 , X ( f)为系统 输出信号的频谱 , M ( f)为系统输入端的随机噪声的频
频响函数的 H3 估计定义为
H3 ( f)
=
1 2
[ H1 ( f)
+ H2 ( f)
]
(7)
频响函数的 H4 估计定义为
H4 ( f) = H1 ( f) H2 ( f)
(8)
将式 ( 4)与式 ( 6)代入式 ( 7)和式 ( 8)可得 H3 、H4 与系
统真实频响函数 H的关系为
H3 ( f)
见参考文献 [ 1 ] ) :
E [ Hk ( f) ]
=
lim
n→∞
Ha
rithm
( f)
= H ( f)
(14)
即当测量次数达到一定程度时可以认为 Harithm 估计为
无偏估计 。同理对于 Hgeom估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1,
|N ( f) / F ( f) | < 1时 ,也可以将式 ( 13)进行 Taylo r级数
SO )推广到多输入多输出系统 (M ultip le Input and M ul2
tip le Output, M IMO ) 。
1.
5 H
估计 [ 10 ]
V
针对图 1 系统输入输出均包含由加性噪声的情
况 ,最简单成熟的方法是 H1 估计和 H2 估计 , 但它们都 是有偏估计 ,很多学者对之提出了改进的估计算法 , 在
在一般的实际测量中 , 输入输出噪声是同时存在 的 ,即图 1所示系统模型 ,考虑到 H1 估计和 H2 估计分 别为欠估计和过估计 ,为了减小误差影响 , 自然有人提 出 H1 估计和 H2 估计的折衷算法 , 即这里要讲到的 H3 估计和 H4 估计 ,他们是 H1 估计和 H2 估计的算术平均 值和几何平均值 。
(6)
其中 : GNN ( f)为实测输出噪声的自谱均值 ; GXX ( f)为系
统输出信号的自谱均值 。可见 H2 估计的误差主要来
自于系统输出端的噪声影响 。
H1 估计不能消除输入噪声的影响 , H2 估计不能 消除输出噪声的影响 , 因此 H1 估计和 H2 估计都是有 偏估计 , 其中 H1 估计比真值 H 偏小 , 为欠估计 , 而 H2 估计比真值 H偏大 ,为过估计 ,即 H1 Φ H Φ H2 。 1. 3 H3 和 H4 估计 [2 - 3 ]
出了一种频响函数的估计方法 ( Hn 估计 )可以在不引 入第 3个测试信号的情况下获得系统频响函数的无偏 估计 。
Hn 估计的基本思想是在对图 1所示的系统 , 使用 相同的激励信号进行 n 次测量 , 对应第 i次测量的数 据有
Yi ( f) - N i ( f) = H ( f) [ Zi ( f) - M i ( f) ] ( 17) 其中 , Zi ( f) =M i ( f) + F ( f) , Yi ( f) = N i ( f) + X ( f) , i = 1, 2, …, n - 1。对式 ( 17 )两端同时乘以 Zj ( f) 的共轭 ZHj ( f) , j = i + 1, …, n。再取期望值并除以分析时间 T 乘以 2可得
在实际工程中 ,对一个系统进行分析和设计时 ,首 先要有一个可以描述被控制过程中动态特性的数学模 型 。这类数学模型通常是通过对实验实测数据的分析 来确定模型的结构和参数 。这种实验建模的方法就是 系统辨识 ,例如对频率响应函数进行的测量和估计 。
频 率 响 应 函 数 (频 响 函 数 、Frequency Response Function、FRF、传递函数 、Transfer Function)反映了系统 对不同输入信号的传递能力 ,是描述动态系统特征的 一种非参数估计模型 。对任何线性系统来说 ,都可以 应用频率响应函数在频域中直接分析系统的稳定性 , 对系统进行综合设计和校正 。它为应用控制理论分析 和工程实际中复杂问题的求解提供了强有力的工具 。
参考文献 [ 10 ]中 ,作者讨论了 HV 估计 ,其定义如下 :
HV ( f)
= GYY ( f)
- κ( f) GZZ ( f) 2GYZ ( f)
+
Ψ ( f)
( 15 )
其中 , Ψ ( f ) = [ GZZ ( f ) κ ( f ) - GYY ( f ) ]2 + 4κ ( f )
=
1 2
H
( f)
{
[1
+ GNN
( f)
/ GX X
( f)
]+
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] - 1 }
(9)
H4 ( f) = H ( f) { [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ] +
1
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] } 2
(9)
根据以上两式可知 , H3 估计和 H4 估计也都是有偏估
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
提出通过引入第 3 个信号来消除噪声自谱项 , 以获得
频响函数无偏估计 。
图 2 估计噪声模型
50
振 动 与 冲 击 2008年第 27卷
如图 2所示 , 试验装置由激振系统 (信号发生器 、 功率放大器 、激振器和力传感器组成 )和受试系统两部 分组成 。如果 3 个实测信号中的噪声之间互不相关 , 而且每个实测信号中的噪声与系统的实际输入输出之 间也互不相关 ,则系统频响函数的无偏估计为
H2 ( f) = GYY ( f) /GYZ ( f)
(5)
其中 : GYZ ( f) 为实测输出信号和实测输入信号的互谱
均值 ; GYY ( f)为实测输出信号的自谱均值 。
同理 ,由公式 ( 5)可得 H2 估计与系统真实频响函
数 H ( f)的关系为
H2 ( f) = H ( f) [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ]
统测量 定义 了算 术平 均估 计 Harithm 和几 何 平 均 估 计 Hgeom如下 :
n
∑ Harithm ( f)
=
1 n
k =1
Hk
( f)
( 11)
n
∏ Hgeom ( f) =
n
Hk ( f)
k =1
( 12)
式中 , Hk ( f)表示对系统进行第 k次输入输出测量经公 式 ( 1)计算以后的频响函数估计 , n 为测量平均次数 。
由于在 实 际 测 试 过 程 中 不 可 避 免 地 存 在 干 扰 噪 声 ,因此频响函数模型估计的精度问题一直是科研工 作者和工程技术人员必须面对的问题之一 。
下面就根据系统中存在主要干扰误差的不同 ,将 频响函数的估计方法分为含有加性随机噪声干扰 、含 有非线性失真干扰 、含有频谱泄漏干扰等多种情况讨 论 ,并且逐一进行探讨和分析 。
图 1 输入输出系统模型
Fra Baidu bibliotek
H ( f)
= Y ( f)
/Z ( f)
=
X F
( (
f) f)
+N ( f) +M ( f)
=
H0
( f)
1 1
+N +M
( f) ( f)
/X ( f) /F ( f)
(1)
若系统的输入输出端都不存在干扰噪声 , 则频响函数
可以按照公式 ( 2)计算 :
H ( f) = H0 ( f) = X ( f) / F ( f)
Hc ( f) = GPY ( f) /GPZ ( f)
( 16)
在 Hc 估计中使用 3 个信号实现了完全互功率谱频响
函数估计 ,避免了噪声自谱项的出现 ,是无偏估计 。
1. 7 Hn 估计 [12 ] 从前面几节的讨论可知 , 互谱技术和平均技术是
得到无偏 、高精度的频响函数的关键 。滑广军 [12 ]等提
主要成分的不同分为几个方面讨论 ,包括加性随机噪声 、加窗泄漏引起的噪声 、非线性系统失真引起的噪声等 。综合论述 了各种干扰误差下 ,各种频率响应函数估计方法的原理 、特点及其在工程中的应用 。最后对文章内容进行了总结并对频 率响应函数估计领域的发展前景进行了探讨和展望 。
关键词 : 频响函数估计 ;线性系统 ;误差 ;非线性失真 ;频谱泄漏 中图分类号 : N945. 14; O321; TN911. 4 文献标识码 : A