平行四边形的判定(2)
平行四边形的判定(2)教案
平行四边形的判定（二）一、教学目标1、知识与技能目标（1）、掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形。
（2）、通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。
2、过程与方法目标通过平行四边形判定条件的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性学生的实践能力及创新意识。
3、情感态度与价值观目标培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。
二、教学重点掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。
三、教学难点几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。
四、教学过程（一）复习、引入1、什么叫平行四边形？2、平行四边形有什么性质？3、学了哪些平行四边形的判定？教师提问，学生口答，之后出示表1，让学生进一步理清所学平行四边形的判定。
（二）问题牵引，导入新知【探究一】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？先有学生猜想，然后经过推理论证得出四边形ABCD 是平行四边形。
教师引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维。
并让学生上讲台演示，得出本节的知识点。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 问题 平行四边形的判定方法共有几种？教师引导学生从边、角、对角线三个方面去总结，便于学生记忆这些判定定理。
出示例题已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC∴ DE=BF∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） ∴ BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。
平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
平行四边形的特点与判定方法
平行四边形的特点与判定方法2023年，平行四边形已经是我们学校数学课程中必学的内容。
但是，对于平行四边形的特点以及判定方法，很多同学可能还存在一些不理解或者模糊的地方。
那么，在这篇文章中，我们就来详细讲解一下平行四边形的特点和判定方法。
一、平行四边形的特点平行四边形是有两组平行的对边和四个角相等的四边形。
因此，平行四边形的特点主要可以从以下几个方面来进行解析。
1. 边平行四边形的一组对边互相平行，另一组对边也互相平行，且两组对边的长度相等。
因此，平行四边形的四条边都相等。
2. 角平行四边形的四个内角大小相等，每个内角都是180度的一半，即90度。
3. 对角线平行四边形的两条对角线互相平分，并且相交于对角线的中点。
并且，对角线的长度可以通过勾股定理来计算。
4. 对边中点连线平行四边形的两组对边的中点可以相互连线，连接成一条直线。
这条线段同时也是平行四边形的对角线的中点连线，即中线。
二、平行四边形的判定方法在学习平行四边形时，我们不仅需要知道平行四边形的特点，还需要掌握平行四边形的判定方法。
下面我们将从三个方面来分别讲解。
1. 方式一：对边平行法对于一个四边形来说，如果其中一组对边互相平行，那么该四边形就是平行四边形。
这是最基本也是最简单的判定方法。
2. 方式二：同底异边法在平面直角坐标系中，如果一个四边形的两组对边中有一组对边互相平行且有相同的长度，那么该四边形就是平行四边形。
这个判定方法的本质是根据平行四边形的平行性质来判断的。
3. 方式三：角度法在平面直角坐标系中，如果一个四边形的两组对角线的交点在垂直平分线上且相交角为90度，那么该四边形就是平行四边形。
∠ACB = ∠ADB = 90, ∠CAB = ∠CDB，所以ABCD是一个平行四边形。
以上三种判定方法中，对边平行法是最直观、最简洁的方法，而同底异边法和角度法则需要借助其它性质来辅助判断。
总结平行四边形作为初中数学中必学的几何图形之一，在考试中经常作为判定条件出现，因此对于平行四边形的认识和掌握，是我们学习几何的重要基础之一。
18-1-2 第2课时 平行四边形的判定(2)课件
边
形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
的
判
定
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂检测： 1.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边
形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不
可以是（ B ）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
A
D
证明：∵在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且
∠ACB=90°
∵ AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=90°
B
C
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD.
课后作业：
必做题：50页6题 选做题：51页15题
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是
平行四边形，
A
D
∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC.
E
F
∴AD∥ BC，AD=BC.
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结：
判定一个四边形是平行四边形的方法：
平
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
形
四
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
核心素养目标：
掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法；
会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明 问题；
通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思 维，提高分析问题的能力．
情境引入： 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之 一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么 铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
平行四边形的判定方法5个
平行四边形的判定方法5个平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的特征和性质。
在几何学中，我们可以使用不同的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。
本文将介绍五种常见的判定方法。
一、对边平行法：对边平行法是判定平行四边形最直观的方法之一。
根据该方法，如果一个四边形的对边两两平行，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的上下两条边分别平行于另外两条边，则可以确定这个四边形为平行四边形。
二、对角线互相平分法：对角线互相平分法是另一种常见的判定平行四边形的方法。
根据该方法，如果一个四边形的对角线互相平分，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的对角线AC和BD互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
三、同位角相等法：同位角相等法是判定平行四边形的另一种常见方法。
根据该方法，如果一个四边形的各对相邻内角相等，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的内角A和内角C相等，内角B和内角D 相等，那么这个四边形就是平行四边形。
四、邻角互补法：邻角互补法是判定平行四边形的另一种方法。
根据该方法，如果一个四边形的邻角互补，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的邻角A和邻角B互补，邻角C和邻角D互补，那么这个四边形就是平行四边形。
五、边比例法：边比例法是判定平行四边形的另一种常见方法。
根据该方法，如果一个四边形的对边边长成比例，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的AB/CD = BC/AD，那么这个四边形就是平行四边形。
通过上述五种判定方法，我们可以准确地判断一个四边形是否为平行四边形。
在实际问题中，我们可以根据已知条件使用这些方法来判定几何形状的性质，进而解决相关问题。
需要注意的是，判定平行四边形时，以上五种方法并不是相互独立的，有时候我们需要结合使用多种方法来得出准确的结论。
此外，我们还可以通过计算角度、边长、对角线等具体数值来验证判定结果。
平行四边形作为几何学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
平行四边形性质和判定
平行四边形性质和判定
平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形性质定理
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
平行四边形判定定理
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形恒等式
平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。
它等价于三角形的中线定理。
在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。
这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于它四边长度的平方和。
平行四边形的判定
F
连接CD、AF、CF
∵AE=EC
∴DE=EF
B
C
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
D
B
证法三：过点 C 作 AB 的平行 A 线交DE的延长线于F ∵CF∥AB， E F ∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF C ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
1 E 2
C
B
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 1 又∵ DE 1 DF DE BC 还有另外的证法吗？ 2 2
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF ∴四边形BCFD是平行四边形
证明：如图，延长DE至F, 使EF=DE， A
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半。 A
用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 位置关系 1 DE= BC. 数量关系 2
D
E
B
C
三角形的中位线定理:三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途：
A
(1)证明平行 (2)证明一条线段是另一条线
设置情境
小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：
将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木 条AD，BC加固，得到的这个四边形ABCD是平行四 边形吗？
A B
平行四边形的判定2
平行四边形的判定21.以下四个命题：(D两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边相等，一组邻角相等C.一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，一组对角相等3.不能判定四边形4¾笫为平行四边形的题设是()A.AB=CD,AB//CDB.AA=AC,/B=ZDC.AB=AD,BC=CDD.AB=CD,AD=BC4一四边形4¾力中，4。
交勿于点Q,如果只给条件’，那么还不能判定四边形4腼为平行四边形，给出以下四种说法：(1)如果再加上条件«BC=AU',那么四边形/1阅9一定是平行四边形；(2)如果再加上条件"ZBAD=ZBCD",那么四边,形4%力一定是平行四边形；(3)如果再加上条件"AO=OC',那么四边形月时一定是平行四边形；(4)如果再加上条件"ND班=Ne46",那么四边形力AR一定是平行四边形其中正确的说法有()个.D. 1 B.2 C.3 D.A5.如图，在平行四边形/发力中，点反尸分别在边8。
、上，请添加一个条件,使四边形力的是平行四边形(只填一个即可).6.如图，在四边形力中，对角线4G加交于点0,49〃%,请添加一个条件：,使四边形力犯9为平行四边形(不添加任何辅助线).7.：如图,□ABCD中,E、〃分别是边被09的中点.(1)求证：四边形能叨是平行四边形；⑵假设力〃刃生2,/住60°,求四边形砌力的周长.8.：如图，点£,尸是5阅9中科，如边上的点,且AE=CF,蛛结DE,BF.求证：DE=BF.1.以下命题中，真命题的个数有().①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A.3个B.2个C.1个D.O个2.能判定四边形力版是平行四,边形的是( )A.AB//CD t AD=BCB./A=/B,/C=ZDC.AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD3.在四边形4ra中，根据下面选项中N4N反NG 的度数比，可以判定四边形4¾力是平行四边形的是()A.1：2：3：4B.2：3：2：3C.2：2：3：3D.1：2：2：34.四边形/腼中，对角线力C、协相交于『点0,给出以下四个条件.：①AAC戾②AD=BC•,③曲=玄；®0B=OD.从中任选两个条件，能使四边形川?如为平行四边形的选法有( )A.1种B.2种C.3种D.4种5.四边形4¾力中，力，请补充一个条件,使得四边形/1腼是平行四边形.7.如图，在四边形力比9中M8=6Z?"C交加于点0,如果想使该四边形成为平行四边形，那么只需添加的条件是(添一个即可).8.如图，在平行四边形4¾券中,E、厂分别在力反刃边上，且丝=6F.(1)求证：4ADEq2CBF∙,(2)求证：四边形皮，泥、是平行四边形。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACD=60°∵CD=CE ，∴BD=AE ，△EDC 是等边三角形∴DE=EC ，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE ，∴BD=FE ，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF ，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE ；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC ，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG ，这样就有BE′=GD ，可证E′BGD 是平行四边形。
平行四边形的性质与判定方法
平行四边形的性质与判定方法在几何学中，平行四边形是四边形的一种特殊形式，具有独特的性质和判定方法。
本文将介绍平行四边形的性质以及常用的判定方法。
一、平行四边形的性质1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。
也就是说，如果一条线段与一边平行，并且与另一边平行，则该线段与其他两条边也是平行的。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分。
也就是说，平行四边形的对角线相交于一点，并且该交点将对角线分成相等的两段。
3. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。
也就是说，对边AB与CD长度相等，对边BC与AD长度相等。
4. 内角性质：平行四边形的内角是180度的。
也就是说，平行四边形的相邻内角和为180度。
二、平行四边形的判定方法1. 对边平行判定方法：如果两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形。
常用的判定方法有以下几种：a. 使用角度关系：如果四边形的内角满足相邻内角和为180度，且任意一组对边上的对应角相等，则该四边形是平行四边形。
b. 使用边长关系：如果四边形的两组对边长度相等，则该四边形是平行四边形。
2. 对角线等分判定方法：如果一组对角线互相等分，则该四边形是平行四边形。
常用的判定方法有以下几种：a. 使用距离关系：如果四边形的两组对角线上的中点相互连接后，相交的线段等长，则该四边形是平行四边形。
b. 使用角度关系：如果四边形的一组对角线与另一组对角线的交点将两组对边等分，则该四边形是平行四边形。
三、示例应用假设我们有一个四边形ABCD，其中AB与CD平行，AD与BC平行。
我们可以通过以下步骤来判定该四边形是否为平行四边形：1. 计算角度关系：测量四边形的内角，如果相邻内角和为180度，且两组对边上的对应角相等，那么我们可以初步判断该四边形可能是平行四边形。
2. 计算边长关系：测量四边形的对边长度，如果对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等，那么我们可以确认该四边形是平行四边形。
3. 进一步验证：我们可以通过判断对角线等分关系来进一步验证。
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导学稿
平行四边形的判定（2课时）
姓名：班级：
教学目标：1，通过课本练习，掌握平行四边形的另一种判定方法。
2，归纳判定平行四边形的方法，并通过练习灵活应用。
3，会用符号语言描述几何问题。
自学过程：（不借助课本独立完成，相信自己全能默写下来5分钟）
活动一:平行四边形的性质1，________________________________.（熟记）
2，________________________________.（熟记）
3，________________________________.（熟记）
4，________________________________.（熟记）
平行四边形的判定方法：1，______________________________.（定义判定熟记）
2，________________________________.（熟记）
3，________________________________.（熟记）
4，________________________________.（推论）
活动二：（相信自己的能力，能用两种方法解决有困难可寻找帮助10分钟）已知四边形ABCD中，AB//CD。
（“//”表示平行且相等）
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证法一：证法二：
回头看看，再想想能从上面的证明结果得到什么结论？
平行四边形的判定方法5，________________________________.（熟记）
课堂练习：
一：下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A，∠A=∠C,∠B=∠D B, ∠A=∠B=∠C=90
C, ∠A+∠B=180 ,∠B+∠C=180 D, ∠A+∠B=180 , ∠C+∠D=180
二：在四边形ABCD中，从○1AB//CD；○2BC//AD；○3AB=CD；○4BC=AD这四个条件
中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）
A，3种B，4种C，5种D，6种
三，完成下列表格：
当堂检测：（20分钟要速度也要质量）
一，如图，在的一组对边AD，BC上截取EF=MN，连接EM，FN，则EM
和FN有什么关系？为什么？
ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段
AC与EF是否相互平分？说明理由。
三：如图，D是△ABC的边BC上的一点，M是AC的中点，过A作AN//CD，交DM 的延长线于点N，
求证：AD=CN
四：能力提高：（陕西中考 认真阅读题目，其实很简单，不要被假象迷惑） 李大爷有一边长为a 的正方形鱼塘（如图所示），鱼塘四个角的顶点A 、B 、C 、D 上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大）有不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）
（1） 若按圆形设计，画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积
（2） 若按正方形设计，画出你所设计的正方形鱼塘的示意图。
（3） 你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
（4） 李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
（1） （2） A B A B D C D C。