数值计算方法与算法复习资料参考答案

数值计算方法与算法复习资料参考答案
一、概念
1.相对误差：绝对误差与准确值之比称为相对误差。

2.矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应称为矩阵范数。

3.算子范数：设A 为n 阶方阵，|| ·||是R n 中的向量范数，则||||||||max ||||x Ax x A θ≠=是一种矩阵范数，称算子范数。

4.矩阵范数与向量范数的相容性：对任意的n 维向量在，都有||Ax||≦||A|| ||x||称为矩阵范数与向量范数的相容性。

5.1 1-范数：||A||1=1||||max 1=x ||Ax||1=∑=≤≤n i ij a n j 1||1max （矩阵） ∑==n i i x x 1
1||||||（向量） 5.2 ∞-范数||A||∞=1||||max =∞x ||Ax||∞=∑=≤≤n j ij a n i 1
||1max （矩阵）|}{|1max ||||i x n i x ≤≤=∞（向量） 5.3 2-范数||A||2=1
||||max 2=x ||Ax||2=1λ（矩阵） 222212||||n x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=（向量） 6.误差：计算值与其真实值之差。

7.有效数字：近似值的一种表示方法，既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

8.算法：解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。

9.向量范数：设对任意向量n R x ∈，按一定的规则有一实数与之对应，则称||x||为向量x 的范数。

10.插值法：是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

二、简答题
11.雅可比（Jacobi ）迭代法是：
12.高斯消去法的计算量：乘法次数
)1(3)1()(211-=+--∑-=n n k n k n n k ，
除法次数)1(2
)(11-=
-∑-=n n k n n k 13.迭代法的误差估计：
14.高斯消元法的思想是 ：先逐次消去变量，讲方程组化成同解的上三角形方程组，然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解。

15.迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。

16.数值计算中应注意的问题是：1.避免两个相近的数相减。

2.避免大数“吃”小数的现象。

3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
4.要简化计算，减少运算次数，提高效率。

5.选用数值稳定性好的算法。

17.迭代法的收敛条件：对任意初始向量x (0)和右端项g ，由迭代格式
()⋅⋅⋅⋅⋅=+=+3,2,1)()1(k g Mx x k k 产生的向量序列｛)(k x ｝收敛的充要条件是1)(<M ρ。

18.雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）：1.输入),,(),(1n ij b b b a A ⋅⋅⋅==，维数n ，
()
)0()0(2)0(1)0(,,,n x x x x ⋅⋅⋅=，ε，最大容许迭代数N 。

2.置k=1。

3.对i=1,2,...n ii n i j j j ij i i a x a b x ⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠=1)0(。

4.若||x-x (0)
||<ε,输出x ，停机：否则转5。

5.若k<N,置()⋅⋅⋅⋅⋅=⇒⇒+,2,1,1)0(i x x k k x i ，转3，否则，输出失败信息，停机。

19.插值多项式的误差估计：
20.反幂法的基本思想：设A 为n ×n 阶非奇异矩阵，λ，μ为A 的特征值与相应的特征向量，则1-A 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即μλ1
μ1=-A ，因此，若
对矩阵1-A 用幂法，即可计算出1-A 的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。