2016年四川省成都市新都一中高一上学期人教A版数学第一次月考试卷

2016年四川省成都市新都一中高一上学期人教A版数学第一次月考试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合A=x∈Q x>−1，则 A. 3∉AB. 2⊆AC. 2∈AD. 2∉A2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. f x= x ，g x=2B. f x=2，g x=x 2，g x=x+1C. f x=x2−1x−1D. f x=x+1⋅x−1，g x= x2−13. 已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1，那么集合B中元素5在A中对应的元素是 A. 2B. 5C. 6D. 84. 设集合A=x1<x<2，B=x x<a，若A⊆B，则a的范围是 A. a≥2B. a≥1C. a≤1D. a≤2的定义域是 5. 函数y=2x−x2x−1A. −∞,0∪2,+∞B. −∞,1∪1,2C. 0,1∪1,2D. 0,1∪2,+∞≥0，则图中阴影部分表示的集合是 6. 设全集为R，M=x x2>4，P= x2x−1A. x−2≤x<1B. x−2≤x≤2C. x1<x≤2D. x x<17. 学校里开运动会，设全集U为所有参加运动会的学生，A= x x是参加一百米跑的学生，B= x x是参加二百米跑的学生，C= x x是参加四百米跑的学生，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，下列集合运算能说明这项规定的是 A. A∪B∪C=UB. A∪B∩C=∅C. A∩B∩C=∅D. A∩B∪C=C8. 如果二次函数y=3x2+2a−1x+b在区间−∞,1上是减函数，那么a的取值范围是 A. a=−2B. a=2C. a≤−2D. a≥29. 已知f x=ax2+bx是定义在a−1,2a上的偶函数，那么a+b的值是 A. −13B. 13C. −12D. 1210. 已知函数f x=−x2−ax−5,x≤1ax,x>1是R上的增函数，则a的取值范围是 A. −3≤a<0B. −3≤a≤−2C. a≤−2D. a<011. 已知f x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x=x2−3x．则方程f x−x+3=0的解集 A. −2−7,1,3B. 2−7,1,3C. −3,−1,1,3D. 1,312. 定义在R上的函数f x满足：①f0=0，②f x+f1−x=1，③f x3=12f x且当0≤x1<x2≤1时，f x1≤f x2，则f13+f18等于 A. 1B. 34C. 23D. 12二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知f x−1=x2，则f x2=．14. 若函数y=f x的定义域为−2,4，则函数g x=f x+f−x的定义域是．15. 设集合A=0,1，B=a,b,c，则从A到B的映射个数为．16. 已知函数f x=2x+1x,x<−12x+1,x≥−12，g x=x2−4x−4，若存在实数a使得f a+g b=0，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 设集合A= a+1,3,5，B=2a+1,a2+2a,a2+2a−1，当A∩B=2,3时，求A∪B．18. 设集合A=x x+14−x≤0，B=x 2a≤x≤a+2．（1）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19. 已知f x是二次函数，若f0=0，且f x+1=f x+x+1．（1）求函数f x的解析式；（2）求函数y=f x2−2的值域．20. 在经济学中，函数f x的边际函数为Mf x，定义为Mf x=f x+1−f x，某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产x台的收入函数为R x=3000x−20x2（单位元），其成本函数为C x=600x+2000（单位元），利润等于收入与成本之差．（1）求出利润函数p x及其边际利润函数Mp x．（2）求出的利润函数p x及其边际利润函数Mp x是否具有相同的最大值；（3）你认为本题中边际利润函数Mp x最大值的实际意义．21. 已知函数f x的定义域D=−∞,0∪0,+∞，且对于任意x1，x2∈D，均有f x1⋅x2=f x1+f x2，且当x>1时，f x>0；（1）求f1与f−1的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）求证：f x在0,+∞上是增函数；（4）若f4=1，解不等式f3x+1≤2．22. 已知函数f x=x2−1，g x=a x−1．（1）若不等式f x≥g x恒成立，求实数a的取值范围．（2）若a≤0，设函数 x=f x+g x在0,2上的最大值为t a，求t a的最小值．答案第一部分1. D2. A3. A4. A 【解析】因为集合A=x1<x<2，B=x x<a，A⊆B，所以2≤a．5. C6. C 【解析】M= x x<−2或x>2，P=x x>1．7. C 8. C 9. B 【解析】依题意得f−x=f x，所以b=0，又a−1=−2a，所以a=13，所以a+b=13．10. B【解析】因为函数f x=−x2−ax−5,x≤1ax,x>1是R上的增函数，设g x=−x2−ax−5x≤1， x=axx>1，由分段函数的性质可知，函数g x=−x2−ax−5在−∞,1单调递增，函数 x=ax在1,+∞单调递增，且g1≤ 1，所以−a2≥1,a<0,−a−6≤a,所以a≤−2, a<0, a≥−3,解可得，−3≤a≤−2．11. A 【解析】若x<0，则−x>0，因为定义在R上的奇函数f x，当x≥0时，f x=x2−3x．所以当x<0时，f−x=x2+3x=−f x．则当x<0时，f x=−x2−3x．若x≥0，由f x−x+3=0得x2−4x+3=0，则x=1或x=3．若x<0，由f x−x+3=0得−x2−4x+3=0，则x2+4x−3=0，则x=−4±16+3×42=−2±7，因为x<0，所以x=−2−7，综上方程f x−x+3=0的解集为 −2−7,1,3．12. B 【解析】把x=0代入f x3=12f x得f0=12f0，所以f0=0，把x=1代入f x+f1−x=1可知f1+f0=1，所以f1=1，所以f13=12f1=12，把x=12代入f x+f1−x=1可得f12+f12=1，所以f12=12，又因为0≤x1<x2≤1时，f x1≤f x2，所以x∈13,12时，f x=12，把x=38代入f x3=12f x得f18=12f38，因为x∈13,12时，f x=12，所以f38=12，所以f18=12f38=14，所以f13+f18=12+14=34．第二部分13. x2+1214. −2,215. 916. −1,5第三部分17. 由A∩B=2,3可得，2∈A，所以 a+1=2，a=1或a=−3．当a=1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去．当a=−3时，此时B=−5,3,2，A=2,3,5，A∩B=3,2符合题意，所以a=−3，A∪B=−5,2,3,5．18. （1）A=x x+14−x≤0= x x≤−1或x≥4．因为A∩B≠∅，所以2a≤a+2,a+2≥4或2a≤−1,解得a≤−12或a=2．（2）因为A∩B=B，所以B⊆A，①若B=∅，则2a>a+2，所以a>2．②若B≠∅，则2a≤a+2,2a≥4或a+2≤−1,解得a=2或a≤−3，综上a≥2，或a≤−3．19. （1）设f x=ax2+bx+c a≠0，由题意可知c=0,a x+12+b x+1+c=ax2+bx+c+x+1,整理得c=0,ax2+2a+b x+a+b+c=ax2+b+1x+c+1,所以2a+b=b+1,a≠0,a+b+c=c+1,c=0,解得a=12,b=12,c=0.所以f x=12x2+12x．（2）由（1）知y=f x2−2=1x2−22+1x2−2=1x4−3x2+2=12x2−322−18,当x2=32时，y取最小值−18，故函数y=f x2−2的值域为 −18,+∞ ．20. （1）根据题意：p x=R x−C x=−20x2+2400x−2000，Mp x=p x+1−p x=−20x+1+x x+1−x+2400x+1−x=−40x+23800<x≤100,x∈N∗;（2）p x=−20x2+2400x−2000 =−20x−602+70000,所以当x=60时，函数最大值为：70000．因为Mp x=−40x+2380为减函数，所以当x=1时，函数最大值为：2340．故不具有相等的最大值．（3）边际利润函数取最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大．21. （1）令x1=x2=1，有f1×1=f1+f1，解得f1=0．令x1=x2=−1，有f−1×−1=f−1+f−1=f1=0，解得f−1=0．（2）f x为偶函数，证明如下：令x1=−1，x2=x，有f−x=f−1+f x=f x，所以f x是偶函数．（3）设x1，x2∈0,+∞且x1<x2，则x2x1>1，f x2x1>0，则f x2=f x2x1⋅x1=f x2x1+f x1>f x1，所以f x在区间0,+∞上是增函数．（4）f16=f4×4=f4+f4=2，由f3x+1≤2变形为f3x+1≤f16．因为f x为偶函数，所以f−x=f x=f x，在⑶的条件下有f3x+1≤f16，所以3x+1 ≤16且3x+1≠0，解得 −173,−13∪ −13,5．22. （1）不等式f x≥g x对x∈R恒成立，即x2−1≥a x−1（∗）对x∈R恒成立，①当x=1时，（∗）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（∗）可变形为a≤x 2−1x−1，令φx=x2−1x−1=x+1,x>1−x+1,x<1，因为当x>1时，φx>2，当x<1时，φx>−2，所以φx>−2，故此时a≤−2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤−2．（2） x=−x2−ax+a+1,0≤x≤1 x2+ax−a−1,1<x≤2，因为a≤0，所以对称轴x=−a2≥0，①当0≤−a2≤1时，即−2≤a≤0，0≤x≤1时，−x2−ax+a+1max= −a2=a24+a+1，1<x≤2时，x2+ax−a−1max= 2=a+3，因为a 24+a+1−a+3=a2−84<0，所以 x max=a+3．②当1<−a2≤2时，即−4≤a<−2，0≤x≤1时，−x2−ax+a+1max= 1=0，1<x≤2时，x2+ax−a−1max=max 1, 2=max0,3+a=0,−4≤a<−3 3+a,−3≤a<−2，此时 x max=0,−4≤a<−3 3+a,−3≤a<−2，③当−a2>2时，即a<−4，0≤x≤1时，−x2−ax+a+1max= 1=0，1<x≤2时，x2+ax−a−1max= 1=0，此时 x max=0，综上： x max=t a=3+a,−3≤a≤0 0,a<−3，所以t a min=0．。