2016_2017学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件

号． 2 ．排序不等式：设有两个有序实数组 a1≥a2≥„≥an 及 a1b1＋a2b2＋„＋anb b1≥b2≥„≥bn 则 ( 顺 序 和 )___________________ ≥ n(乱序和) a1bj1＋a2bj2＋„＋anbjn ≥( 反序和 )______________________ a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1 ， _____________________ 任一排列方式 ．上式当 其中j1，j2，„，jn是1,2,3，„，n的______________ a1＝a2＝„＝an (或_______________) b1＝b2＝„＝bn 时取“＝”号． 且仅当_______________
(2)由于b1≤b2≤„≤bn，所以－b1≥－b2≥„≥－bn. 设－c1，－c2，„，－cn为－b1，－b2，„，－bn的一个排
列，
由(1)的证明得 a1( － bn) ＋ a2( － bn － 1) ＋ „ ＋ an( － b1)≥a1( － c1) ＋ a2( － c2)
＋„＋an(－cn)．
1 1 x y 4．已知 a，b，x，y∈R＋，且a>b，x>y，求证： > . x＋a y＋b
1 1 证明： ∵a>b，∴b>a>0.又 x>y>0，由排序不等式知， bx>ay. bx－ay x y 又 － ＝ >0， x＋a y＋b x＋ay＋b x y ∴ > . x＋a y＋b
课堂讲义
证明： 不妨设 a1≤a2≤„≤an，b1≥b2≥„≥bn，于是得
n 1n aibi≤n ai· bi， i＝ 1 i＝1 i＝1 n
(1)
再由算术平均值不大于平方平均值是
ai
i＝ 1
n
a2 i
i ＝1
n
n ≤ 即 ai≤
i＝1 n n
n ， n a2 i.
i＝1 n n
同理 bi≤
＝a1C1＋a2(C2－C1)＋„＋an(Cn－Cn－1)
＝C1(a1－a2)＋C2(a2－a3)＋„＋Cn－1(an－1－an)＋anCn ≤B1(a1－a2)＋B2(a2－a3)＋„＋Bn－1(an－1－an)＋anBn
＝a1B1＋a2(B2－B1)＋„＋an(Bn－Bn－1)
＝a1b1＋a2b2＋„＋anbn. 即乱序和≤顺序和．
2 2 2 x x2 x xn n－1 1 2 x2＋x3＋„＋ xn ＋x1≥x1＋x2＋„＋xn.
[思路点拨]
在没有给定字母大小的情况下，要使用排序
不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母
才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨
论．
证明：
不妨设 x1≥x2≥x3≥„≥xn.
[解题过程]
12 12 12
由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是
1 1 1 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab， 故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a . 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤c .
§2 排序不等式
[学习目标]
1．了解排序不等式的数学思想和背景； 2．了解排序不等式的结构与基本原理；
3．理解排序不等式的简单应用.
[学法指要]
1．排序不等式的应用．(重点) 2．排序不等式与不等式有关知识的综合．(难点)
预习学案
1．设实数a， b，c ，d满足下列三个条件： d>c； a＋ b＝ c
1 ．已知两组数 a1≤a2≤a3≤a4≤a5 ， b1≤b2≤b3≤b4≤b5 ，其
中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝ 6 ， b4 ＝ 10 ， b5 ＝ 11 ，将 bi(i ＝ 1,2,3,4,5) 重新排列记为 c1 ， c2 ， c3 ， c4 ， c5 ，则 a1c1 ＋ a2c2 ＋„＋ a5c5 的最大值和最小值分别是 ( ) A．132,6 C．22,6 答案： B B．304,212 D．21,36
＋ d ； a ＋ d <b ＋ c. 请 将 a ， b ， c ， d 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列
a<c<d<b __________.
1 2．已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为_______. 5
1．定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那 ac＋bd≥ad＋bc ，此式当且仅当 a＝ b( 或c ＝ d) 时取“＝” 么 ________________
证明： (1)设Ck＝c1＋c2＋„＋ck，Bk＝b1＋b2＋„＋bk， 因 为 b1≤b2≤„≤bk ， 且 {c1 ， c2 ， „ ， ck} 是 由 {b1 ，
b2，„，bn}中的k个元素构成的子集，则
Ck≥Bk，k＝1,2，„，n， Cn＝Bn.
因为ak－1－ak≤0，∀k＝2,3，„，n， 所以a1c1＋a2c2＋„＋ancn
又因为 a>b>c，a2>b2>c2，于是由切比晓夫不等式得 a3＋b3＋c3 a＋b＋c a2＋b2＋c2 > · . 3 3 3
2 2 2 2 a ＋ b ＋ c a＋b＋c 3 3 3 于是 2(a ＋b ＋c )> . 3
②
由①②得 2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
需对字母顺序作出假设的不等式的证明
设 a，b，c 为正数，求证： a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c .
[思路点拨]
题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，
且a ， b，c 在不等式中的 “ 地位 ”是对等的，不妨设 a≥b≥c ， 再利用排序不等式加以证明．
1 1 1 1．已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：bc≥ca≥ab.
[思路点拨]
利用排序不等式证明不等式，关键是构造出
不等式中所需要的带大小顺序的两个不等式．
1 1 证明： ∵a≥b>0，于是a≤b，又 c>0， 1 1 1 ∴c >0，从而bc≥ca. 1 1 1 同理，∵b≥c>0，于是b≤c，∵a>0，∴a>0，于是得 1 1 1 1 1 ca≥ 2．已知 a，b，c 为正数，P＝ ，Q＝abc， a＋b＋c 则 P、Q 间的大小关系是( A．P>Q C．P<Q
答案： B
) B．P≥Q D．P≤Q
a b c 3．设 a，b，c 为正数，则 ＋ ＋ 的最小值为 b＋c c＋a a＋b ________.
3 答案： 2
2 2 2 则 x2 ≥ x ≥ x ≥„≥ x 1 2 3 n
1 1 1 1 且x ≤x ≤x ≤„≤x n 1 2 3 根据排序不等式，得：
2 2 2 2 2 x x2 x － x x x x n 1 1 2 n 1 2 n ＋ ＋ „ ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ „ ＋ xn x1 x1 x2 xn x2 x3 2
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋c. 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
2．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证： 2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)． [思路点拨] 当作出a≥b≥c的假设后，所用的二个数组就 可以完全确定了．但要注意 a ， b ， c 三者的 “ 地位 ” 必须对 等，否则不成立．
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c， a5 b5 c5 1 1 1 求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c .
[思路点拨]
由于题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时
可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[解题过程]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
即1＋x2＋x4＋„＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为 x ， x2 ， „ ， xn,1 为序列 1 ， x ， x2 ， „ ， xn 的一个排 列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1·x ＋ x·x2 ＋ „ ＋ xn － 1·xn ＋ xn·1≥1·xn ＋ x·xn － 1 ＋ „ ＋ xn －
i ＝1
n b2 i.
i ＝1
故由(1)得 1 aibi≤n i＝ 1
n
n a2 i i＝1

n
n bi2＝ i＝1

n
a2 i i＝1

n
2 b i ，(2) i＝1
n
n n n 2 aibi2 a2 b 即 ≤ i i . i＝1 i＝1 i＝1
于是有 a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1≤a1c1＋a2c2＋„＋ancn.
即 反序和≤乱序和．由(1)及(2)得
反序和≤乱序和≤顺序和． (3)等号成立当且仅当a1＝a2＝„＝an或b1＝b2＝„＝bn，成
立的证明和教科书上证明法相同.
1 1 又 c>0，从而bc≥ca， 1 1 同理ca≥ab， 1 1 1 从而bc≥ca≥ab.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 b3c3＋c3a3＋a3b3≥b3c3＋c3a3＋a3b3 1 1 1 b2 c2 a2 2 2 2 ＝ c3＋a3＋b3∵a ≥b ≥c ，c3≥b3≥a3 c2 a2 b2 1 1 1 ≥c3＋a3＋b3＝ c＋a＋b 1 1 1 ＝a＋b＋c ， 所以原不等式成立．