福建省厦门大学附属实验中学2017-2018学年高一第一学期期中质量检测数学试题(解析版) Word版含解析

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福建省厦门第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】试题分析：()()()i i i i i +=+-+=-2222525，由复数z 与52i -对应的点关于实轴对称可得i z -=2，故选B.考点：复数的运算性质.2.已知集合{}{}2|20,|2,xA x x xB y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,1 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得{}12≤≤-=x x A ，{}0>=y y B ，则{}10≤<=x x B A ，故选D. 考点：集合的运算.3.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件、必要条件的判定.4.若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 【答案】B 【解析】试题分析：()1,02sin ∈=a ，01log 2log 3131=<=b ，121log 31log 2121=>=c ，则c a b >>，故选B.考点：不等式与不等关系.5.若函数()()1cos ,36f x x x x ππ=-≤≤，则()f x 的最大值为（）A ．1B ．2 C1 【答案】C考点：同角三角函数基本关系的应用. 6.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位．若所得图象与原图象重合，所以2π是已知函数周期的整数倍，即22πωπ=⋅k （Z k ∈），解得k 4=ω（Z k ∈），A ，C ，D 正确．故选B ．考点：函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换.7.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（） A ．[]123sin,0,246y t t π=+∈ B ．[]123sin ,0,2462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭C ．[]123sin ,0,2412y t t π=+∈ D ．[]123sin ,0,24122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 【答案】A考点：由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式.【方法点睛】本题考查由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．在该题中通过排除法进行求解，由()y f x =可以近似看成()sin y k A t ωϕ=++的图象，故可以把已知数据代入()sin y k A t ωϕ=++中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．8.已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2 D 【答案】D【解析】试题分析：设t PF =2，则t PF 31=，∴a t t 23=-，∴a t =，由余弦定理可得222222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，∵212PF PF a = ，∴22223253a ac a a a =-⋅⋅，∴a c 2=，∴2=e ．故选D ．考点：双曲线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设t PF =2，则t PF 31=，利用双曲线的定义，可得a t =，利用余弦定理可得222222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，再利用数量积公式，即可求出双曲线c 的离心率．9.ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（）A ．1b =B ．()a b b +⊥ C ．1a b =D ．a b +=【答案】C考点：平面向量数量积的运算. 10.若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：∵()1sin 2cos 2f x x a x =+在区间()0,π上是增函数，∴()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--ax x ，(]1,0∈x ，∴x x a 12+-<，令()x x x g 12+-=，则()0122<--='xx g ，∴()x g 在(]1,0∈x 递减，∴()11-=<g a ，故答案为：1-<a ．故选：A ．考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）正弦函数的图象. 11.()()()(),00,sin xf x x xππ=∈- 大致的图像是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由()()()x f x x x x x f ==--=-sin sin ，∴()x f 为偶函数，故可排除B ；当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，x x sin >，即1sin >xx，则排除A 、D ；故选C. 考点：函数的图象. 12.已知函数()()(),ln 24x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（）A ．ln 2B ．ln 21-C ．ln 2-D ．ln 21-- 【答案】D考点：函数与方程的综合运用.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系的综合应用，属于中档题．令()()()x a a x e x e x x g x f --++-+=-42ln ，运用导数求出()2ln +-=x x y 的单调性求其最小值；运用基本不等式可得44≥+--x a ax e e ，从而可证明()()3≥-x g x f ，由等号成立的条件，从而解得a ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】9考点：三角函数求值.14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=____________．【解析】试题分析：如图所示，建立直角坐标系．∵30=∠BOC ，1=OC ．∴()30sin ,30cos C ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23，C ．∵ 120=∠AOB ，∴()120sin ,120cos A ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，A ．又()0,1B ，OC OA OB λμ=+ ．∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫⎝⎛-=λμλ23212123，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233μλ．∴3=+μλ，考点：向量的线性运算及几何意义.15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．【答案】21n +考点：数列递推式.16.已知[],0,x y π∈，则()y x y x cos cos cos 2+++的最小值为_____________．【答案】94- 【解析】试题分析：由于2cos 2cos2cos cos yx y x y x -+=+， ()22cos 412cos 22cos 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x y x ，令2cosy x t +=，2cos y x b -=，故原式241212224222--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=b b t bt t ，故其最小值为94-，故答案为94-.考点：（1）和差化积公式；（2）三角函数的最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b B c C =++．（1）求A 的大小；（2）若a b ==D 是BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）34A π=；（2）AD =（2）将a b ==222a b c =++，得26720c c +-=，因为0c >，所以6c =．又()12AD AB AC =+，所以()()22221192cos 442AD AB AC c cb A b =+=++= ，所以AD = 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）向量的模长.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解，在该题中还用到了最常见的求线段的长度即求相对应向量的模长.18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =．（1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；（2）设()*21log n n n b S a n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）221-=+n n S ；（2）()223n n T n n n +=-+ . 【解析】试题分析：（1）先根据()1125n n n a a a +++=，求出q 的值，再由2510a a =求出数列{}n a 的1a q =，故可求出通项公式n a 和前项和n S ；（2）由（1）得出数列()()12211+-⋅+=+n n b n n ，然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果．两式相减得：()()()()3133412322221222212212221n n n n n n P n n n -++++--=++++-+=+-+=-- ，即22n n P n +=，又(){}12+n 的前n 项和为()()223413n n n +++++=+ ，所以()223n n T n n n +=-+ ．考点：数列的前n 项和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等，在该题中利用了分组求和和错位相减法相结合的形式.19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()90θθ≤，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦.（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()(),,1,1AB BM λ==-，∵0λ≤≤0λ=时，cos θ有最小值7，当λ=cos θ有最大值12．∴1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦．考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.【一题多解】对于（2）还可采用由：①当M 与F 重合时，77cos =θ．②当M 与E 重合时，过B 作CF BN //，且使CF BN =，连接EN ，FN ，则平面 MAB 平面BCF ，∵CF BC ⊥，CF AC ⊥，∴⊥CF 平面ABC ，∴⊥BN 平面ABC ，∴θ=∠ABC ，∴60=θ，∴21cos =θ．③当M 与E ，F 都不重合时，令30,<<=λλFM ，延长AM 交CF 的延长线于N ，连接BN ，∴N 在平面MAB 与平面BCF 的交线上，∵B 在平面MAB 与平面BCF 的交线上，∴平面 MAB 平面BN BCF =，过C 作NB CH ⊥交NB 于H ，连接AH ，由（1）知，BC AC ⊥，又∵CN AC ⊥，∴⊥AC 平面BCN ，∴BN AC ⊥，又∵BN CH ⊥，C CH AC = ，∴⊥NB 平面ACH ，∴BN AH ⊥，∴θ=∠A H C ，在NAC ∆中，λ-=33NC ，从而在NBC ∆中，()3332+-=λCH ，∵90=∠ACH ，∴()()334332222+-+-⋅=+=λλCH AC AH ， ∴()431cos 2+-==λθAH CH ，∵30<<λ， ∴21cos 77<<θ，综上所述，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,77cos θ．20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过()*12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？【答案】（1）40n A n =，n n B n 222+=，()1221-=nn C ；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．（2）令n n B A >，即n n n 22402+>，解得19<n ．由12≤n ，知n n B A >恒成立．令n n C A >，即()140212nn >-，解得10n <．故当10n <时，n A 最大；当1210≤≤n 时，n n A C >．由此能够选出最佳的选择奖励方案．（2）令n n A B >，即24022n n n >+，解得19n <， ∵n N ∈且12n ≤，∴n n A B >恒成立，令n n A C >，即()140212nn >-，当1,2,3,,7,8n = 时，该不等式显然成立，当9n =时， ()9140936021255.52⨯=>-=，而当10n =时，()101401040021511.52⨯=<-=，不等式n n A C <成立，同样可计算得当11,12n =时，n n A C <成立． ∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n C 最大．综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．考点：数列的应用.21.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =．（1）求1C 的方程；（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y ++=. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义结合352=MF 求出M 的坐标，由椭圆的定义可得a MF MF 221=+求得椭圆方程；（2）直线BD 的方程为：7710x y -+=，在菱形ABCD中，BD AC ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，联立直线的方程与椭圆的方程可得22784120x mx m -+-=．由点A 、C 在椭圆1C 上，知0)124(286422>--=∆m m ，以及A 、C 中点在BD 上，由此能导出直线AC 的方程．（2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，代入椭圆1C 的方程为22143x y +=，得22784120x mx m -+-=，由题意知，()2264284120m m m ∆=-->⇔<<设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777m m m x x y y m x x m +=+=-+=-+=，所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭，由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上，所以(437710177m mm -+=⇒=-∈． ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=．考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点晴】本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求，整体代换”的解题思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．在圆锥曲线与直线的位置关系中，联立直线的方程与椭圆的方程构成方程组结合韦达定理属于最常见的题型，在该题中，同时也考查了菱形的性质.22.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,01,xf x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln xxa aa '=）【答案】（1）()f x 在()0,+∞上单调递增；（2）[),e +∞.试题解析：（1）()()ln 2ln 21ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-．当1a >时，ln 0a >，当()0x ∈+∞，时，20,1x x a >>，∴10xa ->，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当01a <<时，ln 0a <，当()0,x ∈+∞时，20,1x x a ><，∴10xa -<，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，()f x 在()0,+∞上单调递增，（2）()2ln x f x a x x a b =+--，因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()max min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-．()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0x a a ->>，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0x a a -<>，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=，∴()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增， ∴当[]1,1x ∈-时，()()()()(){}min max 01,max 1,1f x f b f x f f ==-=-，而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a b a b a a a a ⎛⎫--=+---++-=--⎪⎝⎭，考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大、最小值问题中的应用.。

福建省厦门实验中学2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷

福建省厦门实验中学2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷一、单选题1．设集合{}{}23,2,1,0,1,3A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{}1,3-B ．{}13xx -<<∣C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,32．下列各组函数相等的是（）A ．()2f x x =，()4g x =B ．()1f x x =-，()21x g x x=-C ．()1f x =，()0g x x=D ．()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩3．“()00f =”是“()f x 是定义在R 上的奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b c a>>5．某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的13，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次6．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．关于x 的不等式212210x x a +⋅+-<对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．2a ≤-D ．2a <-8．已知关于x 的不等式240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m <，则4b a b +的最小值为（）A ．－4B ．4C ．5D ．8二、多选题9．已知0a b c d >>>>，下列说法正确的是（）A ．a c b d+>+B ．33a b >C ．ac bc>D ．11c d<10．下列说法正确的是（）A ．命题“0x ∃∈R ，200320x x ++≤”的否定是“x ∀∈R ，2320x x ++>”B ．22am bm <是a b <的充分不必要条件C ．()1f x x=的单调减区间为()(),00,-∞+∞ D ．若命题“x ∃∈R ，240ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为()0,1611．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对于任意正数x ，y ，都有()()()f xy f x f y =，当1x >时()1f x <且()124f =，则下面结论正确的是（）A ．()10f =B ．()11f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()114f x -<的解集为()3,+∞D ．若()2f m =，则实数2m =三、填空题12．已知函数()f x 的定义域为()1,3，则函数()1g x -=的定义域为．13．已知函数()35bf x ax x=++，且()79f =，则()7f -=．14．已知偶函数()f x 的定义域为[]3,3-，且()f x 图象是连续不断的，若1x ∀，[]23,0x ∈-，当12x x <时，有()()221122x f x x f x >，则满足不等式()()()()22222121a f a a f a --≥++的实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.(1)求A B ，()A B ⋂R ð；(2)若B C C = ，求实数m 的取值范围.16．已知函数()(),R 1b f x ax a b x =-∈+，图象经过点52,3⎛⎫⎪⎝⎭，且()112f =.(1)求,a b 的值；(2)用定义法证明函数=op 在区间()1,∞-+上单调递增.17．以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产x 百台高级设备需要另投成本y 万元，且220,040,100N16590001125,40100,100N 2x x x x y x x x x ⎧+≤<∈⎪=⎨+-≤≤∈⎪⎩，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台．(1)求企业获得年利润P （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．18．已知函数()(1)x x f x a k a -=--(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.(1)求实数k 的值；(2)若(1)0f >且关于x 的不等式2(5)(1)0f x f mx ++->对任意[]3,5x ∈恒成立，求实数m 的取值范围19．“函数()x ϕ的图像关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图像关于点()1,2对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++．(1)求()()13f f -+的值；(2)设函数()22xg x x=-．（ⅰ）证明：函数()g x 的图像关于点()2,2-对称；（ⅱ）若对任意[]10,2x ∈，总存在242,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．。

福建省厦门第一中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

高三年数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1.在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z 等于（） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --2.已知集合{}{}2|20,|2,x A x x x B y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（）A ．∅B ．[)1,+∞C ．(]0,2D ．(]0,13.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 5.若函数()()1tan cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（）A ．1B ．2 C1+ 6.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（）A ．4B ．6C ．8D ．127.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．[]123sin,0,246y t t π=+∈ B ．[]123sin ,0,2462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ C ．[]123sin,0,2412y t t π=+∈ D ．[]123sin ,0,24122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 8.已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．．2 D9. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+，，则下列结论错误的是（）A ．1b =B ．()a b b +⊥ C ．1a b = D ．3a b += 10.若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 11. ()()()(),00,sin xf x x xππ=∈-大致的图像是（）A ．B ．C ．D ．12.已知函数()()(),ln 24x aa x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（） A ．ln 2 B ．ln 21- C ．ln 2- D ．ln 21--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每大题共5小题，每小题5分，共20分．13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=____________．15. n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．16.已知[],0,x y π∈，则()cos cos 2cos x y x y +++的最小值为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b B c C =+．（1）求A 的大小；（2）若a b ==，D 是BC 的中点，求AD 的长．18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =，（1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；（2）设()*21log n n n b S a n N +=∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()090θθ≤，试求cos θ的取值范围．20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过()*12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？21.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x=的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =．（1）求1C 的方程；（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．22.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,01,xf x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln xxa aa '=）参考答案一、选择题 BDABC BADCA CD 二、填空题13.1415．21n + 16．94- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理，得：()()()()22sin 2sin 2sin 222a A b B c C a b b c c =++⇒=++，即222a b c =++，．．．．．．．．．．．．．．．2分因为0c >，所以6c =．．．．．．．．．．．．6分又()12AD AB AC =+，所以()()22221192cos 442AD AB ACc cb A b =+=++=，所以AD =．．．．．．．10分 18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由()1125n n n a a a +++=得，22520q q -+=，解得12q =或2q =，．．．．．．．．．．2分又由2510a a =知，()24911a q a q =，所以1a q =，因为{}n a 为递增数列，所以112,2,S 22n n n n a q a +====-．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()()()()1121log 2211221n n n n n b S a n n n +++==-+=+-+，记数列(){}112n n ++的首n 项和为nP ，则()234122324212n nPn +=+++++，()3452222324212n n P n +=+++++，两式相减得：()()()()3133412322221222212212221n n n n n n P n n n -++++--=++++-+=+-+=--，即22n n P n +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又(){}21n +的前n 项和为()()223413n n n +++++=+，．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()223n n T n n n +=-+．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为平面ACFE⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-，设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()11,3,n λ=-，．．．．．．．．．．．7分∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴1212cos 1n n n n θ===+．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12． ∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴40n A n =，第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，∴()2144222n n n B n n n -=+⨯=+，．．．．．．4分第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，∴()()1121221122n n n C -==--．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）令n n A B >，即24022n n n >+，解得19n <，∵n N ∈且12n ≤，∴n n A B >恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令n n A C >，即()140212nn >-，当1,2,3,,7,8n =时，该不等式显然成立，当9n =时，()9140936021255.52⨯=>-=，而当10n =时，()101401040021511.52⨯=<-=，不等式n n A C <成立，同样可计算得当11,12n =时，n n A C <成立．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n C 最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）设()()1111,0,0M x y x y >>，由抛物线定义，2115521333MF xx =⇒+=⇒=，因为2114y x =，所以1y =，即23M ⎛ ⎝．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以173MF ==，由椭圆定义得： 127524233a MF MF a =+=+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以b ==1C 的方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．5分（2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，．．．．．．．．．．．．．．6分代入椭圆1C 的方程为22143x y +=，得22784120x mx m -+-=，由题意知，()2264284120m m m ∆=-->⇔<<．．．．．．．．．．．7分设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777m m mx x y y m x x m +=+=-+=-+=，所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．8分由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上，所以(437710177m mm -+=⇒=-∈．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-．．．．．．．．．．．．．1分当1a >时，ln 0a >，当()0x ∈+∞，时，20,1xx a >>，∴10x a ->，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当01a <<时，ln 0a <，当()0,x ∈+∞时，20,1xx a ><，∴10x a -<，所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，()f x 在()0,+∞上单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()2ln xf x a x x a b =+--，因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()max min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-．．．．．．．．．．．5分()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0xa a ->>，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0xa a -<>，∴()0f x '<；③当0x =时，()0f x '=，∴()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴当[]1,1x ∈-时，()()()()(){}min max 01,max 1,1f x f b f x f f ==-=-，．．．．．．．．7分而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a b a b a a a a ⎛⎫--=+---++-=--⎪⎝⎭，设()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭（当1t =时取等号），∴()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =， ∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴()()11f f >-，．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()()101f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分设()()ln 1h a a a a =->，则()1110a h a a a-'=-=>， ∴函数()()ln 1h a a a a =->在()1,+∞上为增函数，∴a e ≥，既a 的取值范围是[),e +∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

福建厦门市数学高一上期中测试卷(课后培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．(0分)[ID ：11807]如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．(0分)[ID ：11800]设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．4C ．6D ．85．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件6．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃7．(0分)[ID ：11750]函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：11791]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>10．(0分)[ID ：11772]已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33211．(0分)[ID ：11771]函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞12．(0分)[ID ：11770]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A ．3B ．2-C ．3-D ．2 13．(0分)[ID ：11746]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b14．(0分)[ID ：11744]函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（）A ．7B ．72C ．74D ．78二、填空题16．(0分)[ID ：11889]已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___17．(0分)[ID ：11884]已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 18．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____.19．(0分)[ID ：11870]设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．(0分)[ID ：11856]定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．21．(0分)[ID ：11854]函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．22．(0分)[ID ：11850]已知函数f(x)=log a (2x −a)在区间[12,23]，上恒有f (x )>0则实数a 的取值范围是_____.23．(0分)[ID ：11845]2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）24．(0分)[ID ：11831]已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12009]已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若0a <，0b >，0c且()f x 在[]0,2上的最大值为98，最小值为2-，试求a ，b 的值；（2）若1c =，102a <<，且()2f x x ≤对任意[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围.（用a 来表示）27．(0分)[ID ：11984]已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 28．(0分)[ID ：11982]已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．29．(0分)[ID ：11933]国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．（1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数；（2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？ 30．(0分)[ID ：12024]计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．A4．C5．B6．C7．B8．C9．D10．B11．D12．A13．B14．B15．C二、填空题16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能17．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数18．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称20．f（x）＝4﹣x﹣3﹣x【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f（x）已知当x∈03时f（x）＝3x+a4x（a∈R）当x＝0时f（0）＝0解得21．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减22．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间1223上恒有f（x）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】23．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是24．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.2．C解析：C 【解析】【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a，当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去；当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．A解析：A 【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．5．B解析：B 【解析】【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.6．C解析：C 【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>，因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 10．B解析：B 【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.12．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数，由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-，即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q 的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.13．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.14．B解析：B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．15．C解析：C 【解析】【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能解析：{|40}x x x ><或【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.17．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.18．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ），当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.21．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.22．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】解析：(13,1)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，即{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[12,23]上恒有f （x ）＞0，则{0<a <10<2x −a <1 ，或{a >12x −a >1当{0<a <10<2x −a <1时，解得13＜a ＜1，当{a >12x −a >1时，不等式无解.综上实数a 的取值范围是（13，1）故答案为（13，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．23．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=，设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--，所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.24．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

2017-2018年福建省厦门市同安一中高一上学期数学期中试卷和解析

2017-2018学年福建省厦门市同安一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={2，3，5}，那么（∁U M）∩N=（）A．∅B．{1，3}C．{4}D．{5}2．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．[﹣2，）C．（﹣，2]D．（﹣∞，2]3．（5分）某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．35．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）A．f（x）=log2x B．f（x）=x+1 C．f（x）=x3D．f（x）=lg|x|6．（5分）用二分法求方程求函数f（x）=3x+3x﹣8的零点时，初始区间可选为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度8．（5分）x=+的值属于区间（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2） D．（2，3）9．（5分）三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a10．（5分）已知f（x）=log a（6﹣3ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2） D．（1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）为奇函数，x＞0时为增函数且f（2）=0，则{x|f（x ﹣2）＞0}=（）A．{x|0＜x＜2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x ＜﹣2或x＞2}12．（5分）若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则f（4）的值为．14．（5分）已知函数f（x）=log a（2x﹣1）+3的图象恒过定点P，则P点的坐标是．15．（5分）已知﹣1≤x≤1，则函数y=4•3x﹣2•9x的最大值为．16．（5分）已知f：N*→N*是从N*到N*的增函数，且f（1）=2，f[f（k）]=3k，则f（5）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，B={x|x2﹣mx+2=0，x∈R}，且A∩B=B，求实数m的取值范围．18．（12分）计算下列各式的值：（Ⅰ）（Ⅱ）．19．（12分）小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量y（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用如图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元．（1）把y表示为x的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店月利润最大？（利润=收入﹣支出）20．（12分）函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），0＜a＜1（Ⅰ）求函数f（x）的定义域并求该函数的单调区间．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为[﹣2，+∞），求a的值．21．（12分）设函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，并判断f（x）的单调性；（Ⅱ）已知g（x）=4x+4﹣x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2①若2x﹣2﹣x=t试将g（x）表示为t的函数关系式；②求m的值．22．（12分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（Ⅱ）试分别探究形如①y=ax2+bx+c（a≠0）、②y=a x（a＞0且a≠1）、③y=log a x （a＞0且a≠1）的函数，是否一定具有性质M？并加以证明．（Ⅲ）已知函数具有性质M，求a的取值范围．2017-2018学年福建省厦门市同安一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={2，3，5}，那么（∁U M）∩N=（）A．∅B．{1，3}C．{4}D．{5}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，∴C U M={4，5}，∵N={2，3，5}，（C U M）∩N={4，5}∩{2，3，5}={5}，故选：D．2．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．[﹣2，）C．（﹣，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴，即函数的定义域为（﹣，2]，故选：C．3．（5分）某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）A．B．C．D．【解答】解：随着时间的增加，距学校的距离在减小，即函数图象应为减函数，排除A、C曲线的斜率反映行进的速度，斜率的绝对值越大速度越大，步行后速度变小，故排除B故选：D．4．（5分）已知函数f（x）=，则的值为（）A．B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．5．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）A．f（x）=log2x B．f（x）=x+1 C．f（x）=x3D．f（x）=lg|x|【解答】解：∵f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），∴f（x）=log2x是非奇非偶函数；对于f（x）=x+1，f（﹣x）=﹣x+1，﹣f（x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠﹣f（x），∴f（x）=x+1为非奇非偶函数；幂函数f（x）=x3的图象关于原点中心对称，函数为奇函数，且在定义域内为增函数；对于函数f（x）=lg|x|，f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|=f（x）是定义域内的偶函数．∴既是奇函数，又是增函数的是f（x）=x3．故选：C．6．（5分）用二分法求方程求函数f（x）=3x+3x﹣8的零点时，初始区间可选为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=3x+3x﹣8在区间（1，2）上连续且单调递增，f（0）=﹣7＜0，f（1）=﹣2＜0，f（2）=7＞0，f（1）f（2）＜0，由零点判定定理可知函数f（x）=3x+3x﹣8的零点在（1，2）之间．故用二分法求函数f（x）=3x+3x﹣8的零点时，初始的区间大致可选在（1，2）上．故选：B．7．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．8．（5分）x=+的值属于区间（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：x=+=====log310．因为32＜10＜33，所以x∈（2，3）．故选：D．9．（5分）三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=ln0.6＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．10．（5分）已知f（x）=log a（6﹣3ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2） D．（1，+∞）【解答】解：由题意可得，a＞0，且a≠1，∴t=6﹣3ax在[0，1]上大于零且是减函数．又f（x）=log a（6﹣3ax）在[0，1]上是减函数，则，求得1＜a＜2，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）为奇函数，x＞0时为增函数且f（2）=0，则{x|f（x ﹣2）＞0}=（）A．{x|0＜x＜2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x ＜﹣2或x＞2}【解答】解：由于函数f（x）为奇函数，x＞0时为增函数且f（2）=0，可得函数在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣2）=0，故函数f（x）的单调性示意图如图所示：由函数的图象可得﹣2＜x﹣2＜2，或﹣2x﹣2＜0，解得0＜x＜2或x＞4，故选：A．12．（5分）若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）【解答】解：g（x）是（﹣∞，0）上的正函数；∴存在区间[a，b]⊆（﹣∞，0），x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]；g（x）在[a，b]上单调递减；∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（b），f（a）]=[b2+m，a2+m]；∴；∴a2﹣b2=b﹣a；∴a+b=﹣1；∴a=﹣b﹣1；由a＜b＜0得﹣b﹣1＜b＜0；∴；m=a﹣b2=﹣b2﹣b﹣1；设f（b）=﹣b2﹣b﹣1，对称轴为b=；∴f（b）在上单调递减；∴；∴实数m的取值范围为（﹣1，）．故选：B．二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则f（4）的值为16．【解答】解：幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），可得2a=4，解得a=2，则f（x）=x2，f（4）=42=16．故答案为：16．14．（5分）已知函数f（x）=log a（2x﹣1）+3的图象恒过定点P，则P点的坐标是（1，3）．【解答】解：对于函数f（x）=log a（2x﹣1）+3，令2x﹣1=1，求得x=1，f（x）=3，可得函数的图象图象恒过定点P（1，3），故答案为：（1，3）．15．（5分）已知﹣1≤x≤1，则函数y=4•3x﹣2•9x的最大值为2．【解答】解：函数y=4•3x﹣2•9x=﹣2（3x）2+4•3x，令3x=t，由﹣1≤x≤1，可得≤t≤3，y=﹣2t2+4t，t∈[，3]．由于函数y=﹣2t2+4t的对称轴为t=1，开口向下，∴当t=1时，y max=﹣2+4=2，故答案为：2．16．（5分）已知f：N*→N*是从N*到N*的增函数，且f（1）=2，f[f（k）]=3k，则f（5）=8．【解答】解：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，假设f（1）=1时，有f（f（1））=f（1）=1矛盾假设f（1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数，得f（f（1））≥f（3）＞f（1）≥3矛盾由以上的分析可得：f（1）=2，代入f（f（1））=3，得f（2）=3，可得f（3）=f（f（2））=3×2=6，f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18由f（f（k））=3k，取k=4和5，得f（f（4））=12，f（f（5））=15，∵在f（6）和f（9）之间只有f（7）和f（8），且f（4）＜f（5），∴f（4）=7，f（7）=12，f（8）=15，f（5）=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R}，B={x|x2﹣mx+2=0，x∈R}，且A∩B=B，求实数m的取值范围．【解答】解：A={1，2}，因为A∩B=B，所以B⊆A．根据集合B中元素个数分类：B=∅，B={1}或{2}，B={1，2}．当B=∅时，△=m2﹣8＜0，解得：﹣2＜m＜2．当B={1}或{2}时，或，可知m无解．当B={1，2}时，解得m=3．综上所述，m=3或．18．（12分）计算下列各式的值：（Ⅰ）（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）原式=；（Ⅱ）原式=．19．（12分）小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量y（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用如图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元．（1）把y表示为x的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店月利润最大？（利润=收入﹣支出）【解答】解：（1）当40≤x≤60时，由两点式得AB：，即y=﹣20x+140；当60＜x≤80时，由两点式得BC：，即；∴；（2）设该店拥有职工m名，当x=50时，该店的总收入为y（x﹣40）×100=100（﹣2x+140）（x﹣40）=40000元．又该店的总支出为1000m+10000元，依题意得40000=1000m+10000，解得：m=30．∴此时该店有职工30名；（3）若该店只有20名职工，则月利润：．当40≤x≤60时，S=﹣2（x﹣55）2+15000，∴x=55时，S取最大值15000元；当60＜x≤80时，，∴x=70时，S取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．20．（12分）函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），0＜a＜1（Ⅰ）求函数f（x）的定义域并求该函数的单调区间．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为[﹣2，+∞），求a的值．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，则有解得﹣3＜x＜1，所以定义域为（﹣3，1）．函数可化为，设g（x）=﹣x2﹣2x+3，则g（x）的对称轴为x=﹣1，即g（x）在（﹣3，﹣1]上是增函数，则[﹣1，1）上是减函数，当0＜a＜1时，利用复合函数单调性可得单调减区间为（﹣3，﹣1），单调增区间为（﹣1，1）；（Ⅱ）函数可化为∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴，由题意知：log a4=﹣2，得a﹣2=4，∴．21．（12分）设函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，并判断f（x）的单调性；（Ⅱ）已知g（x）=4x+4﹣x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2①若2x﹣2﹣x=t试将g（x）表示为t的函数关系式；②求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=k×2x﹣2﹣x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×20﹣2﹣0=0，∴k=1．∴f（x）=2x﹣2﹣x，∵y=2x是增函数，∴y=﹣2﹣x也是增函数，∴f（x）=2x﹣2﹣x是增函数．（Ⅱ）2x﹣2﹣x=t，∵x≥1，∴，y=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（），当时，，∴2﹣m2=﹣2，∴m=2．当时，y在时取最小值，，∴（舍去）．综上得m=2．22．（12分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（Ⅱ）试分别探究形如①y=ax2+bx+c（a≠0）、②y=a x（a＞0且a≠1）、③y=log a x（a＞0且a≠1）的函数，是否一定具有性质M？并加以证明．（Ⅲ）已知函数具有性质M，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：即，解得x0=1∴函数f（x）=2x具有性质M．（Ⅱ）解法一：函数y=f（x）恒具有性质M，即关于的方程f（x+1）=f（x）+f （1）（*）恒有解．①若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得．∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．②若f（x）=a x，则方程（*）可化为a x+1=a x+a，化简得（a﹣1）a x=a即，当0＜a＜1时，方程（*）无解，∴函数y=a x（a＞0且a≠1）不一定具有性质M．③若f（x）=log a x，则方程（*）可化为log a（x+1）=log a x，化简得x+1=x显然方程无解，∴函数y=log a x（a＞0且a≠1）不一定具有性质M．（Ⅲ）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0，∵h（x）具有性质M，∴存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得化为，整理得：有实根，①若a=2，得，满足题意；②若a≠2，则要使有实根，只需满足△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得，∴，综合①②，可得．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

福建省福建师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷共60分．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则AB =( )A ．φB ．{}2C ．{}0D ．{}2- 【答案】B 【解析】试题分析：由220x x --=，解得2x =或1x =-，所以{1,2}B =-，所以{2}A B =，故选B ．考点：集合的交集运算．2.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=,如果向量a 与b 平行,则m 的值为( ) A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B考点：平面向量平行的充要条件． 3.若i 为虚数单位，则131ii+=-( ) A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：13(13)(1)121(1)(1)i i i i i i i +++==-+--+，故选B ．考点：复数的运算． 4.已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为( ) A ．1516 B ．916 C ．78 D ．1516± 【答案】C【解析】试题分析：2217sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()24448x x x x πππ=-=-=--=-⨯=，故选C ．【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值，解答时通常是首先利用三角恒等变换公式对已知三角函数进行处理，得到相关的结论后，再对所求式进行处理．处理已知三角函数等式时要注意观察结构特征，主要观察：（1）角间关系，适时选用两角和差公式与二倍角公式等；（2）函数的名称，主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换；（3）结构特征，主要是选用二角公式，或进行公式的逆用．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角． 5.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】B考点：三角函数图象的平移变换．【方法点睛】利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（0ω>），再沿x 轴向左（0ϕ>）或向右平移||ϕω个单位可得到sin()y A x ωϕ=+的图象．6.等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则24a a =( ) A ．6 B ．9 C ．36 D ．81 【答案】C 【解析】试题分析：因为24241351(1)3(1)21a a a a q q q q ++=++=++=，所以2417q q ++=，解得22q =，所以24222413236a a a q ==⨯=，故选C ．考点：等比数列的通项公式．7.已知:,23x x p x R ∀∈<；32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列中为真的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】试题分析：当0x =时，231x x==，故p 为假，所以p ⌝为真．作出函数3y x =与21y x =-的图像如图所示，由图知q 为真，所以q ⌝为假，所以p q ⌝∧为真，故选B ．考点：复合真假的判断．8.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =++-，则()f x 是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】D考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．9.若函数()sin (0,)y x ωϕωϕπ=-><在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图如右图所示, 则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3πωϕ== B ． 22,3πωϕ==-C ．1,23πωϕ==D ． 12,23πωϕ==- 【答案】A考点：三角函数的图象与性质．10.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ∙=( )ADCBA ．．2 C ．3D 【答案】D 【解析】试题分析：因为AD AB ⊥，所以0AD AB =，则()AC AD AB BC AD AB AD BC AD =+=+＝23()33AD AD AB AD AD =-==D ．考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积；3、平面向量垂直的充条件． 11.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( )【答案】C 【解析】试题分析：因为()102f π=>，故排除A ；因为()(1cos )(sin )()f x x x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数，故排除B ；因为()cos cos 2f x x x '=-，分别作出cos y x =与cos 2y x =的图象，可知极值点在(,)2ππ上，故选C ．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性． 12.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前44项和为( ) A ． 990 B ．870 C ．640 D ．615 【答案】A考点：1、数列求和；2、等差数列的前n 项和．第Ⅱ卷共90分．二、填空题每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13.已知3,2a b ==,a 与b 的夹角为030,则a b -=_ _____．【答案】1 【解析】试题分析：由题意，得||||cos3023a b a b =︒==，所以2222a b a a b b -=-+＝222231-⨯+=．【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式22||a a a a ==进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，本题已知两个向量,a b 的模与夹角求由两个向量,a b 构成的向量线性关系ma nb +的模，就是主要是利用公式22||a a a a ==进行转化．考点：1、平面向量的夹角；2、平面向量的模．14.若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是______________．【答案】02b << 【解析】试题分析：由函数()22x f x b =--有两个零点，得22xb -=有两个不等的根，即函数22x y =-与函数y b =的图象有两个交点，如图，由图可得02b <<．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．15.若等差数列{}n a 满足6780a a a ++>,690a a +<,则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】7考点：等数列的性质．16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北030的方向上，行驶600米后到达B 处，测得此山顶在西偏北075的方向上，仰角为030，则此山的高度CD =_____米.【答案】【解析】试题分析：由题意，得30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒．在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒．因为600AB =，由正弦定理，得600sin 45sin 30BC=︒︒，即BC =．在Rt BCD ∆中，tan tan 30CD CBD BC ∠=︒==CD =．考点：1、三角函数的定义；2、正弦定理．【规律点睛】解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．三、解答题（本大题共6题，满分70分）17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零,125a =,且11113,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．【答案】(Ⅰ)227n a n =-+；(Ⅱ)2328n n -+．考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列与等比数列的性质；3、等差数列的前n 项和． 18.(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c --= (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若2a =,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）60︒；(Ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将角转化为边，再用两角和与差的正弦简化等式，从而求得角A ；(Ⅱ)利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的范围，再利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =求得面积的最大值．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C A C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（Ⅱ）2222cos ,a b c bc A =+-2242b c bc bc bc bc ∴=+-≥-=，∴1sin 24S bc A ==≤当且仅当b c =时，等号取到.考点：1、正余弦定理；2、两角和与差的正弦；3、三角形面积公式；4、基本不等式．【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时，正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化，而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系，而涉及解三角形问题，往往把三角恒等变换公式加以交汇与综合，利用公式的变换达到解决问题的目的．19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈. (I)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.【答案】（I ）=2n a n -；（II ）12nn-．（II ）由（I ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111)+()++()]2-1113232112nn n n---=---[( 考点：1、数列前n 项和与n a 的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用1a 和()d q 表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20.(本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,1AB =,3BC =,2CD DA ==. (Ⅰ)求角C 的大小和线段BD 的长度;(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积.【答案】(Ⅰ)π3C BD ==，；(Ⅱ)考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式．21.(本小题满分12分)设函数b ax x x f ++=2)(,)()(d cx e x g x +=.若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ,且在点P 处有相同的切线24+=x y . (Ⅰ)求a 、b 、c 、d 的值；(Ⅱ)若x ≥－2时,)()(x kg x f ≤,求k 的取值范围.【答案】(Ⅰ)4,2,2,2a b c d ====；(Ⅱ)k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+，设函数()()()()()22142,2x F x kg x f x ke x x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, （6分）①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ，而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥． ∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立．（8分）②若2k e =，则()()()22'22x F x e x e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立，③若2k e >，则()()22222220F ke e k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦ ．（12分）考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数单调区间；3、不等式恒成立问题.请从下面所给的22 , 23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴,取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换''2x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，曲线'C 上任一点为00(,)M x y ，求0012y +的取值范围.【答案】（Ⅰ）直线l 10y +-=，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=；（Ⅱ）[4,4]-．考点：1、参数方程与普能方程的互化；2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、伸缩变换．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知1()33f x x x a a=++- (Ⅰ)若1a =，求()8f x ≥的解集；(Ⅱ)对任意(0,)a ∈+∞，任意x R ∈，()f x m ≥恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(Ⅰ)5(,1][,)3x ∈-∞-+∞；（Ⅱ）考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的性质；3、不等式恒成立；4、基本不等式．【方法点睛】（1）求含有双绝对值不等式的解集通常用两种方法：①如果两个绝对值中x的系数相同，则可考虑利用绝对值的几何意义较为简便；②如果两个绝对值中x的系数示相同，则可考虑利用零点分段法；（2）处理含有双绝对值不等式的恒成立问题时，通常转化为求含有双绝对值不等式函数的最值问题，而求其最值时主要利用三角形绝对值不等式可解决．。

【精品】福建省厦门市双十中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析

2017-2018福建省厦门双十中学高一期中考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则集合的真子集个数为（）A. 8B. 7C. 4D. 3【答案】B【解析】集合M={x|x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，所以集合M 的真子集个数为：23﹣1=7个．故选：B．点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C考点：集合间的关系.3. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．4. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足：，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知：在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），，①，所以，即，②①②得；故选B．5. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为[0，+∞），函数非奇非偶，不满足题意；对于B，∵﹣3|﹣x|=﹣3|x|，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=﹣3x是减函数，故满足题意；对于C，∵log3（﹣x）2=log3x2，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=2log3x是增函数，故不满足题意；对于D，（﹣x）﹣（﹣x）2≠x﹣x2，函数非奇非偶，不满足题意；故选A．6. 已知的图象恒过点，则函数的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B7. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，，，故.考点：比较大小.8. 已知幂函数图象过点，则（）A. 3B. 9C. -3D. 1【答案】A【解析】设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，即f（x）==，所以f（9）==3，故选A．9. 函数的最小值为（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：，所以函数的最小值为.考点：1、对数运算；2、二次函数.10. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数是增函数，令，必有，为增函数．∴a＞1，∴，∵当x=0时，，∴．又∵= ，∴，∴．故选A．11. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函数为偶函数，∴二次函数的对称轴为轴，∴，且，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得，或，故由，可得，或得，或，故的解集为，故选C．点睛：解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.12. 已知函数有唯一零点，则（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数，则__________．【答案】-1【解析】令t=2x+1，则x=, 则f（t）=﹣2=∴, ∴f（3）=﹣1.故填：.点睛：求未知函数解析式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解．14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________．【答案】【解析】∵x＞0时，，∴当时，，，又∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，∴．故答案为：．15. 设函数，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，此时＜x≤0，当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，故答案为：（，+∞）．16. 已知函数有四个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，得a﹣1=﹣x2+|x|，作出y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象，要使函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a﹣1＜，解得：a∈，故答案为：点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题。

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2017—2018学年福建省厦门大学附属实验中学高一第一学期期中质量检测数学一、选择题：共12题1. 已知全集,则为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知,所以=.选B.2. 下列函数中,随的增大,最后增长速度最快的是A. B. = C. = D.【答案】A【解析】对数函数增长速度最慢,排除C;幂函数增长平稳,排除B,D;指数函数随的增大,最后增长速度最快.选A.3. 若=,则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得===,解得.选B. 4. 下列说法中,正确的是A. 对任意,都有B. =是上的增函数C. 若且,则D. 在同一坐标系中,与的图象关于直线对称.【答案】D【解析】令,则,排除A; =是上的减函数,排除B;当时,成立,当时,不成立,排除C.选D.5. 函数=,则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得==;所以=.选A.6. 设=,用二分法求方程=在区间内的近似解中,取区间中点=,则下一个有根的区间为A. 或B.C.D.【答案】C【解析】因为====,即;而单增,由零点存在定理知,的零点所在的区间是.即下一个有根的区间为.选C.7. 若函数在上是减函数,且,则的取值范围是A. B. C. D. 或【答案】C【解析】因为在上是减函数且,所以,解得.选C.点睛：用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)<f(a)．8. 若幂函数互质)的图象如图,则A. 是奇数,且B.是偶数,是奇数,且C.是偶数,是奇数,且D.是奇数,是偶数,且【答案】C【解析】由图知幂函数为偶函数,且,排除B,D;当是奇数时,幂函数非偶函数,排除A;选C.9. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】试题分析：，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，故.考点：函数的奇偶性.10. 某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场发生变化,产品连续两次提价20%,产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售,若此时厂家同时出售产品各一件,则相对于没有调价的盈亏情况是A. 不亏不赚B. 赚5.92元C. 赚28.96元D. 亏5.92元【答案】D11. 函数=且),在上是增函数,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上是增函数,即当时,=单增,即,解得;当时,单增,即且,解得;所以,即实数的取值范围是.选C.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12. 设方程=的根为,方程=的根为,则=A. B. C. D.【答案】C【解析】与的图象关于直线对称;而与的交点为,直线关于直线对称;与的交点与的交点,由图可得与关于点中心对称,所以.选C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题：共4题13. 化简的结果是________.【答案】1..................14. 已知=在区间上是增函数,则的取值范围是___.【答案】【解析】由题意知,的对称轴方程为;因为该函数在区间上单调递增,所以,解得.所以的取值范围是.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.15. 函数=(其中且)的图象恒过定点,且点在幂函数的图象上,则= ______.【答案】9【解析】由题意知,当时,.即函数=的图象恒过定点.而在幂函数的图象上,所以,解得,即,所以=9.16. 已知函数=,则的解集为_____.【答案】【解析】因为单增,单增,所以函数在区间上单增;而==等价于,所以,即,解得或.即的解集为.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内三、解答题：共6题17. 已知函数=的定义域为=的定义域为(其中为常数).(1)若,求及;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);=.(2)【解析】试题分析：（1）先根据偶次根式非负得不等式，解不等式得A，B，再结合数轴求交，并，补（2）先根据得,再根据数轴得实数的取值范围.试题解析：(1)若,则由已知有因此;,所以=.(2)∴,又==∴18. 已知函数为常数),且函数的图象过原点.(1)求的值;(2)若函数,求的定义域;(3)已知函数,求函数的零点.【答案】(1)0；(2)(3).【解析】试题分析：（1）先代入原点得c（2）先根据真数大于零得不等式，再解分式不等式得的定义域;（3）解指数方程得，解得函数的零点.试题解析：(1)函数的图象过原点,∴,解得∴.(2)由(1)可知==,由得或,∴的定义域为(3)令,有=,即=,∴,即==,即函数的零点为.19. 已知函数=.(1)当=时,求的值;(2)当时,求的最大值和最小值.【答案】(1)2；(2)最小值=,最大值=【解析】试题分析：（1）解关于二次方程得;再解指数方程得的值;（2）先转化为关于二次函数，由得范围，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值试题解析：(1)当=时,即,∴,又,∴;解得.(2)=则=当,即时,函数的最小值=,当,即时,函数的最大值=20. 已知函数(其中为常数),且.(1)求的值;(2)判断并利用定义证明函数的奇偶性;(3)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)1；(2)答案见解析；(3)【解析】试题分析：（1）解指数方程得的值;（2）先求定义域，判断关于原点对称，再求，判断与关系，最后根据奇偶性定义得函数的奇偶性;（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值,再根据函数单调性确定函数最值，即得实数的取值范围.试题解析：(1),∴,∴(2)由(1)知=,∴函数的定义域为,关于原点对称,又===∴是奇函数.(3)因为不等式在区间上恒成立,只要,又是上的增函数,∴==,∴21. 如图是某公共汽车线路收支差额(票价总收人减去运营成本)与乘客量的函数图象.目前这条线路亏损,为了扭亏,有关部门举行提高票价的听证会.乘客代表认为:公交公司应节约能源,改善管理,降低运营成本,以此举实现扭亏.公交公司认为:运营成本难以下降,公司己尽力,提高票价才能扭亏.根据这两种意见,可以把图分别改画成图②和图③,(1)说明图①中点和点以及射线的实际意义;(2)你认为图②和图③两个图象中,反映乘客意见的是_________,反映公交公司意见的是_________.(3)如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢,请你在图④中画出符合这种办法的大致函数关系图象.【答案】(1)答案见解析；(2)图③;图②;(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据实际意义理解点和点以及射线的含义（2）从乘客代表理解要降低运营成本，所以是图③;公交公司提高票价，所以是图②;（3）从实际意义理解得将图中的射线绕点逆时针适当旋转且向上平移.试题解析：(1)点表示这条线路的运营成本为1万元;点表示乘客数达1.5万人时,这条线路的收支达到平衡;(2)反映乘客意见的是图③;反映公交公司意见的是图②;(3)将图中的射线绕点逆时针适当旋转且向上平移.22. 已知函数=,其中.(1)证明:当时,函数在上为增函数;(2)设函数=,若函数只有一个零点,求实数的取值范围,并求出该零点(可用表示).【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）作差变形，提取公因式，再根据指数函数单调性确定符号，最后根据单调性定义确定增减性（2）先化为关于二次方程，再根据对称轴与定义区间位置关系确定二次函数零点，进而确定实数的取值范围.试题解析：(1)设,由=得==因为,所以,即又,所以即所以在上为增函数.(2)==令,得=即=,因为只有一个零点,即方程=只有一解,设,则令=,问题转化为函数只有一个正的零点,时,因为,所以对称轴在的右侧又所以仅当时,只有一个正的零点,故,解得,此时,,由;解得的零点为.②当时,因为=,所以对称轴在的左侧,在上为减函数,又==,所以在上仅有一个零点,因而在上仅有一个零点,此时=由=知,零点为,综上,所求的取值范围是或,且当时,零点为,当时,零点为.点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决。