高中数学复习学(教)案分类计数原理和分步计数原理

题目第十章排列、组台、二项式定理分类计数原理和分步计数原理 高考要求1掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题2分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决知识点归纳1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法 2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”5原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++ , 12n N m m m =⨯⨯⨯ 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比． 题型讲解例1 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果点评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步例2 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解 例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 答案：C 45·24=80个例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种（以数字作答）解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种 654321所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理， 不同栽种方法有N =A 34×5=120 答案：120点评：①解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法 ②较复杂的应用题，需确定或设计出完成事件的程序，依需要分类或分步（“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”相依且连续）而每个程序都是简单的排列组合问题例4 (1)有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？(1) 解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3＝9种信号；③升三面旗，有3×3×3＝27种信号．所以共有3+9+27＝39种信号．(2) 解：计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理． 因此，不同币值有＝15(种)点评 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．D DC CD C B D 654C BD例5 d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种点评：按照分“类”的思路，本题应用了分类计数原理，为把握不同排列的规律，“树图”是一种具有直观现象的有效做法例6 关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？解：（1）∵N =2160=24×33×5，∴2160的正因数为P =235αβγ，其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1∴2160的正因数共有5×4×2=40个（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数∴正因数之和为31×40×6=7440小结： 1分类计数和分步计数两个原理是排列组合计数的理论依据，类与类之间独立且并列，步与步相依且连续 2计算关键 （1）审题；（2）判断分类还是分步？分类相加，分步相乘；（3）判断排列还是组合？有序排列、无序组合 3常用的解题策略特殊元素或特殊位置优先处理；相邻问题捆绑处理；不相邻问题插空处理；分排问题直排处理；机会均等除法处理；正次品问题分类处理；选派问题先选后派；正难则反；等价转化 4弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件这两个原理都是指完成一件事而言的其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事学生练习 1十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_________种行车路线 A 24 B 16 C 12 D 10解析：起点为C 14种可能性，终点为C 13种可能性，因此，行车路线共有C 14×C 13=12种答案：C 2从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A 8种 B 12种 C 16种 D 20种解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C 13·C 14=12种答案：B 3某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( ) A 9×8×7×6×5×4×3 B 8×96 C 9×106 D 81×105解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106∴可增加的电话部数是9×106－9×105=81×105答案：D 4从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于( ) A 0 B 41 C 21 D 43解析：n =C 34=4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m =1∴n m = 41 答案：B5某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A 504B 210C 336D 120解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法 ∴插法种数为7×8×9=504或A 99÷A 66=504答案：A 6从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5=25种答案：25 7 72的正约数（包括1和72）共有__________个解析：72=23×32∴2m ·3n （0≤m ≤3，0≤n ≤2，m ，n ∈N ）都是72的正约数m 的取法有4种，n 的取法有3种，由分步计数原理共3×4个答案：12 8 从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f （x ）=ax 2+bx +c 的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个（用数字作答）解析：一个二次函数对应着a 、b 、c （a ≠0）的一组取值，a 的取法有3种，b 的取法有3种，c 的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个若二次函数为偶函数，则b =0同上共有3×2=6个答案：18 6 9 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种（以数字作答） 解析：依次染①、②、③、④、⑤ 故有4×3×2×3×1=72种 答案：72 10在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?分析：在0~9这10个数字中，按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为0和1，十位数字不能为0和9也就是说组成两位数的数字可按个位分类或按十位分类来计算解法一：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） 点评：在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌⑤④③②①握思维方法，逐步做到恰当分类，合理分步11五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=54种12三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为x、y且x≤y，则x≤y≤11，x+y>11，x、y∈N*当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，10，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；……当x=11时，y=11所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36点评：本题关键是列出约束条件，然后寻找x=1，2，…，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解课前后备注。