选修第7课备课手册定稿 二项式定理

第7讲 二项式定理
一、教学目标
1．理解二项式定理和二项展开式的性质；
2．能运用二项式定理和二项展开式的性质来解决与二项展开式有关的简单问题。

二、知识回顾与梳理
1、二项式定理：（a +b ）n =C 0n a n +C 1n a n －
1b 1+…+C r n a n －
r b r +…+C n
n b n 。

这个公式所表示的
定理叫做二项式定理．．．．．，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r
n (r ＝0,1,2，…n )叫做二项式系数．．．．．。

式中的C .r r
n r
n b a -叫做二项展开式的通项．．
，用T r ＋1表示，即展开式的第r+1项；T r ＋1＝C .r r
n r
n b a
- 注意区别“二项式系数”和“系数”则两个基本概念。

要注意二项式定理的双向功能：一方面可将()n
a b +展开，另一方面可将二项展开式合并成()n
a b +，可以用于化简、求和或者证明。

2、二项式系数性质：C m n
=C m n n
-，即对称性.当n
为偶数时，C 2n
n
最大.当n 为奇数时，
21
C -n n =C 21+n n 且最大.
3、各项二项式系数之和：n
n r n n n C C C C 10+++++ =2n .偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和.1
4205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ，“赋值法”
是研究系数和或二项式系数和常用方法。

三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏内．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．点评时要有针对性，抓住展开式、二项式系数、展开式系数、次数、二项式系数性质等进行，纠正学生普遍存在问题，重点是进一步渗透思想和方法．
2、诊断练习点评
题1：6
(42)()x
x x R --∈展开式中的常数项为 15 . 【分析与点评】
6(42)()x x x R --∈()6222x x --=，(
)
6
222x x --中
r r x r x r r x r x r r C C T )1(2)2()2()()6(266261-=-=-+---+
由题意可知：xr r x --)6(2为常数，即)212(r r x --为常数，所以4,123==r r ，
15)1(22640465==-=∴C C T ，15常数项为∴．
题2：在5
2x ⎫⎪⎭中第3项的二项式系数为__________，系数为__________
【分析与点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r
n r
r n a
b -的应用，通项公式
体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求某些特定项及系数方面有着广泛的应用，本题还考察学生对“二项式系数”和“系数”则两个基本概念的理解。

题3：在n
的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数
是 5
11C .
【分析与点评】本题主要是强化二项式系数的有关知识，在n
的展开式中，展开式系数与二项式系数相同，可以通过添加系数的方法让系数甄别两种系数的区别，弄清两种系数的联系. 当n 为奇数
02
311024.n n n n n n C C C C --++++=13
21024.n n
n n n n C C C C -++
++=
0112048.n n
n n n n C C C C -∴++
++=1120482=∴=∴n n ．
)(11,20482舍为偶数时，当==n n n ，11=n 综合可知，
56
1111,.C C ∴第6项，二项式系数为第7项，二项式系数为
题4：已知7
722107)21(x a x a x a a x +++=-,求7210a a a a +++=__________
【分析与点评】“特值法”是我们解决这类问题的常用方法，寻找、确定“特值”需要敏锐观察题中复杂表达式中蕴涵的与我们所熟悉知识间的关系． 令1x =得：7210a a a a +++=-1 四、范例导析
例1、已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2
m
x +展开式的前三项的系数. （1）求m 的值。

（2）求1(1)2
m
x +
展开式的中间项； 【教学处理】本题的重点是依据题设条件“前三项的系数成等差数列”列式，求出m ．可以先观察学生列式是否准确，然后计算，最后交流、点评． 【引导分析与精讲建议】
解：（Ⅰ）
122111(1)1()()222
m m m x C x C x +=+++
依题意11a =，
212a m =，3(1)
8
m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = 所以1(1)2m x +
展开式的中间项是第五项为：44458135
()28
T C x x ==；
例2、在10
)32(y x -的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和． 【教学处理】
利用通项公式整理化简求特定项，注意到二项式系数与系数的区别． 【引导分析与精讲建议】 分析：如果设10102829110010
)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*)
那
么
各
项
系
数
和
即
为
10
210a a a a ++++ ，其中
⎩⎨
⎧++++++9311020a a a x a a a x 的偶次项系数和为：
的奇次项系数和为：
， x 的奇次项系数和为10420a a a a ++++ ， x 的偶次项系数和为9531a a a a +++，
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210
.
(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10
＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 3
10＋…＋C 910＝29.
(4)令x ＝y ＝1，得到10210a a a a ++++ ＝1，①
令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得103210a a a a a +-+- ＝510
，②
①＋②得， 2(10420a a a a ++++ )＝1＋510
，
∴奇数项的系数和为1＋5
10
2
；
①－②得， 2(9531a a a a +++)＝1－510
， ∴偶数项的系数和为1－5
10
2.
例3、设a ∈Z ，且013a ≤≤，若2012
51a +能被13整除，求a 的值。

【教学处理】
本题考查了利用二项式定理处理整除问题，教学时，让学生独立思考，口答思路，板书完成解题过程。

【引导分析与精讲建议】
题中2012
51
数据较大，无法研究与13的整除问题，考虑到()
2012
2012
51
521a a +=-+，
按二项式定理展开，根据题意可得
()
2012
521a -+()()12
020********
20102012
2012201252521521C C C =+-+-++
()
()
2011
2012
201112012
201220125211C C a -+-+，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题
意可得()
2012
2012
201211C a a -+=+ 能被13整除，再由013a ≤≤，可得12a =，故答案为
12。

【归纳小结】利用二项式定理找出某两个数（或式）之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理构造二项式，并将其展开进行分析判断。

五、解题反思
1．二项式定理是处理有关高次二项式问题的重要工具，对展开式的项数、次数、系数、通项等要在理解的基础上进行记忆；
2．二项式系数的性质，主要是“赋值法”的运用，在具体问题中求关于系数和通常转
化为二项式中字母的特殊值；“杨辉三角”是二项式系数性质：r n r n n C C -=，11
m m m
n n n C C C -++=和最大值等“形”的体现，充分认识“杨辉三角”对理解掌握二项式系数的性质很有帮助． ３．转化、分类、讨论、消元、特殊化等是重要的数学思想和方法，在具体问题的解决中要不断渗透，并使得学生逐步领悟．。