2021年上海数学高考高分直通车核心专题考点详解考点11 计数原理与统计概率(考点详解)(01)
考点11 计数原理与统计概率排列组合是历年高考必考的知识点之一,主要考查分类、分步计数原理的应用,突出分类讨论思想、转化化归思想的应用,问题情景的设置越来越接近生活,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题,是解决这类试题的关键.高考对概率统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向。
概率统计试题的命制会注重考查对图表数据分析处理的能力，强调概率统计的应用性，充分体现概率统计是为生产、生活相关决策提供帮助的重要工具，使考生体会到数学知识与现实生活息息相关。
一、两个基本计数原理1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.二、排列与组合1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质三、二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N +)； (2)通项公式：T r ＋1＝C rn an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1.四、离散型随机变量及其分布列1.样本点和样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.2.概率与频率(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.3.事件的关系与运算4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ). 5.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 6.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn . 7.古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 五、条件概率与事件的独立性、正态分布1.离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率为p 1，p 2，…，p n ，则表称为离散型随机变量X . (2)离散型随机变量分布列的性质：①p i≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3.常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量p的二点分布.(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝C m M C n－mN－MC n N(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.4.条件概率及其性质5.(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.(2)概率公式6.(1)完备事件组：设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，A n是样本空间的一个划分，满足：①A1∪A2∪…∪A n＝Ω.②A 1，A 2，…，A n 两两互不相容，则称事件A 1，A 2，…，A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组.(2)全概率公式设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪ni ＝1A i＝S ，则对任一事件B ，有P (B )＝ i ＝1nP (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组.7.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n ). (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k qn －k ，其中k ＝0，1，2，…，n .于是X 的分布列：X ～B (n ，p ). 8.正态分布(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f (x )＝12π·σe －（x －μ）22σ2，x ∈R (其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.六、抽样与统计图表1.获取数据的基本途径获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.2.总体、样本、样本容量要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.3.简单随机抽样(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.(3)应用范围：总体中的个体数较少.4.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.5.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 6.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 7.样本的数字特征数字特征 定义众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数平均数 样本数据的算术平均数，即x －＝x 1＋x 2＋…＋x nn方差s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中s 为标准差8.百分位数如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n 个观测值按数值大小排列.如，处于p %位置的值称第p 百分位数.七、统计案例1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 2.回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. (2)回归直线方程的求法——最小二乘法.设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，则回归直线方程y ^＝a ^x ＋b ^的系数为：称为样本点的中心.（3）相关系数①计算相关系数r ，r 有以下性质：|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱；②|r |>r 0.05，表明有95%的把握认为变量x 与y 之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义. 3.独立性检验 （1）2×2列联表B B -总计 A n 11 n 12 n 1＋ A n 21 n 22 n 2＋ 总计n ＋1n ＋2n其中n 1＋＝n 11＋n 12，n 2＋＝n 2122＋1＝n 11＋n 21，＋2＝n 12＋n 22，n ＝n 11＋n 21＋n 12＋n 22. (2)χ2统计量χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.(3)两个临界值：3.841与6.635当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关； 当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当χ2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的.两个基本计数原理1．（2021·上海高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A ．1024种 B ．1023种C ．1536种D ．1535种【答案】D【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可. 【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况， 2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有92311535⨯-=种．故选：D.【点睛】误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有10211023-=种．错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况．2．（2021·上海高三专题练习）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A ．4545A A B ．345345A A AC ．145345C A AD ．245245A A A【答案】D【分析】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，然后对4幅油画和5幅国画进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有22A 种不同的排法，然后对4幅油画的排放有44A 种不同的排法 对5幅国画的排放有55A 种不同的排法，所以不同的陈列方式有245245A A A 种不同的排法.故选：D.3．（2021·上海高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种． A ．34A B ．34C ．43D ．34C【答案】C【分析】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理可得冠军获奖者的情况.【详解】解:由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法， 由乘法原理共有433333⨯⨯⨯=种．故选:C1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.排列与组合1．（2020·上海高三专题练习）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】D试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A=种考点：排列、组合及简单计数问题2．（2020·上海高三专题练习）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．144 B．72 C．54 D．36【答案】B【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A=种，故选：B．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题3．（2021·上海高三专题练习）某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．A．5040 B．1260 C．210 D．630【答案】D【分析】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有2237536302C C A=种．故选：D.4．（2020·上海高三其他模拟）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A．48 B．72 C．78 D．84【答案】A【分析】将五个小球全排列后，排除掉黄色和红色小球均相邻、红色小球相邻且黄色小球不相邻、黄色小球相邻且红色小球不相邻的情况，进而得到结果.【详解】五个小球全排列共有：55120A=种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：22322324A A A=种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：22222324A A A=种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：22222324A A A =种排法∴颜色相同的小球不相邻的排法共有：12024242448---=种排法。
2021高考一轮总复习课件(北师大版)：第十一章 计数原理与概率理概率文-9.ppt
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第十一章 第九节
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基础自测
1.设随机变量 X～B(n，p)，且 EX＝1.6，DX＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
[答案] A
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即随机变量 X 的取值 ai 乘上取值 ai 的概率 P(X＝ai)再求 和．
X 的均值也称为 X 的________，它是一个数，记为 EX， 即 EX＝____________.均值 EX 刻画的是 X 取值的__________．
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课前自主导学
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知识梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值 设随机变量 X 的可能取值为 a1，a2，…，ar，取 ai 的概率 为 Pi(i＝1,2，…，r)，即 X 的分布为 P(X＝ai)＝Pi(i＝1,2，…，r) 则定义 X 的均值为 a1P(X＝a1)＋a2P(X＝a2)＋…＋arP(X＝ar)＝_________.
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[答案] 1.a1P1＋a2P2＋…＋arPr 数学期望 a1P1＋a2P2＋…＋arPr “中心位置” E(X－EX)2 E(X －EX)2 DX 集中 分散
2．p
p(1－p)
np
np(1－p)
nM N
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．25【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102. 255=故答案为D．3．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A．35B．925C．1625D．25【答案】B【解析】PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π-16π925π25=,故选B.4．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A．100 B．110 C．120 D．180【答案】B【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C=，没有女生的方案有3510C=，所以符合要求的组队方案数为110种考点：排列、组合的实际应用5．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．15【答案】C 【解析】【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3C ．0.58D ．0.958【答案】D 【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.7．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．23【答案】D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．8．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．9．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由得，故或，由，故或，故使的概率为.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.10．设1021001210(2)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++LL 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．10(21)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)1021012102xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)101231021a a a a a =++++L ， 令1x =-得()101231021a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))10102121=⋅))102121⋅⎡⎤⎣⎦=1011==故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种． 故选D.12．若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20 【答案】C 【解析】 【分析】对2nx ⎫⎪⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数.【详解】对2n x ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.13．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126【答案】A 【解析】 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.14．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η） D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）【答案】A 【解析】 【分析】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=，()25D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E η=， ()2449D η=，即可得解．【详解】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3， ()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()343136135C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=+⨯+⨯=，()112555D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4，()1434374135C C P C η⋅===，()22437418235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4404375143C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357E η=+⨯+⨯+⨯=， ()22224161816121611612343573573575494372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<．故选：A ． 【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.16．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ）A ．59B ．53C ．5D ．7【答案】C 【解析】 【分析】 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．【详解】 1()3E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为$$0.7y x a=+，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ） A ．4.502亿元 B ．4.404亿元 C ．4.358亿元 D ．4.856亿元【答案】D 【解析】 【分析】先求 3.92x =，2y =，根据$0.7a y x =-，求解$0.744a =-，将8x =代入回归直线方程为$$0.7y x a=+，求解即可. 【详解】 2.2 2.4 3.8 5.2 6.03.925x ++++==，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825y ++++==$0.720.7 3.920.744a y x =-=-⨯=-即$0.70.744y x =-令8x =，则$0.780.744 4.856y =⨯-= 故选：D 【点睛】本题考查回归分析，样本中心点(),x y 满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.18．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．12B ．310C ．14D ．15【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】由题可得基本事件总数336320n C C == ，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数2132434m C C C ==所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205m P n === 故选D.【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．19．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ．20．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假 【答案】C【解析】【分析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++ ()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++， ()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ， ()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++ ()()()822444c a a c a b c =-+-++ ，1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=，即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.综上可知p 假q 真.故选：C【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析
新数学《计数原理与概率统计》高考知识点一、选择题1．一个袋中放有大小、形状均同样的小球，此中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能拿出小球，当有放回挨次拿出两个小球时，记拿出的红球数为 1 ；当无放回挨次拿出两个小球时，记拿出的红球数为2，则（）A．E1 E 2， D 1 C．E1E2，D1【答案】 B【分析】【剖析】DD22B．ED．E1 E 2，D1 E 2，D11DD22分别求出两个随机变量的散布列后求出它们的希望和方差可得它们的大小关系.【详解】1可能的取值为0,1,2； 2 可能的取值为0,1，P 故 E P 故 E 故 E421， P 1 1414 1， P19199，99 12， D102422 1 12444.3999992021 1，P21212 2，32332322， D202 1 12242,333991E2，D1 D 2.应选B.【点睛】失散型随机变量的散布列的计算，应先确立随机变量所有可能的取值，再利用摆列组合知识求出随机变量每一种取值状况的概率，而后利用公式计算希望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的差别 .2．从装有除颜色外完整同样的 3 个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为X ，已知E(X)3，则 D(X) ()8642 A．B．C．D．5555【答案】 B【分析】【剖析】由题意知， X ~ B(5,3)，由EX 5m 33，知X ~ B(5,3)，由此能求出m335 D(X)．【详解】由题意知， X ~ B(5,3) ，m3EX 53 ，解得 m2 ，3m 3X ~ B(5, 3) ，5D(X) 53(1 3) 6 ．555应选： B ． 【点睛】本题考察失散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，认真解答，注意二项散布的灵巧运用．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数能够表示为两个素数的和 ”，在不超出 20 的素数中，随机选用两个不一样的数，其和等于20 的概率是（）1 1 1 1A ．B ．C ．D ．12151814【答案】 D 【分析】 【剖析】先获得随机抽取两个不一样的数共有28 种，再得出选用两个不一样的数，其和等于20 的共有2 中，联合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在不超出 20 的素数有： 2,3,5,7,11,13,17,19 ，共有 8 个数，随机选用两个不一样的数，共有 C 82 28 种，此中随机选用的两个不一样的数，其和为20的有3 17 20,7 13 20 ，共有 2 种，2 1所以概率为 P.2814应选： D.【点睛】本题主要考察了古典概型及其概率的计算，此中解答中利用组合数的公式求得基本领件的 总数是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力.4．已知 ( x 1)5 ( x 2)9 a 0 a 1 (x 1) a 2 ( x 1)2... a 9 ( x 1)9 ，则 a 7（ ）A ．9B ． 36C ． 84D ． 243【答案】 B【分析】【剖析】( x 1)5( x2)9等价变形为 [( x 1)2] 5[( x 1) (1)] 9，而后利用二项式定理将其打开，求出含有( x1)7的项，即可获得a7．【详解】解： (x 1)5[( x1)2] 5睁开式中不含 ( x1)7；( x 2)9[(x1)(1)] 9睁开式中含 (x1)7的系数为C97(1)236所以， a736 ，应选B【点睛】本题考察二项式定理，解题的重点是要将本来因式的形式转变为目标因式的形式，而后再进行解题．5．三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，若每人都选择此中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完整同样的概率是（）1112A．B．C．D．4323【答案】 D【分析】【剖析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，每人都选择此中两个科目的基本领件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完整同样所包括的基本领件个数，利用古典概型的概率计算公式即可获得答案 .【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识比赛，每人都选择此中两个科目共有(C32)327 种不同结果，有且仅有两人选择的科目完整同样共有C32 C32 C2118 种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为18227.3应选： D【点睛】不一样考察古典概型的概率计算问题，波及到组合的基本应用，考察学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题 .6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的均匀数为16.8，则 x， y 的值分别为（）A ．2， 5B ． 5，5C ． 5， 8D ． 8， 8【答案】 C【分析】1试题剖析：由题意得x 5 ， 16.8(9 15 10 y 18 24) y 8 ，选 C.考点：茎叶图7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆 的直径分别为三角形ABC 的BC ， AB 和 AC ．若 BC10， AB 8， AC 6，V ABC 的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其他部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（）9B ．16 C ．25 D ．48A ．24252424 25252548 【答案】 D【分析】【剖析】依据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可获得结论 .【详解】S 1 1 24 ，由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为8 62Ⅱ所对应的面积 S 224 89 25224 ，2整个图形所对应的面积S2489 25，2422所以，此点取自Ⅱ的概率为P4848 .25应选： D. 【点睛】本题考察了几何概型的概率问题，重点是求出对应的面积，属于基础题.8．已知 12x8睁开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则 b的值（）a126B ．128125D ． 26A ．5C ．53【答案】 B【分析】【剖析】依据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得 b ，从而求得 b的值．a【详解】由题意可得 aC 8470 ，又睁开式的通项公式为Tr 1C 8r 2r x r ，设第 r 1 项的系数最大，则C 8r ·2r ⋯C 8r 1?2r 1 r ⋯5C 8r ·2r ⋯C 8r 1?2r 1 ，即，r, 6求得 r = 5 或 6，此时， b 7 28，b 128 ，a5应选： B ． 【点睛】本题主要考察二项式系数的性质，第 n 项的二项式系数与第 n 项的系数之间的关系，属于中档题．9．安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区起码有一 名学生进行志愿服务，则同学甲独自去一个社区不一样的安排方式有（）A ．100 种 【答案】 CB ． 60种C ．42 种D ． 25种【分析】【剖析】给三个社区编号分别为1， 2， 3，则甲可有 3 种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数 .【详解】甲可有 3 种安排方法，若甲先安排第 1 社区，则第 2 社区可安排 1 个、第 3 社区安排3 个，共 C 14 C 33 ；第 2 社区 2 个、第 3 社区安排 2 个，共 C 42 C 22 ；第 2 社区 3 个，第 3 社区安排 1 个，共 C 14 C 11 ；故所有安排总数为 3 (C 14 C 33 C 42 C 22 C 14 C 11 ) 42 .应选： C.【点睛】本题考察分类与分步计数原理、组合数的计算，考察分类议论思想，考察逻辑推理能力和运算求解能力 .10．有编号为1, 2 , 3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不同样的概率为（）8521A．B．C．D．27633【答案】 D【分析】【剖析】列举出所有的基本领件，并确立失事件“小球的编号与盒子编号全不同样”所包括的基本领件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】以 1,2,3 表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本领件有： 1,2,3 、 1,3,2、 2,1,3、 2,3,1、 3,1,2、 3,2,1，共 6种，此中，事件“小球的编号与盒子编号全不同样”所包括的基本领件有： 2,3,1、 3,1,2 ，共 2个，所以，小球的编号与盒子编号全不同样的概率为216.3应选： D.【点睛】本题考察利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的重点就是列举出所有的基本领件，按照不重不漏的原则，考察计算能力，属于中等题.11．依据中央对“精确扶贫”的要求，某市决定派7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，此中有 4名男性党员， 3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这 3 人中既有男性，又有女性，则不一样的选法共有（）A．35 种B．30 种C．28 种D．25 种【答案】 B【分析】【剖析】第一算出 7 名党员选3名去甲村的所有状况，再计算出所有是男性党员和所有是女性党员的情况，即可获得既有男性，又有女性的状况.【详解】从 7 名党员选3名去甲村共有C73种状况， 3名所有是男性党员共有C43种状况，3名所有是女性党员共有C33种状况，3名既有男性，又有女性共有 C73C43C3330 种状况.应选： B【点睛】本题主要考察组合的应用，属于简单题.12．有一散点图以下图，在 5 个 (x, y) 数据中去掉 D (3,10) 后，以下说法正确的选项是（）A．残差平方和变小B．有关系数r变小C．有关指数R2变小D．解说变量x与预告变量y 的有关性变弱【答案】 A【分析】【剖析】由散点图可知，去掉 D (3,10) 后，y与x的线性有关性增强，由有关系数r ，有关指数R2及残差平方和与有关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可剖析得出：只有 D 点偏离直线远，去掉 D 点，变量 x 与变量y的线性有关性变强，∴有关系数变大，有关指数变大，残差的平方和变小，应选 A.【点睛】该题考察的是有关三点图的问题，波及到的知识点有益用散点图剖析数据，判断有关系数，有关指数，残差的平方和的变化状况，属于简单题目.13．已知随机变量，的散布列以下表所示，则（）123111P3261 2 31 1 1P236A ．EE ， DDB ．EE ， DDC ．EE ， DDD ．EE， DD【答案】 C 【分析】【剖析】由题意分别求出 E ξ，D ξ， E η， D η，由此能获得 E ξ＜ E η，D ξ＞ D η．【详解】由题意得：E ξ 11 2 1 3 1 11 ，32 6 6D ξ (111)2 1 (2 11)2 1(3 11) 2 151 ．6 3 6 2 6 6108E η 1 12 13 113 ，62 36D η＝（ 113）21（ 213）21 （ 3 13）21 51，666263108∴E ξ＜ E η， D ξ=D η．应选： C ．【点睛】本题考察失散型随机变量的散布列、数学希望、方差的求法，考察运算求解能力，是中档题．14． 设 (1 2x) na 0 a 1x a 2 x 2 La n x n ，若 a 3 a 4 0 ，则 a 5 （ ）A ．256B ． -128C ． 64D ． -32【答案】 D【分析】【剖析】由题意利用二项睁开式的通项公式求得n 的值，从而求得 a 5 的值．【详解】∵1 2x na1 x a2 x2L a n x n，a0∵ a3 a43（34（4C n2）C n2） 0，n5，则 a55532，C5（2）应选 D．【点睛】本题主要考察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精确，现选择15 名志愿者，对其身高和臂展进行丈量（单位：厘米），左图为选用的15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为?）y 1.16 x 30.75 ，以下结论中不正确的为（A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B． 15 名志愿者身高和臂展成正有关关系，C．可预计身高为 190 厘米的人臂展大概为189.65 厘米D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差11.6 厘米，【答案】 D【分析】【剖析】依据散点图和回归方程的表达式，获得两个变量的关系， A 依据散点图可求得两个量的极差，从而获得结果；B，依据回归方程可判断正有关； C 将190 代入回归方程可获得的是估计值，不是正确值，故不正确；D，依据回归方程x 的系数可获得增量为11.6 厘米，可是回归方程上的点其实不都是正确的样本点，故不正确.【详解】A，身高极差大概为25，臂展极差大于等于30，故正确；B，很显然依据散点图像以及回归直线获得，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C，身高为190 厘米，代入回归方程可获得臂展预计值等于189.65厘米，可是否是正确值，故正确；D，身高相差10 厘米的两人臂展的预计值相差11.6 厘米，但其实不是正确值，回归方程上的点其实不都是正确的样本点,故说法不正确 .故答案为 D.【点睛】本题考察回归剖析，考察线性回归直线过样本中心点，在一组拥有有关关系的变量的数据间，这样的直线能够画出很多条，而此中的一条能最好地反应x 与 Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程合用于拥有有关关系的两个变量，关于拥有确立关系的两个变量是不合用的, 线性回归方程获得的展望值是展望变量的预计值，不是正确值.16．我国在北宋 1084 年第一次印刷第一版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古本源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启发》和《四元玉鉴》．这些书中波及的好多方面都达到古代数学的顶峰，此中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的顶峰．某图书室中正好有这十本书此刻小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）51C．57A．B．9D．1829【答案】 D【分析】【剖析】此刻小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本领件总数n C10245 ，他取到的书的书名中有“算”字包括的基本领件总数m C52C15 C1535，由此能求出他取到的书的书名中“ ”有算字的概率．【详解】解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本领件总数n C10245 ，他取到的书的书名中有“ ”m2 1 135 ，算字包括的基本领件总数C5C5C5那么他取到的书的书名中有“ ”m357算字的概率为p45．n9应选： D．【点睛】本题考察摆列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意本题中的书名中有“算”字包括两种状况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要慎重.17．先后扔掷骰子（骰子的六个面分别标有1、 2、3、 4、 5、 6 个点）两次落在水平桌面后，记正面向上的点数分别为x, y“”“x、y中有偶，设事件 A 为 x y 为偶数，事件B为数，且 x y”，则概率 P(B A) ()1B．112A．2C．D．345【答案】 A【分析】【剖析】n(AB )依据意有 P B|A=，所以只剖析事件 A 和事件 AB 所包括的基本领件，即可n( A)依据公式求出果.【解】解：事件A 中“y偶数”，所以 x, y 同奇同偶，共包括23218 种基本领件；x事件 AB 同生，x, y 都偶数，且x y，包括 A32 6 个基本领件；P B | A = n( AB )=61 .n( A)183故： A.【点睛】本考条件概率的用，考基本领件的求法，解的关是辨析条件概率，属于基.18．我国南宋数学家1261 年所著的《解九章算法》一里出了如所示的表，即三角，是数学史上的一个大成就，在“ 三角”中，第 n 行的所有数字之和2n 1，若去除所有 1 的，挨次组成数列2， 3， 3， 4， 6， 4， 5，10， 10， 5，⋯，此数列的前 15 和（）A．110B． 114C． 124D． 125【答案】 B【分析】【剖析】利用二式系数的上三角形的第n 1行，令 x 1 ，获得二睁开式的二式系数的和，再合等差、等比数列的乞降公式，即可求解.【解】由意， n 次二式系数的三角形的第n 1行，令 x 1 ，可得二睁开式的二式系数的和2n，此中第 1 行20，第 2 行21，第 3 行22， L L以此推，即每一行的数字之和组成首1，公比 2 的数列，三角形中前 n 行的数字之和S n12n2n1，12若除掉所有 1 的，剩下的每一行的数字的个数1,2,3, 4,L1，公差为 2 的等差数列，则n(n1)能够当作组成一个首项为T n，2令 n(n1)15 ，解得 n 5 ，2所从前15 项的和表示前7 行的数列之和，减去所有的1，即27 1 13 114，即前 15项的数字之和为114，应选 B.【点睛】本题主要考察了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考察等差、等比数列的前n 项和公式的应用，此中解答中认真审题，联合二项式系数，利用等差等比数列的乞降公式，正确运算是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，属于基础题.19．安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由1 人达成，则不一样的安排方式共有 ()A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种【答案】 D【分析】4 项工作分红23 组 ,可得：C =6，4安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由 1 人达成，可得：6 A 336种．3应选 D.20．若实数a 22，则 a102C101a922 C102a8L 210等于 () A．32B．－ 32C． 1 024D． 512【答案】 A【分析】由题意可得：a102C101a9 22 C102a2L21010a2102 2 232.本题选择 A 选项 .。
高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习含答案解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点一、选择题1．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ．1625D ．25【答案】B 【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.4．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=.故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.5．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）A ．92524ππ+B ．162524π+C ．252425ππ+D ．484825π+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422S πππ=++-=， 整个图形所对应的面积9252482422S πππ=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π=+.故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 成绩性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女102232表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【答案】D【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2 B．3 C．10 D．15【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）A．18B．28C．38D．42【答案】B【解析】【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2 88728 2C⨯==种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：36363A ⨯=种． 故选D.12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .13．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ， 且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.14．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.15．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A．23B．12C．13D．14【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB PC+u u u r u u u r=PDu u u r，∵20PB PC PA++=u u u r u u u r u u u r r，∴2PB PC PA+=-u u u r u u u r u u u r，∴2PD PA=-u u u r u u u r，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBCABCSSVV=12．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．16．在二项式26()2axx+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x=和圆22x y a+=及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．146π+B．146π-C．4πD．16【答案】B【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x2+a2x）6展开式中，由通项公式可得122r162rr rraT C x x--+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为4462aC⎛⎫⎪⎝⎭，可得4462aC⎛⎫⎪⎝⎭＝15，解得a＝2．曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()12231111-x-x|442346dx x xπππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭⎰．故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．17．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（）A．2334-B．(233)4π-C．2332-D．(233)2π-【答案】D【解析】【分析】设圆的半径为r，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率.【详解】设“质点落在阴影部分内部”为事件M.如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a .因为130PBO ∠=︒，所以3tan 30r BP =︒=，解得3BP r =.同理，3CQ r =. 又因为122PQ O O r ==，所以332(232)BP CQ PQ r r r r BC a ++=++=+==，所以由几何概型得，点落在阴影部分内部的概率是2222(233)()2133(232)4P M a a r π-===⨯+. 故选：D.【点睛】此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.18．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】【分析】 利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行，令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112n n n S -==--， 若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=，令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ）A ．12B ．310C ．14D ．15【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率．【详解】由题可得基本事件总数336320n C C == ，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数2132434m C C C ==所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205m P n === 故选D.【点睛】 本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．20．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ）A ．13B ．0C ．1D ．23【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X . 详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．。
2021年高考数学知识点：概率统计的总结概括知识点总结
2021年高考数学知识点：概率统计的总结概括知识点总结一．算法，概率和统计1.算法初步(约12课时)(1)算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3.概率(约8课时)(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义(参见例3)。
(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2.统计(约16课时)(1)随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
2021届新高考地区数学重难热点专练11 计数原理(解析版)
热点11 计数原理※※※※※命题趋势※※※※※计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解.※※※※※满分技巧※※※※※捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如 此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.※※※※※真题体验※※※※※1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515C r r rr T x y -+=（r ∈N 且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155C C r rrr rrr xT x xy xy --+==和54252152C C r r r r r r r T x y y y y xx x --++==在615C r r r r xT x y -+=中，令3r =，可得：33345C xT x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152C r r r r T x xy y -++=中，令1r =，可得：521332C y x T x y=，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有1265C C 61060⋅=⨯=种.故选：C ．【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3．【2020年高考北京】在52)的展开式中，2x 的系数为 A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()552155C22C r rrrrr r T x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()1152C 2510-=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：24C 6=.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：33A 6=，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种， 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612C rrrr xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226C (2)r r r r x x --⋅⋅= 1236C (2)r r r x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：66442C 2C 161516240⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6．【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()55315522C C 20,1,2,3,4,5rr r rr r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15C 210⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．7．【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________． 【答案】80；122【解析】5(12)x +的通项为155C (2)2C r r r r r r T x x +==，令4r =，则4444552C 80T x x ==，故580a =；1133551355552C 2C 2C 122a a a ++=++=. 故答案为：80；122.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.※※※※※闯关检测※※※※※姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．）540 B ．）162C ．162D ．540【答案】A【解析】根据题意，由于n⎛ ⎝展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为3336(540C =- ，故答案为A. 2．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ） A ．240种 B ．360种C ．480种D ．600种【答案】C【解析】用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置．①当领导丙在位置1时．不同的排法有55120A =种． ．当领导丙在位置2时．不同的排法有143472C A =种． ．当领导丙在位置3时．不同的排法有2323233348A A A A +=种． ．当领导丙在位置4时．不同的排法有2323233348A A A A +=种．．当领导丙在位置5时．不同的排法有143472C A =种． ．当领导丙在位置1时．不同的排法有55120A =种．由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．故选C．3．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种 B ．288种 C ．192种 D ．216种【答案】D【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．4．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．25【答案】C【解析】此二项展开式的通项为()62123166()rrrr r rr a T C xC a xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1236r -=，解得2r ，此时226663150T C a x x ==，则210a =.故选：C5．某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为（ ） A ．827B ．227C ．49D ．13【答案】A【解析】由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有4381=种，若恰有2面红色旗子，则有224224C ⋅=种，所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率2488127P ==.故选：A 6．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( ) A ．15 B ．60 C ．90 D ．540【答案】C【解析】依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有222342633390C C C A A ⋅=（种） 故选：C7．已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rrrr rr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.故选：C.8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种【答案】B【解析】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案.故选：B 二、多选题9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ） A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】CD【解析】6门中选3门共有3620C =种，故A 错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A =种排法，故B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A =种排法，故C 正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A +=种排法，故D 正确． 故选：CD10．已知2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含10x 项的系数为210【答案】BCD【解析】因为2((0)n ax a>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等；∴4610n n C C n =⇒=；展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=；0a >；1a ．原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()()rrrrr r T C x C xx--+==；展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B 对； 令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对； 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对；故选：BCD ．11．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种 【答案】ABC【解析】对于选项A ：若C 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用4216=种，若C 企业派1名医生则有134232C ⋅=种，所以共有163248+=种.对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有211342132236C C C A A ⋅=种， 对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，若甲企业分2人，则有336A =种；若甲企业分1 人，则有2123126C C A =种，所以共有6612+=种.对于选项D ：所有不同分派方案共有43种.故选：ABC12．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法B ．若A 、B 不相邻共有72种方法C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法【答案】BCD【解析】对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确； 对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确；对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确，故选：BCD 三、填空题13．已知5()(2)a x x -+的展开式中3x 的系数为40，则实数a 的值为_____． 【答案】3【解析】∵()()()()5234523280804010a x x a x x x x x x-+=-+++++的展开式中3x 的系数为408040a -=，∴3a =，故答案为3．14．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900.15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP ，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种. 【答案】432【解析】根据题意学习方法有二类：一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：2142442144321192A C A ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=；另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，这样的学习方法数为：25252154321240A A ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：192240432+=.故答案为：432四、双空题 16．已知2020220200122020(1)(0)ax a a x a x a x a -=++++>，得0a =______.若()()220220201320191a a a a a a +++-+++=，则a =______.【答案】1【解析】令0x =可得01a = 令1x =可得20200122020(1)a a a a a -=++++令1x =-可得202001220192020(1)a a a a a a --=+-+-+因为()()()()220220201320190122020012201920201a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++++++++-+==-所以202020201(1)(1)a a ---⨯=，211a -=±，结合0a >可解得a =故答案为：1.。
2021高考一轮数学(理)第11章第1节两个计数原理、排列与组合
A．4 种
B．6 种
C．10 种
D．16 种
B [分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有 3 种传递方式(如 图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有 3 种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有 3＋3＝6(种)传递方式．]
2.如图所示的几何体是由三棱锥 P-ABC 与三棱柱
ABC-A1B1C1 组合而成，现用 3 种不同颜色对这个几何
(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1＜a2，且 a2＞
a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的 个数为( )
A．240
B．204
C．729
D．920
(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明 到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
考点 2 排列问题 求解排列应用问题的 6 种常用方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 捆绑法
列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将 插空法
不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除 除法处理 以定序元素的全排列
(2)从 E 到 G 需要分两步完成：先从 E 到 F，再从 F 到 G.从 F 到 G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横 向路径即可确定，故从 F 到 G 的最短路径共有 3 条．如图，从 E 到 F 的最短路径有两类：先从 E 到 A，再从 A 到 F，或先从 E 到 B，再
最新-2021版高考数学理一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 11专题研究 精品
【解析】 ①确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点共线， 所以这 9 个点所确定直线的条数为 C92－C42＋1＝31.
②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定 三角形的个数为 C93－C43＝80.
③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定 四边形的个数为 C94－C51C43－C44＝105.
(2)题基础上，还应考虑再分配，共有 C61C52C33A33＝360 种．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C62C42C22 种方法， 但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A，B，C，D，E，F，若 第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法 为(AB，CD，EF)，则 C62C42C22 种分法中还有(AB，EF，CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33 种情况，而这 A33 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序 不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C62AC3423C22＝15 种．
(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共 有分配方式C62AC3423C22·A33＝C62C42C22＝90 种．
(5)有序部分均匀分组问题，共有C64AC2212C11＝15 种． (6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给 3 个 人，共有分配方式C64AC2212C11·A33＝90 种．
思考题 3 (2017·河北沧州七校联考)有 5 个大学保送名 额，计划分到 3 个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分法？
【解析】 一共有 5 个保送名额，分到 3 个班级，每个班级至 少 1 个名额，即将名额分成 3 份，每份至少 1 个．(定分数)
2021年上海数学高考专题考点专练考点11 计数原理与统计概率详解版(02)
转；③关于直线 OA 的对称；④关于直线 OB 的对称；⑤关于直线 OC 的对称．任选三．种．变换(可以相同)共 有 125 种变换方式，若要使得 T 变回起始位置(即点 A 、 B 、 C 分别都在原有位置)，共有（ ）种变换
方式？
A．12
B．16
C．20
D．24
2．（2020·上海高三专题练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分 别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
3
A．
4
2
B．
3
3
C．
5
D． 1 2
2．（2020·上海高三专题练习）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮
投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
3．（2020·上海高三专题练习）某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4 次，且他各次射击是 否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9；
C．16 习）5 个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（ ）.
A．288 种
B．72 种
C．36 种
D．24 种
3．（2020·上海高三专题练习）设集合 A x1, x2 , x3, x4 , x5 | xi 1, 0,1, i 1, 2, 3, 4, 5 ，那么集合 A 中
满足条件
“1 x1 x2 x3 x4 x5 3 ”的元素个数为（ ）
A． 60
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附答案解析
数学高考《计数原理与概率统计》复习资料(1)一、选择题1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ， 且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.2．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．4．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C 2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得2244k -≤≤ 所以相交的概率2222P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.5．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．6．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.7．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．15【答案】C 【解析】【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615CpC==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115CpC==；故124 15p p p=+=.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．118【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x(万元)1245销售额y(万元)10263549根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .11．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．12B ．310C ．14D ．15【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】由题可得基本事件总数336320n C C == ，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数2132434m C C C ==所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205m P n === 故选D. 【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.13．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．14．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=，∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．15．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。