《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第7课函数的性质(1)
(2021年整理)高考数学考点总结函数必考性质知识点归纳
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2017-2018年高考数学考点总结，高考数学函数必考性质总结.函数是高考数学中的难点和重点，在高考临近之际，应该如何应对呢？三好网高中数学辅导老师将函数必考性质总结如下。
高考数学考点总结一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b 则此时称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，y是x的正比例函数.即:y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1。
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
高三数学一轮复习必备精品：函数基本性质高三数学一轮复习必备精品共讲全部免费欢迎下载.pdf
备注：【高三数学一轮复习必备精品 共 42 讲全部免费欢迎下载】 一．【课
标要求】 1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意
义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．【命题走向】
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因 此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索
预测 2010 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调 性、奇偶性以及最值
预测明年的对本讲的考察是： （1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大 题； （2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考 察函数性质预计成为新的热点 三．【要点精讲】 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数 f ( x) 定义域内的任意 x 都有 f ( － x)= －f ( x) ，则称 f ( x) 为奇 函数；如果对于函数 f ( x) 定义域内的任意 x 都有 f ( － x)= f ( x) ，则称 f ( x) 为偶函数。 如果函数 f ( x) 不具有上述性质，则 f ( x) 不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质， 则 f ( x) 既是奇函数，又是偶函数。 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一 个 x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定 f ( －x) 与 f ( x) 的关系； 作出相应结论： 若 f ( －x)= f ( x) 或 f ( － x) －f ( x)=0 ，则 f ( x) 是偶函数； 若 f ( －x)= －f ( x) 或 f ( －x) ＋ f ( x)=0 ，则 f ( x) 是奇函数 （ 3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数 是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；
高三数学总复习教程第7讲 函数的性质
高三数学总复习教程第7讲函数的性质一、本讲内容二、本讲进度函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的图像三、学习指导函数的单调性，对我们研究函数的图像，解不等式，求函数的最值和极值，证明不等式都有着非常重要的意义。
研究函数的单调性，有两种方法：一是根据定义，先确定单调区间，再根据定义加以证明；一是求出函数的导函数，求出使f/(x)=0的点（驻点）再根据这一点左、右导函数的符号是否发生了变化。
如果没有变化，说明单调性没有改变，该点不是单调区间的端点；如果由f/(x)＞0变为f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端和一个增区间的左端点，函数在这点取得极大值；如果由f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端点和一个增区间的左端点，函数在该点取得极小值。
要分清极值与最值这两个不同的概念，极值是一个局部的概念，最值是一个整体的概念，，无极值，无最值 y=x， x∈[0，1]y=x ∈[－23，23] 有极值，有最值，但最值不是极值关于函数的奇偶性和周期性，要特别注意以下几点：1．奇函数和偶函数的定义域必然是关于x=0对称的区域，故定义域不是关于x=0对称的函数必不是奇函数，也不是偶函数。
2．奇函数的图像至于原点对称，偶函数的图像关于y 的轴对称。
注意“图像关于原点对称的函数必是奇函数”与“关于原点对称的图形必是奇函数的图像”的区别。
3．在x=0处有定义的奇函数必满足f(0)=0，即图像过原点（想一想，为什么？）4．奇函数，偶函数仅仅是图像的对称中心，对称轴位置较特殊的函数，奇函数，偶函数的图像经过平移后，未必还表示奇、偶函数，而不是奇函数，偶函数的函数，只要它们的图像是轴对称图形或中心对称图形，就可经适当平移，成为奇（偶）函数的图像。
5．定义域有界的函数不可能是同期函数。
同期函数不一定有最小正周期。
若T （T ≠0）是函数y=f(x)的周期，则T 的非零整数倍也是它的周期。
6．一个函数的图像，如果有两条对称轴：x=a 和x=b （a ≠b ）就必有无数条对称轴，∵f(x)=f(2a －x)=f(2b ―(2a ―x))=f(2b －2a+x)，∴f(x)为周期函数2(b －a)为它的一个周期；如果有两个对称中心：（a ，0），（b ，0）（a ≠b ），则有无数个对称中心，设（x ，y ）为函数y=f(x) 图像上任意一点，则(2a ―x ，―y)在函数图象上，从而[2b ―(2a ―x)，―(―y)]即（2b ―2a+x ，y ）也在函数图像上，∴f(x)为周期对称，2(b －a)当它的一个周期；如果有一条对称轴x=a 和一个对称中心(b ，0)（a ≠b ）则函数图像也有无数条对称轴和无数个对称中心，设(x ―y)当函数图像上任意一点，则(2a ―x ，y)在图像上，(2b ―2a+x ，―y)在图象上，从而f(4b ―4a+x)=f(x)，∴f(x)当周期函数4b ―2a 当其一个周期。
高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第7节 函数的图像课件 文 北师大版
4.(2016 衡水模拟)y=- 1 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后, x
所得函数的解析式应为( C )
(A)y= 2x 3 (B)y=- 2x 1
x 1
x 1
(C)y= 2x 1 (D)y=- 2x 3
x 1
x 1
解析:把函数 y=- 1 的图像向左平移 1 个单位,得到的函数解析式为
第7节 函数的图像
最新考纲
1.在实际情境中,会根据不 同的需要选择图像法、列表 法、解析法表示函数.
2.会运用函数图像理解和研究函 数的性质,解决方程解的个数与 不等式的解的问题.
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.将函数y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到函数的解析式是什么?
(2)对称变换 ①y=f(x) ②y=f(x)
y= -f(x) ; y= f(-x) ;
③y=f(x) ④y=ax(a>0且a≠1)
y= -f(-x) ; y= logax(a>0且a≠1) .
(3)翻折变换 ①y=f(x) ②y=f(x) (4)伸缩变换
①y=f(x) ②y=f(x)
像
像
y= |f(x)| .
2x3, x 3;
分段做图像
解:(1)分段分别画出一次函数、二次函数、指数函数的图像,如图(1).
(2)y=|log2(x+1)|;
明确作图的变换过程
解:(2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿 x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图(2)所示.
x
y=- 1 ,然后再向上平移 2 个单位,得到的函数解析式为 y=- 1
《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：选修第7课二项式定理
第7讲 二项式定理一、教学目标1．理解二项式定理和二项开放式的性质；2．能运用二项式定理和二项开放式的性质来解决与二项开放式有关的简洁问题。
二、学问回顾与梳理1、二项式定理：（a +b ）n =C 0n a n +C 1n a n －1b 1+…+C r n a n －r b r +…+C n n b n。
这个公式所表示的定理叫做二项式定．．．．理．，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项开放式，其中的系数C rn (r ＝0,1,2，…n )叫做二项式系数．．．．．。
式中的C .r r n r n b a -叫做二项开放式的通项．．，用T r ＋1表示，即开放式的第r+1项；T r ＋1＝C .rr n r n b a - 留意区分“二项式系数”和“系数”则两个基本概念。
要留意二项式定理的双向功能：一方面可将()n a b +开放，另一方面可将二项开放式合并成()na b +，可以用于化简、求和或者证明。
2、二项式系数性质：C mn=C mn n-，即对称性.当n为偶数时，C 2nn最大.当n为奇数时，21C -n n =C 21+n n 且最大.3、各项二项式系数之和：nn r n n n C C C C 10+++++ =2n .偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和.14205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ，“赋值法”是争辩系数和或二项式系数和常用方法。
三、诊断练习1、教学处理：课前由同学自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏内．课前抽查批阅部分同学的解答，了解同学的思路及主要错误．点评时要有针对性，抓住开放式、二项式系数、开放式系数、次数、二项式系数性质等进行，订正同学普遍存在问题，重点是进一步渗透思想和方法．2、诊断练习点评题1：6(42)()xx x R --∈开放式中的常数项为 15 . 【分析与点评】6(42)()x x x R --∈()6222x x--=，()6222x x--中r r x r x r r x r x r r C C T )1(2)2()2()()6(266261-=-=-+---+由题意可知：xr r x --)6(2为常数，即)212(r r x --为常数，所以4,123==r r ，15)1(22640465==-=∴C C T ，15常数项为∴．题2：在52x ⎫⎪⎭中第3项的二项式系数为__________，系数为__________【分析与点评】本题主要考查了二项开放式的通项公式T r ＋1＝C rn rr n ab -的应用，通项公式体现了开放式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求某些特定项及系数方面有着广泛的应用，本题还考察同学对“二项式系数”和“系数”则两个基本概念的理解。
高三文科数学一轮复习教学案：第7课时函数的性质
§7函数的性质（1）【考点及要求】理解单调性，奇偶性及其几何意义，会判断函数的单调性，奇偶性【基础知识】1．函数单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，①若 则()f x 在区间I 上是增函数，②若 则()f x 在区间I 上是增函数2．若函数()f x 在区间I 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间具有（严格的） ， 区间I 叫做()f x 的3．偶函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是偶函数。
其图象关于 对称。
奇函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是奇函数。
其图象关于 对称。
【基本训练】1．偶函数12+=x y 在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数，奇函数xy 1=在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数。
2．函数x y 2log =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，则函数x x y 2log +=在（0，+∞）上为单调 函数；3．函数2x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y -=在（0，+∞）上为单调 函数；4．若奇函数)(x f y =的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在)(x f y =的图象上；若偶函数)(x f y =的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在)(x f y =的图象上；【典型例题讲练】例1已知函数)0(13)(2>++=x x x x x f 试确定函数)(x f 的单调区间，并证明你的结论练习 讨论函数)0(3)(>+=x xx x f 的单调性例2 若函数)3(log 22a ax x y +-=在[2，+∞)是增函数，求实数a 的范围练习： 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求a 的范围【课堂小结】1、函数单调性的定义 2、单调区间 3、复合函数的单调性【课堂检测】1．数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是2．函数x x y -=2)31(的单调递增区间是 3． 若y x y x 5533-≥---成立，则_____0x y +4．函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上是单调函数，求a 的范围。
人教A版2021届高考数学一轮复习讲义：函数的性质
函数的性质知识讲解一、函数的奇偶性1.定义奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．2.判断函数奇偶的方法1）定义法：先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断()f x 与()f x 关系；若()()f x f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x ，则()f x 是奇函数． 2）图像法：函数图像关于y 轴对称函数是偶函数．函数图像关于原点对称函数是奇函数．3.性质1）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．3）设()f x ，()g x 的定义域分别是12D D ，，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇⨯奇=偶(例如sin yx x 是偶函数)，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（例如cos y x x 是奇函数）．4.奇偶性的等价条件条件：对于定义域内的任意一个x ()()()()0f x f x f x f x ()f x 是偶函数函数图像关于y 轴对称．()()()()0f x f x f x f x ()f x 是奇函数函数图像关于原点对称．推广：①()y f x a 是偶函数()()f a x f a x ()(2)f x f a x ()f x 关于x a 对称．②()()f ax f b x ()f x 关于2a b x 对称③()yf x a 是奇函数()()f a x f a x ()f x 关于(0)a ，成中心对称．④()()(2)()f x a f x a f x a f x ()f x 是周期函数2T a （0a ）的周期函数．二、函数的单调性1.定义：设函数()yf x 的定义域为A ，区间M A ，如果取区间M 中任意两个值，12x x ，，改变量 210xx x △，则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．2.讨论函数单调性：必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单 调区间是其定义域的子区间；3.判断函数的单调性的方法有：1）定义法2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的导数判断函数的单调性；4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；5）奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性． 6）在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．7）()af x 当0a >时候与()g x 的单调性相同，当0a <时候与()g x 的单调性相反．8）如果()f x 是单调函数且()0f x >，则()f x 和1()f x 数的单调性是相反的，如果()f x 是单调函数且()0f x <，()f x 和1()f x 的单调性是相反的． 注意：单调性区间不能写成并集，可以写成和．不能根据()f x 的单调性和()g x 的单调性来判断判断()f x 与()g x 成积单调性．三、函数的对称性1.一个函数的对称问题：1）关于y 轴对称：)()(x f x f =-；2）关于原点对称：)()(x f x f -=-；3）关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；4）关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+．2.互两个函数的互对称：函数()y f x a =-与()y f a x =-的图像关于直线x a =对称．四、函数的周期性1.判断函数是否是周期函数：方法：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2.具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），1）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．2）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．3）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y ，()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．4）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数．经典例题一．选择题（共11小题）1．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f （x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）故选：A．2．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log2x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，4）B．（4，+∞）C ．（0，14）∪（4，+∞）D ．（14，4） 【解答】解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴在[0，+∞）上是增函数，∴f （log 2x ）=f （|log 2x |），则不等式等价于f （|log 2x |）＜f （2），∴|log 2x |＜2．∴﹣2＜log 2x ＜2∴14＜x ＜4． 故选：D ．3．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ），∴f （1﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ﹣1），f （0）=0，则f （x +2）=﹣f （x ），则f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，∵f （1）=2，∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1﹣2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （4）=f （0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．4．下列函数满足f（x）+f（﹣x）=0的是（）A．f(x)=√x B．f（x）=ln|x|C．f(x)=1x−1D．f（x）=xcosx【解答】解：f（x）+f（﹣x）=0；∴f（﹣x）=﹣f（x）；A．f（﹣x）=√−x≠﹣f（x）；B．f（﹣x）=ln|x|=f（x）；C.f(−x)=1−x−1≠−f(x)；D．f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x）．故选：D．5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐设函数g（x）=（12标之和为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，又g（x）=（12作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．6．已知函数f(x)=lgx4−x，则（）A．f（x）在（0，4）单调递减B．f（x）在（0，2）单调递减，在（2，4）单调递增C．y=f（x）的图象关于点（2，0）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=2对称【解答】解：由x4−x＞0得：x∈（0，4），令t=x4−x =﹣1﹣4x−4，故t=x4−x在（0，4）上为增函数，故函数f(x)=lg x4−x在（0，4）单调递增，故排除A，B，D，由f(x)=lg x4−x，故f（4﹣x）=﹣f（x），即y=f（x）的图象关于点（2，0）对称故选：C．7．设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A．f（3x）＞f（2x）B．f（3x）＜f（2x）C．f（3x）≥f（2x）D．f（3x）≤f（2x）【解答】解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1﹣x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称由a＞0可得函数在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当x＞0时，3x＞2x＞1，f（3x）＞f（2x）当x=0时，3x=2x=1，f（3x）=f（2x）当x＜0时，3x＜2x＜1，f（3x）＞f（2x）综上可得，f（3x）≥f（2x）故选：C．8．函数f(x)=1x−x的图象关于（）A．y轴对称B．坐标原点对称C．直线y=x对称D．直线y=﹣x对称【解答】解：函数f(x)=1x−x的定义域为{x|x≠0，且x∈R}，由f（﹣x）=1−x+x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则函数f(x)=1x−x的图象关于坐标原点对称．故选：B．9．已知f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤π2时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，12）D．（0，1）【解答】解：f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数；由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（msinθ）＞f（m﹣1）；∴msinθ＞m﹣1；∴m（1﹣sinθ）＜1；∴①θ=π2时，m∈R；②0≤θ＜π2时，m＜11−sinθ；11−sinθ的最小值为1；∴m＜1；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：B．10．已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f （x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，则有g（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）在R上为增函数，若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，则有g（x1）＜g（﹣x2）=﹣g（x2），即有g（x1）+g（x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得：f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜30；故选：B．11．奇函数f （x ）满足f （x +2）=﹣f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x +12，则f （log 354）=（ ）A ．﹣2B ．﹣76C ．76D ．2【解答】解：∵f [（x +2）+2]=﹣f （x +2）=f （x ），∴f （x ）是以4为周期的奇函数，又∵f(log 354)=f(log 381×23)=f(4+log 323)=f(log 323)=f(−log 332)=−f(log 332)，∵0＜log 332＜1，∴f(log 332)=3log 332+12=32+12=2，∴f （log 354）=﹣2，故选：A ．二．填空题（共5小题）12．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）= 2 ．【解答】解：奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，可得f （x ）+f （2﹣x ）=0，即有f （3）+f （﹣1）=0，则f （﹣1）=﹣2，可得f （1）=﹣f （﹣1）=2，故答案为：2．13．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）=0，当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）=﹣1．【解答】解：由f（﹣x）+f（x）=0，知f（x）是定义在R上的奇函数，又f（x+4）=f（x），且当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，∴f（﹣21）+f（16）=f（﹣1）+f（0）=﹣f（1）=﹣（﹣121﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．14．若函数f（x）=x3+x，若f（a﹣2）+f（a2）≥0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上单调递增；∴由f（a﹣2）+f（a2）≥0得：f（a2）≥f（2﹣a）；∴a2≥2﹣a；解得a≤﹣2，或a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．15．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （﹣1）=2，则不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为 （1，2] ．【解答】解：因为f （x ）是在R 上的奇函数，f （﹣1）=2，所以f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2，因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ﹣1）+2≤0为：f （x ﹣1）≤﹣2=f （1）， 所以0＜x ﹣1≤1，解得1＜x ≤2，所以不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．16．若函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数，则a= ﹣1 ，函数f （x ）的值域为 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．【解答】解：函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数， 可得f （﹣x ）+f （x ）=a ﹣22−1+a ﹣22−1=2a ﹣（22x −1+2⋅2x 1−2x）=2a +2=0， 解得a=﹣1，则y=f （x ）=﹣1﹣22x −1， 可得1﹣2x =21+y ，即有2x=y−1＞0，y+1解得y＞1或y＜﹣1，可得值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），．三．解答题（共2小题）17．已知奇函数f（x），在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的表达式；（3）写出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于y轴左侧的部分，如图所示：（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣1）2﹣1，又f（0）=0，得a=1，即f（x）=（x﹣1）2﹣1；当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x﹣1）2﹣1]=﹣（x+1）2+1，（3）根据函数图象可知：函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；函数f（x）的单调递减区间是：[﹣1，1]．18．定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）试判断并证明f（x）在（﹣∞，0）上的单调性；（2）若f（1）＜f（x﹣1），求x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数，设x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数∴f（﹣x1）＞f（﹣x2），又∵f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数；（2）若f（1）＜f（x﹣1），则f（1）＜f（|x﹣1|），则有|x﹣1|＞1，解可得：x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．。
2021届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题7函数的图象及性质
专题7 函数的图象及性质1.知式选图的四个切入点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)考向一 由函数解析式确定函数图象【典例】(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=错误!未找到引用源。
在[-π,π]的图象大致为考向二 函数基本性质的综合应用【典例】(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=x 3-错误!未找到引用源。
,则f(x)A.是奇函数①,且在(0,+∞)单调递增②B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减① 利用定义f(-x)=-f(x)②利用复合函数同增异减的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.1.确定函数图象的方法(1)奇偶性定对称(2)特殊值定正负(3)端点值定趋势2.图象对称巧变换(1)y=f(x)错误!未找到引用源。
y=|f(x)|.(2)y=f(x)错误!未找到引用源。
y=f(|x|).3.恒成立(有解)问题巧转化若f(x)≤m 在x∈错误!未找到引用源。
恒成立,则等价于f(x)max≤m ;若f(x)≤m 在x∈错误!未找到引1.已知函数f(x)=错误!未找到引用源。
若f(f(0))=1,则a的值为A.1B.0C.-1D.22.已知函数f(x)=log a错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
x(a>0且a≠1),则A.f(x)图象关于原点对称B.f(x)图象关于y轴对称C.f(x)在R上单调递增D.f(x)在R上单调递减3.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞),有错误!未找到引用源。
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第7课函数的性质（1）
一、教学目标
1．理解函数的单调性、最大（小）值的概念及其几何特征
2．会运用定义推断或证明一些简洁函数在给定区间上的单调性
3．把握推断一些简洁函数的单调性的常用方法
二、学问梳理
[回顾要求]
1.阅读必修一第37页并完成以下任务:
（1）圈出37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词。
（2）在空白处用图象描述增减函数特征。
（3）对于增函数，从左向右看图象的变化趋势是怎样的？对于减函数，从左向右看图象的变化趋势又是怎样的？
2．回顾课本38页例题1. 思考：
（1）如何求函数的单调区间？
（2）你知道有哪些方法？
（3）单调区间如何表示?两个以上的单调区间用什么符号连接?
（4）函数的单调区间和定义域有什么关系?
3．在空白处重新完成课本38页例题2. 总结归纳：
（1）用定义法推断函数单调性的一般步骤和留意点。
（2）你还可以用什么方法证明函数的单调性?可以用函数的图象吗?
4. 阅读第39页，理解函数最值的概念,完成例题3,4. 并思考:
（1）对于基本的初等函数,我们一般用什么方法求函数的最值?
（2）若是简单一些的函数又如何求?
5.在教材上的空白处做以下题目:第40页练习第1,2,5,7,8题.
[要点解析]
1.函数的单调性是局部性质.
函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在区
间上单调,在整个定义域上不肯定具有单调性.
2.函数单调区间的求法
(1)函数的单调区间都是其定义域的子集, 故首先应留意函数的定义域；其次要娴熟把握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间的常用求法：依据定义、借助图象、运用单调函数的性质、利用导数的性质. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示.多个单调区间不能用”⋃”连接,要用”逗号”或者”和”表示.
3.定义法推断函数单调性的一般步骤及留意点:
取值—设x1，x2是定义区间内的任意两个值，且x1<x2
定号—确定差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，可以进行分类争辩
推断—依据定义作出结论
4.导数法也是比较常用的一种方法.但图象法证明单调性在解答题中会导致过程不严谨.
5.基本初等函数一般是借助函数图象争辩其最值.
热身1、对于定义在R上的函数()
f x，下列推断是否正确？
①若(2)(1)
f f
>，则()
f x在R上是增函数；
②若(2)(1)
f f
>，则()
f x在R上肯定不是减函数；
③若()
f x在区间(,0]
-∞上是增函数，在[0,)
+∞上也是增函数，则()
f x在R上是增函数；
④若()
f x在区间(,0]
-∞上是减函数，在(0,)
+∞上也是减函数，则()
f x在R上是减函数．
【教学建议】本题选自课本第38页练习，主要是复习函数单调性的概念。
通过这一组推断题，可以挂念同学理解单调性定义中的关键条件。
教学时可结合图象（定义）说明上述命题的真假，在推断辨析中加深对概念的理解。
要留意③与④的区分，④是不连续函数，如函数
10
()
10
x x
f x
x x
--≤
⎧
=⎨
-+>
⎩
，这样的函数可举出很多．
热身2、函数
x
x
f
1
)
(-
=的单调增区间为.
【教学建议】本题选自课本例题2。
目的是考察同学对单调性的理解，以及单调区间的求解方法（单调性的定义或导数）和书写,特殊是书写单调区间时应留意：若函数)(x
f在定义域内的两个单调区间A、B都是增（或减）函数，一般不能简洁的认为)(x
f在B
A⋃上是增（或减）函数。
例如本题增区间就不能写成)
,0(
)0,
(+∞
⋃
-∞，必需用“和”或“逗号”连接．
热身3、函数2
()2
f x x x
=-+在[0,10]上的最大值是___________, 最小值是___________.
【教学建议】本题选自课本第38页练习。
目的是复习函数在某一区间上的“最值”这一概念．可提问：（1）对任意[0,1]
x∈，是否总有()(1)
f x f≤？对任意[1,10]
x∈，是否总有()(1)
f x f≤？
（2）从导数来理解，1
x=是函数()
f x的极大值点还是微小值点？
三、诊断练习
1、教学处理：同学自主完成5道小题，鼓舞同学相互争辩，搞清楚这几个问题课堂上进行提问，以便了解同学的思路及主要错误，对同学的思路进行点评时要简洁，点击要害．
2、诊断练习点评
题1：函数
1
-
=
x
x
y的单调减区间是。
答案)
,1(
),
1,
(+∞
-∞
【分析与点评】这是对学问回顾4的进一步复习，除了要让同学明确单调区间不能任凭的并以外，还要让同学把握分式常用的变形技巧——裂项。
题2．已知函数()
y f x
=在R上是增函数，且()()
2
f m f m
>-，则实数m的取值范围为
答案)
,0(
)1
,
(+∞
-
-∞
【分析与点评】解抽象函数的不等式的一个最基本的方法就是利用单调性“脱去”f,然后转化成一个我们生疏的不等式问题，如本题即可变形为m
m-
>2，解出m的范围
题3．函数y=
1
2
x2-㏑x的单调递减区间为____________________；
作差、变形作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、配方、有理化。