新课标普通高中2014届高三数学(理)二轮专题
2014届高三下学期第四次二轮复习综合验收卷数学(理)(附答案)
2013-2014学年度下学期高三二轮复习数学(理)验收试题(4)【新课标】第Ⅰ卷(选择题,共60分)⑴ 选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分｡在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的)1. 定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且,已知}4,3,1{},3,2{==B A ｡则=-B A ( ) A. {1,4} B. {2} C. {1,2} D. {1,2,3}2.已知,x y R ∈,为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x yi ++的值为 ( )A.4B.i 44+C.4-D.i 23. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若3184=S S ,则168S S 等于 ( )A.91B.81 C. 31 D. 103 4.已知,,,a b c d 是实数,则“a b >且c d >”是“a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设函数na x x f )()(+=,其中⎰+=πππ2)sin(3dx x n ,3)0()0(-='f f ,则)(x f 的展开式中2x 的系数为( )A.240-B.60-C.60D.2406. 过原点的直线与圆03422=+-+x y x 有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ]6,6[ππ-B. ]65,6[ππC. ),65[]6,0[πππ D. ]65,2()2,6[ππππ7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( )A.312+B. 310+C. 3210+D. 311+8. 执行如图的程序框图,若输出的5=n ,则输入整数p 的最小值．．．是 ( )A. 15B. 14C. 7D. 89.已知]2,2[,ππβα-∈,且0sin sin >-ββαα,则下列不等式一定成立的是( ) A. βα> B. βα<12n S S -=+C. 0>+βαD.22βα>10.将5名同学分到甲､乙､丙3个小组,若甲组至少两人,乙､丙组至少各一人,则不同的分配方案的种数为( ) A.80 B.120 C.140 D.18011. 中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为e ,直线与双曲线C 交于B A ,两点,线段AB 中点M 在第一象限,并且在抛物线()022>=p px y 上,且M 到抛物线焦点的距离为p ,则直线的斜率为( )A. 12+e B. 12-e C. 212+e D. 212-e12.已知向量α ,β ,γ满足||1α= ,||||αββ-= ,()()0αγβγ-⋅-= .若对每一确定的β ,||γ 的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意β,m n -的最小值是( )A.41 B.21 C.43D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二､填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象与函数()()ln 1g x x =-的图象的公共点个数是 个｡14.已知y x ,满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,且2x y a +≥恒成立,则a 的取值范围为 ｡15. 已知数列}{n a 的首项21=a ,且对任意的*∈N n 都有nnn a a a -+=+111, 则=⋅⋅201321a a a ｡16. 下列说法正确的是 ｡(1)从匀速传递的产品生产流水线上,质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测, 这样的抽样方法为分层抽样;(2)两个随机变量相关性越强,相关系数r 的绝对值越接近1,若1r =或1r =-时,则x 与y 的关系完全对应(即有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上;(3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;(4)对于回归直线方程122.0^+=x y ,当x 每增加一个单位时,^y 平均增加12个单位; (5)已知随机变量X 服从正态分布N 2(1,)σ,若72.0)2(=≤x P ,则28.0)0(=≤x P ｡ 三､解答题(本题共6小题, 17-21题每题12分,选做题10分,共70分)17.(本小题共12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若b A b B a =+cos cos ｡ (1)求证C B =;(2)若ABC ∠的平分线交AC 于D ,且534sin =A ,求DC BD 的值｡18.(本小题共12分)哈尔滨市第一次联考后,某校对甲､乙两个文科班的数学考试成绩进行分析, 规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的22⨯列联表,且已知在甲､乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀 的概率为311｡(1)请完成上面的列联表;(2)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号｡试求抽到9号或10号的概率｡参考公式与临界值表:))()()(()(22d b c ad c b a bc ad n K ++++-=｡19.(本小题共12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,顶点P 在底面ABCD 内的射影恰好落在AB 的中点O 上, 又90oBAD ∠=,//BC AD 且::1:2:2BC AB AD = (1)求证:PD AC ⊥;(2)若PO BC =,求直线PD 与AB 所成角的余弦值; (3)若平面APB 与平面PCD 所成的角为60o,求POBC的值｡P AB CD20.(本小题共12分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为)0,1(F ,点P 是点F 关于y 轴的对称点, 过点P 的直线交抛物线于B A ,两点｡(1)试问在x 轴上是否存在不同于点P 的一点T ,使得TB TA ,与x 轴所在的直线所成 的锐角相等,若存在,求出定点T 的坐标,若不存在说明理由｡ (2)若AOB ∆的面积为25,求向量,的夹角;21. (本小题共12分)设函数()ln f x x x =(0)x >｡ (1)求函数()f x 的最小值;(2)设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ,讨论函数()F x 的单调性;(3)斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y ,22(,)B x y 12()x x <两点, 求证:121x x k<<｡请考生在第22､23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号｡ 22. (本小题共10分)如图所示,已知AB 是圆O 的直径,AC 是弦,CE AD ⊥,垂足为D , AC 平分BAD ∠｡(1)求证:直线CE 与圆O 的相切; (2)求证:AD AB AC ⋅=2｡23. (本小题共10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 为cos (16,sin x a a y ϕϕϕ=⎧<<⎨=⎩为参数)｡在以O 为原点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为θρcos 6=,射线为θα=,与1C 的交点为A ,与2C 除极点外的一个交点为B ｡当0α=时,4||=AB ｡ (1)求1C ,2C 的直角坐标方程;(2)设1C 与y 轴正半轴交点为D ,当4πα=时,设直线BD 与曲线1C 的另一个交点为E ,求||||BE BD +｡24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式证明选讲 已知函数||)(a x x f -=｡(1)若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ,求实数m a ,的值｡ (2)当2=a 且0≥t 时,解关于x 的不等式)2()(t x f t x f +≥+｡参考答案一､选择题:BCDAD CACDA DB二､填空题:2个-1a 2 (2)(3)(5)17解:(1)∵acosB+bcosA=b,由正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinB,∴sin(A+B)=sinB, --------3分即sinC=sinB,∴b=c,∴C=B. --------------6分(2)△BCD中,用正弦定理可得=,由第一问知道C=B,而BD是角平分线,∴=2cos. ---------8分由于三角形内角和为180°,设A=x,B=2α=C,那么4α+x=180°,故α+=45°.--9分∵sin=,∴cos=,∴cosα=cos(45°﹣)=cos45°cos+sin45°sin=.∴=2cos=2cosα=.---------------12分18.(1) -------4分(2)根据列联表中的数据,得到K2= ≈7.487<10.828.因此按99.9%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” -------8分(3)设“抽到9或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).所有的基本事件有:(1,1)､(1,2)､(1,3)､…､(6,6)共36个.事件A包含的基本事件有:(3,6)､(4,5)､(5,4)､(6,3)､(5,5)､(4,6)(6,4)共7个.所以P(A)= 736,即抽到9号或10号的概率为736. -------12分19 解:因为AB 中点O 为点P 在平面ABCD 内的射影,所以PO ⊥底面ABCD.以O 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系o ﹣xyz(如图).(1)设BC=a,OP=h 则依题意得:B(a,0,0),A(﹣a,0,0),P(0,0,h),C(a,a,0),D(﹣a,2a,0). ∴=(2a,a,0),=(﹣a,2a,﹣h),于是•=﹣2a 2+2a 2=0,∴PD ⊥AC;--------4分(2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),——5分 ∵=(2a, 0,0),=(﹣a,2a,﹣a),∴•=﹣2a 2,cos<,>==,∴直线PD 与AB 所成的角的余弦值为;-----------8分(3)设平面PAB 的法向量为m,可得m=(0,1,0), 设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z), 由=(a,a,﹣h),=(﹣a,2a,﹣h),∴,解得n=(1,2,),∴m•n=2,cos<m,n>=,∵二面角为60°,∴=4,解得=,即=.----------------12分20.(1)由题意知:抛物线方程为:x y 42=且()0,1-P -------1分设),(),,(2211y x B y x A设直线1:-=my x l 代入x y 42=得0442=+-my y10161622>⇒>-=∆m m⎩⎨⎧==+442121y y my y -------- 2分 假设存在),(o a T 满足题意,则))(()()(2112212211a x a x a x y a x y a x y a x y k k BT AT ---+-=-+-=+ ))(())(1(2))(()1()1(212121211221a x a x y y a y my a x a x a my y a my y --++-=----+--=))(()1(4821=--+-=a x a x a m m0)1(48=+-∴a m m ----- ------5分21=+∴a 1=∴a ∴存在T(1,0)----------------6分(2)(法一)2521212121=-=-=∆y y y y OF S ABC 521=-∴y y ----------------7分设直线OA,OB 的倾斜角分别为θβα=∠AOB ,,αtan 44121111====y y y x y k OA ,βtan 44222222====y y y x y k OA --------9分 设βαθ-=1541416144tan tan 1tan tan )tan(tan 2121122121=-=+⋅-⋅=+-=⋅+-=-=∴y y y y y y y y y y βαβαβαθ------11分4πθ=∴ ----------------------12分法二:25==∆θS ABCθsin 5=-----------------------7分 ()541644164422212122212121=+=+=+⋅=+=⋅y y y y y y y y x x OB OA ---------9分AOBAOBAOB∠=∠==∠∴sinsin55cos1tan=∠∴AOB-------11分4π=∠∴AOB--------------------12分21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)=0,得.∵当时,f'(x)<0;当时,f'(x)>0,∴当时,.----------------- 4分(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),.①当a≥0时,恒有F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;②当a<0时,令F'(x)>0,得2ax2+1>0,解得;令F'(x)<0,得2ax2+1<0,解得.综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减.------------------------------------8分(3)证:.要证,即证,等价于证,令, 则只要证,由t>1知lnt>0,故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*).①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则,故g(t)在[1,+∞)上是增函数,∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1).②设h(t)=tlnt ﹣(t ﹣1)(t ≥1),则h'(t)=lnt ≥0(t ≥1),故h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当t>1时,h(t)=tlnt ﹣(t ﹣1)>h(1)=0,即t ﹣1<tlnt(t>1).由①②知(*)成立,得证.---------------------------------12分22. 证明:(Ⅰ)连接OC ,因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠. 2分又因为AD CE ⊥,所以090ACD CAD ∠+∠=,又因为AC 平分BAD ∠,所以OAC CAD ∠=∠, 4分所以90OCA ACD ∠+∠=o ,即OC CE ⊥,所以CE 是O e 的切线. 5分(Ⅱ)连接BC ,因为AB 是圆O 的直径,所以090BCA ADC ∠=∠=,因为OAC CAD ∠=∠, 8分 所以△ABC ∽△ACD ,所以AC AD ABAC =,即2AC AB AD =⋅. 10分23.(1)由6cos ρϕ=得26cos ρρϕ=,所以2C 的直角坐标方程是2260x y x +-=--2分由已知得1C 的直角坐标方程是2221x y a+=, 当0α=时射线与曲线12,C C 交点的直角坐标为()(),0,6,0a ,-----------3分4,2AB a =∴= 1C ∴的直角坐标方程是2214x y +=.①-----------5分 (2)联立2260x y x +-=与y x =得()3,3B 或()0,0B ,B 不是极点()3,3B ∴.---6分 又可得()1,0D , 32BD K ∴=BD ∴的参数方程为()33x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数② -------8分将②带入①得22541013t +=,设,D E 点的参数是1,2t t ,则121253325t t t t +==12BD BE t t ∴+=+=-------10分24解:(Ⅰ)由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m,所以解之得为所求.----------------4分(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x﹣2|,所以f(x)+t≥f(x+2t)⇔|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t,①当t=0时,不等式①恒成立,即x∈R;当t>0时,不等式解得x<2﹣2t或或x∈ϕ,即; 综上,当t=0时,原不等式的解集为R,当t>0时,原不等式的解集为.-----------10分。
2014年高考理数全国2卷(完美版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( ) A. 5B. C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. B.C. 6332D. 94 11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D. 12.设函数()x f x π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积.（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()()121ni ii n i i t t y y b tt ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .已知函数()f x =2x x e e x ---（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.。
新课标普通高中2014届高三数学(理)二轮专题学生版(word版另附)
直通车2014届高三数学(理)2014年3月专题1集合、基本初等函的图象与性质1．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是()．A．f(x)＝－x|x|B．f(x)＝x3C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ln xx2.（2012湖北）函数在区间上的零点个数为()．A．4B．5C．6D．73．函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是()．4．（2013浙江）已知为正实数,则()．A. B.C. D.5．（2012山东）定义在上的函数满足.当时，，当时，。
则（）A335B338C1678D20126.（2011湖北）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则()．A. B. C. D.7.（2011湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则()．A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克8．（2013重庆）已知全集,集合,,则()A. B. C. D.9．（2013湖北）已知全集为,集合,,则()A. B.C. D.0．（2013重庆）命题“对任意,都有”的否定为（）A．对任意,都有B．不存在,都有C．存在,使得D．存在,使得11．（2013四川）设,集合是奇数集,是偶数集.若命题,则（）A．B．C．D．12．（2013湖北）在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．B．C．D．13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.14.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．15．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有f x1－f x2x1－x2<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．16．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.17.（2011四川）计算_______．18．已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f (x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．专题2函数与方程及函数的应用1．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件２.（2012天津）函数在区间(0,1)内的零点个数是()．A0B1C2D3３．（2013天津）函数的零点个数为（）A1B2C3D4４．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－2x 的零点，则[x0]＝________.5.（2011福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．6.（2011湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）专题3不等式及线性规划问题1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()．A.14B．4 C.12D．22．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b23.（2012重庆）不等式的解集为（）A. B. C. D.对4.（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品。
2014届高三二轮专题 带电粒子在复合场中的运动
易失分案例 (2012· 重庆高考)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置， 其原理如图所示．两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向 上， 其中 PQNM 矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁 1 场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为k的带正电颗粒，以不 同的速率沿着磁场区域的水平中心线 O′O 进入两金属板之 间，其中速率为 v0 的颗粒刚好从 Q 点处离开磁场，然后做 匀速直线运动到达收集板．重力加速度为 g，PQ＝3d，NQ ＝2d，收集板与 NQ 的距离为 l，不计颗粒间相互作用．求：
电场力做功与路径无关 W＝qU 电场力做功改变电荷的电势能 洛伦兹力不做功，不改变带电 粒子的动能
2．两种模型 (1)组合场模型： 电场、磁场、重力场 (或其中 两种场 ) 并存，但各位于一定区域，并且互不 重叠的情况． (2)复合场模型： 电场、磁场、重力场 (或其中 两种场 ) 并存（或者说叠加）于同一区域的情 况．
2．抓住物理过程的“三性” (1) 阶段性．将题目涉及的整个过程合理划 分为若干个阶段．在审题过程中，该分则 分，宜合则合，并将物理过程的分析与研 究对象及规律的选用加以统筹考虑，以求 最佳的解题思路． (2) 联系性．找出各个阶段之间是由什么物 理量联系起来的，各量之间的关系如何， 在临界点或极值点处有何特殊性质． (3) 规律性．明确每个阶段遵循什么规律， 可利用哪些物理公式进行求解．
角度1
2013·安徽卷，23)
以电磁技术的应用为背景材料，联系实际考查学以 角度2 致用的能力(2012·天津理综，12；2013·重庆卷，5； 2013·北京卷，22)
【典例1】
(2013·安徽卷， 23)如图所示的平面直角坐标系 xOy，在第Ⅰ象限内 有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc 区域内有匀强磁场，方向垂直于 xOy平面向里，正三角形边长为 L，且ab 边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以 大小为 v0 的 速度沿 x 轴正向射入电场，通过电场后从 x 轴上的 a(2h,0) 点 进入第Ⅳ象限，又经过磁场从 y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速率与 y轴 负方向成45 °角，不计粒子所受的重力．求： • (1)电场强度E的大小； • (2)粒子到达a点时速度的大小和方向； • (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．
2014年普通高等学校招生考试课标二理数
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b|a-b，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是1，AB=1，，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良 的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A. B. C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D. 12.设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题， 每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：123111n ++<…+. 18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni ii n i i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分）已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做， 同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的 取值范围.。
2014年高考数学新课标2卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 由已知得{}12N x x=剟，因为{}0,1,2M =，所以{}1,2MN =，故选D.2. 解析 由题意得22z i =-+，()()12225z z i i =+--=-，故选A.3. 解析 由a b +22210a b a b ++⋅=， ①由a b -=2226a b a b +-⋅=， ②-①②得44a b ⋅=，所以1a b ⋅=，故选A.4. 解析 111s i n 2s i n 222ABC S AB BC B B =⋅=⨯=△，所以sin B =，若45B ∠=，则由余弦定理得1AC =，所以ABC △为直角三角形，不符合题意，因此0135B ∠=，由余弦定理得2222cos 12215AC AB BC AB BC B ⎛=+-⋅=+-⨯= ⎝⎭，所以AC = B.5. 解析 由条件概率可得所求概率为0.60.80.75=，故选A. 6. 解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm ，高是4cm ；另一个圆柱的底面半径为3cm ，高为2cm .设零件的体积()2231π24π3234πV cm =⨯⨯+⨯⨯=.而毛坯的体积()23π3654πV cm =⨯⨯=，因此切削掉部分的体积()32154π34π20πV V V cm =-=-=，所以220π1054π27V V ==.故选C. 评注 本题考查了三视图和圆柱的体积，考查了空间想象能力和运算求解能力，正确得到零件的直观图是求解的关键.7． 解析 1k =，1222351M S =⋅==+=；2k =，2222572M S =⋅==+=；3,k = 3t >，所以7S =，故选D. 8. 解析 11y a x '=-+，0x =时，12y a '=-=， 所以3a =，故选D.9. 解析 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由70,310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得，()5,2A .当直线2x y z -=过点A 时，2z x y =-取最大值.其最大值为2528⨯-=.故选B.10. 解析 易知直线AB的方程为34y x ⎫=-⎪⎝⎭，与23y x =联立并消去x得2490y --=.设()11,A x y ，()22,B x y，则12y y +=1294y y =-.12119224AB S OF y y =⋅-==△O .故选D.评注 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11. 解析 解法一：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知//BM QN ，则ANQ ∠即为所求，设12BC CA CC ===，则AQ AN QN所以222cos 2AN NQ AQ ANQ AN NQ +-∠===⋅，故选C.解法二：以1C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则C 1B 1A 1QN MCBA()2,0,2A ，()1,0,0N ，()1,1,0M ，()0,2,2B ，所以()1,0,2AN =--，()1,1,2BM =--，所以cos ,5AN BM AN BM AN BM⋅====，故选C.12. 解析 ()πx fx m'=，所以()f x 得极值点为0x ，所以()0f x '=，所以 0π0x m =，所以0πππ,2x k k m =+∈Z ，所以0m,2x mk k =+∈Z ，又因为 ()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，所以222m ππ22mk k m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ,k ∈Z ，即222132m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，因为0m ≠，所以222132m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，又因为存在0x 满足()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，即存在k ∈Z 满足上式，所以222min312m k m ⎡⎤-⎛⎫>+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以222312m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2234m m ->，所以24m >，所以2m >或2m <-，故选C. 评注 本题考查了函数的极值问题，三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力.13. 解析 10110C r r r r T x a -+=，令107r -=，得3r =，所以3310C 15a =，即3109815321a ⨯⨯=⨯⨯，所以318a =，所以12a =. 14. 解析 ()()()s i n 2s i nc o s fx x x ϕϕϕϕ=⎡++⎤-+⎣⎦= ()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ϕϕϕϕϕϕ+++-+=()()sin cossin cos x x ϕϕϕϕ+-+=()sin sin x x ϕϕ+-=，所以()f x 的最大值为1.15. 解析 因为()20f =，()10f x ->，所以()()12f x f ->，又因为()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递减，所以()()12f x f ->，所以12x -<，所以212x -<-<，所以13x -<<，所以()1,3x ∈-.评注 本题考查了偶函数的性质，利用()()f x f x =是求解的关键.16. 解析 解法一：当00x =时，()0,1M ，由圆的几何性质得在圆上存在点()1,0N -或()1,0N ，使045OMN ∠=.当00x ≠时，过M 作圆的两条切线，切点为A ，B .若在圆上存在N ，使得045OMN ∠=，应有045OMB OMN ∠∠=…，所以090AMB ∠…，所以010x -<…或001x <….综上，011x -剟.解法二：过O 作OP MN ⊥，P 为垂足，0sin 451OP OM =⋅…，所以01sin 45OM …，所以22OM …，所以2012x +…，所以201x …，所以011x -剟.评注 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.17. 解析 （I ）由131n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. 1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=.（II ）由（I ）知1231n n a =-.因为当1n …时，13123n n --⨯…，所以1113123n n --⨯….于是112111113131133232n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-< ⎪⎝⎭….所以1211132na a a ++⋅⋅⋅+<. 评注 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求和是本题的难点.18. 解析 （I ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以//EO PB .又EO ⊂ //PB ，PB ⊄平面AEC ，所以 //PB 平面AEC .（II ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()D，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设()(),0,00B m m >，则()C m，()AC m =.设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，则110,0,AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即0,10,2mx y z ⎧+=+=可取1=-⎝n .又()21,0,0=n 为平面DAE的法向量，由题设121cos ,2=n n ，12，解得32m =.因为E 为PD 的中点，所以三角锥E ACD -的高为12.三角锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=.评注 本题考查线面平行的判定，利用空间向量解二面角问题，考查了学生的空间想象能力. 19. 解析 （I ）由所给数据计算得()1123456747t =⨯++++++=，()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =⨯++++++=，()271941014928i i t t =-=++++++=∑，()()()()()()()()71=3 1.42110.7+00.1+10.5+20.9+3 1.6ii i tty y =---⨯-+-⨯-+--⨯⨯⨯⨯∑=14，()()()7127114ˆ0.528ii i ii tt y y btt ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=，所求回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+. （II ）由（I ）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程，得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 评注 本题考查了回归直线方程的求解，注意回归直线恒过点(),t y 是关键，考查了回归系数ˆb的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20. 解析 （I）根据c 2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，223b ac =.将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =或c a =2-（舍去）.故C 的离心率为12. （II ）由题意，得原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =. ① 由15MN F N =得112DF F N =.设()11,N x y ，由题意知10y <，则()112,22,c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及c 代入②得()22941144a a a a-+=. 解得7a =，2428b a ==，故7a =，b =评注 本题考查了椭圆的几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.21. 解析 （I ）()e e 20x x f x -'=+-…,等号仅当0x =时成立.所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增.（II ）（()()()()()2224e -e 4e -e 84x x x x g x f x bf x b b x --=-=-+-，()()()222e +e 2e +e 42x x x xg x b b --⎡⎤'=-+-⎣⎦()()2e +e 2e +e 22x x x x b --=--+. （i ）当2b …时，()0g x '…，等号仅当0x =时成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增. 而()g x =0，所以对任意0x >，()0g x >.（ii ）当2b >时，若x 满足2e +e 22x xb -<<-，即(0ln 1x b <<-+时，()0g x '<.而()00g =，因此当(0ln 1x b <<-时，()0g x <. 综上，b 的最大值为2. （III ）由（ii）知，(()3221ln 22g b =-+-.当2b =时，(36ln202g =->，ln 20.6928>>；当1b =+时，(ln 1b -=(()32ln202g =--<，n 20.6934<<.所以ln2的近似值为0.693.评注 本题考查了导数的应用，同时考查了分类讨论思想和运算能力. 22. 解析 （I ）连接AB ，AC ，由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠. 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠， 所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =.因此BE EC =.（ii ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以AD DE ⋅=22PB .评注 本题考查了圆的切割线定理，相交弦定理，考查了推理论证能力. 23. 解析（I ）C 的普通方程为()()221101x y y-+=剟.可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，)0πt 剟.（II ）设()1c o s ,s i n D t t +.由（I ）知C 是以C ()1,0为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =π3t =.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭. 评注 本题考查了极坐标化平面直角坐标，普通方程化参数方程的方法，考查了数形结合思想.24. 解析（I ）由0a >，得()()1112f x x x a x x a a a a a=++-+--=+厖.EP所以()2f x ….（II ）()1333f a a =++-.当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得3a <<当03a <…时()136f a a=-+，由()35f <3a <….综上，a 的取值范围是⎝⎭.评注 本题考查了含绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想.。
精编2014年全国高考新课标ⅱ高中数学理科试卷和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. B.C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D. 12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x ---zxxk （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.zxxk （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a ++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、 填空题（13）12（14）1 （15）（1,3-） （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。
2014年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ)解析版
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点， 故=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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2
, k Z ，又 x 0,4 ， k 0,1,2,3,4
)．
所以共有 6 个解.选 C. 2 3．函数 f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x ＋2，则 f(x)²g(x)的图象只可能是(
【解析】因为函数 f(x)，g(x)都为偶函数，所以 f(x)²g(x)也为偶函数．所以图象关于 y 轴对 称，排除 A，D.f(x)²g(x)＝(－x ＋2)log2|x|，当 0<x<1 时，f(x)²g(x)<0 排除 B 选 C. 4． （2013 浙江）已知 x, y 为正实数,则( A. 2 C. 2
x x
2
a 0, 且a 1 ，若 g 2 a ，则 f 2 (
A.
)．
2
15 B. 4
17 C. 4
2
D. a
2
2
【解析】由条件 f 2 g 2 a a
2 ， f 2 g 2 a 2 a 2 2 ，即
f 2 g 2 a 2 a 2 2 ，由此解得 g 2 2 ， f 2 a 2 a 2 ，
2
)
4 B. 3，
C.
3
D.
4
1 x 2
则 A I CR B= (
)
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新课标普通高中 2014 年高考数学（理）增分直通车
A. x | x 0 C. B. x | 2 x 4 D. x | 0 x 2或x 4
) 当 3 x 1 时 ， 5． （ 2012 山 东 ） 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x 6 ) f ( x .
2 ，当 1 x 3 时， f ( x) x 。则 f (1) f (2) f (3) f (2012) （ ） f ( x) ( x 2 )
60 30
600
1 150 4 （太贝克） ，
2 , B = 2， 3 ,则 ðU A B = ( 8． （2013 重庆）已知全集 U 1, 2,3, 4 ,集合 A= 1， 3， 4 A. 1，
【答案】D 9． （2013 湖北）已知全集为 R ,集合 A x 1 , B x | x 6 x 8 0 ,
x | 0 x 2或x 4
）
【答案】C 10 ． （2013 重庆）命题“对任意 x R ,都有 x 2 0 ”的否定为（ A．对任意 x R ,都有 x 2 0 C．存在 x0 R ,使得 x0 2 0 【答案】D 11． （2013 四川）设 x Z ,集合 A 是奇数集, B 是偶数集.若命题 p : x A, 2 x B ,则（ A． p : x A, 2 x B C． p : x A, 2 x B B． p : x A, 2 x B D． p : x A, 2 x B ）
所以 a 2 ，
f 2 2 2 2 2
15 4 ，所以选 B.
7.（2011 湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与 时间 t （单位： 年） 满足函数关系：
ln x D．f(x)＝
x
【解析】结合各选项知定义域内是奇函数的函数有选项 A，B，C 中的函数，而这三个函数在定义 域内是减函数的只有选项 A. 2.（2012 湖北）函数 f ( x) x cos x 2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为( A．4 C．6 B．5 D．7 )．
2 2 【解析】 f ( x) 0 ，则 x 0 或 cos x 0 ， x k
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新课标普通高中 2014 年高考数学（理）增分直通车
所以在一个周期内有 f (1) f (2) L f (6) 1 2 1 0 1 0 1 ， 所以 f (1) f (2) L f (2012) f (1) f (2) 335 1 335 3 338 ，选 B. 6.（2011 湖北）已知定义在 R 上的奇函数 f x 和偶函数 g x 满足 f x g x a a
A 335
B 338
C 1678
D 2012
【 解 析 】 由 f ( x 6) f ( x) ， 可 知 函 数 的 周 期 为 6 ， 所 以 f (3) f (3) 1 ，
f (2) f (4) 0 ， f (1) f (5) 1 ， f (0) f (6) 0 ， f (1) 1 ， f (2) 2 ，
30
1 1 M / 30 ln 2 M 0 2 30 10ln 2 M t ln 2 M 0 2 30 30 30 【解析】因为 ，则 ，解得
M 0 600，所以 M t 600 2
所以选 D.
t 30
， 那么
M 60 600 2
M t M 0 2
t 30
， 其中
M 0 为 t 0 时铯 137 的含量， 已知 t 30
)．
时，铯 137 的含量的变化率是 10 ln 2 （太贝克/年） ，则 M 60 ( A. 5 太贝克
/
B. 75 ln 2 太贝克
C. 150 ln 2 太贝克
t
D. 150 太贝克
Hale Waihona Puke lg x lg y2)． B. 2
lg( x y )
2lg x 2lg y 2lg x 2lg y
lg x
2lg x 2lg y 2lg x 2lg y
lg x lg y
D. 2
lg x＋lg y
lg( xy )
解析 2
²2
lg y
＝2
＝2
lg(xy)．
故选 D.
新课标普通高中 2014 年高考数学（理）增分直通车
增 分 直 通 车
2014 届高三数学(理) 2014 年 3 月
新课标普通高中 2014 年高考数学（理）增分直通车
专题 1
A．f(x)＝－x|x| C．f(x)＝sin x
集合、基本初等函的图象与性质
)． B．f(x)＝x
3
1．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是(