高考数学专题《数学归纳法》练习

专题7.6 数学归纳法

1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)nnn时，从nk

到1nk等式左边需增添的项是（）

A．22k

B．2(1)1k

C．[(22)(23)]kk

D．(1)12(1)1kk

2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-111

234+…+1

-1n=2

111

…

242nnn时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）

A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立

3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋1

2＋1

3＋…＋1

21n＜n(n∈N*，n≥2)”时，

由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）

A．2k－1B．2k－1

C．2kD．2k＋1

4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式*1114

1225nNn

nnn

时，

可将其转化为证明（）

A．*11141

122521nn

nnnnN



B．*14

122521111

nnnnN



C．*114

1225211

Nnn

nnnn



D．*11141

12252Nnn

nnnn



5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，111

1...(,1)

2321nnnNn

练基础由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）

A．B．C．D．

6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明2511222nnN能被31整除时，从k到

1k添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足

，则数列的通项公式为______________．

8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1,𝑎𝑛+1=1+𝑎𝑛

1+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)用数学归纳

法证明：𝑎𝑛<𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗).

9.（2021·全国高三专题练习）数列

na满足*2N

nnSnan.

（1）计算123aaa、、，并猜想na的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：11a

，点*

1(,)()

nnaanN

在直线21yx

上．

（1）求234,,aaa的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

1．（2021·全国）已知数列

na满足*

1nn

aanN

a，10a，则当2n时，下列判断一定正确的

是（）

A．1

nanB．211nnnnaaaa



C．nanD．1

nan

2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列

na，满足

101aaa，

*

11ln1

nnnaaanN

，则（）

A．11

nnaa

nB．11

nnaa

nnk1nk

k1k2k21k

{}

11an

14(3)(2,)

nnSannN

≥{}

na

练提升C．11

nnaa

nD．11

xnaa

n

3．（2020·浙江省桐庐中学）数列

na满足2*

1nnnaaanN

，11

2a

，则以下说法正确的个数

（）

①10

nnaa

；

②2222

1231naaaaa；

③对任意正数b，都存在正整数m使得

1231111

1111

aaaa

成立；④1

1na

n

.

A．1B．2C．3D．4

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列

na满足：10a，

1ln1na

nnaean

N，前n项

和为nS（参考数据：ln20.693，ln31.099，则下列选项错误的是（）.

A．

21na

是单调递增数列，

2na是单调递减数列

B．1ln3

nnaa



C．2020670S

D．212nnaa



5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如2的“积数”

为2，2,3的“积数”为6，111

1,,,,

23n

的“积数”为1

!n，则数集*1

,22021,MxxnnN

n



的所有非空子集的“积数”的和为___________.

6．（2021·浙江高三期末）已知数列

na满足0

na，前n项和为nS，若33a，且对任意的*kN，均

有2112

22ka

ka，21222log1

kkaa

，则1a_______；20S______.

7．（2020·江苏南通·高三其他）数列

na的前n项和为nR，记

11n

i，数列

nb满足11ba，

12n

nnnR

bSan

n，且数列

nb的前n项和为nT．（1）请写出nR，nS，nT满足的关系式，并加以证明；

（2）若数列

na通项公式为11

2nna

，证明：22lnnTn．

8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列

na的公比1q，且23414aaa，

31a是2a，4a的等差中项，数列

nb满足：数列

nnab的前n项和为2nn．

（1）求数列

na、

nb的通项公式；

（2）数列

nc满足：13c，*

1,n

ccnN

c，证明*

12(2)

2nnn

cccnN



9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列

na的前n项和为nS，已知1a，na，nS成等差数列，且

542aS，*nN．

（1）求数列

na的通项公式；

（2）记2n

S，*nN，证明：

1231

4421nnbbb

，*nN．

10.已知点𝑃𝑛(𝑎𝑛,𝑏𝑛)满足𝑎𝑛+1=𝑎𝑛.𝑏𝑛+1，𝑏𝑛+1=𝑏𝑛

1―4𝑎2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，且点𝑃1的坐标为(―1,1).

（1）求过点𝑃1,𝑃2的直线的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于𝑛∈𝑁∗，点𝑃𝑛都在（1）中的直线𝑙上.

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，134nnaan．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

2.（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；{}

11x

11ln(1)

nnnxxx

()n*N

n*N

nnxx



2nn

nnxx

xx



≤练真题（Ⅲ）．

3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

4.（2021·全国高三专题练习）设数列

{an}满足a1=3，134nnaan．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．

（Ⅰ）求的值；

（2）证明：对任意的

，等式

成立．

6.（2021·上海普陀区·

高三其他模拟）如图，曲线:10Cxyx与直线:lyx相交于1A，作11ABl

交x轴于1B，作12BA//l交曲线C于2A，……，以此类推.

（1）写出点123,,AAA和123,,BBB的坐标；

（2）猜想

nAnN的坐标，并用数学归纳法加以证明.1211

22nnnx

≤≤

{}na1(1)()n

nnbnan

nN

()1exfxx1(1)n

n

a12

12bb

aa123

123bbb

aaa12

12n

nbbb

aaa



12()nnncaaa{}na{}ncnnSnTennTS

0sin()(0)xfxxx()

nfx

1()

nfx

nN



122222ff

nN

4442nnnff



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第6章数列与数学归纳法(6.4-6.8)

6.4数学归纳法

例题精讲

【例1】用数学归纳法证明22>nn,5nNn,则第一步应验证n= ．

【参考答案】n=5（注：跟学生说明0n不一定都是1或2，要看题目）

【例2】设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2()fkk≥成立时，总可推出(1)fk≥2)1(k成立”．那么，下列命题总成立的是（）

A．若1)1(f成立，则100)10(f成立；

B．若4)2(f成立，则1)1(f成立；

C．若(3)9f≥成立，则当1k≥时，均有2()fkk≥成立；

D．若(4)25f≥成立，则当4k≥时，均有2()fkk≥成立．

【参考答案】B

【例3】用数学归纳法证明命题：若n是大于1的自然数，求证：nn12131211，从k到+1k，不等式左边添加的项的项数为．

【参考答案】当kn时，左边为1214131211k．

当1kn时，左边为1212211212112141312111kkkkk．

左边需要添的项为121221121211kkkk，项数为kkk212121．

【例4】用数学归纳法证明：422135nn能被14整除*nN（）．

【参考答案】当=1n时，8545353361224nn能被14整除．

2 假设当kn时原命题成立，即422135nn能被14整除*nN（）．

当1kn时，原式为4(1)22(1)1442221353355kkkk

4422121423(35)5(35)kkk44221213(35)565kkk．

422135nn能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1kn时原命题成立．综上所述，原命题成立．

2015届高考数学总复习第六章第九节数学归纳法课时精练理

第 1 页共 5 页第九节数学归纳法

1．(2013·福建三明模拟)某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(n∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则( )

A．n＝4时该命题成立

B．n＝6时该命题成立

C．n＝4时该命题不成立

D．n＝6时该命题不成立

解析：因为“当n＝k(k∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n＝k＋1时，该命题也成立”，故可得n＝5时该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题也不成立．故选C.

答案：C

2．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋„＋16n－1(n∈N*)，则f(1)为( )

A．1

B．15

C．1＋12＋13＋14＋15

D．非以上答案

解析：注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋12＋13＋14＋15.故选C.

答案：C

3．(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋„＋12n<1314(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )

A．增加了一项12(k＋1)

B．增加了两项12k＋1、12k＋2

C．增加了B中两项但减少了一项1k＋1

D．以上各种情况均不对

解析：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋„＋12k，

当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋„＋12k＋12k＋1＋12k＋2，

∴增加了12k＋1＋12k＋2，减少了1k＋1，故选C项．

答案：C

4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )

A．30 B．26 C．36 D．6

第 2 页共 5 页解析：∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．

2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析

20215

第5节数学归纳法(选用)

考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

知识梳理

1。数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；

（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

2。数学归纳法的框图表示

［常用结论与易错提醒]

1。数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.

2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.

诊断自测

1。判断下列说法的正误。

（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验20215

证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（）

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ）

(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )

(4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。( )

解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.

答案 (1）√ (2）× （3）× （4)×

2。（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（）

A.1 B.2

C。3 D.4

解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。

答案 C

3。已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则( ）

A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!

B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误!

C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误!

2014高考数学一轮汇总训练《数学归纳法》理新人教A版

第七节数学归纳法

[备考方向要明了]

考

什么怎么考

1.了解数学归纳法的原理．

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.与数列等知识相结合，以解答题的形式考查等式、不等式的证明，如2012年安徽T21等．

2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问题，如2012年湖北T22等.

[归纳·知识整合]

1．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

[探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么？

提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

2．用数学归纳法证明问题应该注意什么？

提示：(1)第一步验证n＝n0时命题成立，这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数．(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k＋1时命题的变化情况．(3)由假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标．

2．数学归纳法的框图表示

[自测·牛刀小试]

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn－32条时，第一步检验n等于( )

A．1 B．2

C．3 D．0

解析：选C ∵n≥3，∴第一步应检验n＝3.

2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋„＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )

(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题7 不等式、推理与证明、数学归纳法第52练二元一次

word

1 / 6 第52练二元一次不等式（组）与简单的线性规划

[基础保分练]

1．已知实数x，y满足 x≥1，x－2y＋1≤0，x＋y≤m，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值X围为________．

2．已知实数x，y满足 x≥1，y≥1，2x＋y≤6，则z＝x＋y的取值X围为________．

3．已知实数x，y满足约束条件 x≤2，x－2y＋2≥0，x＋y＋2≥0，则z＝x－5y的取值X围为________．

4．(2019·某某模拟)若不等式组 x－y>0，3x＋y<3，x＋y>a表示一个三角形内部的区域，则实数a的取值X围是________．

5．若实数x，y满足 x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0，则z＝3x＋2y的最小值为________．

6．已知实数x，y满足 x－2y＋1≥0，x<2，x＋y－1≥0，z＝|2x－2y－1|，则z的取值X围是________．

7．(2018·某某调研)变量x，y满足 5x＋2y－18≤0，2x－y≥0，x＋y－3≥0，若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．

8．设不等式组 x＋y≤4，y－x≥0，x－1≥0表示的平面区域为D，若圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值X围为________． word

2 / 6 9．若点P(x，y)是不等式组 0≤x≤3，3y≥x，y≤3表示平面区域内一动点，且不等式2x－y＋a≥0恒成立，则实数a的取值X围是______________．

10．记命题p为“点M(x，y)满足x2＋y2≤a(a>0)”，记命题q为“M(x，y)满足 x－2y≤4，x＋y≤4，4x－3y＋4≥0，”若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值为________．

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第36讲数列通项

第36讲数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）

【知识要点】

一、数列的通项公式

二、数列的通项的常见求法：通项五法

1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据na与项数n的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.

3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nnaafnn的关系，可用“累加法”求通项.

4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nnagnna的关系，可用“累乘法”求通项.

5、构造法：(见下一讲)

【方法讲评】

方法一归纳法

使用情景已知数列的首项和递推公式

解题步骤观察、归纳、猜想、证明.

【例1】在数列{na}中，16a，且111nnnaaann*(,2)nNn，

（1）求234,,aaa的值；

（2）猜测数列{na}的通项公式，并用数学归纳法证明.

【反馈检测1】在单调递增数列{}na中，11a，22a，且21221,,nnnaaa成等差数列，22122,,nnnaaa成等比数列，1,2,3,n．

2019年高考数学理课时作业三十九第39讲数学归纳法

课时作业(三十九) 第39讲数学归纳法

基础热身

1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=

(a≠1,n∈N*)”,在验证n=1时,左端所得的项为( )

A.1 B.1+a

C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

2.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f = -

”时,第一步应验证 ( )

A.n=1成立 B.n=2成立

C.n=3成立 D.n=4成立

3.用数学归纳法证明“1+

+…+

”时,由n=k到n=k+1,等式左边需要添加的项是 ( )

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=

(n∈N*),可以猜想数列的通项公式为 .

5.用数学归纳法证明“1+

+…+

- <2-

- (n≥2,n∈N*)”时第一步需要验证的不等式为 .

能力提升

6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-

+…+

”时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立 ( )

A.k+1 B.k+2

C.2k+2 D.2(k+2)

7.用数学归纳法证明“1+

+…+

A.2k-1 B.2k-1

C.2k D.2k+1

8.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总可推出f(k+1)≥k+2成立.那么,下列说法正确的是 ( )

A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立

B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立

C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立

D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立

高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)

高考数学总复习：数学归纳法

【知识网络】

【知识点详解】

一、数学归纳法的定义和原理

1.定义

对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n

取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命

题也成立，这种证明方法就叫做数学归纳法。

2.原理

数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有

效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法

想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你

可以：

① 证明第一张骨牌会倒。

② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

二、数学归纳法的证明步骤

1.证明：当n取第一个值n0（如n0=1或2等）命题正确；

2.假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当n=k+1时命题也成立.

根据步骤1，2可以断定命题对于一切从n0开始的所有正整数n都成立.

其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证

据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。

注意：

（1）不要弄错起始n0：n0不一定恒为1，也可能为其它自然数（即起点问题）．

（2）项数要估算正确：特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误

（即跨度问题）．

（3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过

不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．

（4）切忌关键步骤含糊不清：“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1

时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把

步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．

三、数学归纳法的适用范围

2015年高考数学复习学案：数学归纳法

一、2014考试说明

数学归纳法的原理：A 数学归纳法的简单应用：B

二、知识梳理

（一）数学归纳法

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：

如果（1）当n取第一个值0n（例如2,10n等）时结论正确；

（2）假设当)(0*nkNkkn且时结论正确，证明当1kn时结论也正确．

那么，命题对于从0n开始的所有正整数n都成立．

（二）练一练

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于．

2．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋„＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为．

3.用数学归纳法证明：nn212131211（*Nn）的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了，共项．

4.用数学归纳法证明nn431314141412时，有同学给出这样的证明：

证：（1）1n，左边=41，右边=4143131，等式成立．

（2）假设kn时结论成立，即kk431314141412，

那么1kn时，111243131411])41(1[41414141kkk．

所以当1kn时，命题也成立．

根据（1）（2），可知对任何Nn等式都成立．

请问，上述证明方法正确吗？请说明理由．

三、例题讲评 2 【例1】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式212)1211()511)(311(nn均成立．

练习1：已知数列}{na满足*),(1212121Nnnaaannn且31a．

计算432aaa、、的值，由此猜想数列}{na的通项公式，并给出证明．

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