高考数学真题专题(理数) 数学归纳法
专题十三 推理与证明
第三十九讲 数学归纳法
解答题
1．（2017浙江）已知数列{}nx满足：11x，11ln(1)nnnxxx()n*N．
证明：当n*N时
（Ⅰ）10nnxx；
（Ⅱ）1122nnnnxxxx≤；
（Ⅲ）121122nnnx≤≤．
2．(2015湖北) 已知数列{}na的各项均为正数，1(1)()nnnbnannN，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数()1exfxx的单调区间，并比较1(1)nn与e的大小；
（Ⅱ）计算11ba，1212bbaa，123123bbbaaa，由此推测计算1212nnbbbaaa的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令112()nnncaaa，数列{}na，{}nc的前n项和分别记为nS,nT, 证明：ennTS．
3．(2014江苏)已知函数0sin()(0)xfxxx，设()nfx为1()nfx的导数，nN．
（Ⅰ）求122222ff的值；
（2）证明：对任意的nN，等式124442nnnff成立．
4．（2014安徽）设实数0c，整数1p，*Nn．
（Ⅰ）证明：当1x且0x时，pxxp1)1(；
（Ⅱ）数列na满足pca11，pnnnapcappa111，
证明：pnncaa11．
5．（2014重庆）设2111,22(*)nnnaaaabnN
（Ⅰ）若1b，求23,aa及数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论．
6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)rfxrxxr(0)x，其中r为有理数，且01r.
求()fx的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,bb为正有理数. 若121bb，则12121122bbaaabab；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题．
注：当为正有理数时，有求导公式1()xx.
7．（2011湖南）已知函数3()fxx，()gxxx.
（Ⅰ）求函数()()()hxfxgx的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{na}（*nN）满足1(0)aaa，1()()nnfaga，证明：存在常数M，使得对于任意的*nN，都有na≤ M．
专题14 二项式定理及数学归纳法教学案-2018年高考数学
专题14 二项式定理及数学归纳法
【2018年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；
(2)数学归纳法的简单应用，B级要求
【重点、难点剖析】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中Crn(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crnan－rbr；
(2)(a＋b)n展开式中二项式系数Crn(r＝1,2,3，…，n)的性质：
①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Crn＝Cn－rn；
②C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.
2．二项式定理的应用
(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．
(2)二项式展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr是展开式的第r＋1项，而不是第r项．
3．数学归纳法
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
4．数学归纳法的应用
(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．
(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．
(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．
(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.
2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析
20215
第5节 数学归纳法(选用)
考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
知 识 梳 理
1。数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；
（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
2。数学归纳法的框图表示
［常用结论与易错提醒]
1。数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
诊 断 自 测
1。判断下列说法的正误。
（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验20215
证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（ ）
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ）
(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
(4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。( )
解析 对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.
答案 (1）√ (2）× （3）× （4)×
2。（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（ ）
A.1 B.2
C。3 D.4
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。
答案 C
3。已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则( ）
A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!
B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误!
C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误!
新教材高考数学第4章数列4数学归纳法含解析选修2
1 数学归纳法
素养目标
学科素养
1.了解数学归纳法的原理．(重点、难点)
2．掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤．(重点)
3．能用数学归纳法证明一些数学命题．(难点) 1.数学抽象；
2．逻辑推理；
3．数学运算
情境导学
往一匹健壮的骏马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉；又添加一根……一直往马身上添稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马儿身上后，骏马竟不堪重负瘫倒在地．这在社会学里，取名为“稻草原理”．这其中蕴含着一种怎样的数学思想呢？
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． 2 (1)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明．(×)
(2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设．(×)
(3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数一定增加了一项．(×)
1．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时，式子的值为(B)
A．1 B．1＋k
C．1＋k＋k2 D．以上都不对
2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)时，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C 解析：由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为___________________.
【备战】高考数学 高频考点归类分析 集合思想的运用(真题为例)
集合思想的运用
典型例题：
例1. （2012年江苏省10分）设集合{12}nPn，，，…，*Nn．记()fn为同时满足下列条件的集合A的个数：
①nAP；②若xA，则2xA；③若ACxnp，则ACxnp2。
（1）求(4)f；
（2）求()fn的解析式（用n表示）．
【答案】解：（1）当=4n时，符合条件的集合A为：21,42,31,3,4，，，，
∴ (4)f=4。
( 2 ）任取偶数nxP，将x除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k次以后．商必为奇数．此时记商为m。于是=2kxm，其中m为奇数*kN。
由条件知．若mA则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数。
于是x是否属于A，由m是否属于A确定。
设nQ是nP中所有奇数的集合．因此()fn等于nQ的子集个数。
当n为偶数〔 或奇数）时，nP中奇数的个数是2n（12n）。
∴2122()=2nnnfnn为偶数为奇数。
【考点】集合的概念和运算，计数原理。
【解析】（1）找出=4n时，符合条件的集合个数即可。
（2）由题设，根据计数原理进行求解。
例2.（2012年上海市理18分）对于数集12{1,,,}X,nxxx，其中nxxx210，2n，定义向量集{|(,),Y}X,Xaastst. 若对于任意1Ya，存在2Ya，使得120aa，则称X具有性质P. 例如{1,2}X1,具有性质P.
（1）若x＞2，且},2,1,1{x，求x的值；（4分
（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，2xq（q为常数），求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取1(,2)ax，则Y中与1a垂直的元素必有形式),1(b。
(湖北版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理
2
3专题6 数列
一．选择题
1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】若互不相等的实数成等差数列，成等比,,abc,,cab
数列，且，则 ( )310abca
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2.．【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】已知两个等差数列和的前项和分别{}
na{}
nbn
为A
和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ）
nnB745
3n
nAn
Bn
n
na
bn
A．2 B．3 C．4 D．5
3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研
究数。比如：
2
3他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称
图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
4.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)上的函数()fx，如果对于任
意给定的等比数列{}
na， {()}
nfa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”. 现有定义在
(,0)(0,)上的如下函数：
①2
()fxx； ②()2x
fx； ③()||fxx； ④()ln||fxx.
则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为 ( )
A.① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
【答案】C
【解析】
试题分析:等比数列性质，2
12
nnnaaa
，①
122
2
12
22
2
nnnnnnafaaaafaf
； ②
122
21222222
naaaaa
nnafafaf
nnnnn；③
122
122
nnnnnnafaaaafaf
；④
122
122lnlnln
nnnnnnafaaaafaf
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理
数学归纳法是一种证明数学命题的方法。它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤
数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧 1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子
高考数学 专题29 不等式的证明技巧黄金解题模板
1 专题29 不等式的证明技巧
【高考地位】
证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】
方法一 比较法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系；
第二步 得出结论.
例1设实数,ab满足ab，求证：4422()ababab．
【答案】详见解析.
考点：不等式的证明.
【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.
【变式演练1】设0ba，求证：abbababa.
【答案】详见解析.
2 考点：不等式的证明.
方法二 分析法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；
第二步 把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；
第三步 如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.
例3设,,,3,abcRabbcca证明：555322322322()()()9abcabcbcacab。
【答案】原命题等价于333222()()9abcabc，利用分析法。
【变式演练2】已知：ca cb，求证：cabcba12.
【答案】应用分析法
【解析】
试题分析：要使原不等式成立，只要：2221cabcba
只要22222422222acabcbccabcab，
只要2222422acbccab，
只要222222()()0cacbca，
只要2222()()0accb，
由已知此不等式成立。
考点：绝对值不等式的证明. 3
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题25 排列组合、二项式定理 理
专题25 排列组合二项式定理
1.【2017课标1，理6】621(1)(1)xx展开式中2x的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】
试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)xxxxx，则6(1)x展开式中含2x的项为2226115Cxx，621(1)xx展开式中含2x的项为44262115Cxxx，故2x前系数为151530，选C.
【考点】二项式定理
2.【2017课标3，理4】52xyxy的展开式中3y3的系数为
A．80 B．40 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
试题分析：555222xyxyxxyyxy，
由52xy 展开式的通项公式：5152rrrrTCxy 可得：
当3r 时，52xxy 展开式中33xy 的系数为33252140C ，
当2r 时，52yxy 展开式中33xy 的系数为22352180C ，
则33xy 的系数为804040 .
故选C.
【考点】 二项式展开式的通项公式
【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
3.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
高考数学题型归纳完整版
高考数学题型归纳完整版
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合
题型1-1集合的基本概念题型1-2集合间的基本关系题型1-3集合的运算
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
题型1-4四种命题及关系题型1-5充分条件、必要条件、充
要条件的判断与证明
题型1-6求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
题型1-7判断命题的真假题型1-8含有一个量词的命题的否定
题型1-9结合命题真假求参数的取值范围
第二章函数
第一节映射与函数题型2-1映射与函数的概念题型2-2同一函数的判断题型2-3函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4函数定义域的求解题型2-5函数定义域的应用
题型2-6函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性
题型2-7函数奇偶性的判断题型2-8函数单调性（区间）的判断
题型2-9函数周期性的判断
题型2-10函数性质的综合应用第四节二次函数 题型2-11二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
题型2-12二次方程的实根分布及
条件
题型2-13二次函数“动轴定区间”
“定轴动区间”问题第五节指数与指数函数
题型2-14指数运算及指数方程、指数不等式
题型2-15指数函数的图象及性质题型2-16指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数
题型2-17对数运算及对数方程、对
数不等式
题型2-18对数函数的图象与性质
题型2-19对数函数中恒成立问题第七节幂函数
题型2-20求幂函数的定义域
题型2-21幂函数性质的综合应用
第八节函数的图象题型2-22判断函数的图象
题型2-23函数图象的应用第九节函数与方程
题型2-24求函数的零点或零点所在区间
题型2-25利用函数的零点确定参
数的取值范围 题型2-26方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合
题型2-27函数与数列的综合
题型2-28函数与不等式的综合
重庆市高考数学备考复习(理科)专题二十：推理与证明A卷
第 1 页 共 11 页 重庆市高考数学备考复习（理科）专题二十：推理与证明A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
单选题 (共15题；共30分)
1.
（2分） (2018高二下·沈阳期中)
用数学归纳法证明
（ ）时，第一步应验证不等式（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·长春期末) 观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第 个图案中正六边形的个数是 .
由 ， ， ，…，可推出 （ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假
第 2 页 共 11 页 设应为（
）
A . a，b都能被3整除
B . a，b都不能被3整除
C . a，b不都能被3整除
D . a不能被3整除
4. （2分） 已知n为正偶数，用数学归纳法证明（ ）
时，若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A . n=k+1时等式成立
B . n=k+2时等式成立
C . n=2k+2时等式成立
D . n=2(k+2)时等式成立
5. （2分） (2017高二下·赣州期中) 观察下列各式： = ， + = ， + +
= …，则 + +…+ 等于（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 用演绎法证明函数 是增函数时的小前提是（ ）
A . 函数 满足增函数的定义