一维不定常流笔记
一维不定常流-笔记
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f 2 x c0t 的解。 3、求解球面声波：
0 2 t r 2 r r u 0 2 c 2 2 2 0 2 r 2 c u t r r r 0 0 t 0 r The form of the solution ' s results :
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的； 接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2 n 时，没有质量流穿过间断面； 满足的条件：
法向速度连续： u1n u2 n , 两侧压强相等： p1 p2 ,
第二章
对角部分， 弹性应力 pI , pI 耗散应力 非对角部分， 粘性应力、应力偏量
B-能量方程：
1 E e u 2 , 2 : Potential energy; e : inernal energy
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
C C C p RT 2 0 RT 2 0 R Tw p0 RTw ;
10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导中，流体之间有内摩擦和热量的传递，即耗散效应， 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的， 在理想流体中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断；
相比于平面波，球面波的区别：
f r c0t r
（1） ：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减； Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或 表面积增大)，导致强度降低； （2） ：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
3.2液体动力学
伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它指出，对于流动的液体来说，如 果没有能量的输入和输出，液体内的总能量是不变的。它是流体力学中一个重要的基本方程。 它不仅是进行液压传动系统分析的基础，而且还可以对多种液压问题进行研究和计算。
3．2．4动量方程
动量方程是动量定律在流体力学中的具体应用。在液压传动中，要计算液流作用 在固体壁面上的力时，应用动量方程求解比较方便。 刚体力学动量定律指出，作用在物体上的外合力等于物体在力作用方向上单位时间内 动量的变化量，即：
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。 如图2．9所示的液体在具有不同横截面的任意形状管道中作定常流动时，可任取1、2两 个不同的通流截面，其面积分别为A1和A2，在这两个截面处的液体密度和平均流速分别为ρ 1、 v1和ρ 2、v2，根据质量守恒定律，在单位时间内流过这两个截面的液体质量相等，即：
3．2 液体动力学 3．2．1 基本概念
1．理想液体、定常流动和一维流动 理想液体：一般把既无粘性又不可压缩的假想液体称为理想液体。
定常流动：液体流动时，如果液体中任一空间点处的压力、速度和密度等都不 随时间变化，则称这种流动为定常流动（或稳定流动、恒定流动）；反之，则称为 非定常流动。
一维流动：当液体整个作线形流动时，称为一维流动；当作平面或空间流动时 ，称为二维或三维流动。
式（2．17）就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的伯努利 方程。它的物理意义是单位重力液体的能量守恒。其中hw为单位重力液体从截面A1流到截面A2 过程中的能量损耗。 在应用上式时，必须注意p和z应为通流截面的同一点上的两上参数，特别是压力参数p 的度量基准应该一样，如用绝对压力都用绝对压力，用相对压力都用相对压力，为方便起见， 通常把这两个参数都取在通流截面的轴心处。 在液压系统的计算中，通常将式（2．17）写成另外一种形式，即：
辽宁石油化工大学工程流体力学第八章
因为 Z 0＝ a 2 A
ua所以波动方程经特征线解法变换的四个常微分方程：
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
第三节 管路水击计算
一、管道水击现象
水击现象：在有压管路系统中，由于阀门突然
确定密度的相对变化率：
压缩系数 ：
p
dV /V dp
1
dp
体积模量 ： K
p dV/V
由微分定理和 MV 可求得：
dp
D(1)dpdtu0
Eb 2 dt K x
考虑压力波传递速度a
上式又可写成： dpa2 u 0
dt
x
二、动量方程
如图8-2所示
压力P密度
g
du
du 可得： dt
du
dx
g
a g
b
二、两个变量的一阶拟线性偏微分方程
设方程组为a11ut a12vt
b1 1ux b1
v 2x
g1
a2
1ut a2
2vt b2
1ux b2
v 2x
g2
N i g A sid n x ( p x)A d x D dpAx
可得： dmuAddxu
dt
dt
Ddx gAdx
pA (pA) dx x
dmu dt
Ni
由A 动量d d d定 u tx 理g A s id n x p xd A 得 x D d x
一维不定常流体运动
一维不定常流体运动【参考文献】L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Chapter 10.Ya. B. Zel ’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena, Chapter 1.我们简要学习理想流体的一维不定常流动，可以帮助我们理解ICF 中的流体力学过程。
对于理想流体，在不出现参数发生跃变的情况下，流体的熵是个常数，即 0.u s t x ∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦如果初始时刻流体的参数不依赖于空间变量，那么流体的熵始终保持不变。
在这种情况下，流体的密度仅依赖于压强，().p ρρ=就只考虑流体的连续性方程和动量方程，()0,10.u t x u u p u t x x ρρρ∂∂+=∂∂∂∂∂++=∂∂∂ 利用绝热方程，连续性方程的形式可以改写为， 210s u u u u t x x p t x u u p c t x xρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=++⎜⎟⎢⎥⎢⎥p x ∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎠∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∂ 或10.p u p u c c t c x x ρ∂∂∂++=∂∂∂ 这个方程与动量方程结合，可以得到如下两个方程，1()()1()()u c u u c p t x c t x u c u u c p t x c t x ρρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+−−+−=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦0,0. 引入所谓的特征线，:,:,dx C u dt dx C u dt +−c c =+=− 那么沿着特征线C +，有如下方程， 10,du dp cρ+= 那么沿着特征线C −，有如下方程， 10,du dp cρ−= 引入所谓的Riemann 不变量，其定义为J ±dp d J u u c c ρρρ±=±=±∫∫，那么沿着特征线，是个常数。
一维非定常连续流动
一维非定常连续流动集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t 和一个坐标变量x 有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x 轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。
它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。
下面主要介绍连续流。
在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。
作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。
一、 小扰动波1. 产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。
对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。
下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。
在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。
设活塞在很短的时间内，速度增加至du 。
此后，它以匀速向右运动。
这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。
这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。
同时，右边气体压力增加一个微量dp ，左边气体减小一个微量dp ，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。
上述两类小扰动波得传播过程在(x ，t )图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。
对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。
2.传播定义向右为x 轴的正方向，如果气体本身以u （代数值）的速度在运动，则波的传播速度为dd dd=d ±d定义以速度(u+a )传播的波为“右行波”，以速度(u-a )行波”。
高等流体力学-3章
p 2 p ( 1 V 2 ) ( ) 0 x 1 V 2 t
（I）
（6）
（II）
5
又： dV V V ,
dx
x
t
dp p p dt , dx x t dx
同向膨胀波Vw2 Vw1 不交
Vw2 Vw1 互相削弱或抵消 Vw2 Vw1
不交
31
3.4激波管简介 （1）低压区 （3）高压区（V=0） (2)(4)高速区（5）高温区 接触面——另一种间断面 两侧气体p,V相等，但T, ,S不等，且互 不穿越
3
1
4
2
1
32
接触面
5
4
2
3
1
33
d dV a
15
动量方程：
p dp pA aA a dV a
dp dV p a
（17）
dp d dT 2 da p 1 T 1 a
代入 （17）：
2 da dV 0 1
2 a V const Q 即 1
p
由等熵关系，
பைடு நூலகம்
T 2 取对数后微分，可得 dp da a 1
11
c,
p
1
c, 和a 2 RT
代入（12）： 2 da dV 0 1
2 积分之： 1 a V P
（13）
2 a V Q 1
Riemann不变量 （14）
以未扰区音速 a1 无量纲化
（ 7）
对比（6）和（7），欲使（6）成为全微分方程，只须
dp （I）= dx dV （II）= dx
新版流体力学知识点大全-新版.pdf
涡量：速度矢量的旋度，
角速度：
1 1V 22
V 0 无旋流动
流体力学 - 4
V VV B F
t
B : 体积力， F 面积力；
3)、 能量方程：单位时间流入流体的能量、外界传入的热量、外力做功的总和， 等于控制体内能量的增加。
E
t 增加量
EV 流入量
BV 体积力做功
PV 表面力做功
D* t
*t
质量体内的 生成热 ： qdV
D* t
边界面上因 热传导输入 的热量： n TdA
*t
e)、热力学第二定律 dS dQ 0,
T
S 是系统的熵
2、有积分形式到微分形势的方程，有三种方法：
(1)、应用矢量的微积分；
(2)、积分应用于体积元，有体积元趋于零，取极限推得；
(3)、将系统的方程直接应用体积元，再将积分表达式取极限；
第一章 绪论
1、牛顿流体： 剪应力和速度梯度之间的关系式称为牛顿关系式， 遵守 牛顿关系式 的流体是牛顿 流体。 2、理想流体：无粘流体，流体切应力为零，并且没有湍流？。此时，流体内部 没有内摩擦，也就没有 内耗散和损失 。 层流：纯粘性流体，流体分层，流速 比较小 ； 湍流：随着流速增加，流线摆动，称过渡流，流速再增加，出现漩涡，混合。因
为流速增加导致层流出现不稳定性。 定常流：在空间的任何点，流动中的速度分量和热力学参量都不随时间改变， 3、欧拉描述：空间点的坐标； 拉格朗日：质点的坐标； 4、流体的粘性引起剪切力，进而导致耗散。 5、无黏流体 —无摩擦 —流动不分离 —无尾迹。
流体力学 - 1
6、流体的特性：连续性、易流动性、压缩性 不可压缩流体： D 0
流体力学学习笔记
《高等流体力学》学习笔记王恒宇113121001183重点实验室一维非定常流动中的特征线方程和特征关系一、概念特征曲线：对于双曲型方程组，在x，t平面有一系列曲线，若在这些曲线上，任意给定物理参数的值作为Cauchy问题的初始值，这样Cauchy问题的解一般是不存在的。
这些曲线称为方程组的特征曲线。
特征关系：对在这些曲线上的物理参数或未知函数的值给定一定的关系式。
二、推导设x=x(t)为某一特征曲线，在这条曲线上给定u(t)，ρ(t)，S(t)的值。
研究下面方程组的Cauchy问题∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，ρ∂u ∂t +ρu∂u∂x+∂p∂x=0，（1）∂S∂t+u∂S∂x=0，p=f(ρ,S)。
求解这个问题即要在x=x(t)上求出∂u∂t ，∂u∂x，∂ρ∂t，∂p∂x，∂S∂t，∂S∂x的值。
六个一级微商满足以下六个方程∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，S∂u ∂t +pρ∂ρ∂x+ρu∂u∂x+p S∂S∂x=0，∂S ∂t +u∂S∂x=0，（2）dt ∂ρ∂t +dx ∂ρ∂x =dρ， dt ∂u ∂t +dx ∂u ∂x =du ， dt∂S ∂t+dx∂S ∂x=dS 。
由于x=x(t)是特征曲线，上方程组无解。
因此，x=x(t)应使该方程组系数行列式等于零，即||100u ρ00ρ0p ρρu p S 00100u dt 00dx 000dt 00dx 000dt 00dx ||=0 （3） 化简得，|udt −dx ρdt 0p ρdtρudt −ρdx p S dt 00udt −dx|=ρ(udt −dx )3−ρp ρ(udt −dx )dt 2=0由于p ρ=c 2，可解得：dx dt=u ，u +c ，u −c （4）即方程组（1）的三族不同的特征线。
通过特征线方程可求出相应于每条特征线的特征关系式，这些关系式应使方程组（2）有解。
这样用方程组（2）的自由项（0，0，0，d ρ，du ，dS ）来代替行列式（3）中的任意一行时，所得到的新的行列式应该等于零。
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b
p
0
t
ｆ
ｅ and f int o d :
2 t 2
c022
g 波动 Eq.
2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式：
2 t 2
c02
2 x2
,
F1 x c0t F2 x c0t ,
u
x
f1 x c0t
f2 x c0t
f
p
0
t
0c0
f1 x c0t
4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。
多方气体：当理想气体的比定容热容 cV 为常数时，
5、动量和能量方程：能量=动能+内能+势能；
A-动量方程：
u uu F
t
动量密度： u 动量密度的源： F
2、简单波的一般形式：
两类方法求解：特征线法、流体动力学方程；
(1)-特征线法：
=const
dx dt
u
c
,
,
0
，
x , 0 t ,
=u
dp c
u
l
c
0,
c c u,
u c , u,
x u ct u u c u t u, u u x,t
进而可以求出压强、密度、声速等的信息；反之，亦可以求出。
p p0 p 0
int
o
t
u t
u 0 uu
p
u
t 0 u 0 a t 1 p 0 b
0
p , S
p
0
,
S
p
S
0
2
p
p
S
c02
c
c substitute int o a :
p t
0c02
u
0
d
Due to : u , ｅ
内能、焓 、自由能、吉布斯自由能：
e Q W
de TdS pd ;
h e p ; dh TdS dp;
F e TS;
G h TS
dF
SdT
;
pd ;
dG SdT dp
比焓的意义：在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量；在等压的绝热过
程中比焓不变；
自由能的意义：在等温过程中，外界对系统所做的功全部用于增加系统的自由能；
The form of the solution ' s results : f r c0t
r
相比于平面波，球面波的区别：
（1）：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减；
Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或
表面积增大)，导致强度降低；
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
1 a 2 b 0,
1 2 1,
dx u c dt
u t
u
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
dx u, c dS 0
dt
dt
依赖域：某一时刻，两特征线在 X 轴交点的线段； 影响域：在 X-t 区域中，两特征线之间的区域； 稳定性条件(Courant 条件)：
运流： 即随质点运动带走的动量密度流 uu
扩散流：介质中的应力张量 导致动量的扩散，因此，表面上将产生流过该面
的扩散流：
动量密度的流：运流 和 扩散流： j uu
扩散流解析：
对角部分，
弹性应力
pI
非对角部分，
耗散应力
粘性应力、应力偏量
, pI
B-能量方程：
E e 1 u2 , : Potential energy; e : inernal energy 2
在数值计算中，时间步长与空间步长的关系： t x uc
6、特征线的性质 （a）、在连续流动区域中，同族特征线不相交；若相交，则此处将会出现间断； （b）、弱间断只沿特征线传播； （c）、相邻的不用类型流动区域的分界线是特征线；
第三章 简单波
1、定义：某一流动的一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即各特征线上 的黎曼不变量是相等的，称为简单波。
能量流项： 运流 + 扩散流 (能量流+做功)
j Eu q pIu u E pu q u ，
一般情况下，介质的内能增量有以下几部分： （1）、周围介质对本介质做的压缩功，（2）、外界对介质输入的热量； （3）、介质表面上应力做的功； （4）、介质本身释放的能量。
三大守恒方程组：
6、热力学方程
进入波动区； u c u 。 反之，为向后简单波。 u c u
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
4、稀疏波和压缩波 穿过简单波时，若流体的密度和压强增大，则称压缩波；直线特征线聚拢； 若流体的密度和压强减小，则称稀疏波；直线特征线分散；
（2）：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
r c0t
r c0t
u
c0 0
f
r
r
c0t
0
f d
r2
c0 0
0
f d
r2
其中，多出的后一项的差别。
平面波中，波传播之处压力密度增加，通过后，恢复初始值 0,u 0 ，波区
域内的物质都是受压缩的；
球面波中，波通过之后介质要恢复为静止，不仅 0 ，还要求速度的第二项为
若管道内气体的初始状态是均匀的，则沿 x 轴有 0 和 0 ，于是进入扰动
区中的整族 C 族特征线上 为同一值 0 ，扰动区域的流动是简单波。
故：简单波有一族特征线是直线。在波区中， x,t 0
C族特征线：
dx dt
u
c
d
,
,
0
因每条C的斜率都为常数，故：x , 0 t
第三次作业第一题的解题过程：
de dW dq;
de
pdV
dq;
d
RT 1
RTd
1
hf
R
dT ;
1 1
hf
dT
T
d;
1
1
h
f
ln
T
Tw ln 0 ;
T
Tw
0 C ;
C 1
1
1
h
f
2 7
;
V
1 2 V0 ,
20; p0 0RTw, 0 p0 RTw ;
f2
x
c0t
c
1 c02
p
0 c0
f1 x c0t
f2 x c0t
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f2 x c0t 的解。
3、求解球面声波：
t
0 r2
r
r 2u
u
c02
0
0
2 t 2
c02 r2
r
r
2
r
t 0 r
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的；
接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2n
时，没有质量流穿过间断面；
法向速度连续： 满足的条件： 两侧压强相等：
u1n p1
u2n , p2 ,
第二章 特征线
1、小扰动波动方程：
第一章 流体动力学方程组
1、拉格朗日方法：关注流体质点，给出每个流体质点自始至终的运动过程，即 他们的位置随时间变化的规律。
dQ 0 Q , U
dt
欧拉方法：关注空间节点上流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了，整个流体的运动状况就清楚了。
Q u Q v Q w Q 0 Q , U
零。因扰动中物质受压，一部分区域的密度 0 ，则必有一段区域 0 ，即：
球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时，特征线存在；静止区域内，也可以通过偏微分方程给出特征线； 5、绝热运动的特征方程
t
u
t
u u x
u u 1 x
x p x
1 p
=
u t
+
t
1 c
dp，
因此，针对
cons t的简单波，
=u
1 c
dp=const， c
cu,
2自动满足，1式 u + u c u =0,
t
x
u f x u ct , or x u ct F u ,
由此得出简单波是单向行波。
简单波的直线族特征线，都有一个共同的起点，即 x x0 ，这样的简单波叫做中 心简单波。 3、向前和向后波 向前波：若波的传播速度大于质点的速度，则流体质点将从 x 大的一边，即右边
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
E t
E
p
u
q
u
R
Fu
能量密度： E, E e 1 u2 2
能量的源两部分：本身释放的能量、外力做功 R F u
总能的流：
运流： 随质点运动带走的 Eu ，
q 能量流：热传导在单位时间内流过单位面积的能量流 ，
做功：应力单位时间内在单位面积上所作的功： u pIu u ，
在等温过程中，通常取自由能热力学函数；
7、状态方程 比定容热容、比定压热容：
cV