现代设计方法第11章 平面问题有限元法
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
平面问题有限元法
第三章平面问题有限元法重庆大学机械工程学院一、平面单元一、平面单元矩形单元正方形单元二、三角形三节点单元2.1 单元位移模式xy{}(,,)Ti ii u v i j m δ ={}T TeTT T i j mi i j j m m u v u v u v δδδδ ==节点数:3；自由度自由度（（DOF ): 6节点位移节点位移：：单元位移单元位移：：二、三角形三节点单元三角形三节点单元位移模式123456u x y v x y αααααα=++=++(3-1)节点：i ()i i y x ,()i i v u ,节点：j ()j j y x ,()j j v u ,()m m y x ,()m m v u ,节点：m二、三角形三节点单元将三个节点的坐标和位移代入将三个节点的坐标和位移代入（（3-1），），得得ii i y x u 321ααα++=jj j y x u 321ααα++=mm m y x u 321ααα++=321ααα，，ii i y x v 654ααα++=j j j y x v 654ααα++=mm m y x v 654ααα++=654ααα，，二、三角形三节点单元mm m j j ji i iy x v y x v y x v A214=αmmmj j ji i i y x u y x u y x u A211=αm mj j i i y u y u y u A111212=αmm j ji i u x u x u x A111213=αmm j ji i y v y v y v A111215=αmm j j i i v x v x v x A111216=αmmj ji iy x y x y x A 1112=(3-2)二、三角形三节点单元将（3-2）代入代入（（3-1），），并整理并整理i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v =++=++(3-3))(2111121y c x b a A y x y x yxAN i i i m mj ji ++==)(2111121y c x b a A y x y xy x AN j j j mmii j ++==)(2111121y c x b a A yxy x y x AN m m m j jiim ++==m j i N N N ,,称为形函数二、三角形三节点单元jm m j mmj j i y x y x y x y x a −==m i i m ii mmj y x y x y x y x a −==ij j i jji i m y x y x y x y x a −==mj mji y y y y b −=−=11im im j y y y y b −=−=11ji jim y y y y b −=−=11二、三角形三节点单元)(m j mj i x x x x c −−==)(11i m im j x x x x c −−==)(11j i jim x x x x c −−==二、三角形三节点单元将（3-3）写成矩阵形式：{}}}ee v uf =(3-4)形函数的性质1）形函数形函数在节点处的值为处的值为11，在其余节点处之值为零i N i≠==ij i j y x N j j i 01),((3-5)mj N N ,？？形函数的性质2）在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于11(3-6)1i j m N N N ++=3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关形函数的性质0),(=y x N m )/()()/()(),(i j j i j j i y y y y x x x x y x N −−=−−=)/()()/()(),(i j i i j i j y y y y x x x x y x N −−=−−=在边上ij形函数的性质4）形函数在单元面积形函数在单元面积A A 上的二重积分之值上的二重积分之值，，等于高为等于高为11、底为底为A A 的三角锥的体积的三角锥的体积。
《现代设计方法》课程教学大纲
现代设计方法》课程教学大纲课程代码：020232025 课程英文名称：Advanced Design Methods 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：车辆工程能源与动力工程装甲车辆工程大纲编写（修订）时间：2017.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标现代设计方法是汽车类专业的一门重要的专业基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握优化设计和有限元的基本理论和方法，同时通过一些工程实例的研究，培养学生分析和解决工程问题的能力。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求通过本课程的学习，学生要对本课的基本内容有系统的理解，掌握其基本概念、理论和方法，运用这些理论分析，解决工程实际问题，并达到如下要求：1．掌握现代设计方法的基本概念、理论及发展趋势。
2．掌握优化设计理论的基本概念、建模方法、搜索方法和无约束问题、有约束问题的求解方法等内容，使学生能够用优化设计方法解决设计中的实际问题。
3．掌握有限元方法的基本理论和方法，在此基础上，能够熟练使用大型工程软件进行实际的工程设计和计算。
（三）实施说明本课程主要包括两部分内容：机械优化设计、有限元方法。
教师在授课过程中可以根据实际情况酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。
根据本专业特点，教师应结合本专业的实际问题，在教学过程中注意理论与实际结合，突出实际应用。
课程的教学目标通过讲授、课后作业和后续的实践课程三个环节来实现。
教师要注重对基本概念、基本方法和解题思路的讲解，以便学生在实际应用中能举一反三，灵活运用。
（四）对先修课的要求在学习本课程之前，必须先修完《线性代数》、《理论力学》、《材料力学》等课程。
（五）对习题课、实验环节的要求本课程的主要难点就是在较短的学时内使学生掌握机械最优化设计方法和有限单元法的基本概念、方法和具体步骤。
因此根据课程的基本概念，思想和方法应用及典型的工程问题，选择安排一定的习题，习题通过课堂练、讲相结合和课后作业完成。
现代设计方法(关于有限元)作业
《现代设计方法》作业关于有限元法的研究学院：机械工程学院专业：机械制造及其自动化0.有限元法有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。
随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。
其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。
然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。
有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。
每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。
结构的材料参数为：200=，0.3E GPaμ=。
图1 结构图对该问题进行有限元分析的过程如下。
（1）结构的离散化与编号由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。
对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。
图1.2 有限元模型图1.3 节点位移编号及单元编号表1.1 单元编号及结点编号单元编号结 点 编 号 ①②1 2 3 2 3 4结构的结点位移列阵为11223344[]T r r r r u w u w u w u w δ= (1.1) 结构的结点外载列阵12[000000]T r r F F F = （1.2）1r F 和2r F 为由内压作用而等效在结点1和结点2上的载荷，其大小为1122240202//502622r r r h p F N F N ππ-⨯⨯⨯==== （1. 3） 约束的支反力矩阵123344[00T z z r z r z R R R R R R R = ] (1.4)其中1z R 和2z R 为结点1和结点2在Z 方向的约束支反力，（3r R ，3z R ）和（4r R ，4z R ）为结点3和结点4在r 方向和Z 方向的约束支反力。
4平面问题有限元分析
引 言 常应变三角形单元 矩形双线性单元 三角形类单元形函数 矩形类单元形函数 平面等参数单元 Wilson 非协调元及程序
引
言
杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的， 杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的， 但对于平面问题，待分析物体是连续的， 但对于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际 结点。要将物体“ 成单元， 结点。要将物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或 将物体进行分割时， 将物体进行分割时，必须保证相 面作人为地分割。 面作人为地分割。 邻单元具有公共边界。假定相邻单元仅在一些点（顶点 邻单元具有公共边界。假定相邻单元仅在一些点（ 或顶点加边中点）相连接。这些点即为“结点” 或顶点加边中点）相连接。这些点即为“结点”。实际 计算时，可将连续体分成多种形状单元，为讨论简单， 计算时，可将连续体分成多种形状单元，为讨论简单， 现暂时规定只用一种单元来分割。 现暂时规定只用一种单元来分割。 以位移为未知量的有限元法， 以位移为未知量的有限元法，最关键的工作是建立单 元位移场，因此本章主要介绍各种单元位移场的建立。 元位移场，因此本章主要介绍各种单元位移场的建立。 平面问题有限元法可用的单元很多， 平面问题有限元法可用的单元很多，先介绍两种最简 单的单元：三角形和矩形。然后再介绍其它的单元。 单的单元：三角形和矩形。然后再介绍其它的单元。
常应变三角形单元
由于面积坐标有形函数性质， 3 位移模式 由于面积坐标有形函数性质，因 3 此根据试凑法可得 形函数= 形函数 Ni=Li = 面积坐标 y P 位移为u 如果结点 i 位移为 i、vi，则 2 单元位移模式（位移场） 单元位移模式（位移场）为 1 x u=Σ Niui ； v=Σ Nivi Σ Σ 1) 面积坐标和直角坐标关系
3-1 平面问题有限元法概述
z y z z v w u v v w w u 有 u 0， 0， 0， 0， 0， 0 x y x x y
积分得
式中，u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数，即刚体位移。
17
2018/10/29
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 位移及应变、几何方程、刚体位移 ]
•以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况
v u v u y x xy a b y x x y •同样方法来考察体素在xoz和yoz平面内的变形情况，可得：
u u u
B'
v v dx x
u dx x
•线素AB的正应变为：
u v
A
A'
a
u (u dx) u u x x dx x
•同理，AD的正应变为： v (v dy ) v v y y dy 15 y
dy
B dx
u u dx x
σ
来表示：
(2)
11
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[位移]
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影 称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后， 各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
有限元法及应用课件
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量，因此原则上可以解出这
15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分未知量（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据 基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法──位移法、
应力法和混合法。其中位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有
第11章 平面问题有限元法
11.1 平面问题的基本概念
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
11.1.1 弹性力学中的物理量
1）载荷:
载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 集中力三种形式。
体力: 面力： 集中力：
Pv Pvx Ps Psx Pc Pcx
需要指出：这里的载荷、应力、应变和位移都是位置坐标的函数， 称为场变量
重庆大学机械工程学院
5
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
11.1.2 弹性力学基本方程
（1）平衡方程
x xy xz x y z pvx 0 xy y yz pvy 0 y z x xz yz z pvz 0 y z x
o x
微元体的应力分量
z εz γzx γzy γ yz γxz εx γxy γ yx εy y εz
3） 应变
{ε} = [εx εy εz γxy γyz γzx
]T
o x
εy
微元体的应变分量 重庆大学机械工程学院 3
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
应变定义
εy
z
z
dz dx o x
1
对称 1 0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0
1 0 0 0
1 2 2(1 ) 0
x y z xy yz zx 1 2 2(1 )
dy y x o
dz dx
γ yz dy y
正应变的几何意义
切应变的几何意义
剪应力互等：
xy yx xz zx yz zy
4
重庆大学机问题有限元法
4）位移
{Δ } = {u v w}T
各位移函数可记为：
u = u（x, y, z），v = v（x, y, z），w = w（x, y, z）。
（11-1）
重庆大学机械工程学院
6
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
（2）几何方程
u x x v 0 x y y w 0 z z u v xy y x y yz v w 0 zx z y w u x z z 0 0 y u 0 z v 0 w x z y 0 x 0
Pvy Psy Pcy
Pvz Psz Pcz
T
T
T
重庆大学机械工程学院
2
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
z
ζz η zx ζy η xz η xy ζx ζz η yx η zy η yz ζy y
2) 应力
{ζ} = { ζx ζy ζz ηxy ηyz ηzx ]T
(11 2)
重庆大学机械工程学院
7
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
(3) 物理方程
1 [ ( )] x y z E 1 x [ y ( z x )] E y 1 [ z ( x y )] z E 1 xy xy yz G 1 zx yz G 1 zx G
zx T
1 0 0 0
1 2 2(1 ) 0
1 2 2(1 )
(11 5)
重庆大学机械工程学院
10
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
（1）,（2）和（3）三类基本方程中包括15个方程，含有6个应力分
[ D]
重庆大学机械工程学院
（11-4）
9
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
式中：
x y z xy yz zx T
x y z xy yz
和
1 1 1 E (1 ) [ D] (1 )(1 2 ) 0 0 0 1 对称 1 0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0
(11 3)
E G 2(1 )
重庆大学机械工程学院
8
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
1 x 1 y 1 E (1 ) z 0 xy (1 )(1 2 ) yz 0 zx 0