当网格遇上了三角函数
专题05勾股定理与网格问题解析版
专题05 勾股定理与网格问题必备知识点1．勾股定理的性质定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：在Rt △ABC 中，如果a ，b 为直角边，c 为斜边，那么。
）勾股定理的变式：、、、2. 勾股定理与网格问题该问题主要考查的知识点就是根据网格的长度，并应用勾股定理求边长，及面积的问题，求面积一般用分割法或大图形减小图形面积进行求解。
一、单选题1．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12BCD【分析】如图，连接格点CD ，设1个网格的边长为x ，根据格点的长度求出BD ，CD 边的长度，根据勾股定理证明∠BDC ＝∠ADC ＝90°，再计算sin ∠A=CD AC计算即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，设1个网格的边长为x ，则BD CD == ，2BC x =c b 222a =+b c a 222-=a c 222b -=b a c 22+=b c 22a -=知识导航题型精炼∴222BD CD BC +=∴∠BDC ＝∠ADC ＝90°，∴sin ∠A= CD AC又AC ===∴sin ∠A= CD AC =故选：C【点睛】本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．2．如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A ，B 都在小正方形的顶点上，线段AB 与网格线MN 交于点C ，则AC 的长为（ ）A ．32B ．43C ．54D ．65【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，再利用A 字模型相似三角形证明△ANC ∽△ADB ，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：AB = ==5，∵CN //BD ，∴∠ANC =∠ADB ，∠ACN =∠ABD ，∴△ANC ∽△ADB ，∴AN AC AD AB =，∴145AC =，∴AC =54，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A 字模型相似三角形是解题的关键．3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC V 的顶点都是格点，则tan BAC Ð的值为（ ）A B C ．12D 【分析】连接格点D 、C ，则由勾股定理及其逆定理，易得CD ⊥AB ，从而在Rt △ADC 中，由正切函数的定义即可求得结果．【详解】如图，连接格点D 、C ，则CD ==AD ==AC∵(222+=，即222CD AD AC +=，∴CD AB ^，在Rt △ADC 中，1tan 2CD BAC AD Ð===．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正切函数的定义等知识，把非直角三角形中锐角三角函数问题转化为直角三角形中锐角三角函数问题是本题的关键与难点．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切是（ ）A ．2B ．12CD 【分析】过点B 作BD AC ^于点D ，过点C 作CE AB ^于点E ，则3BD AD ==，1CD =，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用等面积法可求出CE 的长，由勾股定理求出BE ，再利用正切的定义可求出ABC Ð的正切值．过点B 作BD AC ^于点D ，过点C 作CE AB ^于点E ，则3BD AD ==，1CD =，如图所示．AB ==BC ==在ABC V 中，由等面积法得：1122AC BD AB CE ×=×，即112322CE ´´=´，CE \=在Rt BEC △中，BE ===12tan CE ABC BE \Ð===．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出长度是解题的关键．5．如图，小正方形的边长均为1，则A 、B 、C 、D 四个选项中的三角形（阴影部分）与ABC V 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先求出已知三角形三边长，再分别求出选项中三角形三边长，按小中大进行求比值看是否相等即可判断解：根据勾股定理AC ，BC =2，AB ，A ．三条线段长分别为1，故选项A 中的三角形与ABC V 相似；B 3，31110¹¹，，故选项B 中的三角形不与ABC V 相似；C ．三条线段长分别为1， ，¹¹，故选项C 中的三角形不与ABC V 相似；D ．三条线段长分别为2，¹¹，故选项D 中的三角形不与ABC V 相似．故选择A ．【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键．6．如图，点A 、B 、C 、D 都在边长为1的网格格点上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，弧EF 经过格点D ，则扇形AEF 的面积是（ ）A．54pB．98pC．πD．2p【分析】根据题意以及网格的特点求得45CAFÐ=°，圆弧的半径为AD=，进而根据扇形面积公式进行计算即可．【详解】依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，45CAF\Ð=°,AD==，\扇形AEF54p．故选A．【点睛】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键．7．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面5A．AB B．BC C．CD D．AD【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可．【详解】解：AB=BC=3，CD=AD=AD，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段AB，CD，EF，GH，其中能构成一个直角三角形三边的是（）A．AB，EF，CD B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．CD，EF，GH 【分析】根据网格图，分别求出AB，CD，EF，GH，再根据勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形．【详解】∵由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1∴ABCD=EF=GH=A、(22222¹，故不符合题意；+=+=13AB CD EFB、22222¹，故不符合题意；AB GH EF+=+=18C、(222222AB CD GH，故符合题意；+=+=13==D、(22222¹，故不符合题意；CD GH EF+=+=21故答案选：C【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．根据网格图找出四条线段的长度是本题的关键．V的三个顶点A，B，C都9．如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长为1，ABC在网格格点的位置上，则ABC V 的边AB 上的高为（ ）A B C D 【分析】如图，过C 作CH AB ^于,H 利用勾股定理先求解,AB 再利用等面积法求解高CH 即可．【详解】解：如图，过C 作CH AB ^于,H由勾股定理可得：AB == 而2,BC =11222,,22ABC ABC S S CH \=´´==V V4,=CH \== 故选：.C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的除法运算，利用等面积法列方程，掌握网格与勾股定理的密切联系是解题的关键．10．如图，将ABC V 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则cos CAB Ð的值是（ ）ABC ．2D ．12【分析】取AC 上小正方形对角线CD 的端点D ，连结BD ，BD 为小正方形的对角线，利用勾股定理逆定理可得∠CDB =90°，由勾股定理ABADcos ∠CAB即可．【详解】解：取AC上小正方形对角线CD 的端点D ，连结BD ，∵BD 为小正方形的对角线，∴BD∵CD 是小正方形对角线，∴CD∵BD 2+CD 2=2+2=4=BC 2，∴∠CDB =90°，∴∠ADB =90°，由勾股定理AB ，ADcos ∠CAB．故选择：B．【点睛】本题考查网格中直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，掌握网格中直角三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键．二、填空题11．如图，在边长1正网格中，A 、B 、C 都在格点上，AB 与CD 相交于点D ，则sin ∠ADC =_____．【分析】将转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可．【详解】解：延长CD 交正方形的另一个顶点为，连接BE ，如下图所示：由题意可知：，，根据正方形小格的边长及勾股定理可得：，在中，，ADC ÐE 90BED Ð=°ADC BDE Ð=ÐBE =BD =\RtBDE sin BE BDE BD Ð==sin sin ADC BDE \Ð=Ð=．【点睛】本题主要是考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到所求角在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，这是解决该题的关键．12．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan AOC Ð的值______．【分析】连接BE ，OE BEBO根据勾股定理的逆定理判定△OBE 是直角三角形，从而计算正切值即可．【详解】∵连接BE ，OEBE，BO∴，∴△OBE 是直角三角形，∴=tan ∠BOE ==3，故答案为：3．【点睛】==2222021820BO EO EB ==+=+=tan AOC ÐBE EO =本题考查了网格上的三角函数的正切计算，熟练运用勾股定理，勾股定理的逆定理，正切的定义即对边与邻边的比值，是解题的关键．13．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O 为圆心，OA 为半径的 AB 和弦AB 所围成的弓形面积等于___________．【分析】根据勾股定理求出半径AO 的长度，然后根据弓形面积＝扇形OAB 的面积-三角形OAB 的面积，求解即可．【详解】解：由勾股定理得，由网格的性质可得，是等腰直角三角形，∴和弦所围成的弓形面积＝．故答案为：．【点睛】此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积＝扇形面积-三角形OAB 的面积．14．如图所示的网格是正方形网格，∠APB ＝___°．【分析】延长AP交格点于D ，连接BD ，由勾股定理得到，勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：延长AP交格点于D ，连接BD ，OA ==90AOB Ð=°AOB D AB AB290112436022AO AO BO p p °´´-=´=-°g g ()24p -PD BD PB ==PDB △由勾股定理得：∵∴∴为等腰直角三角形，∴∴故答案为【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，在ABC V中，点A 、B 、C 均在小正方形的顶点上，点D 为AB 边的中点，则线段CD 的长为_________．【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC 、AC ，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：根据勾股定理，，，∴AC2+BC2=AB2=26，∴△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°∵点D 为AB 的中点，PD BD ===PB ==222+=222()()()PD BD PB +=PDB △45DPB Ð=°18045135APB Ð=°-°=°135°AB =AC =BC =∴CD=．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．16．如图，已知每个小方格的边长均为1，则ABCV与CDE△的周长比为_________．【分析】设、分别与交于点、，则，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答．【详解】如图，设、分别与交于点、，则，∴,∵，，∴，∴，∴，，由图可知：，12AF DG BE F G//AF DG FA G C D GÐ=ÐB A F E D GÐ=ÐB A G C D EÐ=Ð//AB DE ABC DEC:△△AB DEAF DG BE F G//AF DGFA G C D GÐ=Ð21t an42B A FÐ==1t an2E D GÐ=B A F E D GÐ=ÐB A GCD EÐ=Ð//AB DEABC DEC:△△AB==DE=∴ ，即与的相似比为 ，∴与的周长比为故答案为：【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．三、解答题17．如图，在边长为1的6×6的小正方形网格图中，点A ，B 均在格点上．(1)求出线段AB 的长度；(2)用无刻度直尺作出以AB 为斜边，直角顶点在格点上的所有格点直角三角形，用字母C 1，C 2，…标出直角顶点；(3)用无刻度直尺作出（2）中其中一个面积最大的直角三角形以A 为对称中心的中心对称图形．【分析】（1）由图可知，由勾股定理得，计算求解即可；（2）当时，如图点，当时，如图点，当时，如图点；依次连接即为所求；（3）题意知且最大，画的以A 为对称中心的中心对称图形如图所示．(1)解：由图可知，由勾股定理得∴线段AB．(2)解：如图1所示::2:1A B D E ==ABC V CDE △2:1ABC V CDE △2:12:1AB =21019AB ==+14C C 、21028AB ==+25C C 、21055AB ==+36C C 、n A B C 、、36ABC ABC S S =V V 3ABC △AB C ¢¢△AB ==当时，如图点，依次连接，即为所求；当时，如图点，依次连接，即为所求；当时，如图点，依次连接，即为所求．(3)解：由题意知且最大∴画的以A 为对称中心的中心对称图形如图2所示【点睛】本题考查了勾股定理的应用，中心对称图形，直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．18．如图，由边长为1的小正方形组成的66´网格中，ABC V 顶点在网格上，点D 在BC 边上，且2BD CD =．(1)BD 长等于__________．21019AB ==+14C C 、1A B C 、、4A B C 、、21028AB ==+25C C 、2A B C 、、5A B C 、、21055AB ==+36C C 、3A B C 、、6A B C 、、36ABC ABC S S =V V 3ABC △AB C ¢¢△(2)请你仅用无刻度的直尺在边AB 上找点E ，使得BDE V 与ABC V 相似．（要求画出两种情形）【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．(1)解：BD故答案为：(2)如左图，画DE ∥CA ，△BDE 即为所求；如右图，画，△BDE 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．19．在所给的88´的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）(1)请在第二象限内的格点上找一点C ，使ABC V 是以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C 的坐标；(2)画出ABC V 以点C 为中心，旋转180°后的A B C ¢¢V ，并求A B C ¢¢V 的面积．【分析】BD AB BE BC ==（1）根据题意，腰长为无理数且为以AB 为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．(1)解：如图所示，点的坐标为；(2)如图所示：点的坐标，点的坐标为，∵旋转180°后的的面积等于的面积，，∴，∴的面积为4．【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．20．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A 、B 都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是A （2，-4）、B （3，-1）．（1）点B 关于y 轴的对称点的坐标是；（2）若点C 的坐标是(0，-2)，将△ABC 先沿y 轴向上平移4个单位长度后，再沿y 轴翻折得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，B 1点的坐标是 ；ABC V C ()1,1-BC AC ==A ¢()0,2-B ¢()20,A B C ¢¢V ABC V AB CD ===11422A B C S AB CD ¢¢=×=´=△''A B C V（3）111A B C △的面积为___；（4）在现有的网格中，到点B 1距离为10的格点的坐标是【分析】（1）直接根据轴对称的性质写出点B 关于y 轴的对称点的坐标即可；（2）根据题中方式平移并翻折，画出图形，写出坐标即可；（3）直接用所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案；（4）利用勾股定理可得点B 1距离为10的格点的坐标．【详解】解：（1）点B 关于y 轴的对称点的坐标是，故答案为：；（2）如图△A 1B 1C 1即为所作，B 1点的坐标是，故答案为：；（3），故答案为：；（4）符合题意的点可以为：，，111A B C △(3,1)--(3,1)--()3,3-()3,3-111113*********A B C S =´-´´´-´´=△4(5,3)-(3,5)-故答案为：(5，-3)或(3，-5)．【点睛】本题考查了轴对称变换以及平移变换、勾股定理，正确得出对应点位置是解本题的关键．。
河北省中考系统复习：第19讲锐角三角函数（8年真题训练）
第19讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1．(·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝12，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.2．(·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22.重难点1 解直角三角形(·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，AB ＝5，D 在AB 上．(1)求BC 的长；(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝54时，求线段AD 的长．【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长． 【自主解答】 解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝43BC.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝3.(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DEBE ，∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝2425.(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝32.∴S △CBF ＝94.②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝113.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝ADBD .∴119＝AD 5－AD ，AD ＝114.图3 图4当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝74，AC ＝4，∴AG ＝7.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝72.方法指导1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,【变式训练1】 如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝233．【变式训练2】(·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4.∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10.(2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35. 重难点2 解直角三角形的应用(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；(2)(·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(3)(·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.①求景点B 与C 的距离；②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，再利用解直角三角形ABD 和直角三角形ACD 来解决．【自主解答】解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝100×cos60°＝50(米)，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝503米． ∵AC 的坡度为1∶3， ∴AD ∶CD ＝1∶ 3.∴CD ＝150，BC ＝CD －BD ＝150－50＝100(米)．∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长是100 m. (2)由题意，得∠EAC ＝30°，∠EAB ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ＝30°，∠EAB ＝∠ABD ＝60°. ∵∠ABD ＝∠ACB ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. ∴AB ＝BC ＝30.在Rt △ABD 中，∴AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝153≈25.98(米)． (3)①由题意，得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠C ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝30°.∴∠CAB ＝∠C ＝30°. ∴BC ＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 的距离为10 km.②过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵BC ＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上，∴∠CBD ＝60°，在Rt △CBD 中，CD ＝32BC ＝5 3 km. 【变式训练3】(·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝33x.在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋33x＝160，解得x＝303，即CH＝30 3 m.答：该段运河的河宽为30 3 m．方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1．(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)A.35B.45C.34D.432．(·保定模拟)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)(2sinA－3)＝0，则△ABC一定是(D) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形3．(·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)A.513B.512C.1213 D.1254．(·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)A.12B ．1C.33D. 35．(·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在(D) A ．点C 1处B ．点C 2处C ．点C 3处D ．点C 4处6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)7．【分类讨论思想】(·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.8．(·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与bsinB之间关系的方法：∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝bsinB ，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究a sinA ，b sinB ，csinC之间的关系，并写出探究过程．解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC.理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ， 在Rt △ABD 中，sinB ＝ADc ，即AD ＝c ·sinB ，在Rt △ADC 中，sinC ＝ADb ，即AD ＝b ·sinC ，∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝csinC .同理可得a sinA ＝csinC ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC.9．(·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米， 则CP ＝12AC ＝1 000米．(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15. ∴他在15分钟内能到达宾馆．10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．11．(·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．解：(1)连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， 即∠ADB ＝90°.∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，∴AD AB ＝255.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4. ∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AE ＝AD 2＋DE 2＝213.∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2， ∴(25)2－AM 2＝42－(213－AM)2， 解得AM ＝141313.∴CM ＝AC 2－AM 2＝81313.∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝47.13．(·河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝35时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。
部编数学九年级下册专题23网格中求正切(解析版)含答案
专题23 网格中求正切【法一】构造直角三角形求Ð=________．如图是由边长为1的小正方形组成的44´网格，则tan BAC【法二】转移角后再求如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．D．【法三】等面积法求Ð如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则tan AOB 的值是______．【综合演练】1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B C D．12【答案】DÐ的正切【分析】连接AC，根据网格图不难得出=90CABа，求出AC、AB的长度即可求出ABC值．【详解】连接AC，2．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．1B C D．223．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（）A ．13B ．35C ．23D ．124．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，若点A 、B 、C 都在格点上，则tan ∠BAC 的值是_____．【答案】1【分析】根据已知图形得出45CAD Ð=°，再求解即可.【详解】5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=________．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是．【答案】2【详解】试题分析：设小正方形边长为a，链接AC，那么因为所以考点：勾股定理点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形结合思想的应用．V的顶点都在格点上，则7．如图，在44´的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABCÐ的正切值是______．ABC【答案】2【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，8．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交Ð=_____________于点P，则tan APC9．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．【答案】1【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，即∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°∴tan∠ABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.10．如图所示，在44´的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．（1）CD的长度为______；（2）CD与网格线交于E，则DE=______；（3）若AB与CD所夹锐角为a，则tan a=______．．11．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，AB 与CD 交于点P ，那么tan APD Ð=__________．【答案】2【分析】要求∠APD 的正切值，要把∠APD 放在直角三角形中，构造直角三角形，连结正方形的对角线AE ，EF 、FB ，故有AE =EF=FB=CD ，直角三角形构成△AEG ，下面解决AE 与EG 的关系，发现G 在EF 上，EF=AE ，只要G 为EF 中点，为此证△AGE ≌△BGF ，在Rt △AGE 中tan ∠AGE 可求即可．【详解】如图连结AE 、EF 、FB ，EF 与AB 交于G ，由正方形知AE=EF=EB=DC ，∠AEG=∠GFB=90º,∠AGE=∠BGF,【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形性质，12．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上则tan A的值为______．Ð的值为13．如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan BAC________．Ð的值为________．14．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan BAC三、解答题15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用2B铅笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为 ；（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ；（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．三边的长分别为，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与A Ð相等的角为 ， A Ð的正切值为 ；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK 中，HK=2，HG=KG=HK ，求+a b ÐÐ的度数．17．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有线段AB 、CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在图中画一个以线段AB 为斜边的等腰直角三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，并直接写出BE 的长；（2）在图中画一个钝角三角形CDF ，点F 在小正方形的顶点上，并且三角形CDF 的面积为92，3tan 4DCF Ð=．。
Excel数学函数和三角函数之应用
Excel数学函数和三角函数之应用一、与求和有关的函数的应用Excel所提供的求和函数不仅仅只有SUM一种，还包括SUBTOTAL、SUM、SUMIF、SUMPRODUCT、SUMSQ、SUMX2MY2、SUMX2PY2、SUMXMY2几种函数。
重点介绍SUM（计算一组参数之和）、SUMIF（对满足某一条件的单元格区域求和）的使用。
SUM1、行或列求和=SUM(H3:H12)2、区域求和区域求和若这些单元格是不连续的，可以按住Ctrl键分别拖过它们。
对于需要减去的单元格，则可以按住Ctrl键逐个选中它们，然后用手工在公式引用的单元格前加上负号。
=SUM(D3:D12,F3:F12)-SUM(G3:G12)3、注意SUM函数中的参数，即被求和的单元格或单元格区域不能超过30个。
换句话说，SUM函数括号中出现的分隔符（逗号）不能多于29个，否则Excel就会提示参数太多。
对需要参与求和的某个常数，可用"=SUM（单元格区域，常数）"的形式直接引用，一般不必绝对引用存放该常数的单元格。
SUMIFSUMIF函数可对满足某一条件的单元格区域求和，该条件可以是数值、文本或表达式，可以应用在人事、工资和成绩统计中。
要计算销售部2001年5月加班费情况。
则在F15种输入公式为=SUMIF($C$3:$C$12,"销售部",$F$3:$F$12)其中"$C$3:$C$12"为提供逻辑判断依据的单元格区域，"销售部"为判断条件即只统计$C$3:$C$12区域中部门为"销售部"的单元格，$F$3:$F$12为实际求和的单元格区域。
二、与函数图像有关的函数应用我想大家一定还记得我们在学中学数学时，常常需要画各种函数图像。
那个时候是用坐标纸一点点描绘，常常因为计算的疏忽，描不出平滑的函数曲线。
现在，我们已经知道Excel几乎囊括了我们需要的各种数学和三角函数，那是否可以利用Excel函数与Excel图表功能描绘函数图像呢？当然可以。
查补重难点08 解直角三角形及其应用(原卷版)
查补重难点08.解直角三角形及其应用考点一：解直角三角形及其性质1.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大；cos A随∠A的增大而减小；tan A随∠A的增大而增大。
2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
3.在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=ac，cosA=sinB=bc，tanA=ab；4）sin2A+cos2A=1。
4.三角函数特殊值（熟记）：sin30°=12；sin45°=22；sin60°=32；cos30°=32；cos45°=22；cos60°=12；tan30°=33；tan45°=1；tan60°=3题型1.求锐角三角函数值在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。
例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD =，13AD BD =，则tan B =．变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为．变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD 中(其中点E ，F ，G ，H 都在矩形边上)，若:7:6AB BC =，则AGF ∠的正切值为．题型2.网格图与锐角三角函数在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。
方格纸中求三角函数值
tan∠ABC 的值是
．
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格 ，A、B、 P、Q四点均在正方形网格的格点上 ，线段AB、PQ每个小的四边
形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点
上，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等
于
．
6．如图,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求
tan∠BA1C=
，tan∠BA2C=
tan∠BA3C=
，tan∠BA4C=
…按此规律,写出tan∠BAnC=
数式表示).
，
, ．(用含n的代
方格纸中求三角函数值
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值
为
．
2．如图，在5×7的网格中，若△ABC的三条
边共经过4个格点，则tan B的值为
．
3．如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成
网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一
个角∠O为 60°，A，B，C都在格点上，则
《三角函数》新题速递
１ 三 角 函数 的定 义
华 明忠
此题将旋转变换置 于正方形 网格之 中 ， 实现
点评
了图形 变换与 三角 函数的完美 结合 ， 可谓设计 新颖 ， 构
思巧妙． 解决这类 问题 的关键是充 分利用 正方形 的网格
信息， 构造 直角 三角形 ， 再根据三 角 函数 的定义 确定 三
求点 Ｐ的坐标． 分析 可过点 Ｂ作 Ｂ Ｄ上ｃ Ｐ于点 Ｄ， 再过点 Ｄ作坐
Ｃ Ｉ Ｍ交 Ｐ 于点 Ｅ， Ｅ＿Ｃ ＿ Ｍ 再过点 Ｅ Ｍ 作 Ｙ轴的垂线 ， ， 围绕点
ｃ构造出△ｅ 一△Ｅ 。ｔｌ ｃ ． ａ 删 ｃ＝ ａ Ｂ ＝ １ 可 ‘Ｊ ｔ ｎ ｃ 了
，
标轴 的垂线 ， 围绕 点 Ｄ构造 ＡＥ Ｄ￣ＡＦ Ｄ Ｃ Ｂ ．
图 １
例 ２ （０ １年 烟 台） 果 ＡＡ Ｃ 中 ，ｉ ２１ 如 Ｂ ｓ Ａ＝ｅｓ ｎ ｏＢ＝
，
二
则下列最确切 的结论是 Ａ ＡＡ Ｃ是直 角三角形 ． Ｂ Ｂ ＡＡ Ｃ是等腰三角形 ． Ｂ Ｃ ＡＡ Ｃ是等腰直角三角形 ． Ｂ Ｄ ＡＡ Ｃ是锐角三角形 ． Ｂ
Ａ ．
Ｂ丁 ．１
‘
．
．
ＢＯ ＝ＢＦ ＋ ＯＦ ＝ ＢＦ ＋ＤＥ ＝２ ＋ｂ＝３． ａ
１ ． ／ ／ 。 ？ ２ ． １ ． ２
Ｄ
。 ．
Ｂ ｘ
Ｄ
－
Ｂ ｊ
ＯＣ ＝ Ｏ —ＥＣ ＝ ＤＦ —ＥＣ ＝２ Ｅ ｂ一 口＝３．
．
１
．
１
●
Ｍ
．
解方程得出 ｎ与 ｂ的值 ， 出点 Ｄ坐标 ， 而解决 得 进
问题 ．
２
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
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当网格遇上了三角函数
一、学习指南
1.课题名称：当网格遇上了三角函数
2.达成目标：
通过观看教学视频，进行配套巩固练习，完成《自主学习任务单》里的学习任务。
3.学习方法建议：
事先复习三角函数知识，勾股定理，全等，相似等知识后，再观看视频效果更佳。
4.课堂学习形式预告：
本微课是针对中考总复习中经常出现的以网格为背景的一类三角函数问题而制作的，利用教学视频归纳这类问题常见的几种解法，重点在构造如何构造直角三角形计算三角函数，对于计算过程简要带过。
本小节重点在于网格中直角三角形的构造和部分较为复杂的计算，建议同学们观看此微课前先熟练掌握以下内容哦！
1、各个三角函数的定义
2、利用勾股定理求解网格中任意两格点线段长度。
另外，微课中的三个题目配套练习中有，请大家先做下再来看微课解析效果会更好!
二、学习任务
通过观看教学录像自学，完成下列学习任务：
1、复习锐角三角函数定义；
2、熟悉网格背景下构造直角三角形来求三角函数的几种常见情形；
3、通过观看视频及巩固练习，熟练掌握这类问题的三种常见思想方法。
微课例题：
例1.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、
B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠BAC
=______ .
试一试3如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，
点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠ABC
=_____.
例2.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为______。